Большие прогибы жесткопластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения при действии давления с учетом предварительного напряжения и краевых моментов

Одной из первоочередных задач развития народного хозяйства страны на современном этапе является экономное потребление материально-технических средств. Бурный рост объема строительства в связи с поставленной задачей требует создания новых типов прочных и в то же время экономичных конструкций, повышения эффективности технологии производства, совершенствования существующих и создания новых методов расчета строительных конструкций.

В современном промышленном и гражданском строительстве, машиностроении, судостроении и многих других отраслях народного хозяйства широко используются такие тонкостенные конструкции, как круглые пластинки и пологие оболочки вращения. Для определения более реального поведения этих конструкций и правильной оценки их ресурсов прочности необходим учет пластических деформаций.

Расчет оболочек и пластинок с учетом пластических деформаций, основанный на модели жесткопластического тела, является наиболее простым (по сравнению с упругопластической моделью) и дает результаты вполне приемлемые практически.

Дополнительные резервы несущей способности конструкций могут быть выявлены в результате исследования геометрически нелинейного деформирования конструкций.

Учет геометрической нелинейности является важным в практике расчетов и проектирования конструкций. Допустимость решений подобных задач в предположении малости перемещений строго неопределенна, а имеющиеся данные и физические соображении позволяют утверждать, что большие перемещения при этом являются реально достижимыми. Достаточно указать на конструкции металлических резервуаров, трубопроводов с заглушками, элементов химической аппаратуры, на конструкции в виде пластин и оболочек, испытывающих воздействия большой интенсивности. В связи с вышеизложенным, тема диссертационной работы, является актуальной.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе обсуждаются состояние вопроса и постановка задач о расчете конструкций с учетом физической и геометрической нелинейностей. § 1.1. посвящен обзору литературы, в § 1.2. излагаются основные геометрические и физические соотношения, граничные условия, исходные соотношения теории идеально пластических систем, соотношения между разрывами.

Во второй и третьей главах разрабатывается методика построения аналитических решений, описывающих поведение жесткопластических конструкций при больших прогибах. В § II. 1. рассматривается однослойная жесткопластическая предварительно напряженная круглая пластинка с шарнирным опиранием при равномерно распределенной нагрузке и краевых моментах. Решение обобщается на случай пластинки с шарнирно неподвижным краем и краевыми моментамив § II.2.-для шарнирно подвижного опирания края и краевых моментах.

В главе § 111.1. рассматривается пологая оболочка под действием внутреннего давления. § III.2. посвящен большим прогибам пологой оболочки при воздействии внешнего давления (случай, а < Зл/2). В.

§ 111.2. решение III.2. продолжено для случая, а > Зл/2 .

Приведенные в конце работы выводы показывают, что полученные в диссертации результаты позволяют более реально оценивать несущую способность статически нагруженных пластинок и оболочек. 6.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что: 1) разработана методика построения аналитических решений задач о больших прогибах жесткопластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения: 2) в конечном виде и замкнутой форме получены полные решения задач о больших прогибах круглых пластинок под действием равномерно распределенной нагрузки и пологих оболочек вращения при внутреннем и внешнем давлениях: 3) в полученных решениях существенную роль играют условия для разрывов производных функции прогиба. Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что разработана методика построения корректных аналитических решений задач о больших прогибах круглых пластинок и пологих оболочек, данные могут быть непосредственно использованы при расчете и проектировании конструкций, благодаря большому количеству таблиц и графиков. Кроме того, разработанная методика может быть распространена на другие виды нагрузок, пластинок и оболочек.

ГлаваГ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ.

1.1 ЗАДАЧА РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ (обзор литературы).

В настоящее время известно много различных теорий пластичности, причем в самое последнее время предложены новые теории. Чтобы понять причины многообразия теорий пластичности необходимо уяснить цели, какие они преследуют. Задача теории упругости, например, совершенно ясна: по заданным нагрузкам найти деформации, а также найти в теле напряжения для того чтобы знать, не возникнут ли в нем нежелательные остаточные деформации или, в случае хрупких материалов, не произойдет ли разрушения. Задача теории упругости в принципе легко решается благодаря чрезвычайной простоте закона Гука.

Посмотрим, каковы же основные задачи теории пластичности. Мы не будем рассматривать задач пластичности связанных с изучением вопросов ползучести, релаксации, вязкости (зависимости сопротивления от скорости). Эти вопросы выходят за пределы данной работы. Мы остановимся только на тех теориях пластичности, в которых механические свойства тел от времени не зависят.

В таком случае перед теорией пластичности с точки зрения механики может стоять такая задача.

Основная задача аналогична задаче теории упругости: по заданным внешним силам статического и динамического характера или вынужденным деформациям некоторых частей тела или по тому и другому найти деформациинайти остаточные деформации, если нагрузки полностью или частично снятынайти измененные в результате пластической деформации механические свойства тела и установить, каковы будут его деформации, если приложены вторичные нагрузкинайти нагрузки, при которых происходит разрушение (трещина) в какойни будь части тела. Вполне очевидно, что соответствующая теория пластичности должна учитывать основной факт-зависимость напряжений от предшествующих деформаций тела.

