Теория оптимального проектирования элементов конструкций является перспективным и интенсивно развивающимся в настоящее время направлением механики. Бурное развитие космической техники, судостроения, точного приборостроения ставит вопрос получения технических решений, имеющих улучшенные механические характеристики, меньшую массу или стоимость, достаточно широкую безрезонансную полосу частот. В общей проблеме проектирования механика деформируемого твердого тела рассматривает математические модели реальных элементов конструкций, характеризующиеся определенными параметрами. Ограничимся обзором работ, близких проблематике диссертации. Основным аппаратом решения задач оптимизации, изучения общих свойств оптимальных элементов конструкций является вариационное исчисление, как классическая его часть, так и современные теории — оптимальное управление, принцип максимума Л. С. Понтрягина, динамическое программирование работах В. А. Троицкого оно применено для исследования задач с функционалами, зависящими от променсуточных значений координат, с ограничениями на координаты, разрывными правыми частями. Б монографии irol показано применение теоретических исследований в приложении к поиску экстремальных характеристик различных колебательных систем и их элементов. Имеется большое число исследований, основанных на методах теории управления [38]. [13], ПОЗ]. Поиск оптимальных решений в большинстве случаев возможно вести только численно. На практике широко используются различные градиентные методы, метод малого параметра, метод осреднения, метод локальных вариаций Создание эффективных алгоритмов решения задач оптшлизации и их практическая реализация — важная проблема, которой посвящены многочисленные публикации [оJ [8г], [зг]. В настоящей работе используется теория функционалов в параметрической форме классического вариационного исчисления. Она применена для исследования функционалов, связанных с упругими криволинейными стержнями. Требование независшлос- 6 ти функционала от параметризации упругой линии позволило ввделить из уравнений Эйлера линейно независимые и поставить задачу оптимизации в замкнутом виде iSIJ. Для решения задачи оптимального проектирования элементов конструкций большое значение имеет выбор математических моделей этих элементов. Конкретизация модели проводится обычно на основании анализа соотношений мещду их размершли. Если два размера существенно меньше одного, можно использовать математическую модель тонкого стерЕНЯ если один размер существенно меньше двух других — математическую модель тонкой пластинки и оболочки [22]. М. Решение задач оптимизации для этих элементов позволяет описать общие свойства оптимальных, по тому или иному критерию, проектов, сравнить эффективность различных методов оптимизации, которые могут использоваться для проектирования сложных конструкций. Знание предельных оптиглальнык возможностей отдельных элементов помогает проектировщику правильно сформулировать требования к сложной конструкции, определяет критерии ее оценки и направление поиска оптимального решения. Вопросам оптимизации тонких упругих стержней в задачах статики посвящены многочисленные работы. В основном, рассматривались задачи оптимизаций стержней с фиксированной осевой линией по различным критериям качества. Общая постановка задачи проектирования оптимальных стержневых систем при статическом воздействии изучена в работе Ю. Б. Гольдштейна и М. А. Соломеща L23J. Авторы рассмотрели ограничения по прочности, жесткости, различные конструктивные ограничения. Исследованы как плоские, так и пространственные системы под действием произвольных статических воздействий. Приведены реше- ^ ния многочисленных примеров. Ряд публикаций посвящен оптимизации анизотропных свойств стержней о фиксированной осью [9] Л 34, [95]. Задача оптимизации формы поперечного сечения упругих стержней изучалась в работах Н. В. Банйчука В.М.Картвелишвили L32, J исследовал задачу оптимизации термоупругих тонкостенных стержней при больших углах закрутки. В качестве управляющей функции выбрана толщина стержня.