Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Математическое моделирование и анализ стохастической динамики популяций

Диссертация: Математическое моделирование и анализ стохастической динамики популяций
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Полное вероятностное описание возможных в системе стохастических режимов дается с помощью функции плотности распределения, удовлетворяющей уравнению Фоккера-Плаика-Колмогорова. Непосредственное использование этого уравнения уже для систем двух взаимодействующих популяций весьма затруднительно. Важный для практики случай воздействия малых возмущений приводит к известным проблемам анализа уравнений… Читать ещё >

Математическое моделирование и анализ стохастической динамики популяций (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Методы анализа устойчивости аттракторов
    • 1. 1. Классический анализ устойчивости аттракторов
      • 1. 1. 1. Устойчивость равновесий
      • 1. 1. 2. Устойчивость предельных циклов
    • 1. 2. Метод ФСЧ в анализе стохастических аттракторов
      • 1. 2. 1. Стохастическая чувствительность равновесий
      • 1. 2. 2. Стохастическая чувствительность предельных циклов
  • 2. Модель «хищник-жертва»
    • 2. 1. Положения равновесия
      • 2. 1. 1. Бифуркационная диаграмма
    • 2. 2. Равновесие
      • 2. 2. 1. Детерминированное равновесие
      • 2. 2. 2. Стохастическое равновесие с аддитивным шумом
      • 2. 2. 3. Стохастическое равновесие с параметрическим шумом
    • 2. 3. Предельный цикл
      • 2. 3. 1. Детерминированный цикл
      • 2. 3. 2. Стохастический цикл с аддитивным шумом
      • 2. 3. 3. Стохастический цикл с параметрическим шумом
  • 3. Модель «продуцент-консумент-хищник»
    • 3. 1. Положения равновесия
      • 3. 1. 1. Бифуркационная диаграмма
    • 3. 2. Предельный цикл
      • 3. 2. 1. Детерминированный цикл
      • 3. 2. 2. Стохастический цикл с аддитивным шумом
  • 4. Модель «хищник-две жертвы»
    • 4. 1. Положения равновесия
      • 4. 1. 1. Бифуркационная диаграмма
    • 4. 2. Предельный цикл
      • 4. 2. 1. Детерминированный цикл
      • 4. 2. 2. Стохастический цикл с аддитивным шумом
      • 4. 2. 3. Стохастический цикл с параметрическим шумом

Данная диссертационная работа посвящена моделированию и анализу устойчивости предельных множеств нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием стохастических возмущений. Объектом исследования являются модели биологических сообществ, взаимодействующих по принципу «хищник-жертва» .

Исследование математических моделей, описывающих взаимодействие популяций, в настоящее время представляет собой классический раздел нелинейной динамики и математической биологии. В задачах биологии и экологии аппарат математического моделирования стал широко применяться начиная с XX века, и первым объектом, для исследования которого он был использован, стал механизм борьбы за существование.

Само становление математической биологии как отдельной науки связано с выходом основополагающих работ таких авторов, как А. Лотка (1925) [101], В. Вольтерра (1926) [19], В. А. Костицына (1937) [37], Д’Арси Томпсона (1917) [125], а также многих других исследователей: [40], [41], [45], [50], [53], [57], [82], [91].

В своих трудах Лотка и Вольтерра впервые и независимо друг от друга сформулировали простую аналитическую модель, демонстрирующую возникновение незатухающих колебаний, не за счет каких-либо внешних воздействий, а благодаря лишь внутренним свойствам самой системы. У Лотки рассматривалась система химических веществ, у Вольтерры — биологических видов — хищников и жертв, проживающих на одной территории.

Широкую известность имеет проведенное в 30-х гг. XX века исследование динамики численности зайца-беляка и канадской рыси по данным о количестве заготовленных охотниками шкурок на протяжении 90 лет [78], [102]. Подробное исследование этих данных [87], [72] подтолкнуло исследователей к поиску новых моделей описания взаимодействия видов.

Большой вклад в развитие математической биологии внесла работа Колмогорова А. Н. «Качественное изучение математических моделей динамики популяций» (1936, 1972) [36]. В ней был предложен новый подход к задачам популяционной динамики, опирающийся на ввод ограничений качественного характера на рассматриваемые функции, вместо поиска конкретных функциональных зависимостей, которые далеко не всегда удается определить из эксперимента.