Все основные известные теории пластичности, как отмечал уже Прагер, и в том числе его теория, основаны на некоторых линейных соотношениях между тензорами, полученными путем дифференцирования и интегрирования девиаторов напряжений и деформаций.

Соотношения между напряжениями и деформациями материалов, находящихся в пластическом состоянии, изучались в работах многих исследователей А. А. Ильюшина [25], Работнова Ю. Н. [47], Соколовского В. В. [52], Гвоздева A.A. [4], Ржаницына А. Р. [48], Ивлева Д. Д. 23], Лепика Ю. Р. [34], Григорьева A.C. [7], Ерхова М. И. [11], Терегулова И. Г. [54], Микеладзе М. Ш. [38], Немировского Ю. В. [42], Качалова Ж. В. [26], Мисевича Ю. М. [39], и других зарубежных ученых Друккера Д., Гопкинса Г. [6] Мизеса Р. Койтера В. [28], Оната Е. Т. [81], Прагера В. [46] Прандтля Л., Рейснера Е., Саймондса П., Хилла Р. [59] Ходжа Ф. Г. 60]. Работы такого рода могут быть разделены на математическую и физическую теории. Математическая теория по сути дела является обобщением теории упругости, в ней учитываются результаты эксперимента с тех, чтобы получать более точные оценки несущей способности конструкций. Существенной чертой таких построений является математическая простота, необходимая для проведения расчетов и качественного анализа. С другой стороны, физические теории стремятся объяснить реальный характер процессов, но не обладают математической простотой.

Как известно, в теории пластичности существуют деформационная теория и теория течения. Определяющие уравнения первой связывают непосредственно напряжения и деформации, в теории течения явно связаны компоненты напряжений и скоростей пластических деформаций.

Расчет упругопластических конструкций даже в рамках деформационной теории является затруднительным .

В случае малых деформаций Ильюшиным A.A. был преложен основанный на процессе последовательных приближений метод упругих решений, который затем применялся к расчету оболочек, например Цурковым И. С [61], более подробный перечень работ в этом направлении можно найти в обзорах Лепика Ю. Р. [30], [34] .

Подход Ильюшина А. А. был использован некоторыми авторами для расчета упругопластических конструкций по деформационной теории пластичности в случае больших прогибов и больших деформаций.

Лукин В. А. и Ширко И. В. [37] с помощью метода Рунге-Кутта численно проинтегрировали уравнения напряженно-деформированного состояния пластинок при больших прогибах для подвижного и неподвижного опирания контура пластинок.

Совместный учет физической и геометрической нелинейностей для задач расчета гибких упругопластических пластинок и оболочек переменной толщины и кривизны, прямоугольных в плане, предложено осуществлять Столяровым H.H. и Нероновым Л. В. 53] численно на основе метода конечных разностей. Авторами учтены неоднородность материала (изменении модуля упругости и предела текучести по толщине и вдоль срединной поверхности), сжимаемость материала, несимметричные граничные условия и несимметричное поперечное нагружение.

Для больших прогибов на основе теории оболочек среднего прогиба Муштари Х. М. и Галимова К. 3. [41] и деформационной теории пластичности, Чернышенко И. С. [63] исследовал несимметричное упругопластическое равновесие сферической оболочки, ослабленной отверстием. Автор применял метод последовательных приближений в сочетании с методом конечных разностей.

В случае динамического нагружения использование метода упругих решений в сочетании с методом конечных разностей позволило Сперлингу А. и Партому У. численно проанализировать большие деформации упругопластических балок.

Экстремальные теоремы для упругопластической граничной задачи при больших перемещениях (малых деформациях), являющиеся различными аналогами принципа дополнительной энергии^{формулированы} Де донато. О. [90]. В случае малых перемещений и идеально-пластического материала теоремы приводят к известным результатам .

Вариационный принцип, являющийся модификацией принципа Нила в теории конечных упругопластических деформаций, предложен в работе Коробейникова С. Н. [29]. Автор приводит функционал, уравнениями Эйлера которого являются соотношения теории течения, уравнения равновесия в скоростях и связь скоростей ковариантных компонент тензора деформации Грина с ковариантными компонентами градиента скорости .

Развитие прикладных методов расчета позволило некоторым авторам с помощью ЭВМ решать нелинейные задачи расчета упругопластических пластин и оболочек с позиции теории течения.

Преимущества метода конечных элементов для анализа нелинейных деформаций балок отмечает Баклунд Я. в работе [66]. В качестве примера приведен численный расчет больших перемещений консоли .

Капурсо М. и Рамаско Р. [89] применяют метод конечных разностей для расчета больших перемещений равномерно нагруженной квадратной пластинки при шарнирно опертом и защемленном контуре. Расчет ведется шаговым интегрированием по параметру нагрузки уравнений, полученных ранее Капурсо М. 87].