В. В. Кобелев [33] изучал проблему минимизации веса балок из линейно-упругого материала, испытывающих конечные деформации при наличии ограничений по жесткости. Управляющей функцией также являлось распределение толщины. Значительное число работ посвящено проблеме устойчивости балок LDOJ, изучению поведения жестко-пластических балок, под действием силовой и импульсной нагрузки [39]. Меньшее число задач оптимизации решено для стержней с фиксированной криволинейной осью. Л. Б. Петухов изучал задачу минимизации веса тонкого упругого криводинеиного стержня при ограничении по прочности [59]. В качестве управления выбирался коэффициент подобия сечений по длине стержня, Получены численные результаты решения задачи для плоских и пространственных кривых стержней.Н. В. Банйчук рассмотрел задачу определения оптимальной толщины упругого плоского криволинейного стержня, жестко защемленного одним концом и находящегося под действием статических нагрузок L Й «На примере трехслойного стержня оценен выигрыш в жесткости оптимального стержня по сравнению со стержнем, имеющим постоянную толщину несущих слоев. Приведен пример расчета стержня, осевая линия которого имеет форму дуги окрукности, находящегося под действием сосредоточенной силы, прилокенной к свободному концу. В качестве минимизируемого функционала принята величина вертикального смещения свободного конца. Объем стеркня предполагался за, данным. Оптимальное проектирование упругих круговых трехслойных брусьев изучали такнсе И. Хуанг и СЯ. Шоу LooJ. Они проектировали конструкцию минимальной податливости, известного веса, управляя величиной площади несущих слоев. Приведены пршлеры оптимальных решений для разных случаев закрепления концов. Статически определенный круговой плоский брус рассмотрен Е. В. Бинкевичем и А. П. Даюбой [13]. Решалась задача минимизации объема однородного стеркня при ограничениях на нап' ряжения и перемещения. В качестве управления выбрана высота прямоугольного поперечного сечения. Приведены результаты численных расчетов. Менее изучен вопрос оптимизации осевого контура криволинейных стержней [ 8 3 ]. В основном, рассматривались плоские стержни. В книге [-lOj исследовалась оптшлальная форма консольного криволинейного стержня, находящегося под действием сосредоточенной силы на конце, В качестве функционала выбиралась величина смещения свободного конца в направлении действия силы. Разыскивались как функции, задающие форму оси (из С), так и толщина стержня (эта функция выбиралась из С). Приведены конкретные оптимальные решения для различных параметров. На примере рассмотренной задачи проиллюстрировано то обстоятельство, что увеличение числа управляющих функций не всегда усложняет решение задачи оптимизации. Иногда появляющиеся с ними дополнительные условия оптимальНОСТИ позволяют существенно упростить совокупность необходимых условий. Во втором и третьем разделах настоящей работы показано, как введение дополнительного управления (угла между осями натурального триэдра и осями инерции поперечного сечения стержня) позволило существенно упростить необходимые условия оптимальности в рассматриваемых задачах. Б диссертации А. Б. Черкаева [86] приведено подробное исследование форм оси оптимальных плоских консольных стеркней минимальной и максимальной Еесткости для разных видов нагрузки. Показано, что ось стержня минимальной жесткости имеет вид „петли“, т. е. существуют точки, где касательная к оси стержня параллельна линии действия сосредоточенной нагрузки. Наиболее жесткий стержень, длина которого превышает некоторую величину, характеризуется в оптимальном режиме изломом. „Лишняя“ длина распределяется вдоль линии действия силы, и стержень „складывается“ вдоль нее. Важной практической задаче оптимизации веса катушки электромагнитной системы установки ТОКМШС посвящена работа В. Б. Гринева, О. Л. Гарева и В. Л. Хавина [2^ J. Катушка моделируется в виде криволинейного стержня переменного радиуса кривизны, нагруженного пондеромоторными силами. Из условия минимума веса находится функция распределения радиуса кривизны. На оптимальное решение накладываются ограничения по прочности и ограничения на область, в которой должна находиться катушка, определяевше функциональным назначением катушки. Проведены численные расчеты для различных параметров внешнего нагружения и типичных условий закрепления. Остановимся на работах, в которых изучалась оптимизация формы стержней при свободных колебаниях. Здесь также вначале норассматривались задачи оптимизации для стеряней с фиксированной осью.