Математические методы исследования в экономике

Исходя из этого выбирается задача исследования, которая позволит решить вопросы оптимизации, сравнения, оценки, прогноза, анализа чувствительности, выявления функциональных соотношений и т. д.Последующая работа связана с разработкой сценария функционирования объекта и разработкой концептуальной модели. Например, для структуры общеэкономического баланса концептуальная модель (рис. 3) строится следующим образом.Рис. 3. Схема концептуальной модели экономической деятельности

Со стороны предприятий на рынок конечных продуктов и услуг поступает поток товаров q, измеряемый для каждого отдельного вида товара в единицах продукции на единицу времени (ед./год). В соответствии со складывающимися на рынке ценами Р (руб./ед.), расходами домашних хозяйств

С (руб./год) и правительства G (руб./год) поток расходов движется навстречу потоку товаров. Расходы правительства Gвключают оплату труда работников госучреждений и финансирование госзаказов предприятиям. Совместно с потоком инвестиций I (руб./год) потоки

Си Gобразуют главную часть дохода бизнеса, другой составляющей доходов бизнеса является экспорт Е (руб./год) за вычетом импорта М (руб./год), то есть результирующее сальдо X = Е — М. Поток суммарных доходов бизнесаY = C + G + I + X (руб./год), что отражает так называемую структуру валового национального продукта (ВНП).Структура ВНП как совокупного потока доходов бизнеса имеет видYВНП =C + G + I + (Е — М), а структура валового потока доходов домашних хозяйств —YВНД =C + S + T, где S — накопления; Т — налоги. Из концептуальной модели макроэкономический баланс определяется фундаментальным уравнением Д. Кейнса: YВНП = f (YВНД, T) + G + I + X, где f (YВНД, T) — функция потребления домашнего хозяйства. Необходимость проведения исследования возникает из реальных ситуаций, складывающихся в процессе работы систем, когда они в чем-либо начинают не удовлетворять каким-либо требованиям. Если недостатки очевидны и известны методы их устранения, то нет необходимости в исследованиях. К сожалению, такая ситуация встречается достаточно редко. В силу сложности систем и достаточно большого числа факторов, влияющих на эффективность их функционирования, поставить «диагноз» системе не всегда просто. Изучение сложившейся ситуации, поведения системы и ее элементов, опыт исследователя и его интуиция позволяют сделать предварительный диагноз системе, определить и сформулировать задачу исследования. Исходя из задачи исследования определяется назначение математической модели, которая должна быть построена. Такие модели могут решать задачи:

• выявления функциональных соотношений — определение количественных зависимостей между входными факторами модели и выходными характеристиками исследуемого объекта;

• анализа чувствительности — установление из множества факторов, действующих на систему, тех, которые в большей степени влияют на интересующие исследователя выходные характеристики;

• прогноза — определение поведения системы при некотором предполагаемом сочетании внешних условий;

• оценки — определение того, насколько хорошо исследуемый объект будет соответствовать некоторым критериям;

• сравнения — сопоставление ограниченного числа альтернативных вариантов систем или же сопоставление нескольких предлагаемых принципов или методов действия;

• оптимизации — точное определение такого сочетания переменных управления, при котором обеспечивается экстремальное значение целевой функции. Выбор задачи определяет процесс конструирования и экспериментальной проверки модели. Любое исследование должно начинаться с построения плана, включающего обследование системы и анализ ее функционирования. В плане предусматривается:

• описание функций, реализуемых объектом;

• определение взаимодействий всех систем и элементов объекта;

• определение зависимостей между входными и выходными переменными и влияния переменных управляющих воздействий на эти зависимости;

• определение экономических показателей функционирования системы. Результаты обследования системы и окружающей среды представляются в виде описания процесса функционирования, которое используется для идентификации системы. Идентифицировать систему — значит выявить и изучить ее, т. е. получить возможно более полную характеристику системы и ее поведения, познать объективные закономерности ее внутренней организации, очертить ее границы, указать на вход, процесс и выход, определить налагаемые на них ограничения, построить структурную и математическую модели, описать на каком-либо формальном абстрактном языке, определить цели, принуждающие связи, критерии действия системы. После идентификации системы строится концептуальная модель, являющаяся «идеологической» основой будущей математической модели. Именно в ней отражается состав критериев оптимальности и ограничений, определяющих целевую направленность модели. Перевод на этапе формализации качественных зависимостей в количественные преобразует критерий оптимальности в целевую функцию, ограничения — в уравнения связи, концептуальную модель — в математическую. Концептуальная модель (рис. 4) на заключительном этапе ее построения проверяется на адекватность исследуемой системы реальной.Рис. 4. Концептуальная модель функционирования производственной системы

Схема построения концептуальной модели позволяет понять, что процесс ее построения представляет собой не только прямую, но и обратную связь отдельных этапов. Это означает, что при работе над последующим этапом приходится возвращаться к предыдущим для уточнения тех или иных моментов. Для построения концептуальной модели производственно-экономическую систему рассматривают как кибернетическую систему с указанием основных и обратных связей, входа и выхода и подсистем управления. На основе концептуальной модели можно построить факторную модель (рис. 5), которая устанавливает логическую связь между параметрами объекта, входными и выходными переменными, факторами внешней среды и параметрами управления. При этом также учитываются обратные связи в системе.Рис.

