При решении многих задач теории надежности применяются методы непараметрической статистики /1,2/, К ним, в частности, относятся классическая задача о двух выборках, не параметрическое оценивание линии регрессии, проверка независимости случайных величин и другие" Задача о двух выборках, состоящая в проверке принадлежности выборок к одной генеральной совокупности, подробно освещалась в ряде монографий, среди которых наиболее известными являются /3,4/. В последнее время, в связи с развитием ряда направлений в теории надежности /5/, появилась необходимость в проверке гипотез о том, что функции распределения совокупностей, откуда извлечены выборки, связаны определенной функциональной зависимостью. Рассмотрению некоторых из таких задач и посвящена данная диссертация.
В первой главе приведены методы, позволяющие вычислять точные распределения статистик некоторых критериев, предназначенных для проверки следующей гипотезы.
Цусть (х^ Х^) и (- дае независимые выборки, причем? Г (сс)} -у. ^(г (х)} ¡-¿-(Ъс), непрерывны.
Необходимо проверить гипотезу п*) •[&*)]* где К? 1 — произвольное фиксированное число.
Потребность в проверке таких гипотез возникает в том случае если, например, при проверке равенства функций распределения двух совокупностей из одной совокупности можно получить выборку лишь из величин ХШСЬХ (^ ^ «гденезависимые наблюдения над данной совокупностью. В этом случае К- -2,.
ПустьЬС^ Мф ¿-с. ¿-г — объединенный вариационный ряд полученных выборок. Обозначим.
К' о, ае, Щсгуе< с^, с.
В первом параграфе определены распределения С-^Нг+п,.
•••- • В терминах и бу-пут записьюаться статистики ранговых критериев.
Во втором параграфе дяя цроверки Н, введены критерии типа критериев Колмогорова-Смирнова. Дяя нахождения точных распределений их статистик введена следующая модель случайного блуждания. Частица движется по двумерному массиву ячеек {.
ЦЛ «выходя на первом шаге из аоо и передвигаясь на I-ом шаге из, ., в СЬЛ, заканчивая блуждание в ¦
Основной теоремой в первом параграфе является Теорема 1,1, позволяющая вычислять вероятности невыхода траектории блуждания из произвольного ТС к .
ТЕОРЕМА 1.1. Вероятность невыхода траектории случайного блуждания из Т цри условии // определяется выражением и171 ,.
Р (Т)= ^ Г^ где величину можно получить повторным црименением соотйношения с начальными и граничными условиями.
Здесь .
4- = 7%-м), ?-**. а. Я-/ о, цёт.
В качестве следствий ТЕОРЕМЫ 1,1 получены выражения для вычисления функций распределения статистик.
— ЬО<7С.г.ОО Л- -гхэглг^оо1 и /) где ^^ (х), о-^ (х) — эмпирические функции распределения выборок Хт)).
В этом же параграфе рассмотрены методы вычисления точных распределений Т^ь } Х)^ по цензурированным данным, ограниченным % -ой порядковой статистикой выборки. Кроме того, здесь же рассмотрено обобщение двухвыборочной процедуры на случай € выборок.
В третьем параграфе введен локально наиболее мощный 1фитерий для проверки Н0 против класса альтернативных гипотез н±ад = [^7?
Утверждение 1.1. Локально наиболее мощный критерий для проверки Н0 против //^ определяется статистикой шп* ь.
Г = 7.
Г", н ¿—/-Р. (к-6.
• I где критерическими являются как большие, так и малые значения.
Получены выражения для вычисления точных распределений статистики для полных и цензурированиях данных. В частности, доказана.
Лемма 1.4. Вероятности рщп = -Р/^м /Г^) удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению с начальными и граничными условиями.
В четвертом параграфе кратко описаны методы вычисления мощности некоторых ранговых критериев, применяемых для проверки Н0 при К-±-, в случае справедливости при к^ ф ± .
В качестве следствия ТЕОРЕМЫ I получены выражения для вычисления мощности стандартного критерия Смирнова. Для статистики оа.
2 ти г.
Од. и — оо.
Ш/г и м- —.
— критерия Смирнова получена Лемма 1.7. Распределение л при Н±определяется еле-дующим выражением.
С к&tradeгде величины (Н^) можно получить повторным применением соотношения.
С, с) — [ ^ а — ¿-(1"ЦЛ) * Тн (?-±, с-(Щс начальными и граничными условиями.
Ж0(О, Ч1С0 О — В остальных случаях,.
ШЖ (О,?-)г)±с? М^п (/, т), где С — натуральное число.
Здесь же показано как вычисляются мощности линейных ранговых критериев со статистиками вида где ^ не зависят от Лг, /?.
Во второй главе рассматриваются оценки для предельного распределения статистики двухвыборочного 1фитерия Смирнова.
В первом параграфе основной является.
ТЕОРЕМА 2,1. Распределение процесса ЗС (?) при с*3,.
УП,//1≅)слабо сходится к распределению непрерывного нормального случайного процесса с характеристиками.
ЕХ^-о, Етха)*% к,-*-,.
Во втором параграфе приведены некоторые оценки для вероятностей.
Показано, что где.
— винеровскии цроцесс. Относительно криволинейной границы ¡-¡-" (т) доказано.
Утверждение 2.2. Граница ^(т) удовлетворяет следующим условиям:
3. ^(Ъ) — выпукла вниз,.
4. — имеет единственный минимум в г&bdquo- =.
Приближая кусочно-линейными непрерывными функциями, для.
Л. получены верхняя р + и нижняя р + оценки х-<�р (т)~ о~ Д То, ч х.
— У5Г I iJ^ -1 г /.
— PO.
Здесь.
СЮ Oo r (iif^^/ii-K.f^H)].
