Математические методы восстановления формы оптических поверхностей по интерферограммам

Математические методы восстановления (определения) деформаций оптических поверхностей и волновых фронтов по интерферо-граммам с использованием вычислительной техники стали широко внедряться е практику три десятилетия назад. До того Бремени контроль поверхностей по интерферограммам проводился в основном по качественному анализу отдельных особенностей интерференционных картин, так сказать, на глаз. При этом, во-первых, замечались в основном только саше низкочастотные пространственные аберрации или отдельные локальные искажения номинальной поверхности без полного анализа Есех существенных еклэдое в деформацию, что, естественно, обеспечивало лишь относительно грубую аттестацию. Во-Еторых, невозможность без подробных вычислений проанализировать в полной мере интерференционную картину с учетом вида поверхностей и условий измерений вынуждала прибегать к специальным приемам измерения с ограниченной широтой их применения и даже не позволяла выявить Есе возможности контроля по точности и полноте аттестации. Эти несовершенства контроля особенно касались случаев контроля сложных поверхностей и аттестаций по наборам интерферограмм.

С началом обработки интерферометрических данных на вычислительных машинах первоначальными объектами алгоритмизации стаж те методы, приемы и ситуации, которые до этого уже применялись в практическом контроле. При этом главными положительными эффектами применения математики и вычислительной техники оказались лишь уменьшение субъективного фактора в аттестации и большая полнота получаемых характеристик поверхности. Однако существенное повышение точности аттестации было достигнуто лишь для самых простых — плоских — поверхностей. Для более сложных, а также для случаев аттестаций по наборам интерферограмм дело свелось к полумерам, так как в силу инерции не было проведено достаточно полного и широкого анализа всех потенциальных возможностей, которые предоставляла математика. Все эти недостатки стали особенно существенными с прогрессом в технологии, в частности, с ростом габаритов астрономических зеркал, с усложнекием их формы и ужесточением требований к точности их изготовления. Увеличение размеров и повышение точности изготовления зеркал потребовало разработки и усовершенствования также методов абсолютной калибровки эталонных зеркал, т. е. не зависимой от сравнения с другими, известными, поверхностями.

Довольно хорошо разработанными оказались лишь методики аттестации для случаев поверхностей, которые в рабочей области близки к плоским. Так, даже для простейших неплоских поверхностей — сферических — точность математического аппарата остается достаточно удовлетворяющей современным требованиям только для угловых растворов апертуры до 30−40 градусое. В этих угловых пределах приближения, используемые е стандартном алгоритме разделения вкладов в интерферограмму от собственно деформаций аттестуемой поверхности и от расположения поверхности относительно системы контроля (от так называемой настройки интерферо-граммы), близки к пределу точности самой математической модели интерферограммы. С увеличением крутизны зеркал точность приближений резко ухудшается. Насколько этот пункт не разработан, свидетельствует тот факт, что даже сам алгоритм разделения указанных вклздое не был поставлен на регулярную основу: не было принято использоеэть для разделения минимизацию функционала и, соответственно, не поднимался вопрос о форме Бесовой функции в нем. Фактически дело обстояло так, как будто обрабатываемая поверхность Есегда плоская, и весовая функция постоянна на плоской поверхности интегрирования, что приводит в первую очередь к различной оценке качества поверхности в центре и на периферии существенно неплоского зеркала. Вопрос о приближениях важен еще потому, что е обычном приближении вклады в интерферограмму от некоторых возможных деформаций неплоской поверхности не отделимы от вкладов настройки, в то время как при более точном анализе они могут быть разделены. В последнем случае такой более точный анализ позволяет одновременно ослабить требования к юстировке измерительной схемы, что существенно на практике. Конкретно методика, позволяющая проводить аттестацию с точностью порядка точности самой модели интерферограммы для зеркал с большой крутизной, разработана в диссертации для сферических, цилиндрических, эллиптических, параболиче.

— б ских и гиперболических зеркал. Во всех этих случаях в математической процедуре разделения указанных Еыше вкладов в интерферо-грамму использовались функции настройки для соответствующих поверхностей в явном аналитическом виде. Применение специальных вычислительных методов и приемов позволяет решить ту же задачу разделения вкладов полностью численно на ЭВМ без предварительного нахождения аналитических выражений для настройки, лишь при условии задания формы поверхности любым способом, в том числе и численно на сетке. Это обобщает методику высокоточной аттестации и на более сложные зеркала, для которых получение функций настройки в аналитическом виде может оказаться затруднительным.

