Методы и алгоритмы определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных подкрепленных конструкций вращения из нелинейно-упругого материала

Осесимметричные оболочечные конструкции широко используются в различных областях современной техники. Примерами осесимметричных оболочеч-ных конструкций (рис. 1.1−1.2) являются: несущие конструкции ракет и космических аппаратовкорпуса ракет и ракетных двигателей, топливных баковсильфо-ны, компенсаторы, трубопроводынесущие конструкции атомных реакторовсосуды высокого давления, центрифугихимические аппараты, теплообменникидоменные печи, воздухонагреватели, пылеуловители, аппараты газоочисткинефтеи бензохранилища, цистерны, газгольдерыразличные строительные сооружения, купола и т. д.

Рис. 1.2.

Исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) таких конструкций, когда материал, из которых они изготовлены, работает за пределами упругости, является одной из важнейших проблем механики деформируемого твердого тела и является предметом рассмотрения настоящей работы.

1.1. Краткий обзор существующих методов алгоритмов решения.

Рассмотрим кратко состояние вопроса в свете обозначенной выше проблемы механики деформированного твердого тела. Сразу отметим, что приводимый ниже обзор подчинен интересам настоящей диссертационной работы и не претендует на полноту.

Модели деформирования оболочек. Задача определения НДС тонкой упругой оболочки может быть поставлена как трехмерная краевая задача.

Введение

системы некоторых кинематических гипотез позволяет свести трехмерную задачу математической теории упругости к двумерной задаче теории тонких оболочек.

Вариационный принцип Лагранжа с помощью формальных преобразований позволяет получить уравнения равновесия и статические граничные условия. Погрешность этих уравнений и граничных условий при этом имеет тот же порядок, что и погрешность вводимых кинематических гипотез.

Простейшими кинематическими гипотезами являются гипотезы Киргофа-Лява. На основе этих гипотез, применив вариационный принцип Лагранжа, В. В. Новожилов получил простейший вариант геометрически нелинейных уравнений теории оболочек в квадратичном приближении [14]. Попытку уточнить вариант В. В. Новожилова предпринял Л. А. Шаповалов в работе [109]. Развитием работы [109] явилась статья [110]. В отличие от квадратичного варианта нелинейной теории предположения о малости деформаций срединной поверхности справедливы, а ограничения на углы поворота снимаются. Рассматриваются точные выражения для коэффициентов первой и второй квадратичных форм деформирования срединной поверхности.

Погрешность модели, построенной на основе гипотез Киргофа-Лява, возрастает с увеличением отношения доли энергии деформаций поперечного сдвига, к полной энергии оболочки. В большей степени эта погрешность проявляется в оболочках с низкой сдвиговой жесткостью в поперечных направлениях.

Вопросы уточнения классических теорий пластин и оболочек обсуждаются в обзорной монографии Э. И. Григолюка и И. Т. Селезова [34].

Деформационная модель С. П. Тимошенко позволяет учитывать сдвиги в поперечных к координатной поверхности оболочки сечениях.

Среди неклассических кинематических моделей, используемых для многослойных оболочек, распространение получила модель ломанной линии, предложенная Э. И. Грюголюком [33]. Нелинейные уравнения многослойных оболочек, основанные на этой модели, получены в работах Н. А. Алфутова, П. А. Зиновьева и Б. Г. Попова [4], В. В. Болотина и Ю. Н. Новичкова [12], Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова [35], Я. М. Григоренко и А. Т. Василенко [39], и ряда других исследователей.

К неклассическим моделям деформирования оболочек относятся также модели, учитывающие изменение параметров Ламе оболочки по толщине при вычислении жесткостных характеристик поперечного сечения. Учет изменения параметров Ламе оболочки по толщине в рамках гипотез Киргофа-Лява проведен в работе Д. В. Бичиашвили [6], а в рамках гипотез Тимошенко — в работах В. В. Васильева и А. Ф. Разина [22], Ь. ПЬгевси [127], Р.М.^1кН [130].

Развернутый анализ различных вариантов геометрически нелинейной теории оболочек можно найти в обзорной работе Петрашкевича [133], а также в работах И. Г. Терегулова [97], Я. М. Григоренко [38], Я. М. Григоренко и В. И. Гуляева [43].

