Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций

Актуальность темы

Субгармонические функции составляют один из важных классов функций, широко используемых как в комплексном анализе, так и в вещественном. Они тесно связаны с аналитическими гармоническими функциями и играют существенную роль в общей теории потенциала и математической физике.

Впервые субгармонические функции были введены в рассмотрение в начале 20-го столетия в классической работе Ф. Гартогса [45].

Дальнейшее развитие теории субгармонических функций связано с основополагающими работами И. И. Привалова [27], [28], Ф. Рисса [50], Р. Неванлинны [15], М. Брело [3] и других классиков комплексного и вещественного анализа. Различным аспектам теории субгармонических функций посвящены работы современных авторов. Среди них отметим, прежде всего, работы У. Хеймана [36], [46], Е. Д. Соломенцева [33], Н. С. Ландкофа [12], А. Ф. Гришина [6], Б. Я. Левина [13], В. С. Азарина [2], [42], Р. С. Юлмухаметова [41], Б. Н. Хабибуллина [48], К. Л. Аветисяна [1], А. М. Джрбашяна [47] и др.

В последние десятилетия по теории классов субгармонических функций и теории потенциала опубликовано несколько монографий таких авторов, как У. Хейман [36], [46], B.C. Азарин [42], A.M. Джрбашян [47]. Поэтому можно сказать, что тематика диссертационной работы весьма актуальна.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введём необходимые обозначения.

Пусть С — комплексная плоскость, D = jz е С: |z| < lj — единичный круг на комплексной плоскости, Г — единичная окружность с центром в начале координат, С+ = {z е С: Imz > 0} - верхняя полуплоскость комплексной плоскости, С^ = [z е С: Im z > р > 0}.

Если G — некоторая область на комплексной плоскости, то через SH{G) будем обозначать множество всех субгармонических функций в G.

В теории субгармонических функций важную роль играет следующая теорема Ф. Рисса о представлении. Сформулируем её в случае единичного круга.

Если и е 8Н (Ц), не равная тождественнооо, то в ?> существует единственная борелевская мера ¡-л, такая что и [г) допускает представление: 11п г где геОг, Бг —: г < /г (г) гармоническая в Д. функция (см., например, [36]).

Мера /и является ассоциированной по Риссу. В дальнейшем её назовём представляющей мерой субгармонической функции и .

Естественно возникает вопрос: при каких ограничениях на субгармоническую функцию и представление вида (0.1) справедливо во всей области субгармоничности функции и.

Впервые такая задача была решена в работах Р. Неванлинны [15] при условии и (г) = 1п|/(2)| и И. И. Приваловым [28] в общем случае.

Для формулировки этого результата введём понятие характеристики Неванлинны для субгармонической в И функции. Пусть и е 8Н (П), и+ = тах (м, 0), тогда:

1 я.

Т{г, и) = — | и+ {гещ¹(р. 2 тс.

— ж.

Следуя И. И. Привалову, обозначим через, А класс субгармонических в I) функций и, для которых.

Бир Т (г, и) < +оо. (0.2).

0<г<1.

Следующее утверждение установлено в работе [28]. Класс, А совпадает с классом субгармонических в И функций, допускающих представление:

0.1).

1п + -1- } 1 Г2 2а?(в), (0.3).

1 — С-2Г 2к: -2rzosQ-ф + г.

2л- - 2 г со$(в — ср) + г' где — произвольная неотрицательная борелевская мера в единичном круге, для которой и у/ - произвольная функция конечной вариации на [—я" -я" ].

В том случае, когда функция и имеет вид и (г) = 1п|/(г)|, г еБ, где / аналитическая в ?) функция, представление (0.3) совпадает с формулой Пуассона-Иенсена для функций ограниченного вида (см. [35]).

Возникает задача о представлении субгармонических функций, для которых условие (0.2) не выполняется. То есть, вообще говоря, субгармонических функций и, не имеющих ограниченную характеристику, что равносильно отсутствию гармонической мажоранты.

Вопрос такого рода для случая, когда и имеет вид и (г) = 1п/ голоморфная в ?) функция, впервые был рассмотрен Р. Неванлинной в монографии [15].

Он рассмотрел классы Ыа голоморфных в В функций /, для которых характеристика Неванлинны Г (г,/) удовлетворяет условию: 1.

1-г)аГ (г,/)^г<+оо. (0.4) о.

Им было установлено следующее утверждение.

Пусть / а>-1, = / тождественно не равна нулю, тогда 2 с-ы к=1.

Полное описание корневых множеств и факторизационное представление этого класса функций были получены в работах М. М. Джрбашяна [8], [9] и Ф. А. Шамояна [37]. Приведём эти результаты.

М.М.Джрбашяном было установлено, что, если / еЛ^, то / допускает представление рВа (г), 2еО, (0.6) где Ка — комплексная постоянная, т — порядок нуля функции / в начале координат,.

0.7) к=1.

4 (*>**) =.