5. Факторная модель производственной системы

Этап 3. Составление математической модели. Вид математической модели в значительной степени зависит от цели исследования. Вначале лучше поискать подходящую модель в литературе или использовать те или иные известные закономерности экономики в виде функций, связывающих переменные и постоянные факторной модели между собой. Математическая модель может быть представлена в виде математического выражения — алгебраического уравнения или неравенства, не имеющих разветвления вычислительного процесса при определении любых переменных состояния модели, целевой функции и уравнений связи. Для построения такой модели формулируются следующие понятия: критерий оптимальности, целевая функция и ограничения. Так, например, для факторной модели (рис. 5) выбираем в качестве ограничений значения переменных тогда целевая функция будет иметь вид, а функция оптимизации —Следующими этапом построения математической модели системы является формирование математической модели, включающее в себя несколько видов работ: математическую формализацию, численное представление, анализ модели и выбор метода ее решения. Математическая формализация осуществляется по концептуальной модели. При формализации рассматриваются три основные ситуации:

1. Известны уравнения, описывающие поведение объекта. В этом случае решение прямой задачи позволяет найти реакцию объекта на заданный входной сигнал.

2. Обратная задача, когда по заданному математическому описанию и известной реакции необходимо найти входной сигнал, вызывающий этот отклик.

3. Математическое описание объекта неизвестно, но имеются или могут быть заданы совокупности входных и соответствующих им выходных сигналов. В этом случае имеем дело с задачей идентификации объекта. При моделировании производственно-экономических объектов в третьей ситуации (при решении задачи идентификации) используется подход, предложенный Н. Винером, известный как метод «черного ящика». В качестве «черного ящика» рассматривается объект в целом вследствие его сложности. Так как внутреннее устройство объекта неизвестно, мы можем изучить «черный ящик», изучая входы и выходы. Сопоставляя вход и выход, можно записать уравнение где — вектор входных параметров; — вектор выходных параметров;

А — оператор объекта, преобразующий входные параметры в выходные. Для описания объекта в виде математической зависимости в задачах идентификации используются методы регрессионного анализа. При этом возможно описание объекта множеством математических моделей, так как нельзя вывести обоснованного суждения о его внутреннем устройстве. При развитой системе математического обеспечения ЭВМ целый ряд процедур моделирования осуществляется с помощью стандартных программ. Оригинальные математические модели можно построить на основе проведенных исследований систем, апробированных в ходе производства. Для проведения новых исследований такие модели корректируются под новые условия. Математические модели элементарных процессов, физическая природа которых известна, записываются в виде тех формул и зависимостей, которые установлены для этих процессов. Как правило, статические задачи записываются в виде алгебраических выражений, динамические — в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений. При моделировании широко используются методы преобразования табличных значений к аналитическому виду с помощью интерполяции, аппроксимации и экстраполяции. Интерполяция — приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или другой величины, с ней связанной. Например, через любые п + 1 точек можно всегда провести линию, описываемую полиномом пой степени так, чтобы она прошла через каждую из заданных точек.

Полученная линия называется интерполирующей функцией и может быть получена методом Лагранжа или Ньютона. Аппроксимация — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов. Экстраполяция функции — продолжение функции за пределы ее области определения, при котором продолженная функция принадлежит заданному классу. Экстраполяция функции обычно производится с помощью формул, в которых использована информация о поведении функции в некотором конечном наборе точек, называемых узлами интерполяции и принадлежащих ее области определения. Формальная экстраполяция сводится к математически оптимальной подгонке исходного статистического ряда к какой-либо аппроксимирующей функции. Критерием оптимальности здесь может выступать близость точек ряда к аппроксимирующей функции. Прогнозная экстраполяция строится на основе математического анализа исходного ряда с учетом логики и существа развития объекта, его физики и абсолютных пределов. Следующим этапом построения является анализ полученной модели и выбор метода ее решения. Основой для вычисления значений выходных характеристик модели служит составленный на ее базе алгоритм решения задачи на ЭВМ. Разработка и программирование такого алгоритма, как правило, не имеет принципиальных трудностей. Более сложной является организация вычислительного процесса для нахождения выходных характеристик, лежащих в допустимых областях, особенно для многофакторных моделей.