В настоящее время система Лотки-Вольтерры служит базовой моделью для множества процессов как в биологии, так и в других областях науки. В частности, эта система и ее модификации применяются для моделирования отношений «хищник-жертва» [112], [74], «дерево-насекомое» [27], конкуренции в экономической теории [15], [44], моделирования распространения фронтов лесных пожаров [20], описания концентрационных колебаний в химических реакциях [25], [69], [131], некоторых социальных и экономических систем [89], [94] и т. д.

Важную роль в развитии математического моделирования в биологии сыграла работа Базыкина А. Д. «Математическая биофизика взаимодействующих популяций» (1985) [4]. В ней приводится подробный анализ и систематизация возможных динамических режимов, реализующихся в модельных системах двух и трех взаимодействующих популяций. Для двумерных систем исчерпывающе рассмотрены перестройки динамических режимов, происходящие при изменении параметров, предложена биологическая интерпретация наблюдаемых эффектов. Сформулировано представление об опасных границах динамических и параметрических воздействий на экологические системы.

Для трехмерных моделей дается классификация трофических структур, возможных в системе трех взаимодействующих популяций, при помощи трофических графов. Популяции обозначаются вершинами графов, а трофические отношения между ними — стрелками, указывающими па-правления потоков вещества (от жертвы к хищнику). Организмы, получа-юшие свою пищу от растений через одинаковое число этапов, считаются принадлежащими одному трофическому уровню [43]. Популяции разных трофических уровней изображаются на разной высоте, хищник считается высшим звеном пищевой цепи и изображается сверху. Кроме того, необходимо знать, как поведет себя каждая из популяций, будучи предоставленной самой себе. Одни из популяций в таком случае размножаются — это обозначается стрелкой, входящей в соответствующую вершину графа, другие же вымирают — обозначается стрелкой, выходящей из вершины графа.

Из всех возможных типов трофических структур абсолютное большинство исключаются из рассмотрения по причинам невозможности сосуществования трех популяций [95], [96], либо их «экзотичности» [4] (например, когда в системе присутствует растение-хищник типа росянки). В результате, остается только один граф, изображающий так называемую ячейку трофической сети (рис. 1(а)). Для вида, являющегося пищей для двух других популяций, обычно используется термин «продуцент» либо «жерт.

Рис. 1: Графы трофических отношений для (а) ячейки трофической сети (модель «продуцент-консумент-хищник») и (Ь) системы «хищник-две жертвы». ва", для вида, питающегося двумя другими, — термин «хищник», а для третьего вида, являющегося жертвой по отношению к хищнику, и хищником по отношению в жертве, используется термин «консумент». Данная система представляет собой весьма распространенную экологическую ситуацию [60], [80], [85] и подробно рассматривается в третьей главе настоящей диссертации.

Кроме полных трофических графов, где с тем или иным знаком реализуются все возможные трофические связи между популяциями, большой интерес исследователей представляют и неполные (вырожденные) графы, в которых отдельные трофические связи отсутствуют [77], [97], [123], [127]. В реальных экологических системах осуществляются только три типа таких структур [4]. Одной из них, соответствующей системе «хищник-две жертвы» (рис. 1(b)), посвящена глава 4 данной диссертации.

Начиная с работ Лотки и Вольтерры и до настоящего времени, основным инструментом изучения динамики численности взаимосвязанных сообществ является качественная теория систем нелинейных дифференциальных уравнений [4], [36], [47], [51], [126].

Исследования последних лет показали, что разнообразие, наблюдаемое в поведении нелинейных динамических систем можно свести к анализу относительно простых режимов (равновесия, циклы) и их качественных преобразований — бифуркаций [1], [23]. Формальный анализ аттракторов соответствующей математической модели позволяет ответить на важные содержательные вопросы об особенностях динамики взаимодействующих популяций и спрогнозировать их поведение в будущем. Так, например, одним из наиболее стандартных переходов является бифуркация равновесие — цикл. Такой переход сопровождается потерей устойчивости простого аттрактора — равновесия и рождением нового, более сложного аттракторапредельного цикла.

