Содержание
- Введение и обзор литературы
- Глава 1. Постановка задачи и общее описание реализованного алгоритма
- 1. 1. Постановка задачи
- 1. 2. Особенности реализованного алгоритма
- 1. 3. Описание алгоритма
- Глава 2. Детальная характеристика применяемых методов
- 2. 1. Алгоритм расчёта электрического поля методом переменных направлений.:.,.,
- 2. 2. Алгоритм расчёта траекторий путем решения уравнений Лоренца
- 2. 3. Алгоритм расчёта плотности пространственного заряда
- 2. 4. Расчёт потенциала методом интегральных уравнений Фредгольмапервого рода
- 2. 5. Общая вычислительная схема расчета электронных траекторий методом тау-вариаций
- Глава 3. Анализ результатов численных экспериментов
- 3. 1. Пример 1. Плоский диод с осевой симметрией
- 3. 2. Пример 2. Двумерная задача о плоском диоде
- Обзор литературы
Центральной проблемой компьютерного моделировании электронных пушек, а также других эмиссионных электронно- и ионно-оптических приборов и устройств, в которых пространственный заряд пучка играет существенную роль, является численное решение самосогласованной траекторно-полевой задачи в области, прилегающей к поверхности эмиттера. Влияние пространственного заряда проявляется в радикальной перестройке структуры электрического поля и, соответственно, электронного пучка вблизи эмиттера.
Эффект ограничения анодного тока пространственным зарядом в плоском диоде, в предположении, что эмитируемые электроны имеют нулевые начальные скорости, впервые был рассмотрен С. Чайлдом (С. Child) в 1911 г. [1] и И. Ленгмюром (I.Langmuir) в 1913 г. [2]. Ими же впервые было получен так называемый закон «трех вторых» j~U3/2/h2, где j — плотность тока на катоде, U — потенциал электрического поля на расстоянии h от катода.
Самосогласованная задача для плоского диода, с учётом максвелловского разброса начальных скоростей, впервые аналитически решена И. Ленгмюром в 1921 г.
Наиболее общая постановка задачи о поведении заряженных частиц в электромагнитном поле не предполагает наличия ярко выраженных регулярных структур у штоков заряженных частиц и включает в себя эффекты коллективных взаимодействий. Используемый в этом случае математический основывается на численных аппроксимациях кинетического уравнения Больцмана, либо на совместном решении системы уравнений Максвелла и одного из вариантов метода макрочастиц. В бесстолкновительном приближении уравнение Больцмана переходит в уравнение Власова, а при наличии источников рождения частиц и столкновений между ними оно заменяется уравнением Фоккера-Планка.
Макроскопическое описание движения частиц, оперирующее с моментами уравнения Власова, приводит к так называемому гидродинамическому приближению, рассматривающему поток заряженных частиц, как поток жидкости, в каждой точке которой однозначным образом определён вектор скорости. Такой подход, а также его различные уточнённые модификации, достаточно точны для определения общей формы потока частиц и распределения средней по времени плотности заряда внутри потока.
Гидродинамическое приближение дает хороший эффект при расчёте сильноточных электронно-оптических систем [4−15], в которых влияние тепловых скоростей на поведение пучка пренебрежимо мало. К их числу относятся мощные электронные пушки, приборы СВЧ-электроники, высоковольтные коммутаторы, инжекторы и др. [16]. Такие системы обладают первеансом, превышающим Ю^А/В372, и формируют широкие электронные пучки (диаметром несколько миллиметров и более) с токами в десятки ампер и мощностями в сотни киловатт. Для расчета сильноточных систем, в частности, устройств с низкотемпературной плазмой, используется также метод установления, базирующийся на использовании модели крупных частиц [ 17−26].
Наоборот, в изображающих системах с первеансом меньше 10"8А/В3/2 влияние пространственного заряда на формирование электронного пучка, как правило, незначительно, и наиболее важным фактором, принципиально влияющим на пространственное разрешение, является начальный разброс электронов по скоростям.
Класс таких электронно-оптических систем составляют электронно-оптические преобразователи, приборы с автоэлектронной эмиссией, сверхтонкие катодно-лучевые трубки, установки микро- и нанолитографии, и ряд других. Для численного моделирования таких систем применяются траекторные [27] или аберрационные методы [28,29], дающие хорошее соответствие численных результатов с экспериментом.
Важный класс электронно-оптических систем, занимающих промежуточное положение по отношению к рассмотренным выше, образуют относительно слаботочные электронно-оптические термоэмиссионные системы В таких системах необходим одновременный учет пространственного заряда, разброса заряженных частиц по начальным скоростям и формы эмиттера. Указанные системы широко применяются в устройствах электроннолучевого оборудования для микросварки [30], размерной обработки электронным лучом, электронно-лучевого гравирования, а также в электронных микроскопах и в ряде других прецизионных электроннолучевых приборах и устройствах аналитического и технологического назначения.
Интегральной характеристикой относительно слаботочных электронно-оптических систем является яркость, а формируемый такими системами пучок характеризуется углом расходимости, радиусом, положением кроссовера и плотностью тока в кроссовере. В термоэмиссионных системах, используемых в технологическом оборудовании, формируются пучки с током порядка 100 мА и размером пятна изображения не более сотни микрометров. В электронных микроскопах токи обычно не превышают 100 мкА, а размер получаемого пятна изображения имеет порядок долей микрометра. Первеанс, характеризующий степень влияния пространственного заряда, в таких системах, как правило, не превышает Ю^А/В3'2.
Термоэмиссионньге системы этого класса обычно работают в режиме ограничения тока пространственным зарядом. Основные эксплуатационные параметры таких систем (полный ток пучка, распределение плотности тока в кроссовере и т. д.) определяются сильным влиянием пространственного заряда пучка в области, расположенной между катодом и кроссовером. Задача компьютерного проектирования таких систем состоит в выборе оптимальной геометрии электродов (с учётом формы катода и распределения тепловых скоростей эмитируемых частиц), которая обеспечивает необходимый угол расходимости пучка, а также требуемый размер и положение кроссовера и пятна изображения.
Таким образом, при компьютерном моделировании данного класса систем важен совместный учёт формы катода, влияния пространственного заряда (особенно, вблизи катода) и тепловых скоростей эмитируемых частиц, поскольку указанные эффекты принципиально определяют основные рабочие параметры и предельное разрешение. Относительно слаботочные системы не удаётся точно рассчитать ни с помощью гидродинамической модели, развитой для сильноточных систем, ни с помощью обычного траекторного или аберрационного анализа, не принимающего во внимание эффекты пространственного заряда. Для расчета относительно слаботочных систем необходима специализированная и, одновременно, достаточно универсальная математическая модель, позволяющая в максимальной степени учесть тепловой разброс эмитированных электронов по начальным скоростям и влияние пространственного заряда.
Одним из универсальных подходов к решению самосогласованной задачи в оптике заряженных частиц, является метод установления, базирующийся на применении модели крупных частиц [31−35]. Универсальность этого метода зачастую оборачивается весьма существенными издержками, поскольку стационарная задача решается как нестационарная, а это существенно увеличивает время счета и объем памяти, необходимой для хранения информации о всех микрочастицах, находящихся в расчётной области. Вычислительные ресурсы, необходимые для реализации метода установления, обычно не менее, чем та порядок превышают аналогичные ресурсы для решения стационарных задач итерационными методами [36].
Другой метод, реализованный на основе конечно-разностной аппроксимации задачи, заключается в непосредственном задании краевого условия д (р/дп = 0(а не Ф = const) на поверхности эмиттера, где ф — потенциал поля, п — нормаль [37]. Третий метод, традиционно используемый большинством авторов для решения самосогласованной задачи, заключается в реализации алгоритма «трубок тока» и известного закона «трёх вторых» Чайлда-Ленгмюра [38] в качестве начальных данных.
Апробация построенных алгоритмов часто производится на вакуумном диоде, как наиболее простой геометрии, для которой может быть построено аналитическое решение. Работа Ю. И. Мокина [39] посвящена сравнению двух математических моделей описания заряженных частиц в цилиндрическом вакуумном диоде. Первая из моделей основана на определении функции распределения частиц в фазовом пространстве из кинетического уравнения Власова [40]. Вторая модель основана на определении траекторий заряженных частиц из системы интегрально-дифференциальных уравнений и вычисления по ним электромагнитного поля диода.
Для описания стационарных конфигураций электронных пучков была предложена математическая модель [39], позволившая изучить такие фундаментальные вопросы, как соотношение дискретных моделей и кинетической модели, сходимость метода макрочастиц [41], точность дискретных моделей [42] и алгоритмические особенности численного исследования электронных пучков в вакуумном волноводе [43, 44].
Анализ различных математических моделей, описывающих конкретную задачу о формировании пучка заряженных частиц в вакууме [39], выявил присущую этой проблеме некорректность. Оказалось, что описание движения заряженных частиц в вакууме приводит к необходимости изучать целый ряд классов некорректных задач, таких, например, как решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода, вычисление значений неограниченных операторов, решение дифференциальных уравнений с неограниченными или быстро меняющимися входными данными и некоторые другие. Специфика этих задач такова, что для однократного расчёта некоторые из указанных выше некорректных задач приходится решать от нескольких десятков до нескольких тысяч раз. Рассмотрению одной из таких некорректных задач посвящена работа [44]. Разработке более экономичных способов и алгоритмов вычисления плотности тока эмиссии посвящена работа [45].
Изучению точности аппроксимации закона «трех вторых» Чайлда-Ленгмюра посвящена работа [43], в которой показано, что самосогласованное электрическое поле, полученное из дискретной модели [39], отличается от самосогласованного поля кинетической модели [39] на величину 0{Ы /2), где N порядок квадратурной формулы [43]. В случае нерелятивистского стационарного движения электронов в плоском диоде, работающего в режиме ограничения катодного тока пространственным зарядом.
Наибольшие трудности расчёта электронных пушек возникают при анализе прикатодной области. Сложность расчёта этой области связана, прежде всего, с существованием в ней минимума потенциала в режиме ограничения катодного тока пространственным зарядом. В работе [46] показано, что наличие в прикатодной области потенциального барьера, в режиме ограничения тока пространственным зарядом, приводит к неустойчивости движения частиц в прикатодной области.
В реальных системах с плоскими катодами модель плоского диода применима лишь на небольших расстояниях от эмиттера, где поле реальной системы с достаточной точностью совпадает с полем плоского одномерного диода. В работе [47] на основе полученного для аксиально-симметричных электронно-оптических систем с ограниченным плоским катодом обобщённого закона Чайлда-Ленгмюра получены формулы для расчёта распределения плотности тока и плотности пространственного заряда. Экспериментальные исследования показывают, что для систем со слабо сходящимся или слабо расходящимся пучком погрешность данной методики на расстояниях до двух радиусов катода не превышает 2−3% от искомой величины плотности тока эмиссии.
Для определения рабочей поверхности и плотности тока с эмиттера используются приближенные аналитические формулы [48].
В [49] для повышения точности расчёта электронных пушек применяются степенные разложения траекторий электронов в прикатодной области.
Наиболее полное решение в рамках аналитического подхода можно получить с помощью антипараксиальной теории [14,15].
Как уже указывалось выше, в подавляющем большинстве работ, применяются те или иные аналитические аппроксимации решения самосогласованной задачи в прикатодной области. В значительном количестве работ для анализа прикатодной области использован закон «трех вторых» Чайлда-Ленгмюра [48, 50−60]. При разработке численных алгоритмов и построении на их основе пакетов прикладных программ часто применяются модели плоского, сферического и цилиндрического диодов [38, 61]. Следует отметить, что указанные модели не позволяют адекватно описать характер формирования пучка в электронных пушках с достаточно сложной геометрией электродов, особенно в условиях, когда эмиттер работает в режиме ограничения тока пространственным зарядом.
В работе [62] произведены некоторые модификации, приводящие к уточнению численных алгоритмов. Учитывается начальное распределение по скоростям и наличие потенциального барьера у катода, для чего вместо формулы «трёх вторых» Чайлда-Ленгмюра используется формула Ленгмюра-Фри для криволинейного катода [63]. Расчёт плотности заряда производится на основе траекторного метода с улучшенной точностью расчёта поля.
В работе [64] вблизи катода решается одномерное уравнение Ленгмюра для плоского диода с учётом тепловых скоростей. Если поверхность катода является достаточно гладкой, электрическое поле вблизи катода изменяется медленно. В этом случае модель плоского диода оказывается приемлемой и, как показано в [64], расчётный ток в электронной пушке лучше согласуется с экспериментом, чем при использовании катода закона «трех вторых».
Наиболее часто для численного решения самосогласованной задачи в электронных пушках применяются метод установления [22, 65] и итерационные методы.
В итерационных методах для определения плотности тока на катоде используется либо заданная напряжённость поля на катоде [50, 66−69], либо метод выделения прикатодной области вместе с законом «трех вторых» Чайлда-Ленгмюра [31, 56, 57, 59, 70−72].
Во втором случае вблизи: катода выделяется некоторая область Е в виде узкой полоски, в которой исходная задача заменяется более простой, например, одной из задач Ленгмюра. Основная система уравнений, описывающая задачу в 0Н (П-расчётная область) интегрируется итерационным методом совместно с простой системой уравнений, заданной в выделенной области. Н. Отметим, правильнее было бы находить асимптотику решаемой самосогласованной задачи в выделенной области Е, исхода непосредственно из той системы уравнений, которая описывает задачу в области Однако задача эта трудная, и в общем случае пока не решена.
Значительно проще отождествить вид решения в прикатодной области с одной из задач Ленгмюра — плоской, цилиндрической или сферической. Именно так и поступают на практике большинство авторов, использующих данный метод.
Известен универсальный алгоритм решения нелинейных задач в случае единственности их решения, и при условии, что из заданного начального приближения существует способ перевода системы в стационарное состояние. Этот алгоритм называется методом постепенного включения источников [73]. Заключается он в том, что интенсивность источников поля умножается на малый коэффициент о, что делает задачу почти линейной. При достижении стационарного состояния линеаризованной задачи можно увеличить ш и повторить процесс. При достаточно малых приращениях А©- сходимость к решению нелинейной задачи гарантируется, однако слишком малые приращения существенно замедляют процесс сходимости. Оптимальным выходом из создавшейся ситуации служит использование релаксационных методов. Процесс релаксации может осуществляться непосредственно по объёмному заряду, так и через релаксацию плотности тока эмиссии.
Неустойчивость в определении катодного тока в итерационном процессе [59, 74] имеет место вследствие осцилляций в распределении потенциала вблизи катода. Для преодоления этой проблемы используют схему, предложенную в [74] и используют метод постепенного включения катодного тока в итерационном процессе. Однако реализованный алгоритм требует существенно большего числа точек вблизи катода при расчёте распределения поля в каждом состоянии [75].
Работа [72] посвящена выяснению деталей численной реализации метода итераций, использующий для определения плотности тока с катода закон «трёх вторых» Чайлда-Ленгмюра для диодных задач и изучению условий и скорости его сходимости.
Анализ, проведенный в [72], показал, что надёжная сходимости итерационного процесса может быть обеспечена лишь при удачном выборе начального приближения, корректного применения закона «трёх-вторых» Чайлда-Ленгмюра, а также оптимального выбора параметра релаксации и критерия сходимости. В случае значительной кривизны катода и при больших зазорах между электродами, могут возникать очень большие погрешности в определении напряженности поля вблизи катода и плотности катодного тока, сильно зависящие от внутренних параметров численного алгоритма [36].
В работе [73] решение самосогласованной задачи осуществляется фазовым методом, погрешность которого обусловлена допущениями, принятыми при выводе функциональной зависимости текущих координат и скоростей электронов от начальных скоростей на катоде.
При расчёте электронных пушек итерационными методами применяются те или иные алгоритмы для обеспечения устойчивой сходимости задачи [31]. Процесс последовательных приближений заключается в том, что в потенциал поля текущий итерации добавляется вклад заряда, рассчитанный от предыдущей итерации. Простейший анализ одномерных задач показывает, что' такой процесс не всегда сходится. В этом случае итерационный процесс начинает работать в «ключевом» режиме, например, когда на четных итерациях пучок проходит через систему, а на нечётных полностью запирается пространственным зарядом, или наоборот.
Попытка теоретического исследования такого процесса для плоского диода в режиме ограничения тока пространственным зарядом при нулевых начальных скоростях электронов в рамках закона «трёх вторых» Чайлда-Ленгмюра сделана в [52, 76], где с некоторыми упрощающими предположениями получено приближенное оптимальное значение параметра релаксации. Однако строгое математическое доказательство сходимости итерационного процесса, а также доказательства существования и единственности самого решения задачи, удаётся провести только для электронно-оптических систем с незначительным влиянием пространственного заряда [77, 78].
Следует упомянуть ещё два подхода к построению релаксационного процесса, изложенные в [79]. Один из них связан с тем, что в первых приближениях учитывается объёмный заряд только самых быстрых электронов, а количество энергетических групп постепенно увеличивается на каждой итерации по объёмному заряду. Другим методом является использование приближенного решения задачи в качестве начального приближения. Расчёты показывают [79], что задание начальных значений потенциала даже из самых грубых качественных оценок дает значительное улучшение первых приближений по сравнению с итерационным процессом, в котором траектории в начале процесса рассчитываются в «лапласовском поле».
В монографии [31] рассматривается метод решения самосогласованных задач, в некотором смысле моделирующий процесс установления стационарного пучка после его моментального «включения» [80].
Алгоритмы и программы [81−83] по расчёту электронных пушек основаны на решении самосогласованной задачи итерационным методом с выделением прикатодной области в виде набора колец с малым осевым размером. Каждое такое кольцо рассматривается как часть плоского диода. Плотность тока с катода и начальные скорости электронов рассчитываются по теории плоского диода с учётом температуры катода и величины тока насыщения.
В монографии [84] из области решения самосогласованной задачи тоже выделяется прикатодная область, размер и форма которой корректируются в процессе расчета. Данная область разбивается на ряд плоских концентрических диодов, и расчёт производится с учётом начальных скоростей электронов в каждом из полученных диодов. Такая реализация задачи достаточно хорошо работает с плоскими катодами при некоторых ограничениях на параметры задачи.
В пакете прикладных программ [85] для расчета прикатодной области использованы модели плоского и сферического диодов, реализован аналитический метод выделения особенности ядра интегральных уравнений и построен численный алгоритм генерации ячеек криволинейной сетки. Такой подход позволяет точно состыковать вычислительную сетку со сложной поверхностью катода для уменьшения численного прикатодного шума. Применительно к криволинейной сетке, разработаны и реализованы точные модели эмиссии для плоского и сферического катодов, а также модель динамики пучка в электронной пушке.
В целом, на основании обзора литературы можно сделать вывод о том, что в подавляющем большинстве работ посвященных алгоритмам математического моделирования электронных пушек и разработке на их основе пакетов прикладных программ, используются существенные упрощения, связанные с численным решением самосогласованной задачи в области прилегающий к эмиттеру.
Указанные упрощения зачастую резко снижают точность расчёта термоэмиссионных систем с произвольной формой катода и существенно ограничивают область практического применения разработанных алгоритмов и компьютерных программ. Поэтому совместный учёт формы катода, влияния пространственного заряда и разброса электронов по скоростям по-прежнему является актуальной задачей при проектировании прецизионных электронно/ионно-оптических приборов и устройств аналитического и технологического назначения.
Таким образом, цель диссертации состоит в построении численного алгоритма и компьютерной программы расчёта электростатических электронных пушек с катодом произвольной формы, свободных от дополнительных априорных предположений о характере формирования электронного пучка в прикатодной области.
Значительное внимание в диссертации уделено решению модельных задач, подтверждающих универсальность, эффективность и достоверность предложенных алгоритмов и разработанного на их основе программного обеспечения.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. В конце приведен
список цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 110 страниц, включая 80 рисунков и
список литературы из 93 наименований.
В главе 1 даётся общая постановка задачи расчёта электронных пушек и приводится детальное описание реализованного алгоритма.
Основная особенность алгоритма, позволяющая адекватно описать процессы формирования пучка, состоит в синтезе двух методов решения уравнения Пуассона (метода переменных направлений в прикатодной области Е простой формы,.
14 содержащей внутри себя эмиттер, и метода интегральных уравнений Фредгольма первого рода в остальной части пушки ПЕ) и синтезе двух методов расчёта электронных траекторий (путем решения уравнений Лоренца для траекторий частиц в прикатодной области и продолжения этих траекторий в остальную часть пушки в виде аберрационных разложений на основе метода тау-вариаций). В качестве поверхности катода допускается произвольная достаточно гладкая осесимметричная поверхность, удовлетворяющая следующему условию: любая прямая, параллельная оси симметрии Ог пересекает эту поверхность только один раз. Численное решение самосогласованной задачи осуществляется итерационным методом, причём на каждой итерации отдельно производится расчёт поля и траекторий в области Нив остальной части пушки. При этом входными данными для решения задачи в области Н является распределение потенциала на границе Е, которое в свою очередь рассчитывается методом интегральных уравнений. Устойчивость решения самосогласованной задачи достигается за счёт специального релаксационного преобразования потенциала.
Вычислительные процедуры, реализующие численное решение рассматриваемой самосогласованной задачи, состоят в следующем.
Предположим, что области Е и ПЕ (О — расчётная область) покрыты сеткой с множеством элементов Зн= 2},) е Е } и Зон= { (/-, ге ¡-О Е }, соответственно.
Плотность пространственного заряда р (0)(г) полагается равной нулю в начале итерационного процесса. Предположим, что в начале к-ой итерации плотность пространственного заряда р (А'ч)(г) уже вычислена. Тогда к-ая итерация состоит из следующих численных процедур:
1) решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода для уравнения Пуассона М1 =——р в области 0Е относительно плотности пространственного заряда р (к Г>(г), г еП и вычисление распределение граничного потенциала иЩ, т.
2) решение уравнения Пуассона А11 = ——р в области Е методом переменных направлений относительно граничного распределение потенциала II к) 8Е 5.
3) прямой расчёт электронных траекторий путём решения уравнения Лоренца в области Е и продолжение этих траекторий в область ПЕ в форме аберрационных разложений,.
4) вычисление плотности пространственного заряда р (к)(г) в областях Е и С2Е.
Для всех к> 2 выполняется релаксационное преобразование сеточного потенциала б^ОЬ*—) = ¦ и (к>(гг, 2}) + (1 -г.) где Хк — параметр релаксации на кой итерации.
Стратегия изменения параметра релаксации Хк от итерации к итерации заключается в следующем. На первых четырех итерациях Хк сохраняется постоянным. На последующей итерации к, где к >5, параметр кк остаётся неизменным по сравнению с (к -1) итерацией в том случае, если минимум потенциала = 1шп и{к)(Г-, г), вычисленный на объединении сеток Зо={Зн^Зпн}, ведёт себя монотонно на последних трёх итерациях, а именно или и^ки^ки^.
Если же ни одно из этих условий не выполняется, то параметр релаксации умножается на заданный коэффициент, меньший единицы (в представленных нами экспериментах этот коэффициент выбирался равным золотому сечению 0.618). Численные эксперименты подтвердили, что такая стратегия эволюции параметра релаксации позволяет эффективно погасить колебания решения задачи в ходе итерационного процесса.
В главе 2 анализируются методы и алгоритмы, используемые для расчёта электронных пушек в рамках предлагаемого подхода, а именно численное решение уравнения Пуассона на основе метода переменных направлений и метода интегральных уравнений Фредгольма первого рода, метод расчёта электронных траекторий на основе прямого решения уравнений Лоренца и на основе метода тау-вариаций, а также расчёт плотности пространственного заряда.
Уравнение Пуассона АС/ = ——р в области Е с граничными условиями на дЕ о решается численно на основе сеточного итерационного метода переменных направлений, в котором используется принцип установления. В основе принципа установления лежит тот факт, что решение стационарного уравнения АС/ = ——р с.
5о граничным распределением С/^ = С/, может трактоваться, как предел при / —"со соответствующего зависящего от времени решения уравнения теплопроводности.
С/(= АС/ +—р.
Пусть расчётная область покрыта сеткой с множеством элементов (гк, гт), где к= 1. Л т= 1.К.
Одна стандартная итерация (переход С/! —> С/" 4) метода переменных направлений состоит из двух «полуитераций» [86].
1. Сначала по известной II' находится промежуточная функция 17* из уравнения з2тт* I 7 * / * Л ии1 д 17 1 д < *ТТ1 дг1 г дг ди1.
Ч дГ —, узлы (к, т) внутри расчётной области бо.
С/* = СГ = и* узлы (к, т) на границе расчётной области.
Функция 17* находится серией раздельных прогонок по горизонтальным линиям сетки, для чего необходимо 0(Ы2) операций.
2. Затем по известной 17 * находится функция 17,+1 из уравнения.
М г Г* д2ТТ* л д (А.
С/^-СГ 8Ч7 +18 х дг2 г дг.
V дг —, узлы (к, т) внутри расчётной области еп.
17,+ =17 =II* узлы (к, т) на границе расчётной области.
Функция и1тХ находится серией раздельных прогонок по радиальным линиям сетки, и это тоже требует 0(Ы2) операций.
Для того, чтобы корректно учесть криволинейность катода и не потерять порядок аппроксимации расчёта потенциала электрического поля и траекторий заряженных частиц вблизи катода, в прикатодной области строится сеточная аппроксимация катода.
Для расчёта плотности заряда область эмиссии на поверхности катода разбивается на кольца равной толщины Аа к, на каждом из которых находится к-ая точка эмиссии электронов. Полупространство направлений эмиссии, отсчитываемых от локальной нормали к поверхности, разбивается на элементы телесного угла АП- = siny-Ay-A (p-.
Энергия эмиссии Е дискретизируется с интервалами АЕ&bdquo-. Расчётная область разбивается на конечное число элементов объёма АУмВ этом случае плотность пространственного заряда в произвольной точке г расчётной области может быть представлена в виде [61]: катода, — ток насыщения. Величина АУ (г) — это объём ячейки, содержащий точку г, а А?(г) — время, проведённое конкретным электроном (имеющим соответствующие начальные условия) в этой ячейке.
Чтобы уменьшить влияние статических флуктуаций рассчитывается достаточно большое количество электронных траекторий и затем производится сглаживание расчётного распределения пространственного заряда по точкам сетки.
Расчёт электронных траекторий на основе решения уравнений Лоренца производится на треугольной сетке. В каждой ячейке сетки напряженность поля предполагается постоянной, что позволяет аналитически проинтегрировать уравнения движения электронов внутри каждого треугольника. Таким образом, точность расчёта траекторий производится со вторым порядком по шагу сетки.
Время Ат (г) нахождения частицы в отдельной ячейке сетки сводится к решению трех квадратных уравнений. Минимальный положительный корень этих уравнений и определяет время нахождения частицы А1(у) в данной ячейке. o2j AE-AQ-Aa-At® кдЕдП, А У (г) у все индексы опущены).
Величина.
Суммарный потенциал II (г) электрического поля, при известном распределение пространственного заряда р (г) в области О и граничном распределении потенциала {/[ = ио можно представить виде суммы.
Щг) = ф0(г) + фр (г) + ф*(/") трех потенциалов:
1) внешнего лапласовского потенциала ф0(/), удовлетворяющего граничным условиям ида = и0.
2) кулоновского потенциала.
41X5.
1 г р (0 —>
— с/3 г' г — г представляющего собой частное решение уравнения Пуассона;
->
3) наведенного потенциала «зеркального изображения» ф*(г), удовлетворяющего уравнению Лапласа с граничными условиями.
Ф*|эо =-фРМ, гр&да физический смысл которого заключается в электростатическом взаимодействии пространственного заряда пучка с проводящей поверхностью электродов.
Лапласовский потенциал ф0 может быть представлен в виде потенциала простого слоя.
ФоОр) = I —<(гР&а, Гд едО), грв где ав — плотность простого слоя на дО., удовлетворяющая интегральному уравнению первого рода.
-^0=и (гр) (Гр? О, ге? ЙП).
ГР<2.
Явное представление кулоновского потенциала фр через плотность тока эмиссии и совокупность электронных траекторий пучка представляется в виде:
Потенциал «зеркального изображения» ф*(г) можно представить в виде свертки граничного распределения кулоновского потенциала фр (гР) с функцией Грина —> удовлетворяющей сопряженному интегральному уравнению Фредгольма первого рода для любой фиксированной точки г, принадлежащей расчетной области € 1. Вр обозначает область параметризации поверхности дО.
Расчёт траекторий с помощью аберрационного метода, позволяет представить электронную траекторию в виде асимптотического разложения по некой совокупности малых параметров (например, начальных скоростей и расстояний заряженной частицы от главной оптической оси). Как правило, такие разложения представляют собой полиномы степени не выше третьей, что позволяет осуществить чрезвычайно быстрый расчёт электронных траекторий.
На произвольной гладкой поверхности ^(г,£,) = 0, рассматриваемой как мишень или приемник изображения, радиус-вектор электронной траедтория и время пролета могут быть представлены в виде асимптотических аберрационных разложений.
72) груЗ (гр, гв) фр = б (г, гб) (геП-гр, гве дО).
20 к=1 ^ Лг,/=1.
1 * к, 1=1 где Н, = (Е>.ХР) — векторный параметр. Компоненты вектора Е, определяют как начальное состояние частицы в начальный момент времени т0 (?,), так и конкретный вид электрического поля в области П/Е.
Коэффициенты указанных разложений вычисляются с помощью специальной процедуры, включающей в себя: 1) интегрирование системы дифференциальных уравнений относительно изохронных вариаций (тау-вариаций) уравнений движения, и 2) конечные (алгебраические) преобразования тау-вариаций в коэффициенты аберрационных разложений.
В главе 3 представлены результаты тестовых и практических расчётов.
Для начального тестирования разработанных алгоритмов и программного обеспечения рассматривались осесимметричная (пример 1) и плоская (пример 2) системы с плоским катодом. Линейные размеры электродов выбирались таким образом, чтобы на оси симметрии обеспечить хорошее приближение к задаче одномерного диода. Наибольший интерес представляет случай, когда катод работает в наиболее трудном режиме с точки зрения численного решения самосогласованной задачи — в режиме ограничения катодного тока пространственным зарядом, сосредоточенного вблизи катода. Показано, что в итерационном процессе плотность тока эмиссии, положение минимума потенциала и его величина на оси симметрии хорошо сходятся к известному аналитическому решению для плоского диода. Поле линейно на 1-ой итерации и ток с катода равен току насыщения, на последующих поле имеет очень глубокий минимум, расположенный в центре пространства катод-анод. Поэтому на нескольких последующих итерациях ток практически равен нулю из-за большого потенциального барьера, который отражает практически все электроны обратно. Далее происходит постепенное приближение величины плотности тока к предельному значению самосогласованной задачи. Вблизи краёв эмиттера наблюдается резкое увеличение плотности тока эмиссии примерно на порядок по сравнению с плотностью тока на оси. Такой всплеск плотности тока объясняется тем, что потенциальная яма.
21 простирается строго вдоль области эмиссии, и поэтому, чем ближе к краю эмиттера, тем большее количество электронов, способно миновать (обогнуть) потенциальный барьер. Непосредственно за областью эмиссии ток отрицателен. Это объясняется тем, что в рассматриваемой области эмиссия электронов отсутствует, и, одновременно, в эту область возвращаются электроны, отраженные от потенциального барьера. Практически весь заряд сосредоточен вблизи области эмиссии, на которую оказывает существенное влияние близко расположенная потенциальная яма, глубина которой в самосогласованном режиме составляет -1.4 В. Большая часть электронов в данном случае отражается от потенциального барьера, и ток в диоде создаётся лишь небольшой частью электронов «хвоста» максвелловского распределения. Численные эксперименты показали, что радиальная координата точки минимума является наиболее неустойчивой характеристикой, существенно зависящей от способа дискретизации начальных параметров задачи. С другой стороны, эксперименты показали, что глубина потенциальной ямы практически постоянна по всей её радиальной длине, что и объясняет отмеченную выше неустойчивость. Следует также отметить, что в рассматриваемой задаче размер области, в которой наблюдалось хорошее совпадение с аналитическим решением для одномерного диода, составил около 80% всего размера эмиттера.
В качестве примера 3 рассмотрена ещё одна задача, имеющая аналитическое решение — пушка Пирса, назначение которой состоит в создании параллельного потока электронов. Показано, что плотность тока на катоде одинакова на всех итерациях и соответствует аналитическому решению для заданной конфигурации пушки. На первой итерации (без учёта пространственного заряда) пучок в рассматриваемой пушке оказывается существенно сходящимся. В конце итерационного процесса получен практически параллельный поток электронов, что является главным критерием достоверности численного решения данной задачи.
Пример 4 представляет собой плоский аналог пушки Пирса с учётом начального распределения термоэлектронов по скоростям. Даётся детальный анализ процесса сходимости, поведения различных расчётных величин на итерациях, хода электронных траекторий в области пушки и краевых эффектов. Показано, что в самосогласованном режиме траектории, лежащие вблизи плоскости симметрии, практически параллельны. Это объясняется тем, что в этой области параметры задачи наиболее совпадают с параметрами идеальной пушки Пирса. Численный анализ результатов показал, что в.
22 при уменьшении температуры катода (Т->0) плотность катодного тока стремится к плотности тока насыщения (j —> js), значение минимума потенциала стремится к нулю (i/mn -" 0) и его положение приближается к поверхности эмиттера (zmm —> О).
Пример 5 иллюстрирует сильную дефокусировку («распад») сходящегося моноэнергического электронного пучке в эквипотенциальном пространстве под влиянием сил пространственного заряда. Рассматривается осесимметричный однородный (электронная плотность на эмиттере постоянна по сечению) пучок электронов с энергией 1 эВ, направленный в некоторую фиксированную точку, расположенную в эквипотенциальном пространстве. Параметры задачи были взяты таким образом, чтобы энергия монохроматических электронов равнялась величине образовавшийся потенциальной ямы в месте сходимости пучка. Расчетное значение глубины потенциальной ямы составило 1 В и оказалось равным энергии электронов, что полностью соответствует физическому смыслу рассматриваемой задачи. В данном примере рассмотрен процесс рассеивания электронного пучка на самом себе на различных итерациях, в зависимости от величины потенциальной ямы в области сходимости пучка. На 1-ой итерации влияние пространственного заряда отсутствует, и пучок, как это и должно быть, геометрически фокусируется в точку. На итерациях, которые соответствуют Umm< -IB, поток электронов полностью отражается назад от образовавшегося на предыдущей итерации потенциального барьера, и чем выше потенциальный барьер, тем сильнее его рассеивающее влияние напучок. При уменьшении глубины потенциальной ямы происходит уменьшение рассеивания электронного пучка. На итерациях, которые соответствуют Umm> -1 В, довольно значительная часть электронов пролетает вперёд, не отклоняясь. На последней итерации таких электронов уже практически нет, т.к. Umtn=- В с высокой точностью. Подавляющая часть электронов рассеивается в виде «фонтана» на потенциальной яме, весьма малая часть электронов возвращается назад вдоль оси г.
Примеры 4 и 5 предложены доктором Р. Бадека (R.Badheka, Shimadzu Research Laboratory, Manchester, UK).
Пример 6 представляет собой диодную электростатическую систему со сферическим катодом. Следует отметить, что численное решение самосогласованных задач для систем с криволинейным катодом представляет особую трудность, и, одновременно, особый практический интерес. Наибольший интерес представляет.
23 случай, когда катод работает в режиме ограничения катодного тока, который может быть создан как отрицательным потенциалом электрода, так и потенциальным барьерам, образующимся вследствие наличия вблизи катода электронного облака. В данном примере параметры задачи подобраны таким образом, чтобы учесть и проанализировать совместное влияние обоих эффектов. Аналогично предыдущим примерам даётся детальный анализ сходимости итерационного процесса и анализ конечных результатов. Показано в частности, что в режиме ограничения катодного тока пространственным зарядом, аналогично примеру с плоским диодом, на краю области эмиссии происходит всплеск тока эмиссии.
В качестве практического примера использования разработанной программы для решения практической задачи рассчитана электронная пушка со сложной геометрией электродов и с плоским катодом (пример 7). Рассмотрен процесс сходимости задачи, и дан анализ самосогласованных расчетных характеристик. Анализ результатов показал, что самой чувствительной величиной в процессе сходимости оказалось положение кроссовера, на которое оказывает существенное влияние пространственный заряд. Проведено сравнение полученных расчетных данных с результатами расчета, выполненного по программе [83]. При этом оказалось, что в самосогласованном режиме расхождение по плотности тока не превышает 5%, по величине минимума потенциала — 7%. В то же время расхождение по положению минимума потенциала отличалось почти в 2 раза, что привело к отличию по положению кроссовера на 30%. Такая ощутимая разница в расчёте положения плоскости кроссовера несомненно связана с более корректным моделированием электронного пучка в прикатодной области, но сравнению с [83].
В примере 8 рассчитана электронная пушка, отличающаяся от примера 7 наличием сферического катода. Приведён анализ работы пушки в различных режимах, построена вольт-амперная характеристика. Детально рассмотрено запирание рабочей области эмиттера с увеличением по абсолютной величине отрицательного потенциала электрода Венельта. Показано, что при изменении формы эмитирующей поверхности (с плоской на сферическую) оказывает существенное влияние на форму электронного пучка в электронной пушке.
В заключении суммированы основные выводы диссертации.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Разработан новый итерационный алгоритм расчёта электронных пушек, свободный от априорных предположений о характере формирования электронного пучка в прикатодной области. Основная особенность предложенного алгоритма состоит в синтезе двух методов решения уравнения Пуассона (метода переменных направлений в прикатодной области простой формы, содержащей внутри себя эмиттер, и метода интегральных уравнений Фредгольма первого рода в остальной части пушки) и синтезе двух методов расчёта электронных траекторий (путем решения уравнений Лоренца для траекторий частиц в прикатодной области и продолжения этих траекторий в остальную часть пушки в виде аберрационных разложений на основе метода тау-вариаций). Устойчивость и хорошая сходимость решения самосогласованной задачи, достигается за счёт специального релаксационного преобразования потенциала.
На основе алгоритма разработана компьютерная программа, обеспечивающая устойчивое решение самосогласованной задачи для электронных пушек с практически произвольной формой катода, с учетом влияния пространственного заряда и начального разброса заряженных частиц по скоростям.
Приведён детальный анализ решения модельных и практических задач, иллюстрирующих эффективность разработанных алгоритмов и программного обеспечения.
Практическая ценность диссертационной работы состоит в следующем:
Разработанная компьютерная программа позволяет осуществлять прецизионное математическое моделирование широкого класса электростатических эмиссионных пушек с криволинейным катодом с учетом влияния пространственного заряда и разброса термоэлектронов по скоростям. Особую значимость имеют возможности программы, связанные с описанием механизмов эмиссии вблизи поверхности катода.
Основные положения, выносимые на защиту:
Алгоритм расчёта электронных пушек, основанный на специальном выделении прикатодной области, а также построенная на основе предложенного алгоритма компьютерная программа обеспечивают устойчивое решение самосогласованной.
25 задачи для электронных пушек с практически произвольной формой катода и позволяют проводить детальное исследования тонких механизмов эмиссии вблизи поверхности катода.
• Использование в разработанном алгоритме синтеза двух методов решения уравнения Пуассона (метода переменных направлений в прикатодной области и метода интегральных уравнений Фредгольма первого рода в остальной части пушки), а также синтеза двух методов расчёта электронных траекторий (путем решения уравнений Лоренца для траекторий частиц в прикатодной области и продолжения этих траекторий в остальную часть пушки в виде аберрационных разложений на основе метода тау-вариаций).
• Результаты решения модельных и практических задач, иллюстрирующие эффективность разработанных алгоритмов и программного обеспечения.
Апробация работы.
Результаты, вошедшие в диссертацию, опубликованы в научных журналах (см. список ниже) и докладывались на: традиционных конференциях МФТИ, 1997, 1998, 1999 и 2000 г. г., международной конференции по фотоэлектроники и приборам ночного видения, Москва, Октябрь, 1998, третьем Всероссийском семинаре «Проблемы теоретической и прикладной электронной оптики», Москва 1998, четвёртом Всероссийском семинаре «Проблемы теоретической и прикладной электронной оптики», Москва 1999, международной конференции Charged Particle Optics IV, San Diego, California, July, 1999, научном семинаре Научно-исследовательского института электронной и ионной оптики двенадцатом Российском симпозиуме по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твёрдых тел, Июль, 2001, пятом Всероссийском семинаре «Проблемы теоретической и прикладной электронной оптики», Москва, Ноябрь, 2001.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. АГ. Муравьёв. Численное решение самосогласованной задачи расчета электронных пушек в прикатодной области методом итераций. Физические процессы в приборах электронной и лазерной техники. МФТИ. 1998.
