Спектр компактных операторов взвешенной композиции в некоторых пространствах аналитических функций

I. Непустота и компактность — единственные свойства подмножества комплексной плоскости (L, наличие которых эквивалентно существованию ограниченного оператора банахова пространства с данным спектром. Дополнительными свойствами обладают спектры операторов, более тесно связанных с дополнительными структурами пространства. Классический пример — вещественность спектра эрмитова оператора гильбертова пространства, совпадение нормы и спектрального радиуса в этом случае. Сравнительно новый пример дает теорема Камовица и Шейнберга [3*2, согласно которой спектр непериодического автоморфизма Т • * А полупростой коммутативной банаховой алгебры, А содержит единичную окружность (по поводу разнообразных доказательств и обобщений этой теоремы см., в частности, статью Е. А. Горина [8]). Кроме того, спектр Т в этом случае — связное подмножество плоскости? .

Если реализовать полупростую коммутативную банахову алгебру, А в виде алгебры непрерывных функций на компакте Q. ее максимальных идеалов, то каждому эндоморфизму (в частности, каждому автоморфизму) Т• А—> А будет отвечать такое непрерывное отображение (гомеоморфизм) ip: Q—> Q, что для всех^еА и х е Q, т. е. Т реализуется в виде оператора подстановки (композиции). Этим объясняется тот факт, что теорема Камовица и Шейнберга стимулировала изучение спектральных свойств операторов подстановки и более общих операторов вида ^ i—> Zt (f°lf), действующих в функциональных алгебрах и подпространствах Е с= CCQ). Конечно, специальные высказывания о спектре оператора подстановки возможны лишь при наличии дополнительной информации (о динамике подстановки, пространстве Е, структуре Q), поскольку в таком виде, даже в предположении замкнутости Е в C (Q.), реализуется, как это вытекает из теоремы о слабой компактности шара сопряженного пространства, каждый оператор банахова пространства с нормой не больше I.

В работах Леви [19], [20) и Джонсона [31] среди прочего были найдены простые доказательства теоремы Камовица и Шейнберга. Кроме того, вскоре выяснилось (см. |42], [7]), что спектр автоморфизма полупростой коммутативной банаховой алгебры, вообще говоря, не обладает специальной симметрией. Следующий пример, который мы кратко опишем, принадлежит Е. А. Горину. Пусть KJтакой компакт в (Г, который содержится в кольце $ 121 * Ч и содержит кольцоJ-^IZI ^ 2. Предположим дополнительно, что JrvL К плотно в К • Рассмотрим пространство сС (К) функций из С (К) «аналитических на hi К. Относительно поточечных линейных операций и Slip — нормы, А образует банахово пространство. Очевидно, что спектр оператора —> zfcz) в, А совпадает с К • Вместе с тем, относительно умножения.

Wz> = *2r/ fmpw-fпространство, А образует, как можно показать, полупростую коммутативную банахову алгебру (без единицы), пространство максимальных идеалов которой «совпадает» с группой Ж целых чисел (гельфандовское представление сопоставляет? последовательность лорановских коэффициентов), а введенный оператор становится автоморфизмом этой алгебры. Тем не менее, в ряде естественных ситуаций, связанных с алгебрами гладких функций, в структуре спектра автоморфизмов и взвешенных автоморфизмов была обнаружена круговая симметрия. Кроме того, в этих случаях был проведен довольно детальный анализ тонкой структуры спектра. К этому кругу вопросов относятся некоторые работы Камовица [32], [351, [34], [35], [36], ряд работ А. К. Китовера [12], Ш, [14], А. Б. Антоневича [I], [2], А. Б. Антоневича и А. В .Лебедева [3], А. Б. Антоневича и Сериня Алиу Ло [4], А. В. Лебедева [16], [17], [18] и другие, связанные с исследованием интегро-функциональных уравнений, фредгольмовым спектром, теорией индекса и т. д.

Другое направление, возникшее в связи с теоремой Камовица-Шейнберга, — изучение спектров эндоморфизмов и взвешенных эндоморфизмов. Любопытно, что спектры эндоморфизмов алгебры С (СОД]) были описаны Монтадором [38] только в 1974 году, результат которого в конце 70-х годов был распространен на общее С (GO в работах Сериня Алиу Ло [22] и В. Г. Курбатова [15]. Оказалось, что в этом случае спектр — либо диск 1АЫ 1, либо конечное объединение замкнутых подгрупп окружности 1Я1=4, возможно, дополненное точкой 0. В работах А. К. Китовера (см., в частности, [13], [14|) были полностью описаны спектры взвешенных эндоморфизмов CCQ) и других равномерных алгебр в дополнительном предположении, что подстановка сохраняет границу Шилова (в специальном случае диск-алгебра подобные результаты были раньше получены Камовицем [34]). Грубо говоря, в такой ситуации при переходе от С (Ш к подалгебре спектр сохраняется (в частности, сохраняются свойства круговой симметрии спектра), тогда как, вообще говоря, он может существенно измениться. Как отмечается в [42] (см. также [291)" спектр эндоморфизма равномерной алгебры в общем случае, «повидимому, не обладает никакими специальными свойствами», кроме очевидного: ДЛ принадлежит спектру при всех натуральных п, если Я — точка границы спектра. Во всяком случае, имея спектры S^, S^ эндоморфизмов равномерных алгебр, можно сконструировать эндоморфизм со спектром или со спектром Sj, = { Я = л±- ' ,.