В литературе описан и детально исследован целый ряд двумерных моделей популяционной динамики [4], [36], [98], [106], [107], в которых при изменении параметра равновесие теряет устойчивость, и в системе появляется предельный цикл. В настоящее время значительный интерес исследователей вызывают трехмерные модели популяционной динамики [3], [64], [129], где кроме регулярных аттракторов — точек покоя (стационарные режимы) и предельных циклов (периодические режимы), могут возникать странные аттракторы (хаотические режимы).

Один из стандартных сценариев перехода системы от порядка к хаосу по мере изменения управляющих параметров состоит в бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода предельных циклов. Возможность реализации серии бифуркаций удвоения периода была установлена еще задолго до открытия странных аттракторов, а в 1978 г. М. Фейген-баумом были открыты универсальные закономерности перехода к хаосу посредством такой серии бифуркаций [81]. Наиболее известной моделью, демонстрирующей возникновение странного аттрактора, является модель Лоренца [100]. Именно в этой модели, описывающей динамику тепловой конвекции, подобные свойства динамической системы были обнаружены впервые. Также детерминированный хаос наблюдается и во многих других динамических моделях, среди которых классические системы Ресслера [111], Чуа [75], генератор Анищенко-Астахова [1]. Качественное изменение динамических режимов, связанное с бифуркациями удвоения периода, наблюдается также и в трехмерных популяционных моделях [3], [4], [64], [129].

Функционирование реальных биологических систем, как правило, сопровождается трудно контролируемыми внешними воздействиями [42]. Так, на численность взаимодействующих популяций может влиять изменение погодных условий, случайная смертность, и т. д. Кроме того, возмущениям подвергаются и внутренние параметры системы, такие как коэффициенты рождаемости, смертности, конкуренции особей. Все эти факторы могут быть названы малыми случайными возмущениями и описаны при помощи соответствующих дополнительных слагаемых в уравнениях системы.

Включение в модель случайных возмущений приводит к тому, что решение системы также становится случайным процессом. Под действием возмущений решение системы покидает детерминированный аттрактор и формирует вокруг него некоторое облако случайных состояний. Первые результаты, касающиеся выхода из области устойчивости стохастически возмущенного решения системы, были опубликованы еще в 1899 году [63]. В работе Понтрягина Л. С., Андронова A.A., Витта A.A. «О статистическом рассмотрении динамических систем» (1933 г.) [46] были сформулированы основные задачи стохастической динамики, которые остаются актуальными и сейчас. Если плотность распределения случайных состояний в облаке стремится к некоторой стационарной, то соответствующее решение стохастической системы называется стохастическим аттрактором. При этом для всякого другого достаточно близкого решения соответствующая плотность распределения стабилизируется и сходится к этой стационарной. Конструкция стохастических аттракторов рассматривалась в [16], [26], [65], [70], [115], [117], [118].

Исследование нелинейных систем в присутствии случайных возмущений было начато в [46] и продолжено в большом числе работ [2], [52], [62], [92], [108], [122]. Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования показали, что случайные флуктуации могут вызывать неожиданные и интересные явления, такие как стохастический резонанс [83], [105], индуцированные шумами переходы [54], индуцированный шумом порядок [86], [103], индуцированный шумом хаос [84].

Фазовый портрет системы под воздействием случайных возмущений может претерпевать значительные изменения. Соответствующие деформации, вызванные шумами, особенно ощутимы вблизи точек бифуркаций, где даже малые шумы, вследствие высокой чувствительности аттракторов, могут порождать новые явления в динамике системы, называемые стохастическими бифуркациями [67], [79], [99], [119], [120], [116]. В биологических системах стохастические бифуркации изучались в работах [121], [124], [130].

Полное вероятностное описание возможных в системе стохастических режимов дается с помощью функции плотности распределения, удовлетворяющей уравнению Фоккера-Плаика-Колмогорова [17]. Непосредственное использование этого уравнения уже для систем двух взаимодействующих популяций весьма затруднительно. Важный для практики случай воздействия малых возмущений приводит к известным проблемам анализа уравнений с малыми коэффициентами при старших производных. В этой ситуации одним из наиболее распространенных приемов исследования является прямое численное моделирование случайных траекторий с их последующей статистической обработкой [110], [128].

