Математическое моделирование и численное решение одномерных задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации

Особый интерес к процессам, происходящим в окружающей среде, и, в том числе, к разнообразным процессам фильтрации жидкости в грунтах с различными свойствами возник в конце 40-х — начале 50-х годов. Стремление к совершенствованию промышленных и сельскохозяйственных технологий и все большая актуальность экологических проблем вели к расширению круга рассматриваемых задач и развитию теории фильтрации.

Существенный вклад в развитие теории фильтрации внесли П.Я.Полубаринова-Кочина, Г. И. Баренблатт, В. Н. Николаевский, В. М. Ентов, Р. И. Нигматуллин, J.R.Philip, J. Bear, P. Broadbridge и многие другие. Основные этапы развития теории фильтрации и ее основные принципы отражены, например, в работах [1], [2], [3], [22], [24], [28], [38], [51], [52].

Развивались как качественная теория и аналитические методы исследования, так и численные методы решения и исследования задач. Современное состояние дел в теории фильтрации обсуждается в работах [2], [3], [21], [28], [38], [41], [45], [54].

Данная диссертационная работа посвящена математическому моделированию и численному исследованию процессов инфильтрации в зонах полного (все поры грунта заполнены жидкостью) и неполного (в порах грунта присутствуют жидкость и воздух) насыщения. Особое внимание уделяется отслеживанию возникающих в этих задачах неизвестных свободных границ и изучению их поведения. Рассматривается также задача насыщенно-ненасыщенной фильтрации с учетом фазового перехода при закачке концентрированного раствора соли в мерзлый грунт, когда вода присутствует в грунте во всех своих агрегатных состояниях (пар, жидкость, лед).

Работы по указанной тематике можно найти уже в периодических изданиях начала 70-х годов ([48], [50]). Но следует отметить, что заметный интерес к задачам со свободными границами и нестационарным процессам в зоне неполного насыщения возник, по-видимому, лишь в начале 80-х годов ([42],[56]). Это связано, в первую очередь, со сложностью таких задач для аналитического исследования или численного решения. До сих пор ведутся дискуссии о подходах к решению этих задач [53].

Получены вариационные и дифференциальные постановки различных задач со свободными границами для отыскания их классических и слабых (обобщенных) решений (например, [35], [36], [55]). Проводятся аналитические исследования как самих решений (например, [35], [36], [43]), так и свойств свободных границ (например, [43], [44]). Для аппроксимации поставленных задач использовались и продолжают использоваться метод конечных элементов ([37], [40], [46], [50], [55]) и метод конечных разностей ([57]). Ищутся альтернативные подходы к решению задач [47]. Среди задач с фазовыми переходами наиболее изучены задачи типа задачи Стефана, которые и сегодня остаются актуальными и привлекают внимание ученых ([39], [49], [57]). Весомый вклад в развитие методов решения этих задач внесли C.M.Elliott, J.W.Jerome, M.E.Rose, E. Magenes, R.H.Nochetto, C. Verdi, A. Visintin, А. В. Лапин, Ю. А. Кузнецов. Близкими к теме данной диссертации являются работы В. М. Ентова, А. М. Максимова и Г. Г. Цыпкина в области задач с фазовыми переходами ([6], [7], [18], [19]) и работы А. Г. Егорова, А. В. Костерина и А. Е. Шешукова ([4], [5]).

Сравним условия, которые ставятся на неизвестной границе в задаче Стефана и задачах насыщенно-ненасыщенной фильтрации.

В задаче Стефана искомой функцией является температура, и на свободной границе.

1) задано значение температуры,.

2) ее скачок равен нулю,.

3) скачок теплового потока конечен, отличен от нуля и связан со скоростью движения границы.

В свою очередь, в задачах насыщенно-ненасыщенной фильтрации, где искомой функцией является либо давление жидкости, либо насыщенность (количество влаги в единице порового объема грунта), на свободной границе имеем.

1) известное значение искомой функции,.

2) непрерывность искомой функции,.

3) непрерывность потока жидкости (скачок потока равен нулю). Таким образом, в постановку задачи Стефана, в отличие от задач фильтрации, входит скорость движения неизвестной границы, что может упростить нахождение ее положения. Отслеживание границы зон полного и неполного насыщения является более сложной задачей.