Кроме недостаточно полного анализа математических приближений, используемых при аттестации, в определенных случаях в комплексе математической обработки данных от комбинации интер-ферограмм оставался дефект, характерный для начального периода применения математического анализа к реальным расчетам, а именно неучет конечной точности данных и вычислений, а также неучет принципиального отличия математической модели интерфе-рограммы от реальной ее первоосновы. Из-за неучета этих факторов, ео-перЕЫх, переоценивалась реальная точность известного метода калибровки зеркала по трем интерферограммам. В существовавших изложениях метода неявно предполагалась однопорядковая точность аппроксимации всех задействованных в методе величин. Однако в действительности эти величины имели разную природу и соответственно разную пространственную сложность, из-за чего для их аппроксимации требовались аппроксимирующие полиномы существенно различных порядков вплоть до таких, что аппроксимация, равная по точности аппроксимации остальных величин, на практике попросту не могла быть получена, что, разумеется, снижало реальную точность калибровки и что не было замечено. Во-вторых, в разработанном в СЖ методе еосстановления поверхности по интерферограммам от отдельных частей поверхности отсутствовало требование перекрытия снимаемых областей (а некоторыми это перекрытие даже рассматривалось как досадная помеха процедуре восстановления, что вовсе не сообразуется с общим правилом неухудшения задачи при добавлении информации). Считалось, что поверхность может быть восстановлена и без экспериментальной информации о связи частей. Совершенно очевидно, что основанием такого убеждения была возможность формально продолжить (экстраполировать) полиномиальную аппроксимацию данных, полученных е одной области, в другую область. Однако не было учтено, что поверхность реального зеркала не представляет собой аналитической функции (и тем более точно представимой довольно коротким рядом) и не обязана продолжаться по соответствующим законам. В общем не было понято, что аппроксимирующая функция е действительности лишь с тем или иным допустимым сглаживанием представляет (заменяет) данные, и если в комплексе данных нет сведений о некотором интересующем нас поведении реальной поверхности, то и по аппроксимации этих данных интересующий эффект не может быть найден. Поэтому основополагающая идея метода, предлагавшегося для контроля крупногабаритных зеркал и зеркал сложной формы, оказалась полностью и принципиально ошибочной.

Таким образом, для ситуации с математической обработкой интерферограмм с использованием вычислительной техники было характерно отсутствие единого, последовательного, систематического, полного и комплексного рассмотрения задачи аттестации широкого круга поверхностей с необходимым учетом конкретных особенностей в отдельных реальных случаях. Эта задача в определенной степени законченном виде и решена в диссертации.

Ввиду имеющегося разнобоя в подходе к построению математической модели интерферограммы в качестве вводного, первоочередного и объединяющего этапа предпосылается изложение общих методов полиномиальной аппроксимации данных применительно к случаю аппроксимации интерферометрических данных на дискретных сетках и метода разделения вкладов в интерферограммы от различных источников. В сеязи с желательностью максимальной однородности методики, удовлетворительной устойчивости получения аппроксимаций и для согласования представления результатов аттестации с принятой в оптике классификацией ошибок поверхностей наборами аберраций весь анализ в случае круговых апертур проводится с использованием базиса полиномов Цернике или им подобных, ортогональных на круге или на отсекаемой плоскостью части сферы, возможно, с центральным круговым отверстием.

В литературе отсутствует систематический анализ влияния случайного шума в данных на точность восстановления поверхностей и ЕкладоЕ отдельных аберраций. В диссертации для заполнения этого пробела приведены результаты модельных расчетов точности восстановления, которые могут быть использованы для оценок в реальных ситуациях, а также при планировании экспериментов.

Несколько особняком стоит рассмотрение возможных ошибок аттестации сферических зеркал методом Гартмана в сферическом пучке. Хотя гартманограмма не является интерферограммой и ее обработка отличается от обработки интерферограммы, все же результаты, полученные при анализе обработки интерферограмм от сферических зеркал и касающиеся ограничений возможного вида деформаций сферических поверхностей, важны и при аттестации методом Гартмана.

При относительном единстве и взаимной согласованности математических методов аттестации поверхностей по интерферо-граммам различные их конкретные реализации, особенно в имеющихся изложениях, доеольно разнородны. Поэтому представляется несколько искусственным и нецелесообразным делать с самого начала обзор литературы по этим многочисленным и разнообразным вопросам в целом. Кроме того, и литературы по существу основных (и новых) исследуемых е диссертации вопросов очень немного для поверхностей с большой крутизной регулярный математический аппарат по типу имеющегося для плоских поверхностей прежде практически не разрабатывалсяизучение ошибок аттестации, вызванных шумом е данных, было эпизодическим и далеким от полнотыпринципиальных математических работ по абсолютной калибровке зеркал — единицыи т.д. По этим причинам в настоящей диссертации работы других авторов по различным тематикам приводит ся по ходу дела соответственно разбираемым методам аттестации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложения.

ЗЖЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации проведено систематическое и достаточно полное исследование математических аспектов восстановления низкочастотных пространственных деформаций оптических поверхностей различного вида по интерферограммам, получаемым в основных способах интерферометрического контроля. Основной задачей диссертации было расширение области применимости математического аппарата обработки интерферограмм на поверхности с большой угловой апертурой при сохранении точности восстановления, характерной для случая плоских поверхностей, и при единстве методики, использующей полиномиальные аппроксимации интерферограмм. Сопутствующей задачей была разработка алгоритмов, наиболее полно и адекватно использующих данные от наборов интерферограмм от одной или нескольких поверхностей. Третьей задачей являлось изучение влияния шума в данных на точность аттестации поверхностей в разных способах интерферометрического контроля. Решение этих трех задач практически обеспечивает базу для создания математического обеспечения интерфероме триче ского контроля сложных высокоточных оптических поверхностей и для планирования измерений.

Соответственно этим задачам в диссертации получены следующие основные результаты.

1. Для сферических, цилиндрических, параболических, гиперболических и эллиптических зеркал с большой угловой апертурой разработан в аналитическом Биде аппарат восстановления деформаций по интерферограммам, работающий с точностью, сопоставимой с точностью самой стандартной модели интерферограммы (не хуже^0,001 длины волны). Предложена методика обработки интерферограмм от других оптических поверхностей, заданных в численном виде на сетке. Указаны случаи, когда задача разделения вкладов в интерферограмму от деформаций и от настройки не разрешима однозначным образом. В остальных случаях развитый аппарат снимает необходимость особо точной настройки измерительной схемы, поскольку параметры настройки могут быть определены и учтены при математической обработке данных.

2. Для обработки наборов интерферограмм (в том числе от сферических поверхностей с большой угловой апертурой): а) разработан математический алгоритм для метода абсолютной (без эталонов) калибровки трех плоских или сферических зеркал по четырем интерферограммам, полностью использующий все данные и работающий с точностью, близкой к точности аттестации по интерферограммам с идеальным эталономб) разработан математический алгоритм для метода калибровки сферического зеркала по трем интерферограммам и показано, что предполагавшаяся ранее высокая точность этого метода практически не достижимав) сопоставлены различные способы обработки набора интерферограмм от одной поверхности. Наиболее адекватный задаче метод «объединенной интерферограммы» применим как для ослабления влияния шума в данных, так и для восстановления деформаций поверхности при недостаточно густых по отдельности сетках. Для обеспечения работоспособности этого метода в случае цилиндрических и сферических зеркал с большой угловой апертурой образо-ны базисы с выделенными функциями настройки, в том числе и для сферических зеркал с круглым центральным отверстиемг) показана ошибочность предложенного за рубежом метода восстановления поверхности по интерферограммам от не перекрывающихся ее частей.

3. На основании расчетов с модельным шумом в данных для различных сеток и степеней полиномов аппроксимации получены надежные оценки вызванных шумом ошибок восстановления поверхностей и вкладов аберраций, необходимые для реальных оценок точности аттестации и для планирования измерений.

Таким образом, создан математический аппарат, необходимый для высокоточного восстановления деформаций широкого круга оптических поверхностей по данным всех осноеных способов интер-ферометрического контроля. На его основании разработан комплекс программ обработки интерферограмм, который использовался, в частности, в ГОИ им. С. И. Вавилова при аттестации эталонных зеркал.

— 267.

Основные защищаемые положения.

1. Метод математического разделения вклздое в интерферограмму от деформаций оптической поверхности и от настройки измерительной схемы.

2. Математические алгоритмы высокоточной аттестации по интерферограммам неплоских поверхностей с большой угловой апертурой.

3. Метод «обобщенной интерферограммы» аттестации неплоских поверхностей при использовании разработанных базисов с выделенными функциями настройки.

4. Оценки точности аттестации поверхностей в зависимости от шума в данных.

5. Математические алгоритмы абсолютной калибровки поверхностей по наборам интерферограмм.

6. Доказательство необоснованности методов аттестации поверхности по наборам интерферограмм от не перекрывающихся ее частей.

7. Доказательство невозможности выделения вклада настройки в интерферограмму при использовании эталона неподходящей формы.

8. Создание математической базы для математического обеспечения высокоточной аттестации оптических поверхностей основных видов по интерферограммам. # #.

Я благодарен кандидату физико-математических наук В. Н. Шаронову, совместно с которым мы написали ряд работ по обработке интерферограмм, за длительное конструктивное сотрудничество. Я благодарен доктору технических наук И. И. Духопелу за предложение некоторых исходных задач, многочисленные обсуждения и чрезвычайную благожелательность. Благодарю Е.Б.ЛанееЕа за полезные советы и дискуссии по методологическим и некоторым конкретным вопросам математической обработки экспериментов. Благодарю также профессора Е. П. Жидкова за полезные рекомендации, внимание и поддержку.

Я признателен сотрудникам подразделения «8-й блок» Вычислительного центра РУДН, особенно А. Г. Мирошникову, за создание благоприятных условий для работы и помощь в общении с вычислительной техникой.