Ф. И. Ниордсон разыскивал распределение толщины балки, доставляющее максимум основной частоте изгибных колебаний при фиксированном объеме [96]. Этой Ее за, даче посвящены работы Н. Ольхоффа [99], [т]. Оптимизацию стержней при изгибных колебаниях с учетом деформаций сдвига и инерции поворота без ограничений на варьируеьше параметры рассматривал М. Камат [93]. В. А. Троицкий изучал различные задачи оптимизации формы прямолинейных отеркней при продольных и поперечных колебаниях Рассматривались как задачи оптимизации собственных частот, так и различные задачи оптимизации для. стеркней с фиксированными собственными частотаг^ш. Наиболее полное излонсение результатов этих исследований содержится в монографиях. Приведены численные решения многочисленных примеров. Аналогичные исследования проводились В. Б. Гриневым и А. П. Филипповым. В монографии приведено подробное исследование задач оптимизации по спектру собственных значений для продольных, крутильнБК и изгибных колебаний. В некоторых случаях получены аналитические решения, доказана единственность решения. Проведены численные исследования различных примеров. Меньшее число работ посвящено задачам оптиьшзации криволинейных стержней при свободных колебаниях. Л^зучались, в основном, плоские стержни. Ряд авторов рассматривал криволинейные стержни с фиксированной осью, управляя размерами поперечного сечения. А. Б. Смирнов изучал задачу оптимизацииа собственных частот плоских колебаний стержня, имеющего Форму части кольца Lb9], Плоскую круговую арку минимального объема при фиксированной фундаментальной собственной частоте плоских колебаний проектировал К. Терманн Оптшлальное проектирование оси арки заданного поперечного сечения рассмотрели Р. Плаут и Н. Ольхофф Длина арки и пролет предполагались известными. Получено, что форма собственных колебаний, соответствующая задаче максимизации основной частоты собственных колебаний, может быть как симметричной, так и неситтетричной. Большое практической значение имеет оптшлизация форгш оси криволинейных стержней, совершающих свободные колебания LIS J. В диссертации В. М. Кузьменко освещены вопросы проектирования криволинейного трубопровода L3bj. в качестве глатематической модели выбрана теория тонких упругих криволинейных стержней. Форма оси плоского компенсатора выбирается из условия миншлума податливости, а оптимизация формы оценивается по низшей собственной частоте. Рассмотрены компенсаторы кусочно-постоянной кривизны, исследована зависимость низших частот от величины продольного размера, влияние предварительной нагрузки на собственные частоты. Проведено сравнение по частоте с традиционно используемыми на практике компенсаторами. В диссертации А. Б. Смирнова рассмотрена постановка и решение задачи определения гладкой формы изогнутой оси плоских стержней, имеющих экстремальные первые и вторые частоты собственных колебаний Криволинейные стержни изучались в рамках теории Кирхгофа. Отдельно рассмотрены колебания в плоскости стержня и колебания из нее. Управляющей функцией являлась кривизна изогнутой оси, на которую накладывалось ограничение в вдце двустороннего неравенства. Исследовались особые режимы управления, соответствующие прямолинейным участкам. Рассчитаны примеры форм плоских криволинейных стерЕней с шарнирным и жестким защегдлением обоих концов. Для пространственных стержней получены необходимые условия оптимальности. В качестве функций управления выбраны функции кривизны и кручения стержня с двусторонними ограничениями в виде неравенства. Исследование необходшлых условий оптшлальности .для пространственных гладких криволинейных стержней проведено также в Й. М. Волкова и В.С.Г^драмович численно исследовали задачу оптшлйзации оси плоского стержня, совершающего свободные колебания в той же постановке, но для другого случая закрепления концов L’loJ. Ставилось дополнительное ограничение на площадь фигуры, ограниченной осью стержня и линией, соединяющей концы. Задачам оптимизации подкрепленных пластин и оболочек также посвящено большое количество работ т, т. [9″. Ребра жесткости обычно составляют небольшую часть общего веса оболочки или пластины, однако оказывают сальное влияние на такие характеристики конструкции, как прочность, жесткость, частота собственных колебаний L62j, [65], [G6], [ЮО, ['102]. А. А. Хватцев рассматривал проектирование оболочки заданного веса, иглеющей экстремальные собственные частоты L8iJ и показал, что оптимальной является оболочка с ребрами, В задачах