В работе [90] этими же авторами аналогично исследована пологая оболочка в виде равномерно нагруженного параболоида вращения.

Используя гипотезы теории геометрически нелинейного изгиба плит, Капурсо М. [87] предложил метод решения задачи о больших прогибах упругопластической пластинки произвольной формы. Метод сводится к численному интегрированию геометрически нелинейной системы уравнений статики.

Мартин Ж.Б. [80] использует метод конечных элементов для расчета больших прогибов торосферической оболочки под действием внутреннего давления и сферической оболочки под действием центральной нагрузки. На примере упругопластической сферической оболочки под действием внешнего давления показано, что влияние пластического течения усиливается для более толстых оболочек.

Решению физически и геометрически нелинейных задач расчета пластинок и оболочек с помощью метода конечных элементов посвящена работа Динтса Л., Мартиса Р. и Оуэна Д.. Для описания деформирования конструкций авторы используют лагранжево представление с изменением конфигурации на каждом шаге нагружения.

Критический обзор литературы и подробный анализ применения метода конечных элементов к решению задач в нелинейной постановке сделаны Хиббитом Х. Д., Маркалом П. В., Райсом Дж. Р. [72]. Рассматриваются два варианта: 1) деформации и перемещения большие, 2) большие только перемещения.

Использование упругопластической схемы деформирования при расчете конструкций в случае малых прогибов имеет большое значение при оценке перемещений на ранней стадии неупругого поведения. При решении задач определения несущей способности конструкций применение этой схемы не столь эффективно, так как требует большого количества вычислений, а в итоге приводит к оценкам предельной (разрушающей) нагрузки для идеальных упругопластических конструкций.

Задачи определения несущей способности конструкций технически удобнее решать методами теории предельного равновесия. Теория предельного равновесия использует модель идеального жесткопластического тела, которая основана на пренебрежении упругими деформациями.

В основе статической теории предельного равновесия лежат теоремы о границах несущей способности конструкций, доказанные Гвоздевым А. А. [4], Фейнбергом С. М. [58], Друккером Д., Прагером В. и Гринбергом X. [46], Хиллом Р. [59]. Основное содержание этих теорем для однопараметрических нагрузок состоит в следующем: верхняя граница предельной нагрузки соответствует такому кинематически допустимому полю скоростей данной идеально пластической конструкции, для которого скорость работы внешних сил не меньше скорости диссипации внутренней энергии. нижняя граница предельной нагрузки данной идеально пластической конструкции соответствует некоторому статически допустимому полю напряжений, которое находится на пределе текучести или ниже его.

Полное решение задач теории предельного равновесия заключается в определении предельной (разрушающей) нагрузки (нагрузки, при которой конструкция превращается в механизм), области пластического деформирования, скоростей пластических деформаций, а также распределения напряжений в конструкции.

Полное решение задачи о предельном равновесии (т.е. при малых прогибах) круглой пластинки в случае статического нагружения получено Гопкинсом Г. и Прагером В. в работе [6].

В случае больших прогибов Онатом Е. и Хейзорнсвейтом Р. 81] найдена верхняя граница разрушающей нагрузки круглой пластины из мягкой стали. Авторами исследовано влияние различных видов нагружений и граничных условий по краю, проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных.

Лепик Ю. Р. учитывает большие прогибы жесткопластических пластинок под действием равномерно распределенной нагрузки: 1) в [30] сплошного поперечного сечения (точки контура пластинки либо неподвижно оперты, либо могут свободно смещаться, 2) в [31] с использованием двухслойной модели сечения. Ввиду принятых авторами допущений решение имеет неопределенный характер.

Качаловым Ж. В., Листровой Ю. П., Потаповым В. Н. [26] в предложении, что прогибы имеют порядок толщины пластины, решалась задача об осесимметричном изгибе гибкой круглой жесткопластической пластины при условии пластичности максимального приведенного напряжения.

В работе Лугинина О. Е. [35] на основе статического и кинематического методов теории предельного равновесия с учетом геометрической нелинейности получены двухсторонние оценки зависимости (нагрузка-прогиб) в задаче о поперечном изгибе жесткопластической мембраны. Мембрана нагружена равномерным давлением и оперта на несмещаемый контур, ее напряженное состояние описывает поведение пластин при больших прогибах в пластической области.

Безмоментную теорию больших пластических деформаций оболочек вращения предлагается использовать Мисевичем Ю. М. и Рудисом М. А. [39] для определения предельных статической и динамической нагрузок для мембраны из изотропного упрочняющегося жесткопластического материала.

Кондо К. и Пианом Т. [94] с помощью кинематического метода теории предельного равновесия получены решения задачи об умеренно больших прогибах идеально жесткопластических пластин, имеющих форму правильных многоугольников, края которых свободно оперты, либо защемлены. Пластина находится под действием нагрузки, равномерно распределенной на ее центральной круговой части.