В настоящее время развивается подход, позволяющий для искомых вероятностных характеристик стохастических аттракторов системы найти соответствующее приближение. Для систем с малыми случайными возмущениями в работе А. Д. Вентцеля и М. И. Фрейдлина [18] предложен метод, использующий конструкцию квазипотенциала. Для квазипотенциала вблизи аттрактора детерминированной системы может быть найдена [11] квадратичная аппроксимация, позволяющая в итоге получить асимптотику стационарной плотности в форме нормального распределения. При этом разброс случайных траекторий стохастической системы вокруг детерминированного аттрактора может быть описан с помощью функции стохастической чувствительности (ФСЧ). Данная функция была введена в работах Баш-кирцевой И.А. и Ряшко Л. Б [11], [12], где с ее помощью были исследованы особенности стохастических автоколебаний в моделях брюсселлятора и Лоренца. При помощи ФСЧ в работах Стихииа П. В. [13], [49], [113], Губкина A.A. [21], [22], [90], Цветкова И. Н. [14], [55], [56], Переваловой Т. В. [9], [10] исследована чувствительность аттракторов и проведен анализ обратных стохастических бифуркаций для целого ряда динамических систем, в том числе и дискретных.

Краткое содержание диссертации.

Данная диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Рассмотрим подробнее структуру диссертации.

Заключение

.

В настоящей работе проведен анализ детерминированной устойчивости и стохастической чувствительности регулярных аттракторов (равновесий и циклов) нелинейных систем, моделирующих динамику численности взаимодействующих популяций. Ниже приводится перечень основных результатов диссертации, выносимых на защиту.

1. Разработана техника математического моделирования стохастических аттракторов двумерных систем в форме доверительных областей. Для предельных циклов трехмерных систем обоснована сходимость метода отыскания матрицы стохастической чувствительности.

2. Выявлены и наглядно продемонстрированы различия в отклике системы «хищник-жертва» на воздействие аддитивных и параметрических шумов. Для трехмерных систем «продуцент-консумент-хищник» и «хищник-две жертвы» установлено соответствие между детерминированными и стохастическими характеристиками устойчивости предельных циклов.

3. Определены интервалы структурной устойчивости в цепи бифуркаций удвоения периода цикла системы «хищник-две жертвы». На каждом интервале выявлены наименее чувствительные циклы. Установлена универсальность роста чувствительности в цепи бифуркаций для разных типов шума.

4. Разработан программный комплекс, реализующий алгоритмы решения всех рассмотренных в диссертации задач математического моделирования и анализа аттракторов двухи трехмерных динамических систем.