оптимизации собственных частот или упругой энергии для пластин негладкие распределения толщин получены в работах [98]. [^ 05], Показано, чтоагладкие распределения толщин стационарны, но не удовлетворяют условию Бейерштрасса сильного минимума. Поэтому естественно рассматривать пластину фиксированной толщины, подкрепленную ребрами жесткости. В работе А. М. Саглсонова рассмотрены различные задачи оптимизации пластин с ребрами кесткости. Получено необходимое условие оптимального полокения ребра на пластине, оптимального расположения кесткостей и соотношения размеров поперечного сечения ребра при минимизации различных интегральных функционалов. Рассмотрена также задача максимизации основной частоты собственных колебаний подкрепленной пластины. В задачах об оптшйальном подкреплении оболочек ребрами жесткости рассматривались, в основном, ребра известной формы известного расположения. Управление осуществлялось различными характернотикшли ребра. А. Н. Времичев и В. П. Печников рассчитывали на прочность цилиндрическую оболочку, подкрепленную шпангоутом ступенчато-переменной жесткости, нагруженную изгибающим моментом в плоскости шпангоута L2.9J, В. В. Ужва решал задачу выбора оптимальных параметров подкрепления цилидцрической оболочки в зоне сосредоточенного радиального воздействия LoUj. Целевой фушщией являлась величина объема материала, в качестве управления выбирались геометрические размеры подкрепляющего элемента. Ставились ограничения на прочность, жесткость и устойчивость конструкции. В работе' определялось оптимальное подкрепление цилиндрической оболочки под гидростатическим давлением при ограничениях по общей и местной устойчивости. Н*)В.П.Максименко изучал вопрос об определении миншлума веса дискретно подкрепленных цилиндрических оболочек под действием локальных нагрузок, прилоЕенных к криволинейному контуру Число ребер обоих направлений и их жесткости могли быть различными, а расстановка — регулярная и нерегулярная. Закон распределения нагрузки предполагался произвольным. Из приведенного краткого обзора видно, как с течением времени расширялся круг задач, связанных с проектированием оптимальных стержней и оптимальным подкреплением оболочечных элементов ребрами жесткости. Тем не менее, многие важные задачи, связанные с оптимизацией этих элементов, остаются недостаточно изученными или не рассматривались вовсе. Целью работы является исследование общих свойств задач оптимизации, связанных с проектированием оси криволинейных стержней по различным критериям качества, и проектированием подкрепления оболочек ребрами жесткости произвольной конфигурации. В частности: 1. Изучение функционалов от линий в параметрической форме, зависящих от вторьк производных функций, задающих кривую. Получение условия независимости функционала от параметрического представления кривой и следствий из него и использование их для исследования необходимых условий оптимальности кривой с угловыми точками.2. Исследование различных постановок задачи определения оси криволинейного стержня из условия экстремума потенциальной энергии упругой деформации. Доказательство теоремы существования решения в задаче оптимального управления. Применение результатов при решении конкретной задачи.3, Сравнительный анализ различных постановок задачи оптимального проектирования пространственных криволинейных стержней по критерию экстремума основной частоты собственных колебаний.4. Численное исследование поведения оптимальных форм оси упругих пространственных криволинейных стеркней и экстремальных частот от различных паршлетров задачи. Разработка пакета прикладных програмрл для расчета оптиглальных форм оси пространственных криволинейных стержней.5, Получение условий, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки с внутренними и граничными ребрами жесткости.6. Вывод и исследование необходимых условий оптимальности для разных типов ребер. Методы исследования. В работе используются методы теории вариационного исчисления, onTmianbHoro управления, численного решения краевых задач и задач на собственные значения, теории стержней П. Тимошенко, теории стержней, основанной на модели оснащенной кривой, теории оболочек, основанной на модели оснащенной поверхности, Научная новизна. В работе получено условие независимости функционалов от линий в параглетрической форме, зависящих от вторых и высших