В работе Гуркока А. и Гопкинса Г. [6] исследовано влияние податливости опор на поведение жесткопластической балки прямоугольного сечения под действием поперечной нагрузки. Рассматриваются большие прогибы (сравнимые с высотой сечения) после образования пластического шарнира в срединном течении. Численно исследована зависимость образования новых пластических шарниров от параметра жесткой заделки краев.

Зависимость (нагрузка-прогиб) получена Лоу Г. для задачи изгиба жесткопластической балки прямоугольного сечения, нагруженной в середине жестким цилиндрическим индентором до конечных прогибов. Движение балки происходит до тех пор, пока не образуется три пластических шарнира и пока силы жесткого индентора не распространены на всю длину балки.

Приближенное решение задачи о больших прогибах жесткопластической жесткозаделанной прямоугольной пластины под действием равномерного поперечного давления дано Джонсом Н. и Вальтерсом Р. [76] при условии текучести Треска. Полученные результаты сравниваются с известными экспериментальными.

Полные решения для цилиндрических оболочек в случае малых прогибов получены Ильюшиным А. А. [25], Друккером Д., Ерховым М. И. [10], [11], Ходжем Ф. Г. [60] и другими.

Приближенные решения для круговых цилиндрических оболочек с учетом геометрической нелинейности были получены многими авторами: Лепик Ю. Р. [34] рассмотрел воздействие на оболочку внутреннего или внешнего давления при шарнирном опирании кромок оболочки на неподвижную кольцевую опору. В решении используется плоскость напряжений в слоях оболочки. Автор показал неединственность решения: существует шарнирное и безшарнирное решения. Душек М. [68] независимо исследовала задачу в аналогичной постановке с использованием линеаризированной поверхности текучести в пространстве усилий и моментов. В работе [68] ею изучено влияние граничных условий на несущую способность цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления. Душек М. и Савчук А. [68] провели сравнение теоретических данных для цилиндрической оболочки с экспериментальными.

Вариационный принцип, основанный на принципе возможных перемещений и постулате Друккера и позволяющий определить границу смещений для жесткопластических конструкций, испытывающих конечные деформации, предложен Лансом Р. и Соуингом Дж. В качестве примера приводится приближенное решение задачи о цилиндрической оболочке под действием внутреннего давления.

Обобщение теории Доннела — Власова на подъемистые оболочки в области существенно больших прогибов сделано в работе Митова М. и.

Душек М. [7]. Методика применялась к замкнутой поверхности цилиндрической оболочки под внутренней равномерно распределенной нагрузкой.

Численные решения задачи о больших прогибах жесткопластической цилиндрической оболочки при совместном действии крутящего момента, осевой силы и поперечного давления получено Гудрамовичем.

B. С. и Дисковским И. А. [8].

Геометрически нелинейной задаче в области строительной механики посвящена работа Смирнова А. Ф. [51], использующей для нахождения больших прогибов круглой пластины переменной толщины метод итераций совместно с методом коллакаций. Более обширное исследование нелинейных задач строительной механики можно найти, например, в монографии Лукаша П. А. [36]. Основные прикладные методы расчета конструкций в строительной механики с применением ЭВМ описаны, например, в книге Болотина В. В., Гольденблата И. И. и Смирнова А. Ф. [5].

Первое решение для пологих сферических оболочек при помощи принципа предельной напряженности [57] было получено Фейнбергом.

C.М. [58] для очень пологой осесимметричной оболочки под равномерно распределенной нагрузкой и свободно опертой по контуру.

Дальнейшим исследованиям пологих сферических оболочек посвящены работы Ерхова М. И. [13], с учетом геометрической нелинейности — работы Душек М. [91], Кобы К. А. и Шаблия О. М. [64] (см. также обзорные работы Рыхлевского Я. и Шапиро Г. С. [65], Григорьева A.C. [7] и других).

Геометрически нелинейная задача о несущей способности замкнутой в вершине жесткопластической пологой сферической оболочки под равномерной поперечной нагрузкой и использованием условия текучести Треска-Сен-Венана рассматривается Терегуловым.

И.Г. [54]. Решение носит приближенный характер и ассоциированный закон течения не выполняется.

Цурковым И.С. [61] предложен способ интегрирования системы уравнений теории пологих оболочек относительно функций поперечных перемещений и функции напряжений с учетом геометрической и физической нелинейностей, основанный на методе последовательных приближений. Начальное приближение соответствует решению нелинейной задачи. На последующем шаге решение ищется из условия удовлетворения системы уравнений в точке максимального прогиба оболочки. Вычисляя нелинейные слагаемые по начальному приближению и используя уточненные решения линеаризированной задачи, автор находит следующее приближение.