Методы решения. Следует отметить, что развитие нелинейной теории оболочек опережало ее практическую реализацию. Это связано со значительными трудностями, возникающими при интегрировании уравнений геометрически нелинейной теории оболочек. В работах П. Ф. Папковича [78], В. И. Феодосьева [101] изложены основы решения геометрически нелинейных задач теории пластин и оболочек. На протяжении долгого времени основным методом исследования был метод П. Ф. Папковича. Идея этого метода заключается в следующем. Приближенное аналитическое решение находится путем построения разложений функций прогиба. Функция усилий определяется в результате интегрирования уравнений совместности деформаций. Далее применяется метод Бубнова-Галеркина. Из-за сложности аналитических выражений решение на основе этого метода получали в основном лишь в первых приближениях.

Традиционные методы не позволяли исследовать деформирование оболочек произвольного очертания, различные варианты граничных условий, комбинированное действие нагрузок. Решающий сдвиг в развитии расчетных методов связан с применением ЭВМ. Нелинейные решения были получены методом Бубнова-Галеркина в более высоких приближениях. Спектр решаемых задач значительно расширился. При решении линейных задач теории оболочек наибольшее распространение получили такие универсальные и эффективные численные методы, как метод численного интегрирования (МЧИ), метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Эти методы также используются при решении нелинейных задач теории оболочек.

В настоящей работе будем рассматривать лишь те методы, которые наиболее эффективны при решении краевых задач для оболочек вращения.

В МКР одномерная краевая задача теории оболочек сводится к решению линейной или нелинейной системы алгебраических уравнений с помощью замены системы дифференциальных операторов континуальной краевой задачи их разностными аналогами [56, 99, 118, 134 и др.]. В результате процедура решения сложных систем дифференциальных уравнений заменяется решением систем алгебраических уравнений с ленточной структурой. Недостатком МКР является необходимость формулировки исходной краевой задачи в перемещениях, что приводит к сложным соотношениям, если геометрические и механические характеристики зависят от координаты вдоль образующей оболочки. При расчете сложных конструкций затруднена формулировка условий совместной работы составляющих элементов.

Универсальным численным методом, применяемым для решения краевых задач теории оболочек, является МКЭ. Если МКР аппроксимирует дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи конечно-разностными уравнениями, то МКЭ связан с приближенной минимизацией функционала той же задачи в вариационной постановке. Основная идея этого метода заключается в возможности построения решения в подобластях конечных размеров, именуемых конечными элементами. Непрерывные функции, описывающие геометрические и физические характеристики, заменяются приближенными функциями, гладкими в пределах конечного элемента. Условия стыковки соседних элементов требуют выполнения главных граничных условий соответствующей вариационной задачи. В итоге исходные дифференциальные уравнения сводятся к системе линейных или нелинейных алгебраических уравнений.

Первые работы, в которых МКЭ применялся для анализа геометрически нелинейного деформирования тонких оболочек, появились во второй половине 1960;х годов. Рассматривались в основном оболочки простой геометрической формы: осесимметричные [135], цилиндрические [126], пологие [117]. При этом предполагалось, что существенными являются лишь нелинейности, связанные с поворотами координатных линий оболочки. В настоящее время достигнуты значительные успехи как в развитии теории, так и в практической реализации МКЭ в виде прикладных программ для ЭВМ [1, 4, 5, 13, 26, 29, 32, 54, 59, 62, 77, 82, 87, 88−89, 111, 114−116, 120, 122, 125, 132, 136, 138−139 и др.]. Обзор отечественных и зарубежных прикладных программ можно найти в [32, 82, 112, 131].

Методы численного интегрирования широко используются при решении краевых задач, приводимых к одномерным задачам. Решение краевой задачи сводится к решению системы задач Коши с некоторым числом неопределенных параметров, определяемых из граничных условий в конце интервала интегрирования.

Любую краевую задачу теории осесимметричных оболочек всегда можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. МЧИ эффективно применялся для решения одномерных задач, которые возникают при анализе осесимметричных оболочек под действием осеи неосесимметричных нагрузок [20, 53, 128−129].

Проблемы реализации МЧИ возникают при наличии в решениях исходных уравнений быстро возрастающих и быстро убывающих членов. Увеличение интервала интегрирования и аргумента вызывают потерю убывающих составляющих. В результате — быстрая потеря точности. Разработаны эффективные методы, устраняющие эти недостатки. Наиболее популярным стал метод ортогонализации с ортонормированием в промежуточных точках, предложенный С. К. Годуновым [30]. Метод С. К. Годунова не требует большой оперативной памяти ЭВМ, а существующие методы численного интегрирования (методы Рунге-Кутта, Кутта-Мерсона, Фелберга, Дормана-Принса и др.) [104] позволяют получать решение краевой задачи с очень высокой, в принципе, с машинной точностью. Возможности повышения эффективности метода С. К. Годунова рассматриваются в работах [23−24].