Определим теперь место данной работы в ряду исследований последних лет.

Идея начать исследования, результаты которых составили первую главу данной диссертации, возникла после изучения результатов, полученных У. М. Мамбетовым [20]. А именно, хотелось разрешить замеченное противоречие в его рассуждениях и результатах, согласно которым фронт полного насыщения (иначе говоря, граница зон полного и неполного насыщения) является материальным (т.е. перемещается вместе с жидкостью), однако, в то же время происходит формирование зоны неполного насыщения и изменение количества жидкости в ней. Поэтому изначально было интересно провести более подробное численное исследование поведения границы зон полного и неполного насыщения при инфильтрации жидкости в однородный грунт. Как правило, задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации формулируются в терминах давления жидкости. Определенным итогом исследований в этом направлении является работа А. Н. Николаева [23]. Мы, в отличие от большинства авторов, формулируем все рассматриваемые задачи не для давления, а для насыщенности и предлагаем достаточно универсальный численный метод, позволяющий исследовать течение жидкости в зонах полного и неполного насыщения, а также исследовать движение a priori неизвестной подвижной границы этих зон. Преимуществом постановки задач в терминах насыщенности является то, что построенный численный метод можно применять для решения более широкого круга задач. В частности, этот метод послужил основой метода решения задачи о течении раствора в мерзлом грунте, рассматриваемой во второй главе диссертации.

Вторая глава данной диссертационной работы является, в определенной мере, продолжением исследований, результаты которых изложены в [4] и затем, более подробно, в [33]. Авторы указанных работ исследовали процесс насыщенной фильтрации раствора соли в мерзлом грунте, большое внимание было уделено качественному анализу задачи. Мы же рассматриваем этот процесс, учитывая зону неполного насыщения, что существенно усложняет задачу, и предлагаем численный метод решения поставленной задачи.

В связи с предельной остротой вопросов охраны подземных вод от загрязнения, повышенное внимание в последние годы уделяется оценке защитных свойств зоны аэрации как главной естественной преграды такому загрязнению. К сожалению, соответствующие исследования не носят систематического характера и выполняются специалистами разного профиля, скорее, попутно с проведением работ иного целевого назначения. Так, почвоведы и близкие им специалисты, во многом подготовившие, объективно говоря, научное обоснование этой проблемы, озабочены в первую очередь изучением влагои солепереноса лишь в самой верхней части зоны аэрации. Специфичность самой изучаемой при этом среды и ограниченность вертикального масштаба рассмотрения процесса десятками сантиметров — одним-двумя метрами неизбежно приводят к оценкам и выводам, недостаточно характерным для зоны аэрации в целом. .гидрогеологи, на словах признаявая эту проблему «своей», оказались все же мало подготовленными к ее решению и в научно-методическом, и в техническом плане." (1998 г., [21], стр. 192).

Все вышеизложенное определяет актуальность данной диссертационной работы, целями которой являются:

1. Математическая постановка в терминах насыщенности ряда задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в грунте.

2. Разработка и исследование численных методов решения поставленных задач.

3. Проведение численных экспериментов и анализ их результатов.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем.

1. Дана обобщенная математическая постановка в фиксированной области следующих задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации (в терминах насыщенности): задачи об интенсивной закачке жидкости в однородное пористое полупространство для различных начальных условий, задачи о поведении зоны полного насыщения в случае периодического режима закачки, задачи о фильтрации жидкости в грунте, состоящем из двух слоев.

2. Предложен численный метод решения этих задач. Доказаны существование решения сеточной задачи, аппроксимирующей исходную задачу, и сходимость к нему итерационного процесса. Проведены тестовые численные эксперименты.

3. Дана математическая постановка задачи о насыщенно-ненасыщенной фильтрации концентрированного теплого раствора в изначально мерзлом пористом полупространстве. Дана обобщенная постановка этой задачи в фиксированной области. Предложен численный метод ее решения и проведены расчеты, иллюстрирующие работу алгоритма.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, а также хорошим совпадением результатов численных расчетов с имеющимися аналитическими зависимостями. Математические модели, использованные в диссертации, опираются на известные соотношения теории фильтрации. Строго доказана сходимость применяемых в первой главе итерационных методов.