В работе Ерхова М. И., Монахова И. А. и Себекиной В. И. [16] предложена методика определения больших прогибов жесткопластических оболочек, основанных на шаговом использовании кинематического метода определения несущей способности конструкций и на применении линейного программирования. Практически достаточная точность описанной методики подтверждена численным расчетом круглой неподвижно опертой пластинки под действием равномерной нагрузки в работе Монахова И. А. [40]. Предложенная в [16] методика используется при расчете несущей способности сложной конструкции, состоящей из двух ортогонально пересекающихся круговых цилиндрических оболочек под действием внутреннего давления [16]. В результате получены поля скоростей перемещений и поля перемещений для основной оболочки и для патрубка.

Робинсоном М. и Гиллом С. С. [96] на основе статического метода теории предельного равновесия получена нижняя граница предельного давления для сферического сосуда с напорным патрубком. Решение производится по шагам с помощью ЭВМ. Предположение о равенстве нулю кольцевых изгибающих моментов и кольцевых изменений кривизны, а также трех шарнирной схеме разрушения приводят к большому занижению теоретических результатов по сравнению с экспериментальными.

Анализ состояния жесткопластических оболочек вращения с учетом конечных прогибов на основе гипотезы Тимошенко и кусочно-линейного условия текучести, учитывающего напряжения поперечного сдвига, приведен в работе Шаблия О. М. и Кобы К. А. [64]. В последнее время, в связи с внедрением в расчетную практику быстродействующих ЭВМ, появилась возможность получить решения весьма сложных задач нелинейной теории тонких пластин и оболочек.

Так например, в работе Абросимова H.A. и Баженова В. Г. [1] проводится численное исследование динамического упругопластического деформирования круглых пластин под действием импульса бесконечной длительности. Задача решается с учетом больших прогибов на основе модели Тимошенко С. П. Исследованию поведения жесткопластических пологих сферических оболочек с шарнирно закрепленными кромками под действием импульсивной нагрузки, равномерно распределенной по кругу радиуса меньшего, чем радиус оболочки, посвящена работа Терегулова И. Г. и Сиразетдинова Ф. Г. [55]. Получено приближенное численное решение с геометрически нелинейной аппроксимацией поверхности текучести.

Баженовым В. Г. и Журавлевым Е. А. [2] получены геометрически нелинейные уравнения движения многослойных упругопластических оболочек при осесимметричном деформировании при условии кусочно-линейного распределения по толщине пакета тангенциальных и нормальных перемещений. Численное интегрирование на основе вариационно-разностного метода дискретизации реализовано на примере трехслойной пластины под действием поперечного импульса.

На основе теории Кармана и модели типа Тимошенко С. П. Палагушкиным В. И. [44] с помощью метода конечных разностей и численного интегрирования получено численное решение задачи динамики пологой ребристой упругопластической оболочки.

Решение подобного рода задач, как правило, связано с большими трудностями. Это, во-первых, значительные затраты машинного времени и, во-вторых, в большинстве своем недостаточное исследование вопросов сходимости и точности приближенных методов. К тому же при решении динамических задач необходимо иметь решения соответствующих статических задач. Следует отметить, что значение предельной нагрузки согласно модели идеального жесткопластического тела совпадает со значением предельной нагрузки согласно модели идеального упругопластического тела. Этим объясняется большее использование модели жесткопластического тела, которая позволяет получать решение таких задач относительно более простыми средствами.

Большими преимуществами перед численными решениями обладают решения аналитические. Однако, анализ имеющихся в литературе аналитических решений статических задач с учетом физической и геометрической нелинейностей показывает на недостаточную исследованность рассмотренных систем и конструкций на отсутствие приемлемых и надежных результатов по большим прогибам конструкций с учетом пластических деформаций.

В связи с этим возникает необходимость получения удовлетворительных аналитических решений задач о больших прогибах пластин и оболочек, как основы для поиска решений более сложных задач. Использование с этой целью жесткопластической модели материала является первым шагом к решению более общих задач упругопластических упрочняющихся систем.

В связи с вышеизложенным целью настоящей работы являются: 1) разработка общей методики построения аналитических решений, описывающих напряженно-деформированное состояние жесткопластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения с учетом больших прогибов (в рамках теории среднего изгиба): 2) решение соответствующих задач: 3) рекомендации по расчету пологих оболочек вращения при действии давления с учетом предварительного напряжения и краевых моментов в практике проектирования.

1.2. Постановка задач о расчете жесткопластических.

Конструкции при больших прогибов 1.2.1. Геометрические соотношения Рассмотрим тонкую оболочку постоянной толщины (рис. 1.6,1.7). Отнесем срединную поверхность оболочки к ортогональным координатам.

КГ: N, 2 М: М.

П: = -—, П&bdquo- = -—, Ш: = -Чг, =.

0 = 1'2).

2а311 2а8Ь 2ст5Ь 2а311 совпадаю щими с линиями главных направлений. Координату 2 будем отсчитывать по нормали к срединной поверхности оболочки. Для начальных кривизн линий введем обозначения Хи Хг.