Многочисленные исследования МЧИ в работах В. И. Мяченкова, Я. М. Григоренко, А. Н. Фролова, В. П. Мальцева и др. [21, 37, 39−42, 44−47, 64−65, 92, 103, 108 и др.] помогли довести его до универсального вида. Это позволило с успехом использовать МЧИ для расчета оболочек вращения, призматических оболочек и конструкций, составленных из них. Одним из наиболее удачных результатов этих исследований явилась разработка интегрированной системы КИПР-ЕС, описание которой дано в [86].

Решение нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек получают с помощью того или иного итерационного процесса. По мнению Я. М. Григоренко и В. И. Гуляева [43], наиболее распространенным (особенно на ранней стадии развития нелинейной теории оболочек) является метод простой итерации. Авторы [43], отмечая удобство применения метода, указывают на то, что данный метод сходится лишь в случаях малой нелинейности, когда искомое решение строится в окрестности регулярного исходного, ненапряженного состояния оболочки, удаленного от особых точек. Для решения нелинейных задач теории оболочек в области регулярных состояний широко используются другие локальные алгоритмы — метод малого параметра, метод последовательных приближений, метод Ньютона-Канторовича [25,78].

Анализ и сравнительные оценки различных методов последовательных приближений даны в монографии Я. М. Григоренко и А. П. Мукоеда [45].

Наиболее популярным методом решения нелинейных уравнений теории оболочек является метод Ньютона, также часто называемый методом касательных, примеры успешного применения которого можно найти [61, 92, 96, 103, 123, 137]. Стандартная схема применения этого метода предполагает построение линеаризованного оператора на каждом шаге итерации. Начальным приближением в этом случае, как правило, является решение соответствующей линейной задачи. Существуют различные модификации метода Ньютона.

Наряду с перечисленными методами решениями задач теории оболочек нашли применение также метод последовательных нагружений [54, 79], метод продолжения по параметру [36, 45].

При решении нелинейных краевых задач теории оболочек используются также различные комбинации упомянутых методов, шаговый метод в форме.

В.И.Феодосьева [101], метод «стрельбы» [18−19], асимптотический метод [12, 45], метод коллокаций [93] и др.

Обзор и анализ методов решения краевых задач теории оболочек можно найти в работах [43, 45].

Необходимо отметить, что в настоящей работе для решения задач статики осесимметричных оболочечных конструкции из нелинейно-упругого материала используются метод Ньютона и метод упругих решений.

Метод Ньютона по своей природе является приближенным, хотя и очень точным методом решения нелинейных задач теории оболочек. Суть метода Ньютона заключается в том, что по исходному «первому» приближению находят «второе», более точное, проводя касательную к диаграмме растяжения образцов. Повторяя в случае необходимости этот процесс, получают все более и более точные приближения, при условии, что производная функции монотонна и сохраняет свой знак. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Другим рассматриваемым приближенным методом решения нелинейных задач теории оболочек является метод последовательных приближений, предложенный А. А. Ильюшиным и называемый в теории пластичности методом упругих решений [2]. Суть данного метода заключается в рассмотрении последовательности линейных задач теории упругости, решения которых с увеличением порядкового номера сходятся к решению нелинейной задачи. Итерационный процесс также продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Известны различные модификации метода упругих решений. Остановимся на двух из них: методе упругих решений в форме дополнительных нагрузок и методе упругих решений в форме переменных параметров упругости.

В первом случае появление пластических деформаций учитывается введением некоторых фиктивных дополнительных объемных и поверхностных нагрузок, во втором — изменением модуля упругости и коэффициента Пуассона, которые являются в каждом приближении функциями пространственных координат.

Сравнение скорости сходимости перечисленных методов можно проиллюстрировать на простом примере.

Пусть задана диаграмма растяжения материала и задано напряжение ад. Задача состоит в определении деформации £д, возникающей при этом напряжении.

Схема итерационного процесса, соответствующая методу упругих решений изображена на рис. 1.3- - методу переменных параметров упругости — на рис. 1.4- -методу Ньютона — на рис. 1.5.