производных функций, задающих кривые, от параметризации, и следствия из него. Построена система линейно независимых условий оптимальности для кривой с угловыми точками. Рассмотрена постановка задачи как задачи оптимального управления. Получены необходимые условия оптимальности. Изучен вопрос о существовании решения. Приведены примеры гладких решений и решений с угловыми точками. Решена задача определения криволинейной оси пространственного стерЕсня из условия экстремума первой собственной частоты свободных колебаний для наиболее часто встречающихся на практике условий закрепления концов. Рассмотрена вариационная постановка задачи и задача оптимального управления, В качестве управления выбирался тензор поворота в неподвижной координатной системе осей системы координат, связанной с главными осями инерции поперечного сечения. Получены необходимые условия стационарности, проведено численное решение различных задач. Изучена зависимость решения от параметров задачи. Рассмотрен вопрос об оптшиальной форме внутренних и граничных ребер, подкрепляющих оболочку. Получены условия, описывающие напряженно-деформированное состояние подкрепленной оболочки в предположениях модели оснащенной поверхности для оболочки и оснащенной кривой для стержня. Изучены необходимые условия стационарности в задаче оптимизации формы и расположения разного типа ребер из условия экстремума потенциальной энергии упругой деформации оболочки с ребрами. Предполагалось, что ребра жестко спаяны с оболочкой, и главная нормаль к оснащенной поверхности совпадает с одной из главных осей инерции поперечного сечения стержня в кавдой точке оси. Практическая ценность работы заключается в том, что ее результаты мокно использовать при проектировании пространственных криволинейных стеркней и подкрепленных оболочек по различным критериям качества. Проведено теоретическое изучение различных постановок задач, связанных с упругигда линиями, решен ряд конкретных, практически важных за, дач. Построен э ^ фективный численный алгоритм. Разработан пакет прикладных програ^ лм для ЭМ EG-I022.Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложения и списка литературы (107 наименований). Содеркит 2 таблицы и 23 рисунка. Основное содержание составляет 124 ' страницы машинописного текста. В приложении приведены материалы о внедрении результатов работы. В первом разделе изучается задача вариационного исчисления в параглетрической форме для функционалов, зависящих от вторых и высших производных LJiJ, Необходшлость исследования таких функционалов возникает в задачах оптимизации, связанных с пространственными упругшш криволинейныгли стержнями. Сформулирована и доказана теорема, отражающая необходимое и достаточное условие независимости функционала, зависящего от вторых производных, от параметрического представления кривой, и три следствия из нее, два из которых аналогичны имеющимся в классической теории для функционалов, зависящих от первых производных, а третье является дополнительным для функционалов, зависящих от вторых производных, Получены и исследованы необходимые условия стационарности функционала в классе кусочно-гладких кривых. Анализ иеобходиiSглых условий оптимальности с учетом следствий из условия независтюоти |:ункционала от параметризации кривой позволяет выделить систему линейно независигшх условий, показать, как следует выбирать параметрическое представление кривой. Рассматривается основная за, цача вариационного. исчисления в естественном базисе кривой. Доказывается необходимое и достаточное условие независимости от параметризации и следствия из него для функционалов, зависящих от производных порядка т > 2 — функций, за, дающих кривую. Второй раздел посвящен изучению задачи об определении формы оси пространственного криволинейного стержня, имеющего минимальную (максимальную) потенциальную энергию упругой деформации L5″ 2J, Используется представление стеркня как оснащенной кривой. Сформулированы две вариационные постановки задачи оптимизации: для случая произвольного располокения главной нормали и бинормали относительно главных осей инерции поперечного сечения (задача_ ig) и случая совпадения их Б каждой точке оси (задача !!