Если обозначить через и, у, б) перемещения в направлениях, а, ?5, г соответственно, то согласно гипотезе КирхгофаЛява о прямых нормалях можно записать: еаа = ?\ +2Х 5 ерр = ?22 + ' еар = ?2 +.

1.1) где в выражениях для деформаций срединной поверхности.

22 ~ ди (дсо^.

—Ххсо+ — да 2да, ду 1 (даЛ2.

—У?6)+ — др 2 ди ду дсо дсо.

1.2) др да да д/3 Нелинейные члены сохранены аналогично соотношениям Кармана, (отброшены нелинейные члены, содержащие тангенциальные перемещения), а выражения для изменения кривизны изгиба и кручения записаны согласно линейной теории оболочки:

Хх д2со да.

2 '.

2 = д2со др2 д2со дадр

1.3).

В выражениях (1.2) принято, что перемещение со сравнимо с толщиной оболочки, а перемещения и, V малы по сравнению с толщиной.

При решении задач теории пластического течения помимо выражений для деформаций (1.2) и (1.3) пользуются выражения для скоростей деформаций и скоростей изменения кривизны которые получаются дифференцированием (1.2) и (1.3) по времени (в случае динамического нагружения) или по некоторому другому неубывающему параметру (например, параметру нагрузки при статическом нагружении): дй да дсо да дФ.

22 —.

12 ~ дч> (дао.

— г да J д (Ь.

Хх дй дъ дсй дсо дсо дсО д/3 да да д/3 да д/3 д1®д2Ф.

1.4).

2 =.

2*12 = д2Ф дад/3 да2 ' 2 д/}2 здесь точки над буквами означают дифференцирование по времени.

В дальнейшем будем рассматривать пологие оболочки вращения из жесткопластического материала с учетом предварительного напряжения. Такая оболочка изображена на рис.(1.6., 1.7) а пластинка на рис 1.1, 1.2, 1.3. Введены следующие обозначения: Я0 — радиус оболочка- 2к — Толщина поперечного сечения, г — координтапроизволънойточки иv- перемещений вдоль г иколъца сооответстеннойФ — скорости перемещений в радиальном и поперечном направлениях соответственно. X — аппликата произвольной срединной поверхности оболочки при >1 = 0 получаем круглую пластинку). / - стрела подъема ф — прогиб.

Поперечное сечение оболочки (пластинки) может быть сплошным однослойным, либо двухслойным (рис. 1.3). Размеры поперечного сечения в процессе деформирования остаются неизменными.

1.2.2. ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ.

В связи с тех, что многие конструкционные материалы с достаточной для практики точностью удовлетворяют схеме жесткопластического деформирования без упрочнения, а также ввиду большого упрощения расчетов при использовании этой схемы и приемлемости результатов, будем применять модель жесткопластического тела (рис. 1.8) где приняты обозначения: а5-предел текучести, а и е-напряжения и деформации.

Следует учитывать, что многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями доказано, что такая модель в целом с успехом может быть использована как в статических задачах, так и в задачах динамики пластических конструкций в случае развитых пластических деформаций.

Комбинация напряжений, соответствующих пластическому течению материала, называется условием пластичности. Из имеющихся условий пластичности, подтвержденных экспериментально, можно выделить следующие: условие Треска-Сен-Венана (рис. 1.5) (условие пластичности максимального касательного напряжения), условие Губера-Мизеса (рис. 1.4) (условие пластичности интенсивности касательных напряжений).

В теории пластического течения имеет место ассоциированный с условием пластичности закон течения, согласно которому вектор скорости пластической деформации направлен по нормали к поверхности текучести.

При расчете конструкций в теории пластичности вместо величин напряжений и скоростей деформации пользуются понятиями обобщенных напряжений и обобщенных скоростей деформации, которые определяются с помощью тех или иных гипотез технических теорий расчета конструкций. Например, в теории оболочек обобщенными напряжениями являются изгибающие и крутящие моменты, нормальные и сдвиговые усилия, а соответствующие им обобщенные скорости деформацииэто скорость изменения кривизны и и кручения, а также скорости деформации срединной поверхности оболочек.

Обобщенные напряжения (?^ =, 2,., п) удовлетворяют в пространстве условию текучести п — мерном й Д,)=0, (1.5) которому геометрически соответствует гиперповерхность текучести. Ассоциированный закон течения записывается в виде:

1 = '? = 1,2, ., п (1.6) где ¡-л — положительная непределенная константа, бг — обобщенн скорости деформации.

Вектор обобщенной скорости деформации перпендикулярен гиперповерхности текучести. Для сингулярных точек гиперповерхности текучести обобщенная скорость деформации определяется линейной комбинацией производных от пересекающихся частей гиперповерхности а)> л (а > 02. по соответствующему обобщенному напряжению. = (1.7) от"1.

Точны управления гиперповерхности текучести, полученные на основе условия пластичности Губера-Мизеса Ильюшиным А. А [25] и на основе условия пластичности Треска-Сен-Венана-Онатом Е. и Прагером В. [46], равно как и некоторыми другими авторами, имеют довольно сложный вид. Поэтому необходимо привлекать упрощенные выражения гиперповерхностей текучести.