Рис. 1.3.

Л.

1 1 г.

О ^ е2 е3 е0 е.

Рис. 1.4.

Существующие программные комплексы для расчета оболочек и обо-лочечных конструкций. В расчетную практику все активнее внедряются автоматизированные системы проектирования, ориентированные на использование ЭВМ. Программные комплексы, предназначенные для расчета оболочек и оболочечных конструкций, являются важной составляющей таких систем. Существуют как универсальные, так и специализированные программные комплексы. Дадим краткое описание некоторых из них.

Рис. 1.5.

Наиболее удачными программными комплексами решения задач статики и динамики оболочечных конструкций можно считать комплексы, разработанные в начале 70-х годов в Институте Механики АН УССР [37] и в ЦНИИМашинострое-ния [64, 94]. Эти комплексы программ в качестве базового метода расчета используют метод ортогональной прогонки С. К. Годунова и уравнения оболочек в форме В. В. Новожилова [76]. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке АЛГОЛ-60 и ориентированы на использование ЭВМ БЭСМ-6.

Описание программного комплекса решения задач статики и динамики осе-симметричных и призматических оболочечных конструкций, реализованного на алгоритмическом языке ПЛ-1 и ориентированного на ЕС ЭВМ, опубликовано в монографии [65].

В [28] дано описание комплекса программ на языке ФОРТРАН ЕС ЭВМ. Используются разработанные авторами указанных работ алгоритмы численного решения нелинейных задач осесимметричного изгиба, неосесимметричной потери устойчивости оболочек вращения на основе канонических систем уравнений в сочетании с шаговым методом по параметру интегрального прогиба, методами линеаризации и ортогональной прогонки.

В [106] сообщается о разработке пакета прикладных программ РАФИНОК, предназначенного для упругопластического расчета непологих оболочек с определенного вида геометрией базисной поверхности (цилиндрических, сферических, конических, тороидальных и др.), имеющих конструктивные особенности (ребра жесткости, отверстия, переменную толщину, произвольные граничные условия, произвольную диаграмму деформирования).

В [81] представлен комплекс программ расчета НДС составной композитной оболочечной конструкции в условиях статического и динамического нагружения. Реализуется метод суперэлементов с одним уровнем вложения. Объекты расчета: конструкции, включающие одну или две вложенные конусоцилиндрические оболочки с произвольными направляющими, поперечные диски и пластины, кольцевые и продольные ребра жесткости, сосредоточенные массы.

В [48] представлены методические основы разработки программного комплекса расчета тонких непологих анизотропных неоднородных (в том числе ребристых) оболочек переменной кривизны и толщины. Дано описание программы PANEL, предназначенной для линейного расчета оболочек на действие статических нагрузок. Реализуется вариационно-разностный метод расчета оболочек в форме метода конечных разностей.

В [91 ] описана методика и вычислительная программа на языке Фортран 77 для персонального компьютера с процессором 386/486, предназначенные для расчета НДС оболочечных конструкций сложной пространственной геометрии методом конечных элементов. Программа может быть использована для расчета оболочек, корпусов ядерных реакторов, парогенераторов.

В [98] содержится характеристика программного обеспечения расчета на прочность многослойных композитных оболочек вращения. Решаются задачи расчета автомобильных шин, нагруженных внутренним давлением.

В [57] дано описание программного комплекса «ДИПРОС», предназначенного для выполнения статических, динамических и оптимизационных расчетов сложных пластинчато-оболочечных пространственных конструкций на основе МКЭ.

В пакете прикладных программ OASIS [124] используется нетрадиционный вариант применения метода конечных элементов для расчета оболочек вращения. НДС оболочки рассматривается как сумма основного состояния и краевого эффекта. Краевые эффекты описываются асимптотическими решениями в замкнутой форме. Анализ ограничивается осесимметричными деформациями. Учитываются температурные воздействия на многослойные оболочки. Возможны расчет сопряжения оболочек через упругое кольцо и определение критических нагрузок.

Программный комплекс FEMAP [75] производства фирмы Structural Development and Research Corp. (SDRC) — одна из самых известных разработок в классе программных комплексов для прочностных расчетов методом конечных элементов. FEMAP является универсальным инструментом для конечно-элементного моделирования.