{,), Кроме того, задача оптршизации сформулирована в терминах теории оптимального управления (задача iy). Выводятся необходимые условия оптимальности в за, цачах i^ и iJg и проводится анализ их как задач вариационного исчисления в параметрической форме для функционалов, зависящих от вторых производных. Выводится система необходимых условий оптимальности в задаче управления, Исследуется вопрос существования оптимального решения с помощью построения расщепленной задачи [55]. Приведены пршлеры оптшлальяых криволинейных стержней, полученные при решении конкретной задачи оптимизации формы оси. Построено гладкое решение и решения с угловыми точками. Б третьем разделе проводится анализ формы оси пространственных криволинейных стержней, имеющих максимальное (или минимальное) значение основной частоты собственных колебаний. Рассматриваются стержни в рамках теории П. Тимошенко со следующими типами закрепления концов: а) заделка на обоих концахб) заделка и свободный конецв) опора и скользящая заделкаг) опора и заделкад) скользящая заделка и заделка. Для задач i g, Ц g справедливы выводы, полученные при изучении общей постановки задачи вариационного исчисления в параметрической форме в первом разделе. Численно исследуются оптимадьные формы стержней для указанных выше типов закрепления концов, соответствующие максимальной и минимальной основной собственной частоте при различных изопершлетрических ограничениях. Получено, что в задаче минимизации основной собственной частоты оптимальные формы — плоские, стержни совершают изгибные колебания. В задаче максшлизации оптиглальные формы оси — пространственные линии, колебания носят сложный характер. Б четвертом разделе проводится аналитическое исследование задачи об оптимальном подкреплении оболочки ребрами жесткости произвольной форлш. Оболочка рассматривается в рамках теориигооснащенной поверхности, ребра — в рамках теории оснащенной кривой. Ввиду многообразия случаев, рассмотрение ограничено тремя типами ребер: загжнутым внутренним ребром, незамкнутым внутренним ребром с концами на граничном контуре и граничным ребром, лежащим на части контура, где заданы векторы распределенных усилий и моментов. Считается, что ребра нестко спаяны с оболочкой и не пересекаются мевду собой. Исходя из принципа миншлума потенциальной энергии, для подкрепленной оболочки выводятся условия на ребрах. Ставится задача поиска такой формы и расположения ребер указанного типа, что потенциальная энергия упругой деформации подкрепленной оболочки имеет экстремальное значение. При этом накладывается следующее ограничение: одна из главных осей инерции поперечного сечения ребра должна совпадать с нормалью к оболочке в канщой точке оси. Показано, что сформулированная за^ дача также относится к задачам вариационного исчисления в параметрической форме для функционалов, зависящих от вторых производных. Построены необходимые условия оптимальности и проведен их анализ Основные результаты работы доложены и обсуждены на семинаре-совещании молодых ученых „Оптимизация конструкций при динамических нагрузках“ в г. Тарту (1982 г.), на I Всесоюзном семинаре-совещании „Проблемы оптимизации в машиностроении“ в г. Харькове (1982 г.), на 1У Всесоюзной конференции „Оптимальное управление в механических системах“ впМоскве {1982г.), на семинаре по оптиглизации конструкций и механических систем под руководством Н. В. Баничука в Институте проблем механики АН СССР, на научном семинаре кафедры „Вычислительная математика“ ЛПИ им. М. И. Калинина. I, ЗАДДЧА. ВАРШЩИОННОГО ИСЧРКШЕНШ В 11АРМ1ЕТР1ШСК0Й ФОРМЕ ДНЯ ФУНКЦИОНАЛОВ, ЗАВИОШЩ ОТ ВТОРЫК И ' ВЫСШИХ ПРОШВОДНЬК в задачах оптимизации, связанных с упругими криволинейными стержнями, возникает необходиглость исследования функционалов, зависящих от вторых производных функций, задающих кривую. Классическая теория рассматривает основную задачу вариационного исчисления в параметрической форме для функционалов, зависящих от первых производных этих функций иН]^ в книге Больца o/'Lectuites on Иге colzidas of vatiatloris», C/iicajo, t/ie UfiLvezsit^ of СЯбсадо pzesj, 1904, имеется подстрочное примечание на с. 119 о том, что условие независимости от параглетризации для функционалов, зависящих от высших производных, получены Цермелло в его диссертации (2etmeEEo, 2c. ssextatLon^ p.p.Z-2,3). Вид условий и следствия из шк не приводятся. Поэтому в настоящем разделе эти условия получены и использованы для исследования основной задачи вариационного исчисления в параглетрической форме для соответствующих функционалов.