С целью упрощения вида поверхностей текучести используют, и например, метод замены поперечного сечения оболочки (пластинки) идеализированной однослойной моделью. Подробный анализ поверхностей текучести, построенных на основе двухслойной модели, дан Савчуком А. и Рыхлевским Я. [50]. Построению уточненных и приближенных гиперповерхностей текучести посвящены работы Ерхова М. И. [14], Ивлева Д. Д. [23], Немировского Ю. В. [42], и Работнова Ю. Н. [47], Микеладзе М. Ш. [38], Розенблюма В. И. [49], Ходжа Ф. Г. 60], с учетом сдвига Шапиро Г. С. [65] и другими.

В данной работе предлагается использовать приближенные гиперповерхности например, построенные для пластинок и оболочек вращения Ерховым М. И. [9,14] с помощью слойстной модели сечения.

Обобщенными напряжениями являются внутренние силы и моменты, определяемые равенствами: к И, М1 =, (/ = 1,2) н «* (1.8) к /г 4 '.

ТУ12 —, мп = ^т]2гс1г.

-/гк индексы 1,2 обозначают соответственно радиальное и окружное направления).

Так как напряжения по сечению оболочки будут постоянными, то они выражаются в виде:

Я (Д) = ' Т12Н{В) = («121 ±-т2 К где <�тг, т1 — нормальные и касательные напряжения оболочки соответственносг5 — предел текучести:

ММ&bdquo- /. ,.

1 = 1Д) (1'9).

— безразмерные внутренние нормальные силы и изгибающие моменты;

2Ьтолщина оболочки, «н — в» наружная и внутренняя половины сечения оболочки относительно серединной поверхности, соответственно.

Выражения поверхностей текучести, приведенные ниже, являются точными для оболочек с идеальным сечением приближенными для оболочек со сплошным однослойным сечением и имеет небольшую погрешность для оболочек с двухслойным сечением .

На основе условия пластичности Губера-Мизеса (рис. 1.4) сг2 -а1сг2+а22 +3т122 = сг2 (1-Ю) и выражений (1.9) в пространстве обобщенных напряжений (т1, т2, пх, п2, тп, и12) получено уравнение гиперповерхности текучести.

Qm±2Qmn+Qn< (1.11) где.

Qm ~ т ~ тт2 + т2 + 3W122.

Qn = П ~ ПП2 + П2 + 3"122.

Qmn=mn ~^тп2 +Щп2+Ътппп.

Аналогично с помощью условия пластичности Треска Сен-Венана для плоского напряженного состояния (рис. 1.5) h ^ >

7-, О" «.

1.12) и выражение (1.9) получено уравнение гиперповерхности текучести К^ ±т1)-(и2 ±-/я2) <1, п1±т1<, (1.13) п2 ±-т2 <1 .

С целью лучшего приближения гиперповерхности текучести (1.11) к точному уравнению предлагается следующие выражение:

1.14).

При этом константа к может изменяться в пределах от 0,75 до 1,09. Очевидно, что при к2 = 0,75 гиперповерхность текучести будет давать значения предельной статической нагрузки меньше либо равные истинному значению, при к2 = 1,09 — большие либо равные истинному значению предельной статической нагрузки. Иными словами, придавая к2 его наименьшее и наибольшее значения, будем получать соответственно нижнюю и верхнюю границы решения.

Решение может искать и другим путем, придавая к какое-либо значение внутри указанных пределов, скажем, кг-, и считая гиперповерхность текучести точной для такого значения константы (отклонение гиперповерхности (1.14) от точной будет незначительным). Тогда выражение для точной гиперповерхности имеет вид: е"+би=1 • а-15).

Принимается, что для каждой из поверхностей текучести имеет место ассоциированный закон течения.

1.2.3. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

Пусть на оболочку (пластинку) действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности р.

Для получения полного решения в статической теории предельного равновесия необходимо удовлетворять: уравнения равновесия, граничные условия, уравнения гиперповерхности текучести (или ослабленные неравенства относительно их выражений), связь между деформациями и перемещениями (или их скоростями), ассоциированный закон течения, условие несжимаемости и кинематические граничные условия.

Условия равновесия для пологих оболочек вращения с учетом больших прогибов (когда прогибы оболочки сравнимы с ее толщиной) имеют вид (рис. 1.6,1.7): {гпх)~ пг = 0 , — (гт,)+ т2 — Ю = О г с1г ^.

1 й / V с12(й) + уI) 1 й{со + Х).

—И2/-Я, —^—-~п2——-+ рО.

Г (Л? с1г Г (1г где введены следующие безразмерные переменные: г 275 21 ОЯ о г — —, со =-, А = —. О —- - безразмерная сила.

