Методы итерационного уточнения квазиравновесных приближений в задачах кинетики

Постановка проблемы и ее актуальность.

Квазиравновесные приближения играют большую роль при исследовании кинетических систем. Так, например, в неравновесной статистической механике, вследствие чрезвычайной сложности уравнений единственно возможный подход зачастую заключается лишь в нахождении поправок к квазиравновесному приближению. Традиционные методы, основанные на выделении в системе малого параметра и поиске решения в виде ряда по его степеням, далеко не всегда эффективны.

В этой связи является чрезвычайно важным создание и развитие методов, дающих альтернативную возможность поиска поправок к квазиравновесным приближениям в задачах кинетики. В качестве базового в диссертации был использован метод инвариантных многообразий, предложенный в работах А. Н. Горбаня и И. В. Карлина 1994 года. Этот метод не требует выделения в системе малых параметров и вместо тейлоровского ряда использует итерационную последовательность ньютоновского типа, начальным приближением которой является квазиравновесное многообразие.

Одна из задач, решаемых в данной диссертационной работе, — развитие метода инвариантных многообразий на системы с несколькими стадиями релаксации. Предложенная процедура последовательного сокращения описания основана на предположении, что на каждой стадии релаксации существенно изменяется со временем набор только нескольких переменных. Более медленные переменные сохраняют свои значения, а более быстрые следуют за основными переменными стадии, сохраняя свою квазиравновесную зависимость от них. Это позволяет вычислять независимо поправки на каждой стадии релаксации.

Другая проблема, исследуемая в диссертации, — получение диссипативной поправки к уравнению Власова. Уравнение Власова следует из цепочки уравнений Боголюбова в квазиравновесном приближении и описывает Плазму без учета столкновений. Самым известным примером учета столкновений является уравнение Ландау. Интеграл столкновений Ландау выводится из интеграла столкновений Больцмана в предположении малости изменения импульса частиц при столкновении. Однако в теории Больцмана заложено предположение исключительно о парном взаимодействии частиц, справедливость которого весьма условна для частиц с большим радиусом взаимодействия, таких заряженные частицы в плазме.

Подход, являющийся формальным математическим аналогом идеи П. и Т. Эрен-фестов о периодическом перемешивании фазового ансамбля (встряхивании), позволил получить уравнение для «столкновительной» плазмы, которое имеет сходную с уравнением Ландау структуру, однако более простые спектральные характеристики.

Цель работы — разработать процедуру последовательного (поэтапного) сокращения описания кинетических систем, не требующую явного наличия малых параметров, на основе построения последовательности инвариантных многообразий итерационными методами. Получить диссипативную поправку к уравнению Власова, используя идею о периодическом перемешивании фазового ансамбля. Исследовать полученное уравнение.

Практическая значимость Предложенный в диссертации метод последовательного сокращения описания может использоваться для исследования кинетики сложных диссипативных систем. Он позволяет получать аналитические или полуаналитические решения систем нелинейных дифференциальных уравнений практически на всей временной оси, а не только на финальной стадии релаксации. Так на его основе было выполнено моделирование лазероиндуцированного обесцвечивания ксантенового красителя в полимерной пленке. Сопоставление полученных результатов с данными экспериментов позволило сделать выводы о механизмах, протекающих в этой системе в процессе оптической записи информации.

Полученное уравнение статистической механики дает альтернативную к существующим возможность исследовать такую сложную физическую систему как плазма. Значимость этого результата состоит, во-первых, в том, что это уравнение получено на основе идей принципиально отличающихся от используемых при выводе всех известных уравнений «для плазмы со столкновениями», во-вторых, оно существенно более простое, что значительно увеличивает объем информации о системе, который можно извлечь.

Апробация. Основные результаты работы были представлены на: Первом Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (МНС-98) (Красноярск, 98). Втором Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (МНС-99) (Красноярск, 99). На 4-ом Китайско-Российско-Корейском симпозиуме по лазерной физике и лазерным технологиям (Харбин, 98). На семинарах кафедры квантовой электроники КГУ, и лаборатории моделирования неравновесных систем ИВМ СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста, включая 7 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 70 ссылок.

Заключение

.

Данная диссертационная работа основана на двух подходах к коррекции квазиравновесных приближений в задачах кинетики. Один из них — метод инвариантных многообразий. Он основан на представлении о релаксации системы к некоторому медленному многообразию и последующем движении вдоль этого многообразия. Второй — математическая формализация идеи Эренфестов о периодическом перемешивании фазовых ячеек. Система изначально находится на квазиравновесном многообразии, «убегает» с него по истинной траектории и возвращается (проецируется) на него в момент «встряхивания» .

На основе первого метода коррекции квазиравновесных приближений в диссертации получены следующие основные результаты :

1. Построена процедура последовательного сокращения описания диссипативных систем и поэтапного вычисления поправок к квазиравновесному приближению для случая, когда в системе возникает несколько стадий релаксации. Показано, что различие поправок, вычисленных прямо и последовательно, составляет величину порядка погрешности линеаризации.

2. В качестве примера, демонстрирующего работу метода, рассмотрено две модели процесса светоиндуцированного обесцвечивания красителя.

А. Определены соотношения между константами скоростей реакций, разделяющие области существования в системе затухающих колебаний и монотонной релаксации. Б. Благодаря различию скоростей процессов, выделены этапы (ступени) релаксации. Получены аналитические решения, описывающие кинетику переменных на каждой из ступеней.

В .Приводится временная зависимость концентрации молекул в основном состоянии для различных скоростей дисмутации. Результаты исследования данной системы сопоставляются с моделью, не учитывающей процессы восстановления и с экспериментом.

Использование найденных из эксперимента численных значений скоростей процессов позволяет сделать вывод, что уже нулевое приближение явилось достаточно удачным, и его уточнения внесли лишь незначительную коррекцию в полученное решение.

3. На основе идеи Эренфестов о периодическом перемешивании («встряхивании») фазового ансамбля найдена диссипативная поправка к уравнению Власова. Полученное уравнение имеет структуру уравнения Фоккера-Планка, описывающего диффузию в импульсном пространстве, характерную для ряда уравнений для «столкнови-тельной плазмы». В нашем случае коэффициент диффузии не эмпирический параметр, а определенная с точностью до постоянного множителя функция потенциала взаимодействия и одночастичной функции распределения.

4. В приближении слабой неравновесности плазмы найдены спектр и собственные функции линеаризованного «термостатированного» уравнения Власова. Исследована дисперсия полученного уравнения. Здесь наряду с затуханием Ландау возникает затухание, связанное со столкновениями, и его скорость пропорциональна интенсивности взаимодействия. Частоты собственных колебаний плазмы меняются только в следующем неисчезающем порядке разложения по интенсивности столкновений.

5. В приближении слабой неравновесности и пространственной однородности плазмы найдены значения коэффициентов переноса: электрическая проводимость, коэффициент теплопроводности, термоэлектрический коэффициент. В этом приближении вычисленные коэффициенты совпадают со значениями, получающимися для уравнения Власова с релаксационным членом вместо интеграла столкновений, где параметр, определяющий скорость релаксации, — минимальное отличное от нуля собственное значение линеаризованного «термостатированного» уравнения.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю — профессору Александру Николаевичу Горбаню.

Автор глубоко признателен Ph.D. И. В. Карлину за внимание, подробные замечания и комментарии.

Автор также благодарен профессору А. Г. Сизых и к.ф.-м.н. Е. А. Таракановой за сотрудничество и доброжелательное отношение.