Показать весь текст

Список литературы

  1. B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.- 312 с.
  2. B.C., Вадивасова Т. Е., Нейман А. Б., Стрелкова Г. И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, — 544 с.
  3. Е.А., Апонин Ю. М., Базыкин А. Д. Анализ сложного динамического поведения в модели хищник две жертвы // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистеми. JI.: Гидроме-теоиздат, 1982, — Т. 5.- С. 163−180.
  4. А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985, — 181 с.
  5. И.А., Карпенко Л. В. Устойчивость модели популяцион-ной динамики // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2007, — С. 111−115.
  6. И.А., Карпенко Л. В. Стохастическая чувствительность модели хищник-жертва к аддитивным и параметрическим помехам //
  7. Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2008.-С. 92−98.
  8. И.А., Карпенко Л. В., Ряшко Л. Б. Анализ аттракторов стохастически возмущенной модели «хищник-жертва»// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 2009 Т. 17, № 2 — С. 37−53.
  9. И.А., Карпенко Л. В., Ряшко Л. Б. Стохастическая чувствительность предельных циклов модели «хищник-две жертвы»// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 2011.- Т. 18, № 6.- С. 42−64.
  10. И.А., Перевалова Т. В. Анализ стохастических аттракторов при бифуркации точка покоя-цикл // Автоматика и Телемеханика, 2007, — № 10, — С. 53−69.
  11. И.А., Перевалова Т. В. Метод функции стохастической чувствительности в анализе случайных возмущений предельных циклов // Устойчивость, управление и моделирование динамических систем. Екатеринбург: УрГУПС, 2006, — № 54(137).- С. 20.
  12. И.А., Ряшко Л. Б. Метод квазипотенциала в анализе чувствительности автоколебаний к стохастическим возмущениям / / Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 1998.- Т. 6, № 5, — С. 19−27.
  13. И. А., Ряшко Л. Б. Метод квазипотенциала в исследовании локальной устойчивости предельных циклов к случайным возмущеииям // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 2001 Т. 9, № 6, — С. 104−114.
  14. И. А., Ряшко Л. Б., Стихин П. В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 2003, — Т. 11, № 6.- С. 32−47.
  15. И.А., Ряшко Л. Б., Цветков И. Н. Стохастическая чувствительность равновесий и циклов одномерных дискретных отображений. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 2009, — Т. 17.- № 6, — С. 74−85.
  16. М.Б. Проблема конкуренции в экономической теории // Эволюционная экономика и «мэйнстрим». М: Наука, 2000.- С. 87−96.
  17. М. Л. Конечномерные стохастические аттракторы бесконечномерных динамических систем // Функц. анализ и его прил., 1986.Т. 20:2, — С. 54−55.
  18. А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
  19. А.Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.- 424 с.
  20. В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976, — 286 с.
  21. A.M. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними. Новосибирск: Наука, 1992.- 407 с.
  22. A.A. Стохастическая устойчивость периодических систем // Dynamical system modelling and stability investigation, Kyiv, 2005 P. 41.
  23. A.A., Ряшко JI.Б. Стохастические циклы в модели Пиковского при переходе к хаосу // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 34-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2003, — С. 106.
  24. Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Институт компьютерных исследований, 2002.- 560 с.
  25. .П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука, 1967, — 472 с.
  26. A.M. Концентрационные автоколебания.- М., 1974.179 с.
  27. Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984, — 272 с.
  28. A.C., Гире Г. И. Взаимодействие дерева и насекомых-ксилофагов. Новосибирск: Наука, 1975 346 с.
  29. Ито К. О стохастических дифференциальных уравнениях // Математика I., 1957, — № 1, — С. 78−116.
  30. Л.В., Ряшко Л. Б. Анализ стохастических колебаний в модели продуцент-консумент-хищник // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.- С. 145−149.
  31. А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики, — М.: Наука, 1972.-Вып. 25, — С. 100−106.
  32. В.А. Эволюция атмосферы, биосферы и климата. М.: Наука, 1984, — 95 с.
  33. H.A., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004, — 320 с.