Ко Ь И а3И2 р = - безразмерный параметр нагрузки. причем г-радиус в плане, сопрогиб срединной поверхности, /<*0 -радиус края оболочки в плане, Ягеометрический параметр, () -поперечная сила, рдавление, 2/гвысота поперечного сечения, <�т5 -предел текучести.

Уравнения равновесия круглых пластинок с учетом больших прогибов в тех же обозначениях запишутся в виде: (гпх) — п2 = 0, — — (rm{)+m2-rQО.

2 * (1−17).

1 d / d со 1 dco rrQ)-nx—Y-n1~~r + p = 0 г dr dr г dr.

Граничные условия видоизменяется в зависимости от типа опирания края. Например, в случае шарнирно-неподвижного опирания на краю конструкции равны нулю радиальный момент, а также радиальные и поперечные перемещения и скорости перемещений.

Уравнение используемой гиперповерхности текучести имеет вид:

2 2 2 2 2 щ — щп2 +п2 +mxт]т2 + т2 — к (1−18).

Деформации и изменения кривизн оболочки связаны с перемещениями соотношениями: К.

4 R, h: du 1.

-— + dr 2 и dm dr ¦ dm dX dr dr.

AR? ' f.

1.19).

X = h d ш.

2Rl' dr1 '.

2 = h 1 dm.

2Rl r dr дифференцированием соотношений (1.19) по времени (или по некоторому другому неубывающему параметру) и можно получить связь между деформациями (изменениями кривизн) и перемещениями в терминах скоростей, при этом будут введены безразмерные переменные:

4 иЯ0 4йЛп 2 г 2т и = —0 -, й =—г = —, Ф =-. к2 к1 к к.

Операция дифференцирования по времени (или по некоторому другому неубывающему параметру) обозначается точкой над переменными.

Полагая оболочка Я =0, получим связь между деформациями (изменениями кривизн) и перемещениями для круглых пластинок.

Компоненты скоростей связаны с компонентами ускорений следующими соотношениями: d (b. <�Ол со-—, и-— (1−20) ск.

1.2.4. О СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ РАЗРЫВАМИ.

Для решения задач статического и динамического расчета пластических конструкций необходимо удовлетворить и условиям для разрывов в величинах производных от функции прогиба. Подобные разрывы имеют место на границах раздела областей с различными пластическими состояниями, неизбежно возникающими при использовании кусочно-линейных аппроксимаций условий текучести, а также в других случаях. Границы раздела зон могут быть стационарными, либо нестационарными. Такими границами могут быть, например, шарнирные окружности, на которых радиальный изгибающий момент достигает максимального значения. При переходе через границу раздела зон должны быть непрерывны прогиб со и скорость прогиба со, то есть.

Ц=0 М-1 = ° (1−21).

Здесь квадратные скобки [ ] обозначают разрыв соответствующей величины, г = гх — радиус окружности разрыва. При этом разрыв некоторой величины х ПРИ переходе через границу г — гх определяется как.

Дифференцируя первое соотношение (1.21) по времени, получаем, что.

М+г1к] = 0, (1.23).

Где нижний индекс обозначает дифференцирование по соответствующей переменной. Из (1.23) можно сделать вывод: так как при переходе через границу раздела зон г — гх скорость прогиба должна быть непрерывна, то есть [со] = 0, то наклон сог при переходе через нестационарную шарнирную окружность непрерывен (разрыв может иметь место только в случае стационарной шарнирной окружности). Иными словами, при гх ^ О имеем к] = 0, ПРИ ^ = 0 имеем [сог]^0. Отсюда получено соотношение для разрывов к]+/к,]=о (1.24).

Из условия непрерывности скорости прогиба со при переходе через границу раздела зон гх получено соотношение для разрывов.

М+г1[(c)г]=0 (1.25) которое означает, что ускорение ¿-о при переходе через гх непрерывно в случае стационарности гх и претерпевает разрыв случае не стационарности гх (так как терпит разрыв первая производная от скорости прогиба по радиусу).

Кроме того, радиальный момент и радиальное усилие непрерывны по радиусу и по времени, а окружной момент и окружное усилие кусочно непрерывны по радиусу и по времени. Приведенные выводы справедливы в случае непрерывной нагрузки.

2Ь Г0 Го п.

Рис. 1.1. Круглая пластинка под действием равномерно распределенной нагрузки с шарнирно неподвижным краем Р и 1 ' 1 г 1 г 1 ' 1 Л ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1.

Рис. 1.2. Круглая пластинка под действием равномерно распределенной нагрузки с шарнирно подвижным краем.

Рис. 1.3. Однослойное поперечное сечение круглой пластинки.

V.

6?

0 /.

Рис. 1.5. Условие пластичности.

Треска-Сен-Венана.

Рис. 1.6 Пологая оболочка радиусом в плане Яо под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности Р.

Рис. 1.7. Пологая оболочка радиусом в плане Яо под действием равномерно распределенной внешней нагрузки интенсивности Р. а 8.

Рис .1.8 Диаграмма деформирования идеального жесткопластического тела.