Дифференциальные уравнения и системы

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра программного обеспечения информационных технологий Факультет ФНиДО Специальность ПОИТ

Контрольная работа № 7

по дисциплине «Высшая математика»

Тема работы: «Дифференциальные уравнения и системы»

Выполнил студент: Добровольский Е.А.

группа 1 021

Зачетная книжка № 1 021−23

Минск 2011

Задача 303

Найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Решение:

Ответ:

Задача 313

Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Решение:

Решим систему уравнений:

Полагаем:

Положим:

Искомое общее решение дифуравнения:

Ответ:

Задача 323

Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка:

Решение:

Введем обозначения:

Положим

Примем:

Общее решение дифуравнения:

Найдем частное решение при заданных начальных условиях:

Искомое частное решение:

Ответ:

Задача 323

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Решение:

y'' - y' = 9x — однородное уравнение, y (0) = 0, y'(0) = 1

лІ - л = 0

= 0 = 1

Общее решение y = +

Частное решение ищем в виде:

= (Ax + B)

(y*)' = A + 2(Ax + B) = (2Ax + A + 2B)

(y*)'' = 2A

4Ax + 4B + 4A — 2Ax — A — 2B = 9x

x | 2A = 9 => A=4,5

|2B + 3A = 0 => B = -1,5A = -6,75

y* = (4,5x — 6,75)

y= + + (4,5x — 6,75)

используем начальные условия:

y (0) = +

y' = + 2(4,5x — 6,75) + 4,5

y'(0) = - 13,5 +4,5 = -5 =>

y = 2,75 + 4

Ответ: y = 2,75 + 4

Задача 353

дифференциальное уравнение матрица эйлер

Найти общее решение системы уравнений (рекомендуем решать с помощью характеристического уравнения).

Решение:

Применим метод Эйлера. Запишем систему в матричной форме:

Будем искать частное решение в виде где — константы. Составляем характеристическое уравнение матрицы системы (E-единичная матрица n-го порядка):

Находим из системы уравнений:

А) При получаем Положив, получим. Таким образом, характеристическому числу соответствует частное решение

Б) При получаем Положив получим Таким образом, характеристическому числу соответствует частное решение .

Общее решение системы находим как линейную комбинацию полученных частных решений, т. е.

Ответ: