Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом

Министерство образования Республики Беларусь

Гомельский Государственный университет имени Франциска Скорины

Курсовая работа

«Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом»

Гомель 2006

Реферат

Курсовая работа состоит из 19 страниц, 3-х источников.

Ключевые слова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающих функций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётная функция.

Целью курсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы и эквивалентными системами.

Введение

Отражающая функция Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий Общее решение Заключение Список использованных источников

В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.

В результате приходим к теореме, которая звучит так:

Пусть первый интеграл системы, (1). Если, удовлетворяет уравнению, то указанная система эквивалентна системе, , (2). И если, кроме того, где — некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой, где и .

Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

(1)

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по. Общее решение в форме Коши обозначено через). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы (1) назовём дифференцируемую функцию, определяемую формулой Для отражающей функции справедливы свойства:

1.) для любого решения системы (1) верно тождество

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных и начальному условию Рассмотрим систему (1*) считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция которая совпадает в области с функцией, содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс — соответствующим отражающей функции .

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему = (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x (t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x (t)), t, постоянна, т. е. U (t, x (t)) зависит только от выбора решения x (t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V: GR, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V VR, определяемую равенством

.

Обозначим V (t, x (t))t.

Лемма

Дифференцируемая функция U (t, x), U: GR, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x (t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества

U

Откуда при t=t получим равенство U (t справедливое при всех значениях t и x (t). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x (t) системы (1) из определения будем иметь тождества, а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию, для которой выполняется неравенство

и

Функцию U (x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий

Наряду с исходной дифференциальной системой будем рассматривать множество возмущённых систем где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .

Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению Если вектор-функция, а

вектор-столбец, то полагаем

Лемма 1.

Для любых трёх вектор-функций из которых функция дважды непрерывно дифференцируема, а функции и дифференцируемы, имеет место тождество

Лемма 2.

Пусть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции функция удовлетворяет тождеству Доказательство. Учитывая соотношение, простыми выкладками установим тождества К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество. Тогда после несложных формальных преобразований придём к соотношению Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение придём к нужному нам тождеству

Лемма доказана.

Теорема 1

Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных Тогда возмущённая дифференциальная система

где — произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе .

Доказательство. Пусть отражающая функция системы. Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению. Покажем, что она удовлетворяет и тождеству

Для этого введём функцию по формуле. Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству. При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения это тождество переписывается в виде Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество, имеет место соотношения

.

Таким образом, функция является решением задачи Коши Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция системы является также и отражающей функцией системы. Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения, которое в данном случае должно быть переписано в виде Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое — в силу того, что для отражающей функции системы верно тождество, второе — потому, что при условиях теоремы верно тождество. Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы. Теорема доказана.

А теперь рассмотрим пример.

Пример

Рассмотрим систему в которой непрерывные и периодические функции, таковы, что и — нечётные функции.

Эта система эквивалентна стационарной системе Здесь и, ,

.

Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл, которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения, рассматриваемой системы, начинающиеся при на окружности, являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при стремится к одному из указанных периодических.

Общее решение системы

Рассмотрим две дифференциальные системы

(1)

, , (2)

где — непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Лемма 1

Для любой нечётной функции, определённой в окрестности, справедливо .

Доказательство.

Так как — непрерывная нечётная функция, то и

при

Лемма 2

Пусть есть первый интеграл системы. Тогда есть первый интеграл системы .

Доказательство. Т.к. есть первый интеграл системы, то его производная в силу системы равна, т. е. .

Полагая здесь, получаем, что и означает что первый интеграл системы

.

Теорема 1.

Пусть — отражающая функция системы и удовлетворяет следующему соотношению (3)

Тогда система эквивалентна системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Поскольку отражающая функция системы, то (4). Рассмотрим выражение

(равно т.к. отражающая функция системы)+(равно по) (4)

означает, что отражающая функция системы. Поскольку у систем и отражающие функции совпадают, то системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.

Введём такие обозначения

и — семейства функций, являющиеся решениями систем и, соответственно и — решение систем и соответственно.

Лемма 4

Пусть первый интеграл системы. Если выполнено соотношение (5), где некоторая функция, то есть первый интеграл системы, где .

Доказательство. Так как, то удовлетворяет уравнению, так как, то. Умножим обе части справа на, получим. Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение. Так как — первый интеграл, получим. Т. е. производная функции в силу системы равна, а это означает, что есть первый интеграл системы. Ч.т.д.

Лемма 5. Если удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

(6), где — правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой в смысле совпадения отражающей функции.

Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию, получим:

(7)

Так как — первый интеграл системы (1), то

(8)

Прибавим (7) к (8) и преобразуем, получим:. Таким образом, удовлетворяет теореме 1 (если удовлетворяет, то (1) эквивалентно (2) и значит, если, то система (2) эквивалентна системе (1).

Теорема 2

Пусть первый интеграл системы (1). Если, удовлетворяет уравнению (6), то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того (9), где — некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой, где и .

Доказательство.

Доказательство 1-й части теоремы прямо из леммы 3.

Требуется доказать вторую часть теоремы. Найдём производную в силу системы (2)

и

обозначим её (*).

Выражение в […]=0, так какпервый интеграл системы (1), (*) преобразуется в следующее выражение

[так как ]= (**)

Так как удовлетворяет уравнению, то таким образом (**)=0, что и означает, что первый интеграл системы (2). Требование вытекает из леммы 2.

Лемма

Пусть системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций. Пусть их отражающая функция и пусть есть первый интеграл системы, тогда U, , и .

Доказательство. Возьмём произвольное решение системы. Покажем, что на нём U обращается в постоянную.

Действительно, т. к. отражающая функция, то. По определению функции и т. к. первый интеграл системы, то U.

То, что U очевидно. Действительно, возьмём любую функцию. Обозначим по свойству отражающей функции .

Обозначим, так как только функциям из сопоставляет функции из, то и по определению первого интеграла U отлична от и обращается в только вдоль решений системы. А это и означает, что U — первый интеграл системы .

(U удовлетворяет лемме 2).

Лемма даёт понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и не возмущённой систем.

Заключение

В данной работе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которые применяются для доказательства теоремы.

Сформулированы определения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпадения отражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общие свойства отражающей функции.

Список использованных источников

1. Мироненко В. И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. — Мн., Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1981, 50 — 51 с.

2. Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. — Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 — 19 с.

3. Мироненко В. В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.