Еще более сложным является поиск решений по оптимизационным моделям. Самая совершенная и адекватная описываемому процессу математическая модель без нахождения оптимального значения бесполезна, поскольку не может быть использована. Основную роль при разработке алгоритма поиска оптимальных решений играет характер факторов математической модели, число критериев оптимальности, вид целевой функции и уравнение связи. Вид целевой функции и ограничений определяет выбор одного из трех основных методов решения экономико-математических моделей:

• аналитического исследования;

• исследования при помощи численных методов;

• исследования алгоритмических моделей с помощью методов экспериментальной оптимизации на ЭВМ. Аналитические методы отличаются тем, что помимо точного значения искомых переменных они могут давать оптимальное решение в виде готовой формулы, куда входят характеристики внешней среды и начальные условия, которые исследователь может изменить в широких пределах, не меняя самой формулы. Численные методы дают возможность получить решения путем многократного вычисления по определенному алгоритму, реализующему тот или иной численный метод. В качестве исходных данных для вычислений используются числовые значения параметров объекта, внешней среды и начальных условий. Численные методы являются итеративными процедурами: для проведения следующего шага расчетов (при новом значении управляемых переменных) используются результаты предыдущих расчетов, что позволяет получать в процессе вычислений улучшенные результаты и находить оптимальное решение. Этап 4. Вычисления. При решении задачи необходимо тщательно разобраться с размерностью всех величин, входящих в математическую модель, и определить границы (пределы), в которых будет лежать искомая целевая функция, а также требуемую точность вычислений.

Если возможно, вычисления при неизменных условиях проводятся несколько раз, чтобы убедиться, что целевая функция не изменяется. Этап 5. Выдача результата. Результаты исследования объекта могут выдаваться в устной или письменной форме. Они должны включать в себя краткое описание объекта исследования, цель исследования, выбранную математическую модель, допущения и ограничения, основные результаты вычислений, выводы и обобщения. Заключение

Свойства конкретной алгоритмической модели, на которой базируется алгоритм поиска оптимального решения, например ее линейность или выпуклость, могут быть определены только в процессе экспериментирования с ней, в связи с чем для решения моделей этого класса используются так называемые методы экспериментальной оптимизации на ЭВМ. При использовании этих методов производится пошаговое приближение к оптимальному решению на основе результатов расчета по алгоритму, моделирующему работу исследуемой системы. Методы базируются на принципах поиска оптимальных решений в численных методах, но в отличие от них все работы по разработке алгоритма и программы оптимизации выполняет разработчик модели. Имитационное моделирование задач, содержащих случайные параметры, принято называть статистическим моделированием. Заключительным шагом создания модели является составление ее описания, которое содержит сведения, необходимые для изучения модели, ее дальнейшего использования, а также все ограничения и допущения. Тщательный и полный учет факторов при построении модели и формулировке допущений позволяет оценить точность модели, избежать ошибок при интерпретации ее результатов. Наиболее широко применяемые математические методы в моделировании приведены в таблице 1. Таблица 1 — Математические методы в моделировании экономических объектов

Задачи исследования

Математические методы решения

Математическое программирование

ДифференциальныеуравненияТеория массовогообслуживания

Теория игр и решений

Теория графов

Теория расписаний, комбинаторика

Теория автоматов, математическая логика

ЛинейноеНелинейное

Дискретное Динамическое Стохастическое

Задачи распределения и назначения+++++++Управление запасами+++Замена и ремонт оборудования+++Задачи массового обслуживания++++Задачи упорядочивания и согласования++++Проектирование сетей и выбор маршрутов+++++Задачи состязаний и переговоров++++Деловые игры, имитационные модели+++Планирование, балансовые модели+++++

Список литературы

Абчук В. А. Экономико — математические методы. — СПб., Союз, 1999

Багриновский К.А., Матюшок В. М. Экономико — математические методы и модели. — М.: РУДН, 1999

Гаркас В. А. Использование VS Excel и VBA в экономике и финансах. — СПб., 1999

Горбовцов Г. Я. Методы оптимизации и: Учебно — практическое пособие. — М.: МЭСИ, 2000

Горчаков А.А., Орлова И. В. Компьютерные экономико — математические модели. — М.: ЮНИТИ, 1995

Жданов С. А. Экономические модели и методы в управлении. — М.: ДиС, 1998

Зайцев М. Г. Методы оптимизации управления для менеджеров. Компьютерно — ориентированный подход: Учеб. Пособие. — М.: Дело, 2002

Замков О.О., Толтопятенко А. В., Черемных Ю. П. Математические методы в экономике: Учебник. — М.: ДИС, 1997

Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. — М. ИИД «Филинъ», 1998

Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике. — М.: ЮНИТИ, 1997

Мельник М. М. Экономико — математические методы в планировании и управлении материально — техническим снабжением. — М.: Высшая школа, 1990

Орлова И. В. Экономико — математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. Практикум. — М.: Финстатинформ, 2000

Орлова И.В., Половников В. А., Федосеева Г. В. Курс лекций по экономико — математическому моделированию. — М.: Экономическое образование, 1993

Солодовников А.С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике: Учебник. В 2-х частях. Ч.

1. -М.: Финансы и статистика, 1999

Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999

Федосеев В.А., Гармаш А. Н., Дайтбегов Д. М., Орлова И. В., Половников В. А. Экономико — математические методы и прикладные модели: Учеб. Пособие для вузов/ Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999

Федосеев В.В., Гармаш А. Н. и др. Экономико — математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999

Хазинова Л. Э. Математическое моделирование в экономике. — М.: БЕК, 1998

Шипин Е.В., Чхартиневили А. Г. Математические методы и модели в управлении. — М.: Дело, 2000

Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решения. — М.: ЮНИТИ, 1997

Экономико — математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999.