  34. Г. Н., Ряшко JI.B. Первое приближение квазипотенциала в задачах об устойчивости систем со случайными невырожденными возмущениями // Прикл. математика и механика, 1995.- Т. 59.- Вып. 1.-С. 53−63.
  35. H.H., Александров В. В., Тарко A.M. Человек и биосфера. Опыт системного анализа и эксперименты с моделями. М.: Наука, 1985, — 272 с.
  36. H.H., Крапивин В. Ф., Свиреоюев Ю. М., Тарко A.M. Системный анализ динамических процессов биосферы: на пути к построению модели динамических процессов в биосфере. // Вестник АН СССР, 1979, — № 10.- С. 88−104.
  37. О.В. Вероятностные характеристики системы «хищник-жертва"со случайно изменяющимися параметрами // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 1997, — Т. 5, № 3- С. 80−86.
  38. Ю. Основы экологии. Пер. с англ. под ред. Н. П. Наумова. М.: Мир, 1975, — 740 с.
  39. Опыт конкуренции в России. Причины успехов и неудач. Под ред. А. Ю. Юданова, М.: КноРус, 2007.
  40. В.В., Алоян А. Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука, 1985.- 253 с.
  41. Л.С., Андронов A.A., Витт A.A. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ, 1933- Т. 3- Вып. 3.-С. 165−180.
  42. Ю.М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984, — 304 с.
  43. B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Физмат-лит, 2000.- 294 с.
  44. Л.Б., Cmuxwi П. В Обратные бифуркации в стохастической системе Ресслера // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 2005, — Т. 13.- т.- С. 20−36.
  45. Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.- 365 с.
  46. Ю.М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.- 350 с.
  47. Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.- 559 с.
  48. A.M., Ведюшкин М. А., Писаренко Н. Ф., Татаринов Ф. А. Моделирование воздействия промышленных загрязнений на лесные экосистемы. М.: ВЦ АН СССР, 1987, — 19 с.
  49. В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М: Мир, 1987, — 398 с.
  50. И.Н. Обратные стохастические бифуркации в модели Ферх-юльста // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2007, — С. 279−283.
  51. И.Н. Стохастическая чувствительность циклов нелинейных отображений в цепи бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу // Устойчивость, управление и моделирование динамических систем. Екатеринбург: УрГУПС, 2006.- № 54(137).- С. 20.
  52. Н.В., Новоселов А. Л., Гирусов Э. В., Бобылев С. Н. Экология и экономика природопользования. М.: Юнити, 2001.- 456 с.
  53. Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988 253 с.
  54. Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: КомКнига, 2006.312 с.
  55. Т.Н. О некоторых математических моделях биогеоценозов // Проблемы кибернетики, 1966, — № 16, — С. 19−202.
  56. Abramowitz М, Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 19 721 046 pp.
  57. Allen L.J.S. An introduction to the stochastic process with application to biology. Pearson. Education, Inc., New Jersey, 2003.- 379 pp.
  58. Arrhenius S.A. Ueber die Reaktiongeschwindigkeit bei der inversion von Rohrzucker durch Saeuern. // Z. Phys. Chemie, 1899.- Vol. 4.- 226 pp.
  59. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Occurrence of strange attractors in three dimensional Volterra equations // Phys. Lett. A., 1980.- Vol. 79.-P. 259−263.
  60. Arnold L. Random Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1998.
  61. Arnold L., Khasminskii R.Z. Stability index for nonlinear stochastic differential equations // Proc. of Symposia in Pure Math., 1995.- Vol. 57.-P. 543−551.
  62. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Brusselator// Physica A., 2000.- Vol. 278.- P. 126 139.
  63. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Mathematics and computers in simulation, 2004, — Vol. 66.- P. 55−67.
  64. Belousov B.P. A Periodic Reaction and its Mechanism // Oscillations and Traveling Waves in Chemical Systems. Eds Field R.J. and Burger M. New York: Wiley, 1985.
  65. Billings L., Schwartz I.B. Exciting chaos with noise: unexpected dynamics in epidemic outbreaks //J. Math. Biol., 2002.- Vol. 44, — P. 31−48.
  66. Box G.E.P., Mervin E. Muller A note on the generation of random normal deviates // Ann.Math.Statist, 1958, — Vol. 29.- № 2. P. 610−611.
  67. Bulmer M.G. A statistical analysis of the 10-year cycle in Canada // Journal of Animal Ecology, 1974, — Vol. 43.- № 3, — P. 701−718.
  68. Butcher J. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Wiley, 2003, — 440 pp.