Для cL получена нижняя граница со г (гшТ?и.%г 1 пЛУ (лп&хР J.
— I*' ft/S1' 2А+1.
Третья глава посвящена нахождению точных распределений статистик некоторых ранговых критериев, применяемых в задачах форсированных испытаний.
Современное состояние теории форсированных испытаний изложено в /5,6/. Основной задачей при проведении подобных испытаний является определение функции между временем безотказной работы (Ld) изделия в нормальном режиме £о и временем безотказной работы ^ (?j) в форсированном режиме .
Обзор различных математических моделей для основных видов функций fCf*^) 9 яримбнявмых при планировании и обработке резуль.
— 10 татов ускоренных испытании, приведен в /7/.
Г. Д.Карташовым /5/ была указана возможность проверки гипотез о виде ??0 ~ в случае, когда распределение может меняться от партии к партии, то есть при нестабильном цроизводст-ве. С этой целью проводятся так называемые динамические испытания. В нормальном режиме ?0 начинают испытываться /г, пар изделий. Каждая пара испытывается в 80 до тех пор, пока не откажет одно из изделий, после чего оставшееся годным изделие переключается в режим, где доводится до отказа. Цусть р ¦ - время работы сой пары в? — время работы сой пары, = + - «црогнозируемое» время работы в ?0 изделия, переключенного в. При соблюдении некоторых условий, указанных в /5/, гипотеза эквивалентна статистической гипотезе где функции распределения случайных величин соответственно. В третьей главе рассмотрены два критерия проверки //0. Цусть г ^(2) ^ «' ^ «обьедаяеяный вариационный ряд выборок 9ц) • Обозначим о, 11(0 = 9е, е-иг, .
Оцределение 3.1. Вектор = называется допусти * мым, если а) состоит из Уь нулей и /г, единиц,.
Здесь [х] - целая часть числа X.
В первом параграфе определено расцределение допустимых векторов.
Во втором параграфе, по аналогии со стандартными критериями Смирнова, да цроверки Н0 построен критерий со статистикой.
Ь = шлсо * С (1.
Л Л где ^ (х)) ¿-ф (%) — эмпирические функции распределения выборок, ^ъ) соответственно.
Для нахождения распределения вводится модель случайного блуждания частицы: движение начинается из &00 и на Iом шаге частица переходит из } в ^?-^, заканчивая блуждание в Сь^ц. Отличие от блуждания, введенного ранее, состоит в том, что (&?. удовлетворяют условию: ^ ?=. Основной в параграфе является.
ТЕОРЕМ 3.1. Вероятность невыхода траектории случайного блуждания из произвольного {?2/, определяется выражением л. /.
Р (т) — ~Г где величину можно получить повторным применением соотношения &) % = (Рщ- * (*-М <у, ' V* ' ^ с начальными и граничными условиями.
Здесь r) d} Ct?>?eTi.
J [о, а^жт V.
В качестве следствия теоремы 3,1 получены выражения для определения функции распределения статистики 7) для полных и цензурированных данных.
В третьем параграфе получен локально наиболее мощный ранговый 1фитерий для наиболее распространенной на практике ситуации С ^ и когда распределено по экспоненциальному закону. В качестве альтернативы рассматривается гипотеза.
Утверждение 3.1. Не параметрический ранговый критерий со статистикой.
С —) fty.
А,. fsj-j N.
J=1 является локально наиболее мощным для проверки Н0 против Н±- «.
Получены выражения для вычисления точных распределений для полных и цензурированных данных. В частности, сцраведливо.
Утверждение 3.2." Расцределение вероятностей статистики 3N может быть вычислено согласно выражению где величины (и) можно подучить повторным применением соотношения.
• «= Ы-^А* (?-Mff.
Ч/ I N-l-J! d J c, j-d I N’i-J)'1^j> с начальными и граничными условиями.
В Приложении помещены таблицы точных распределений статистик некоторых критериев, рассмотренных в диссертации, для различных объемов выборок и /1 .
Работа выполнена на кафедре Высшей математики Московского Высшего Технического Училища имени Н. Э. Баумана.
Основные результаты опубликованы в статьях /'?/, /8/, /9/, /10/, /II/, /12/ и докладывались на научном семинаре кафедры «Высшая математика» МВТУ им. Н. Э. Баумана и на семинаре «Математические методы в технике» в МГУ им. М. В. Ломоносова.
— 77 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В диссертации рассмотрены методы проверки не параметрических гипотез, возникающих в некоторых задачах надежности. Основными результатами, полученными в диссертации, являются:
1. Предложен метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова в случае справедливости гипотезы (1.2).
2. Получена статистика локально наиболее мощного рангового критерия для проверки (1.2) против (1.16) и указан способ вычисления её точных распределений.
3. Доказана теорема о слабой сходимости распределения статистики (2.1) к распределению непрерывного нормального случайного процесса Х (±-) о.
4. Даны верхние и нижние оценки для вероятности невыхода траекторий Х (Ь) за фиксированный уровень ^Х.
5. Дан метод вычисления статистики критерия типа Колмогорова-Смирнова в задачах испытаний с переменной нагрузкой.
6. Получена статистика локально наиболее мощного критерия для цроверки гипотезы £го — против ^ = ^, С* Со в случае экспоненциального расцределенияг и У* и указан метод получения её точных распределений для полных и цензуриро-ваняых данных.
7. Табулированы таблицы точных распределений для некоторых из рассмотренных в диссертации статистик ранговых здитериев.
Результаты, полученные в диссертации, использовались при разработке межотраслевого нормативно-технического документа «Методика планирования и обработки данных по результатам испытаний машин и оборудования в форсированных режимах» с экономическим эффектом 220 тыс. рублей в год.