2. А. М. Филачев, С. В. Андреев, И. Ш. Белуга, И. С. Гайдукова, М. А. Монастырский, А. Г. Муравьёв, ВА. Тарасов. Разработка вычислительных методов и пакета прикладных программ для моделирования электронно-лучевых технологических установок. Прикладная физика. № 2, стр. 5−18,1998.
3. М. А Монастырский, А. Г. Муравьёв, В. А Тарасов. Численное решение самосогласованной задачи расчета электронных пушек в прикатодной области методом итераций. Прикладная физика. № 2, стр. 22−32,1998.
4. S.V. Andreev, I. Sh, Beluga, I.S. Gaidoukova, M.A. Monastyrsky, AG. Murav’ev, V. A Tarasov and A.M. Filachev. Computer modeling of electron beam devices with Applied Program Package «CHARGE». International Conference on Photoelectrons and Night Vision Devices. SPIE Vol. 3819, p. 175−185, Moscow, October 1998.
5. M.A. Monastyrsky, A.G. Murav’ev, and V.A. Tarasov Iterative solution of the self-consistent problem for electron gun with arbitrary shaped cathode, based on combined finite difference — integral equation approach. Fourth All-Russian Seminar on Problem of Theoretical and Applied Electron Optics. SPIE Vol. 4187, p. 2−13, Moscow, October, 1999.
6. С. В. Андреев, M.A. Монастырский, B.A. Тарасов, А. Г. Муравьёв. Разработка программного обеспечения для математического моделирования электронных пушек с катодами произвольной формы. Прикладная физика. № 2, стр. 77−85,2000.
7. А. Г. Муравьёв. Численное решение самосогласованной задачи расчета электронных пушек в прикатодной области методом итераций. Тез. докл. XL научной конференции МФТИ (г.Долгопрудный 1997).
8. М. А Монастырский, АГ. Муравьёв, В. А. Тарасов. Численное решение самосогласованной задачи расчета электронных пушек в прикатодной области методом итераций. Тез. докл. XLI научной конференции МФТИ (г.Долгопрудный 1998).
Основные результаты работы заключаются в следующем.
1. Разработан алгоритм, обеспечивающий устойчивое решение самосогласованной задачи расчёта электростатических электронных пушек в рамках бесстолкновительного приближения движения заряженных частиц в электрическом поле. Основная особенность предложенного алгоритма состоит в синтезе двух методов решения уравнения Пуассона — метода переменных направлений в прикатодной области простой формы, содержащей внутри себя эмиттер, и метода интегральных уравнений Фредгольма первого рода в остальной части пушки, а также в синтезе двух методов расчёта электронных траекторий — путем решения уравнений Лоренца для траекторий частиц в прикатодной области и продолжения этих траекторий в остальную часть пушки в виде аберрационных разложений на основе метода тау-вариаций. Устойчивость и хорошая сходимость решения самосогласованной задачи, достигается за счёт специального релаксационного преобразования потенциала. Алгоритм может быть применён для расчёта электронно-оптических систем с различной конфигурацией электродов и практически произвольной формой катода, с учетом заданного начального распределения заряженных частиц по скоростям и эффектов пространственного заряда.
2. Построенная на основе алгоритма компьютерная программа позволяет осуществлять прецизионное математическое моделирование широкого класса электростатических эмиссионных пушек с криволинейным катодом, с учетом влияния пространственного заряда и разброса термоэлектронов по скоростям. Особую значимость имеют возможности программы, связанные с детальным описанием механизмов формирования электронного пучка вблизи поверхности катода.
Разработанная программа особенно актуальна при численном моделировании относительно слаботочных электронно-оптических термоэмиссионных систем, применяемых в устройствах электроннолучевого оборудования для микросварки, размерной обработки электронным лучом, электронно-лучевого гравирования, а также в электронных микроскопах и в ряде других прецизионных электроннолучевых приборах и устройствах аналитического и технологического назначения.
3. Приведены результаты детального тестирования программы на модельных и практических задачах, иллюстрирующие эффективность разработанного математического обеспечения.
На тестовых задачах, допускающих строгое аналитическое решение (плоский диод, пушка Пирса) получено хорошее соответствие численных и аналитических результатов. В частности показано, что в задаче о плоском диоде итерационный процесс хорошо сходится к известному аналитическому решению по таким характеристикам, как плотность тока эмиссии, положение минимума потенциала и его величина на оси симметрии.
При численном решении задачи о сходящемся коническом пучке показано, что глубина потенциальной ямы, образующейся вследствие влияния пространственного заряда, равна энергии монохроматического пучка электронов, что полностью соответствует физическому смыслу задачи для выбранных начальных параметров.
Проведены расчёты, иллюстрирующие эффективность разработанной программы для систем с плоскими и криволинейными катодами. Численно проанализировано влияние начального распределения электронов на эмиссию электронов и формирование электронного пучка вблизи эмиттера. Показано, что для некоторых режимов работы электронно-оптической системы свойственен резкий рост плотности тока эмиссии вблизи краёв эмиттера. Рассмотрено влияние потенциала Венельта на рабочую область эмиттера в электронной пушке со сферическим катодом.
Проведено сравнение результатов расчета электронной пушки по программе, разработанной в диссертации, с аналогичными результатами, полученными другими авторами. Показано, что прецизионные математические модели, реализованные в данной работе, позволяют существенно повысить точность и устойчивость компьютерного моделирования электростатических электронных пушек с криволинейным катодом.
Заключение
.