Основные результаты работы заключаются в следующем:
1. Рассмотрены функционалы в параметрической форме, зависящие от вторых производных функций, задающих кривую. Именно к таким функционалам приводят задачи оптимизации, связанные с пространственными криволинейными стержнями. Получено условие независимости функционала от параметрического представления кривой и следствия из него. Изучение системы необходимых условий для основной задачи вариационного исчисления в классе кусочно-гладких кривых с использованием этих следствий позволило выделить систему линейно независимых условий, сформулировать требование к параметрическому представлению оптимальной кривой так, чтобы система необходимых условий была замкнутой относительно числа уравнений и условии. Показано, что в естественном базисе кривой одно из уравнении Эйлера тождественно равно нулю, оставшиеся уравнения Эйлера линейно независимы. Получено условие независимости от параметризации и следствия из него для функционалов, зависящих от производных порядка Ггъ 7 Z функций, задающих кривую.
2. Сформулированы две вариационные постановки задачи оптимизации потенциальной энергии упругой деформации пространственного криволинейного стержня в рамках теории оснащенной кривой. Получена система необходимых условии оптимальности для кусочно-гладких кривых, проведен анализ этих задач с учетом результатов, полученных для общей постановки задачи оптимизации в параметрической форме. Сформулирована задача в терминах теории оптимального управления. Построена система необходимых условий, исследован вопрос о существовании оптимального решения. Решена конкретная задача. Цриведены примеры оптимального гладкого решения и решений с угловыми точками.
3. Рассмотрены две вариационные постановки задачи оптимизации основной частоты собственных колебаний пространственных криволинейных стержней С. П. Тимошенко. Проведен аналитический анализ этих задач как задач вариационного исчисления в параметрической форме для функционалов, зависящих от вторых производных, доказана их самосопряженность. Сформулирована задача оптимального управления. Построен алгоритм численного решения задач максимизации и минимизации для наиболее часто встречающихся на практике случаев закрепления концов. Численно получены конкретные формы оптимальных криволинейных стержней. Проведен численный анализ зависимости оптимальных решений от параметров задач.
4. Составлен пакет прикладных программ по расчету основной собственной частоты пространственных криволинейных стержней с произвольной формой оси и расчету оптимальных форм оси криволинейных стержней по критерию максимума (минимума) основной собственной частоты с учетом различных изопериметри-ческих ограничений и различных условий закрепления концов.
5. Проведено аналитическое исследование задачи об оптимальном подкреплении оболочки ребрами жесткости произвольной формы. Эта задача также может рассматриваться как задача вариационного исчисления в параметрической форме для функционалов, зависящих от вторых производных. Оболочка рассматривалась в рамках теории оснащенной поверхности, ребра — в рамках теории оснащенной кривой. Для подкрепленной оболочки получены условия на ребрах трех типов: замкнутом внутреннем ребре, незамкнутом внутреннем ребре, граничном ребре. Получены необходимые условия стационарности функционала в задаче о минимуме потенциальной энергии упругой деформации подкрепленной оболочки при следующем конструктивном ограничении: одна из главных осей инерции поперечного сечения каждого ребра должна совпадать с направлением нормали к оболочке в каждой точке оси.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