Научное и практическое значение работы. Работа носит теоретический характер. Основное значение имеет предложенный численный метод, разработка которого вносит вклад в развитие численных методов решения задач со свободными границами. Вместе с тем, полученные результаты можно использовать при интерпретации опытных данных с целью идентификации параметров среды.

Структура диссертационной работы.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972.

2. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984.

3. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М.: Мир, 1971.

4. Егоров А. Г., Костерин A.B., Шешуков А. Е. Одномерные задачи протаивания мерзлого грунта фильтрующимся раствором// Изв. РАН, МЖГ, 1995, N 5, С. 149−160.

5. Егоров А. Г., Шешуков А. Е. Промораживание пористой среды фильтрующимся раствором. Деп. в ВИНИТИ, 30.08.95, N 2513 В95, 35 с.

6. Ентов В. М., Максимов A.M., Цыпкин Г. Г. Образование двухфазной зоны при промерзании пористой среды. М.: ИПМ АН СССР, препринт N 269, 1986, 56 с.

7. Ентов В. М., Максимов A.M., Цыпкин Г. Г. Об образовании двухфазной зоны при кристаллизации смеси в пористой среде // ДАН СССР, 1986, Т. 288, N 3, С. 621−624.

8. Ершов Э. Д. Петрография мерзлых пород. М.: Изд. МГУ, 1987.

9. Костерина Е. А. Об определении положения фронта смачивания // Тезисы докладов школы-конференции «Алгебра и анализ», посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, Казань, Изд. Казанского математического общества, 1997, С. 126−127.

10. Костерина Е. А. О выборе модельного капиллярного давления в задачах фильтрации // Тезисы докладов международного семинара «Нелинейное моделирование и управление», Самара, 1997, С. 83−84.

11. Костерина Е. А., Лапин A.B. Решение задачи о насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в грунте с отслеживанием фронта насыщенности // Изв. вузов. Математика, 1995, N 6, С. 42−50.

12. Костерина Е. А., Лапин A.B. Математическая модель одной задачи фильтрации раствора в мерзлом грунте // Тезисы докладов школы-конференции «Теория функций и ее приложения», Казань, Изд. Казанский фонд «Математика», 1995, С. 79−81.

13. Максимов A.M., Цыпкин Г. Г. Явление «перегрева» и образование двухфазной зоны при фазовых переходах в мерзлых грунтах // ДАН СССР, 1987, Т. 294, N 5, С. 1117−1121.

14. Максимов A.M., Цыпкин Г. Г. Образование двухфазной зоны при взаимодействии талых и мерзлых пород с раствором соли. М.: ИПМ АН СССР, препринт N 305, 1987, 60 с.

15. Мамбетов У. М. Проблема нелинейного влагопереноса в дисперсных и пористых средах. Дисс.. д.ф.-м.н., Свердловск, 1991.

16. Мироненко В. А., Румынии В. Г. Проблемы гидроэкологии (монография в 3-х томах). Том 1. Теоретическое изучение и моделирование геомиграционных процессов. М.: Изд. Московского государственного горного университета, 1998.

17. Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 1987.

18. Николаев А. Н. Фильтрационный расчет грунтовых плотин с учетом зоны аэрации. Дисс.. к.ф.-м.н., Казань, 1990.

19. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.

20. Обэн Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.

21. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

22. Перельман В. И. Краткий справочник химика. М.: ГНТИ Хим. Литературы, 1955.

23. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.

24. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. Новосибирск, Сиб. Отд. АН СССР, 1966.

25. Самарский A.A.

Введение

в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

26. Фролов Ю. Г., Велик В. В. Физическая химия. М.: Химия, 1993.

27. Хейфец Л. И., Неймарк A.B. Многофазные процессы в пористых средах. М.: Химия, 1982.

28. Шешуков А. Е. Тепломассоперенос в мерзлых грунтах. Дисс.. к.ф.-м.н., Казань, 1995.

29. Эфрос Д. А. Исследование фильтрации неоднородных систем. М.: Гостоптехиздат, 1963.