  69. Chase J.M., Abrams P.A., Grover J.P., Diehl S., Chesson P., Holt R.D., Richards S.A., Nisbet R.M., Case T.J. The interaction between predation and competition: a review and synthesis // Ecology Letters, 2002, — Vol. 5.-P. 294−315.
  70. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family // IEEE Trans. Circuits Syst., 1986, — Vol. 33.- № 11, — P. 1072−1118.
  71. Cramer N.F., May R.M. Interspecific competition, predation and species diversity: a comment // J. Theor. Biol., 1971, — Vol. 34, — P. 289−293.
  72. El-Gohary A., Al-Ruzaiza A.S. Chaos and Adaptive Control in two-prey, one-predator system with nonlinear feedback // Chaos, Solitons and Fractals, 2007, — Vol. 34, — P. 443−453.
  73. Elton C., Nicholson M. The Ten-Year Cycle in numbers of the Lynx in Canada // Journal of Animal Ecology, 1942, — Vol. 11.- P. 215−244.
  74. Fedotov 5., Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic dynamo model for subcritical transition // Phys. Rev. E., 2006.- Vol. 73.- P. 66 307−66 311.
  75. Fedriani J.M., Fuller T.K., Sauvajot R.M., York E.C. Competition and intraguild predation among three sympatric carnivores. Oecologia, 2000.-Vol. 125, — P. 258−270.
  76. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. of Stat. Phys., 1978, — Vol. 19, № 1.- P. 25−52.
  77. Fisher R.A. The Causes of Evolution. Oxford, 1932.
  78. Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Rev. Mod. Phys., 1998.- Vol. 70, — 223 pp.
  79. Gao J. B., Hwang S. K., Liu J. M. When can noise induce chaos? // Phys. Rev. Lett,., 1999, — Vol. 82.- P. 1132−1135.
  80. Garfinkel D., Sack R. Digital computer simulation of an ecological system, based on a modified mass action law // Ecology, 1964, — Vol. 45 P. 502−507.
  81. Gassmann F. Noise-induced chaos-order transitions // Phys. Rev. E., 1997, — Vol.55.- P. 2215−2221.
  82. Gilpin M.E. Do Hares Eat Lynx? // The American Naturalist, 1973,-Vol. 107, — № 957.- P. 727−730.
  83. Gilpin M. E. Enriched predator-prey systems: theoretical stability. Science, 1972, — Vol. 177, — P. 902−904.
  84. Granger C.W.J., Terasvirta T. Modeling Nonlinear Economic Relationships // New York: Oxford University Press, 1993.- 198 pp.
  85. Gubkin A.A., Ryashko L.B. Stochastic cycles for a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction under transition to chaos // Neural, parallel and scientific computations, Dynamic publishers, 2005, — Vol. 13 P. 131−146.
  86. Haldane J.B.S. The Causes of Evolution. Princeton university press. Princeton, New Jersey, 1990.- 60 pp.
  87. Henson S.H., King A.A., Costantino R.F., Cushing J.M., Dennis B., Deshernais R.A. Explaining and predicting patterns in stochastic population systems. Proceedings of the Royal Society London B 270, 2003.-P. 1549−1553
  88. Hofbauer J., Sigmund K. On the stabilizing effect of predators and competitors on ecological communities // J. Math. Biol., 1989.-Vol. 27 (1.5).- P. 537−548.
  89. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary Games and Population Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.- 325 pp.
  90. Kerr B., Riley M.A., Feldman M.W., Bohannan J.M. Local Dispersal Promotes Biodiversity in a Real-Life Game of Rock-Paper-Scissors"// Nature, 2002, — Vol. 418, — P. 171.
  91. Kirkup B. and Riley M.A. Antibiotic-Mediated Antagonism Leads to a Bacterial Game of Rock-Paper-Scissors in vitro // Nature, 2004, — Vol. 428.-P. 412.
  92. Koch A.L. Competitive coexistence of two predators utilizing the same prey under constant environmental conditions //J. Theor. Biol., 1974.-Vol. 44, — P. 373−386.
  93. Krivan V. Optimal foraging and predator-prey dynamics // Theoretical Population Biology, 1996.- Vol. 49.- P. 265−290.
  94. Leung H.K. Stochastic Hopf bifurcation in a biased van der Pol model // Physica A. 1998.- Vol. 254, — P. 146−155.
  95. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow //J. Atmos. Sci., 1963-Vol. 20.- P. 130−141.
  96. Lotka A.J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams and Wilkins, 1924, — 460 pp.
  97. MacLulick D.A. Fluctuation in numbers of the varying hare (Lepus americanus) // University of Toronto Studies, Biology Series, 1937.- № 43.-P. 1−136.
  98. Matsumoto K., Tsuda I. Noise induced order //J. Stat. Phys., 1983-Vol. 31.- 87 pp.
  99. May R. M. Limit cycles in predator-prey communities. Science, 1972-Vol. 177, — P. 900−902.