1;

V у ехр

1-р2)в1п 1ре ир

0 -л рс1рс1(р рс1рс1(р.

0 -я.

Произведение равномерно сходится на компактных подмножествах круга ?) тогда и только тогда, когда последовательность удовлетворяет условию (0.5).

Отметим, что при а—1 условие (0.5) совпадает с хорошо известным классическим условием Бляшке, а произведение (0.7) совпадает с произведением Бляшке.

Естественно возникает вопрос: если / допускает представление (0.6), то принадлежат ли факторы ехрклассу Ыа ?

В 1977 году Ф. А. Шамоян установил, что существуют функции из Ыа, такие, что ни один из факторов в представлении (0.6), в отличие от факторизации функций ограниченного вида, не принадлежит классу Л^ .

Но, тем не менее, если / е Иа, то для произвольного (5>а в представлении (0.6), написанном в классе Л^, каждый из факторов тгД^,^), ехр^Дг) принадлежит классу Л^.

Тем самым установлена необходимость условия Р. Неванлинны (0.5) для корневых множеств функций класса Ыа, которое является также достаточным.

В дальнейшем Ф. А. Шамоян рассмотрел классы голоморфных в круге функций, для которых 1 со (-г)Тр {г, о.

0 < р < +оо, (см. [38]) при достаточно общих условиях на весовую функцию.

Распространение результатов Ф. А. Шамояна на классы субгармонических функций провёл К. Л. Аветисян [1] при р = 1.

Однако, применяемые им методы, не позволили ему получить аналогичные результаты в классах субгармонических в круге функций, характеристика которых принадлежит Ьр — весовым классам или имеет степенной рост при приближении к единичной окружности.

Цель работы.

1. Изучение представляющих мер классов субгармонических в круге и в полуплоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым И — классамизучение представляющих мер субгармонических функций из класса 5На, а ©.

2. Построение параметрического представления классов субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет заданный рост при приближении к границе области.

3. Обобщение классической теоремы Валирона на случай II — классов субгармонических функций в комплексной плоскости.

Методика исследования. В работе применяются методы комплексного и функционального анализа. Существенную роль играют потенциалы типа Грина, построенные на основе бесконечных произведений, впервые введенные М. М. Джрбашяном ещё в 1945 году.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

— получено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи единичной окружности;

— получена полная характеристика представляющих мер классов субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит Ьр — весовым пространствам (0< /?<+оо);

— построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из Ьр — весовых пространств (0 < р < +оо);

— получено обобщение классической теоремы Валирона на случай целых и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой из весовых Ьр — пространств (0 < р < +оо);

— получено аналитическое представление субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным весом.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы в общей теории субгармонических функций, в комплексном анализе, гармоническом анализе, в теории потенциала и других смежных разделах комплексного анализаа также могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Апробация результатов работы. Результаты исследования докладывались на конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005, 2007, 2009), на Воронежской зимней и весенней математической школе (Воронеж, 2006, 2009), на конференции «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010, 2012), а также неоднократно на семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского.

Публикации. Результаты исследования нашли отражение в 11 печатных работах: [16]-[26]. Работы [19], [25] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 7 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 118 страниц. Библиография содержит 52 наименования.

1. Аветисян К. Л. О представлениях некоторых классов субгармонических функций в единичном круге и в верхней полуплоскости / К. Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении, Математика. — 1994. — Т.29, № 1.

2. Азарин B.C. Теория роста субгармонических функций / B.C. Азарин // Харьк. гос. ун-т им. A.M. Горького. Харьков: ХГУ. — 1982. — 73 с.

3. Брело М. Основы классической теории потенциала / М. Брело. М.: Мир, 1964.-215 с.

4. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнетт. М.: Мир, 1984.-469 с.

5. Гольдберг A.A., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций / A.A. Гольдберг, И. В. Островский. М.: Наука, 1970. — 592.

6. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций / А. Ф. Гришин // Респ. сб. «Теория функций, функциональный анализ и их приложения». 1968. — Вып.6, С. 3−29.

7. Джрбашян A.M., Микаелян Г. В. О граничных свойствах произведений типа Бляшке / A.M. Джрбашян, Г. В. Микаелян // Изв. Нац. АН Армении, Математика. 1991. — Т.26, № 5. — С. 435−442.

8. Джрбашян М. М. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге функций / М. М. Джрбашян // ДАН Арм.ССР. 1945. -Т. 3, № 1.-С. 3−4.

9. Джрбашян М. М. К проблеме представимости аналитических функций / М. М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. 1948. — Вып. 2. — С. 3−35.

10. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М. М. Джрбашян. М.: Наука, 1966. -624 с.

11. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр. Пер. с англ./ П. Кусис. -М.: Мир, 1984.-364 с.

12. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. -М.: Наука, 1966.-516.

13. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин. М.: Гостехиздат, 1956. — 632 с.

14. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева / В. Г. Мазья. Изд-во ЛГУ, 1985.-416 с.

15. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции / Р. Неванлинна. -М.: ИМГИТТЛ, 1941. 388 с.

16. Охлупина О. В. Описание класса субгармонических в единичном круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Ьрпространствам / О. В. Охлупина // Вестник Самарского ГУ. Самара: изд. СамГУ, 2008. — Вып.9/1(59). С. 108−120.

17. Охлупина О. В. Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности / О. В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета / Брянск: РИО БГУ. 4(2009). — 2009. — С. 61−73.

18. Охлупина О. В. Распределение корней в весовых пространствах целых функций / О. В. Охлупина // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 15-й Саратовской зимней школы / Саратов: изд-во Саратовского университета, 2010. С. 135−136.

19. Привалов И. И. Обобщение формулы 1ешепа. I / И. И. Привалов // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математики и естественных наук, 1935. № 6−7. — С. 837−847.

20. Привалов И. И., Кузнецов П. И. Граничные задачи и различные классы гармонических и субгармонических функций, определённых в произвольных областях / И. И. Привалов, П. И. Кузнецов // Мат. сб. -6(48):3 (1939).-С. 345−376.

21. Привалов И. И. Субгармонические функции / И. И. Привалов. М.: Наука, 1951. 199 с.

22. Прохоров Д. В. Неравенство Харди с тремя мерами / Д. В. Прохоров // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 2006. — Т.255. — С. 233−245.

23. Ронкин Л. И.

Введение

в теорию целых функций многих переменных / Л. И. Ронкин. М.:Наука. — 1971. — 432 с.

24. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. Стейн. М.: Мир, 1973. — 342 с.

25. Соломенцев Е. Д. О некоторых классах субгармонических функций / Е. Д. Соломенцев // Изв. АН СССР. Сер. матем. 2:5−6(1938). — С. 571−582.

26. Трибель X. Теория функциональных пространств / X. Трибель. М.: Мир, 1986.-447 с.

27. Хейман У. Мероморфные функции / У. Хейман. М.: Мир, 1966. — 447 с.

28. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. М.: Мир, 1980. — 304 с.

29. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и Характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф. А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР, математика. Т. 13, № 5. -1978. — С. 405−422.

30. Шамоян Ф. А. Параметрическое представление и описание корневыхмножеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. ШамоянСибирский матем. Журнал. Т.40, № 6. — 1999. — С. 1422−1440.116.

31. Шамоян Ф. А., Шубабко E.H.

Введение

в теорию весовых LFклассов мероморфных функций / Ф. А. Шамоян, E.H. Шубабко. Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. — 153 с.

32. Шубабко E.H. О параметрическом представлении классов Неванлинны-Джрбашяна / E.H. Шубабко // Теория функций, её приложения и смежные вопросы. Материалы V Казанской международной летней школыконференции. Казань: Изд. «ДАС», 2000. С. 246−247.

33. Юлмухаметов P.C. Аппроксимация субгармонических функций / P.C. Юлмухаметов // Analysis Mathematica, 11:3 (1985). С. 257−282.

34. Azarin V.S. Growth Theory of Subharmonic Functions / V.S. Azarin. Birkh-user, ISBN 3 764 388 854. — 2008. — pp. 259.

35. Boas R.P. Entire Functions / R.P. Boas //Academic Press, Inc., New York, 1954.

36. Djrbashian M.M., Shamoyan F.A. Topics in theory of spaces, TeubnerVerlag, Leipzig, 1988, pp. 200.

37. Hartogs F. Zur Theorie der analytischen Functionen mehrer unabhangiger Veranderlichen insbesondere Uber die Darstellung derselen durch Reihen / F. Hartogs //Velche nach potenzen einer Veranderlichen fortschreiben. Math. Ann. 1906. — Bol. 62. — P. 1−88.

38. Hayman W.K. Subharmonic functions / W.K. Hayman // Acad. Press, London etc. Vol. 2. — 1989. — pp. 591.

39. Jebashian A.M. Functions of a-bounded type in the Half-plane / A.M. Jerbashian // Springer, Advances in Complex analysis and applications, Hardcover ISBN 0−387−23 625−22 005. 4(2005). — pp.212.

40. Kudasheva E. G., Khabibullin B. N., «Variation of subharmonic function under transformation of its Riesz measure» / E. G. Kudasheva, B. N. Khabibullin IIЖурн. матем. физ., анал., геом., 3:1 (2007). Р. 61−94.

41. Kufner A. Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type / A. Kufner, L.-E. Persson. Singapore: World Sei., 2003. — pp.375.

42. Riesz F. Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport a la theorie du potentiel / F. Riesz // Acta Math. Vol. 48. — 1926. — P. 329−343.

43. Tsuji M. Potential Theory in Modem Function Theory / M. Tsuji. Maruzen Co., Tokio, 1959. -pp.590.

44. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Parametrical representations of some classes of holomorphic functions in the disk / F.A. Shamoyan, E.N. Shubabko // Operator Theory: Advanced and Applications. Vol. 113. — 2000.