30. Alt H.W., Luckhaus S., Visintin A. On nonstationary flow through porous media // Ann. mat. para ed appl, 1984, V. 136, p.p. 303 331.

31. Alt H.W., Di Benedetto E. Nonsteady flow of water and oil through inhomogeneous porous media // Ann. Scuolanorm. super. Pisa CI. Sci., 1985, Y. 12, No. 3, p.p. 335−392.

32. Arbogast Т., Wheeler M.F., Zhang N.-Y. A nonlinear mixed finite element method for a degenerate parabolic equation arising in flow in porous media // SIAM J. Numer. Anal., 1996, 33, No. 4, p.p. 1669−1687.

33. Bear J. Hydraulics of Groundwater. New York: McGraw-Hill Inc., 1979.

34. Broadbridge P., Tritscher P., Avagliano A. Free boundary problems with nonlinear diffusion // Math. Comput. Modelling, 1993, 18, No. 10, p.p. 15−34.

35. Chen S.-H. Adaptive FEM analysis for two-dimensional unconflned seepage problems //J. Hydrodyn. Ser. В (English Ed.), 1996, 8, No. 1, p.p. 60−66.

36. Ewing R.E. Mathematical modeling and simulation for applications of fluid flow in porous media // Current and future directionsin applied mathematics (Notre Dame, IN, 1996), Birkhauser Boston, Boston, MA, 1997, p.p. 161−182.

37. Feddes R.A., Kabat P., Van Bakel P.J.T., Bronswijk J.J.B., Halbertsma J. Modelling soil water dynamics in the unsaturated zone state of the art //J. Hydrology, 1988, V.100, p.p. 69−111.

38. Filo J. Finite time of stabilization in the one-dimensional problem of non-steady filtration // Math. Methods Appl. Sci., 1996, 19, No. 7, p.p. 529−554.

39. Gianni R. The regularity of the free boundary in a multidimensional filtration problem // Appl. Math. Optimization, 1994, 29, No. 2, p.p. 111−124.

40. Goldstein R.V., Entov V.M. Qualitative methods in continuum mechanics. New York: John Wiley Sz Sons Inc., 1994.

41. Lam L., Fredlund D.G. Saturated-unsaturated transient finite element seepage model for geotechnical engineering // Adv. Water Resources, 1984, V.7.

42. Li P., Stagnitti F., Das U. A new analytical solution for Laplacian porous-madia flow with arbitrary boundary shapes and conditions // Math. Comput. Modelling, 1996, 24, No. 10, p.p. 3−19.

43. Mein R.G., Larson C.L. Modeling Infiltration during a Steady Rain // WRR, 1973, Vol. 9, No. 2, p.p. 384−394.

44. Meyer G.H., Singleton D.B. Front tracking for the supercooled Stefan problem // Surv. Math. Ind., 1994, 4, No. 1, p.p. 57−70.

45. Neuman S.P. Saturated-unsaturated seepage by finite elements // J. Hydraulics Division, 1973, V.12, p.p. 2233−2250.

46. Philip J.R. Theory of infiltration // Adv. Hydrosci., 1969, 5, p.p. 215−196.

47. Philip J.R. Flow in porous media // Ann. Rev. Fluid Mech., 1970, 2, p.p. 177−204.

48. Philip J.R. How to avoid free boundary problems // Free boundary problems: theory and applications, Proc. Int. Colloq., Irsee/Ger. 1987, Vol.1, Pitman Res. Notes Math. Ser. 185, p.p. 193−207 (1990).

49. Primicerio M., Gianni R. Filtration in porous media. Cuad. Inst. Mat. «Beppo Levi» 18, 1989, 92 p.

50. She Y.H., Sun Y., Gao X.M. Free boundary problem of the 2D seepage flow // Appl. Math. Mech. (English Ed.), 1996, 17, No. 6, p.p. 549−554.

51. Vauclin M. Infiltration in unsaturated soils // Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media (ed. J. Bear, M.Y.Corapcioglu), NATO ASI Series, E82, Martinus Nijhoff Publishers, 1984, p.p. 257−313.

52. Zerroukat M., Chatwin C.R. A finite-difference algorithm for multiple moving boundary problems using real and virtual grid networks //J. Comput. Phys., 1994, 112, No. 2, p.p. 298−307.