Со сказанным тесно связано третье направление, возникшее в связи с теоремой Камовица-Шейнберга. Речь идет об изучении спектров эндоморфизмов и близких линейных преобразований классических алгебр и пространств. Стандартным объектом такого сорта является диск-алгебра, т. е. алгебра, А всех непрерывных функций в диске 121^^, аналитических при 121 <1. Первые результаты о спектре эндоморфизмов диск-алгебры принадлежат Камовицу [32], [ЗЗ]. Нетривиальные примеры спектров, не встречающиеся у Камовица, указаны в [8]. Быть может, не лишне отметить, что даже в этом специальном случае до сих пор нет ответа на самые естественные вопросы: обязательно ли спектр эндоморфизмаполугруппа, совпадает ли спектр эндоморфизма диск-алгебры со спектром соответствующего эндоморфизма алгебры всех ограниченных аналитических функций и т. п. (подробнее см. [291)•.

В аналитической ситуации в отличие от CCQ) нетривиальный эндоморфизм может оказаться компактным оператором. Критерии компактности взвешенного эндоморфизма диск-алгебры дал Камовиц [35]. Он же в наиболее интересных случаях описал спектр такого оператора. Данная диссертация в своей основной части посвящена развитию этого направления и в тексте мы приведем точные формулировки результатов Камовица.

2, Диссертация состоит из двух глав, разбитых на параграфы. Нумерация предложений стандартная, по главам.

В первой главе даются критерии компактности операторов типа взвешенной подстановки в замкнутых подпространствах пространства CCQ) всех непрерывных функций на (метрическом) компакте Q.

В § I осуществляется элементарный подход к теме, использующий только теорему Арцелла, в § 2 — более специальный, с привлечением метрики сопряженного пространства. Этот способ позволяет нам детально исследовать случаи компактности для сумм операторов взвешенной подстановки (в аналитической ситуации). В § 3 дано приложение к описанию спектра взвешенного эндоморфизма диск-алгебры. Этот пример уточняет один результат, полученный автором совместно с Е. А. Гориным (доклад в ХУЛ Воронежской Зимней математической школе, январь 1983 года). В главе I упомянутые выше результаты Камовица обобщаются в различных направлениях: мы стараемся использовать инвариантные термины, но среди конкретных следствий получаются многомерные варианты теоремы Камовица о компактности (полидиск, шар в £л) и ее обобщения.

Во второй главе более детально исследуются специальные ситуации, связанные с аналитическими функциями многих переменных. В § 2 главы П, отправляясь от голоморфного отображения ограниченной области Dc Сл в себя, мы даем описание спектра оператора взвешенной подстановки для широкого класса банаховых модулей над многомерной «диск-алгеброй». Методов Камовица в многомерной ситуации недостаточно и нам приходится применять дополнительные соображения и понятия (линеаризация по Пуанкаре, ре-зонансность, теория возмущений). В § 3 главы П рассматривается интегральный оператор, ассоциированный с голоморфным векторным полем. Дается критерий компактности такого оператора, а в предположении компактности дается описание спектра.

3. Назовем теперь основные результаты работы.

Пусть Q — компакт, А — замкнутое подпространство в C (Q), (j>: Q—* & - непрерывное отображение и CTf)(^c)= т. е. Tf^, причем ггеС (&-) и оператор Т действует из, А в С (&-). Точки х±-, %% топологического пространства Y будем называть компактно связанными, если существует такой связный компакт KCY, что Х±-, Х^ е f.

ТЕОРЕМА 1.6 ГЛАВЫ I. Если оператор Т компактен, то для каждой компоненты Y компактной связности множества {х е Q: ZCCX) Ф О ]• и каждого множества Е пика относительно, А имеем: либо LfiY) Е, либо if (Y)[)Eр.

Если Q является локально связным компактом, то получается следующий критерий компактности.

ТЕОРЕМА I. I4 ГЛАВЫ I. Пусть Г — множество точек пика относительно, А. Предположим, что для каждого компакта.

Q Г оператор сужения А—>С (К) компактен. В таком случае оператор f тогда и только тогда компактен, когда для каждого связного компакта Y<^ jxe Gt: И (х)Ф О J либо — точка, либо.

Теоремы 1.6 и I. I4 в конкретных случаях приводят к простым критериям компактности. К числу таких случаев относятся алгебры аналитических функций в полидиске (теорема I. II главы I), шаре (теорема 1.10 главы I), алгебра функций в цилиндре, аналитических в плоских сечениях (теорема I. I3 главы I).