В FEMAP рассматриваются следующие типы материалов: изотропные, нелинейно-упругие, билинейные, пластичные и композитные материалы, а также материалы, заданные пользователем. FEMAP позволяет проводить линейный статический анализ, в т. ч. с учетом упрочнения в материалерасчет собственных частот и форм колебаний и устойчивостистационарный анализ теплопроводности, в т. ч. для материалов с нелинейной зависимостью свойств от температуры и др.

FEMAP напрямую взаимодействует практически с любой из современных САПР, таких как AutoCAD, Solidworks, Pro/Engineer, CATIA и др., благодаря широкой поддержки форматов.

Аналитический конечно-элементный комплекс ANSYS [113] в настоящее время является одной из программ, обладающих функциональной полнотой и содержащих в своей среде все необходимые для работы расчетчика средства. В состав ANSYS включена библиотека конечных элементов, содержащая в своем составе более 100 элементов. Данные элементы предназначены для решения статических и динамических задач прочности в линейной и нелинейной постановках, а также задач теплофизики, теории поля, гидрогазодинамики в различных постановках.

Программный комплекс Structure CAD (SCAD) [17] предназначен для определения и оценки напряженно-деформированного состояния конструкций с использованием метода конечных элементов.

В SCAD реализована связь с программами формирования и расчета геометрических характеристик сечений, такими как «Конструктор сечений», «Консул», «Тонус». Экспорт таблиц с исходными данными и результатами расчета осуществляется с использованием Microsoft Word и Microsoft Excel.

Входными данными для SCAD являются геометрические характеристики расчетной схемы, характеристики материалов, нагрузки, условия закрепления, выходными — результаты расчета, представленные в графическом и табличном видах.

Программная система COMPAS S (COMPuter-aided Analysis and Synthesis for bearing Structures) [7], предназначена для прочностных расчетов и оптимального проектирования широкого класса конструкций, используемых в различных областях техники. В системе COMPAS S реализуется концепция, основанная на применении двух классов универсальных численных методов — метода конечных элементов для расчета конструкций и методов нелинейного математического программирования для поиска оптимального (или рационального) решения. Система предоставляет средства «Компьютерного Анализа и Синтеза несущих конструкций» -такой смысл заложен в её названии.

Cosmos/DesignSTAR [121] является мощным программным комплексом для конечно-элементного анализа состояния элементов конструкции. Круг решаемых задач охватывает механику деформируемого твердого тела, стационарные и переходные тепловые процессы, низкочастотные электромагнитные явления и динамику текучих сред, вопросы устойчивости и резонанса механических систем.

В данном подразделе приведено описание программ и программных комплексов, в той или иной степени учитывающих специфику объекта исследования, а именно оболочек и оболочечных конструкций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В настоящей диссертационной работе решена задача об определении напряженно-деформированного состояния осесимметричных оболочечных конструкций из нелинейно-упругого материала при действии осесимметричных погонных и поверхностных нагрузок, нагреве по произвольному закону и действии сил инерции вращения конструкции вокруг оси и перегрузок, направленных вдоль оси вращения. В основу решения положен метод упругих решений.

В процессе решения этой задачи получены следующие новые научные и практические результаты:

— проведена корректная линеаризация физических соотношений теории оболочек, «вафельных» подкреплений и «трубчатых оболочек» с учетом действия температуры (в основу линеаризации физических соотношений положен метод упругих решений);

— проведена корректная линеаризация физических соотношений «вафельных» подкреплений и «трубчатых оболочек» с учетом действия температуры (в основу линеаризации физических соотношений положен метод Ньютона);

— разработан численный алгоритм определения осесимметричного напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций из нелинейно-упругого материала при совместном действии силовых и температурных нагрузок;

— разработанный численный алгоритм реализован в виде эффективной с точки зрения вычислительных затрат программы СШ)21 (для оболочек, «вафельных» подкреплений и «трубчатых» оболочек — метод упругих решений) и в виде модернизированной программы СШ)20 (для «вафельных» подкреплений и «трубчатых» оболочек — метод Ньютона).

— программа СШ)21 включена в состав ПРОЦЕССОРА интегрированной системы КИПР-1ВМ;

— 110- стандартными приемами обоснована достоверность результатов получас' мых с помощью разработанной программы СШ)21 и модифицированной программы СШ)20;

— проведен расчет конкретных конструкций образцов новой техники и анализ полученных результатов расчета.

Основные положения настоящей работы изложены в статьях [140, 142−145].