  100. McDonnell M. D.- Stocks N. G., Pearce C. E. M.} Abbott D. Stochastic resonance: From Suprathreshold Stochastic Resonance to Stochastic Signal Quantization. Cambridge University Press, 2008.- 452 pp.
  101. Monetti R., Rozenfeld A., Albano E. Study of Interacting Particle Systems: The Transition to the Oscillatory Behavior of a Prey-Predator Model 11 Physica A, 2000, — № 283.- P. 52−58.
  102. Morozov A., Petrovskii S., Li B.-L. Bifurcations and chaos in a predator-prey system with the Allee effect // Proc. Royal Soc. London Series B-Biol. Sci., 2004.- Vol. 271.- P. 1407−1414.
  103. Natiello M.A., Solari H.G. Blowing-up of deterministic fixed points in stochastic population dynamics // Mathematical Biosciences, 2007.-Vol. 209, — № 2, — P. 319−335.
  104. Paine R. T. Food web complexity and species diversity // Amer. Natur., 1966.- Vol. 100, — P. 65−75.
  105. Reichenbach T., Mobilia M., Frey E. Coexistence Versus Extinction in the Stochastic Cyclic Lotka-Volterra Model // Physical Review E, 2006.-Vol. 74.- P. 51 907.
  106. Roessler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett,., 1976.-Vol. 35a.- P. 397−398.
  107. Rosenzweig M.L., Mac Arthur R.H. Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions // Amer. Natur., 1963.- Vol. 97, № 893.- P. 209−223.
  108. Ryashko L.B., Bashkirtseva I.A., Stihin P. V. Stochastic sensitivity of the forced Roessler system under transition to chaos // XXXII Summer School Conference «Advanced Problems in Mechanics», 2004 — P. 89.
  109. Ryashko L.B., Shnol E.E. On exponentially attracting invariant manifolds of ODEs // Nonlinearity, 2003.- Vol. 16, — P. 147−160.
  110. Schenk-Hoppe K.R. Bifurcations of the Randomly Perturbed Logistic Map // University of Bielefeld, Department of Economics, Discussion Paper, 1997, — № 353.
  111. Schenk-Hoppe K.R. Bifurcation scenarios of the noisy Duffing-van der Pol oscillator // Nonlinear dynamics, 1996.- Vol. 11- P. 255.
  112. Schmalfuss B. The random attractor of the stochastic Lorenz system // ZAMP., 1997, — Vol. 48.- P. 951−975.
  113. Scheutzow M. Comparison of various concepts of a random attractor: A case study // Arch. Math., 2002.- Vol. 78, — P. 233−240.
  114. Sieber M., Malchow H., Schimansky-Geier L. Constructive effects of environmental noise in an excitable prey-predator plankton system with infected prey // Ecological Complexity, 2007, — Vol. 4.- P. 223−233.
  115. Song C., Phenix H., Abedi V., Scott M., Ingalls B. P., Kaern M., Perkins T. J. Estimating the Stochastic Bifurcation Structure of Cellular Networks // PLoS Computational Biology, 2010, — Vol. 6, — № 3.-Art. el000699.
  116. Spagnolo B., Cirone M., La Barbera A., De Pasquale F. Noise-Induced Effects in Population Dynamics // Journal of Physics: Condensed Matter, 2002, — Vol. 14, — P. 2247.
  117. Swift R.J. A Stochastic Predator-Prey Model // Irish Mathematical Society Bulletin, 2002.- № 48, — P. 57−63.
  118. Szwabinski J., Pekalski A., Trojan K. Effects of competition and predation in a three species model // Banach Center Publ., 2008.- Vol. 80, P. 265−269.
  119. Tateno T. Characterization of Stochastic Bifurcations in a Simple Biological Oscillator // Journal of statistical physics, 1998.- Vol. 92,-P. 675−705.
  120. Thompson DArcy On Growth and Form. New York: Cambridge University Press, 1995.- 346 pp.
  121. Turchin P. Complex population dynamics: a theoretical/empirical synthesis. Princeton University Press, 2003- 456 pp.
  122. Vance R. R. Predation and resource partitioning in one predator-two prey model communities // Amer. Natur., 1978.- Vol. 112, — P. 797−813.
  123. Washenberger M.J., Mobilia M., Tauber U. C. Influence of Local Carrying Capacity Restrictions on Stochastic Predator-Prey Models // Journal of Physics: Condensed Matter, 2007, — Vol. 19, — P. 65 139.
  124. Xiao D., Li W. Limit cycles for competitive three dimensional Lotka -Volterra system //J. Diff. Eqns., 2000.- Vol. 164, — P. 1−15.
  125. Zakharova A., Vadivasova T.E., Anishchenko V.S., Koseska A., Kurths J. Stochastic bifurcations and coherencelike resonance in a self-sustained bistable noisy oscillator. // Phys. Rev. E., 2010, — Vol. 81.-P. 11 106.
  126. Zhdanov V.P. Surface Restructuring, Kinetic Oscillations and Chaos in Heterogeneous Catalytic Reactions // Physical Review E, 1999.- Vol. 60.-P. 7554.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!