Отправной точкой исследования в § 2 главы I служит то простое замечание, что оператор Т: А—> С СО.) тогда и только тогда компактен, когда отображение X 1—> Т? из Q в, А непрерывно из Q, в исходной топологии в А* в метрической топологии сопряженного пространства (здесь <Г — мера Дирака,.

— Jb* рассматриваемая как функционал над, А)• В теореме 2.4 главы I мы даем (довольно сложно формулируемый) критерий компактности пользующий это соображение. Сложность заключается не в доказательстве, а в формулировке результата. При переходе к аналитическим функциям формулировка упрощается, так как «внутри Q, «обе топологии часто совпадают и, кроме того, «помогают» теоремы единственности.

Сохраняя обозначения из теоремы I. I4 главы I, положим и допустим, что исходная топология на Gсовпадала ет с метрической Д — топологией (это типично для аналитической ситуации). Пусть Tf = ^ (f3^ + «причем с: (J., 1,1 .

ТЕОРЕМА 2.5 ГЛАВЫ I. Оператор Т тогда и только тогда оператора вида компактен, когда: б) если Lf>z (& <= Г, то 2Xtioc)^ U^X.) ^ 0 и.

U (.0c-)\S — (Г II-> 0 при Z —> X.

L И w V.

В конкретных случаях II? — S || * удается вычислить явно.

X о, А или оценить и это приводит к явным критериям компактности.

Пусть В — единичный шар в € ж А=А (В) — аналог диск-алгебры.

ТЕОРЕМА. 2.7 ГЛАВЫ I. Оператор f Cf0(f^ компактен в А (В^) тогда и только тогда, когда осуществляется одна из следующих возможностей:. а) 6 ,) во всех точках, где Хя (2)фОу в) lj) = con-J:, ц ф сотм.£, /(?(2)j<1 во всех точках, где г/^фО-у гт) если , (Lf> ,(2)[ — 1, то ггХё)-0 у г2) если, = 1, то Uffl+Ufi)^ О и асг) —. о.

1-С 2, где евклидово скалярное произведение в (LЛ и 1<х| - евклидова норма.

Другое приложение теоремы 2.5 главы I дано в § 3 главы I. Мы реализуем диск в виде верхней полуплоскости Jm Z О и рассматриваем подстановку 2 «—> LfCZ) — 2 + Сл)0 -+ gCZ-), где.

4= у Ъп Сы0нЕС?)) ^J?0 > О, SC2) аналитична при TmiyO и > О при |Н|—оъ. Показано теорема 3.2 главы I), что спектр оператора j) i—=> составляет спираль? Д: Я = 2/0°) ш01 ^ О J.

Во второй главе рассматриваются вопросы описания спектров операторов, действующих в банаховых пространствах аналитических функций на ограниченных областях Х> С- (Drt.

Обозначим через Uoi (V) алгебру всех голоморфных функций на .D и положим A CD) = с (ъ) f) h. o?(d). Пусть Х^с: Цо€СТ)) — банахов ACd) — модуль (причем вложение непрерывнотопология на KoC (V) — это топология равномерной сходимости на компактах). Рассматриваются операторы двух типов. Оператор первого типа определяется функцией^еХ и непрерывным отображением (j>: D —> D, голоморфным в D :

T^).

Легко убедиться, что Т компактен в X ..

Операторы второго типа определяются так. Пусть? — голоморфное векторное поле, определенное в некоторой окрестности множества D, причем во всех точках границы поле ^ трансверсально к ?)D и направлено внутрь D (относительно границы делаются некоторые несущественные предположения). Через обозначим решение уравнения Х/ = f (X/)c начальным условием = 2. Решение существует при всех i^O и IfCfa) V для2еР и ЬО, Пусть jL регулярная конечная борелевская комплексная мера на полуоси ^ > О .Мы полагаем у оо.

Tf)(H) — j Z6(lf (b))f (fCiz))djxd), где^А (Б). О.

В § I главы П собраны необходимые для дальнейшего вспомогательные результаты. В § 2 дается доказательство теоремы, дающей описание спектра оператора первого типа. Заметим, что упомянутое отображение Lf>: D —имеет в точности одну неподвижную точку в D и будем считать ее началом координат в ([ Пусть =• Az * т*е- ^ ~ линейная часть ^ в начале координат. Обозначим через flctf) мультипликативную полугруппу в €, порожденную числом 0 и совокупностью всех нерезонансных собственных чисел отображения Д. (Напомним, что собственное значение оС называется резонансным, если — **' с*^ для некоторых собственных чисел о^ и неотрицательных целых >•••,> с /Ei т- > %)..

— ..

ТЕОРЕМ 2.1. ГЛАВЫ П. Спектр оператора Т первого типа совпадаете 36(0) П (if) ..

В § 3 главы П изучается спектр оператора Т второго типа (ассоциированного с полем и мерой jJL). При h. ^ H#?Cd) положим t>/0(2) = k (lf (lz)).

Легко проверить, что Ф h е X, если, А е X и ^ ^ 0. v.

Обозначим через О вариацию меры jju и предположим, что jll.