Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Математическое моделирование процессов тепло-и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках

Диссертация: Математическое моделирование процессов тепло-и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Апробация работы. Основные результаты диссртационпой работы докладывались и обсуждались на следующих научнотехнических конференциях и семинарах: XII научной конференции МГТУ «СТАНКИН «и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» — ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике, 14−15 мая 2009 г., г. Москвамеждународной научно-практический конференции «Научные… Читать ещё >

Математическое моделирование процессов тепло-и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Математическое моделирование течений газа в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках
    • 1. 1. Математическое описание течения газа в канале
    • 1. 2. Аналитические методы решения модельных кинетических уравнений
    • 1. 3. Математическое моделирование течений газа в плоских каналах
    • 1. 4. Основные результаты, полученные в первой главе
  • Глава 2. Математическое моделирование процессов в тонких каналах с использованием БГК уравнения
    • 2. 1. Течение Пуазсйля
    • 2. 2. Течение Куэтта
    • 2. 3. Течение газа в канале при наличии касательного к стенкам градисита температуры
    • 2. 4. Соотношение Онзагера
    • 2. 5. Основные результаты, полученные во второй главе
  • Глава 3. Математическое моделирование процессов в тонких каналах с использованием ЭС уравнения
    • 3. 1. Течение Пуазейля
    • 3. 2. Течение Куэтта
    • 3. 3. Течение газа в канале при наличии касательного к стенкам градиента температуры
    • 3. 4. Соотношение Онзагера
    • 3. 5. Основные результаты, полученные в третьей главе

В последние годы повышенный интерес привлекают к себе задачи, связанные с математическим моделированием процессов в каналах, толщина которых сравнима со средней длиной свободного пробега молекул газа. Наиболее подробно к настоящему времени данная проблема изучена с использованием численных методов. Так, в [1]-[10] с использованием численных методов задали построения математических моделей течений газа в каналах рассматривалась как для линеаризованного уравнения Больцмана, так и различных его моделей, с использованием различных моделей граничных условий, как для простых газов, так и для бинарных смесей. В то же время, как показывает анализ литературных источников, к моменту начала работы над данным диссертационным исследованием в открытой печати было опубликовано всего две работы [11] и [12], авторы которых с использованием БГК и ЭС моделей кинетического уравнения Больцмана для почти зеркальных граничных условий на стенках канала получили аналитические (в замкнутой форме) решения задач о течении Пуазейля и Куэтта. Эти решения приведены также в монографии [13]. Отсутствие систематического изучения данного вопроса с использованием точных аналитических методов и определяет актуальность проведенного диссертационного исследования.

Использованная в [11]—[13] модель граничного условия мало реализуема на практике, особенно для необработанных специальным образом технических поверхностей. Однако ее использование позволило авторам [11]—[ 13] существенно упростить уровень сложности используемого математического аппарата, получив ряд выражений для макропараметров газа, таких как потоки массы газа и тепла в канале, величины сил вязкого трения, действующих на его стенки, через однократные интегралы. Использование более реалистичной модели граничных условий — модели диффузного отражения существенно усложняет используемый математический аппарат и приводит к тому, что решение задачи записывается в виде рядов Неймана.

Качественный анализ картины течения газа в канале с использованием модели диффузного отражения, полученной на основе аналитических методов для БГК модели приведен в [14] и [15]. Там же приведены ссылки на сходимость при любой толщине канала решений интегрального уравнения Фредгольма второго рода, к которому сводится задача нахождения коэффициентов в разложении решения задачи по собственным векторам непрерывного спектра. Однако в силу труднопреодолимых на тот момент времени сложностей аналитические решения так и не были получены. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования заключается в разработке методов построения в рамках кинетического подхода математических моделей процессов теплои массопереноса в плоских каналах произвольной толщины и дальнейшем исследовании построенных моделей. В качестве основных уравнений, описывающих кинетику процессов, используются лииеаризваииые БГК и ЭС модели кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия — модель диффузного отражения молекул газа стенками канала.

Научная новизна заключается в:

— установлении связей между функцией распределения молекул газа по координатам и скоростям и макропараметрами газа в канале, позволяющих определять условия перехода, от кинетического описания течения газа к гидродинамическому;

— установлении зависимостей между значениями макропараметров газа в канале и его толщиной;

— разработке алгоритма построения математических моделей процессов теплои массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках;

— разработке с использованием предложенного алгоритма математических моделей течений Пуазсйля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры;

— разработке эффективных алгоритмов, численных методов и комплексов программ для расчета макропараметров газа в канале;

— доказательстве справедливости линейных соотношений Онзагера с учетом потоков массы газа и тепла, локализованных в слое Кнудсена.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается соответствием с результатами численного моделирования. Все численные расчеты проводились с использованием выверенных и протестированных процедур.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потоков массы и тепла в плоских каналах с параллельными стенками при наличии параллельных его стенкам градиентов давления и температуры.

Апробация работы. Основные результаты диссртационпой работы докладывались и обсуждались на следующих научнотехнических конференциях и семинарах: XII научной конференции МГТУ «СТАНКИН «и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» — ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике, 14−15 мая 2009 г., г. Москвамеждународной научно-практический конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2009», 5−17 октября 2009 г., г. Одессамеждународной научно-практический конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2010», 4−15 октября 2010 г, г. Одессамеждународной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика», 1−5 февраля 2010 г., г. АрхангельскIX конференции с участием зарубежных ученых «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании», 1−3 июля 2010 года, Мордовский госуниверситет имени Н. П. Огарева, НИИ Математики при МГУ имени Н. П. Огарева, г. СаранскВсероссийской научно-практической конференции с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», посвященной 50-летнему юбилею механико-математического факультета Пермского государственного университета. 12−14 октября 2010 г., г. ПермьВторой международной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем «. 6−10 июня 2011 г., г. Москванаучных семинарах кафедры математики С (А) ФУ.

На защиту выносятся:

1. Разработанный аналитический метод построения математических моделей кинетических процессов в задачах с ограниченной геометрией;

2. Построенные в рамках разработанного метода с использованием БГК и ЭС моделей кинетических уравнений математические модели течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры.

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 в изданиях из списка ВАК РФ. Диссертация состоит из Введения, трех глав, заключения и списка литературы из 63 наименования, содержит 3 рисунка и 20 таблиц. Полный объем работы составляет 139 страниц машинописного текста.

3.5. Основные результаты, полученные в третьей главе.

В третьей главе представленного диссертационного исследования в рамках предложенного в ранее метода впервые с использованием ЭС модели кинетического уравнения Больцмана и модели диффузного отражения молекул газа стенками канала построены аналитические (в виде рядов Неймана) решения трех классических задач кинетической теории разреженного газа: задачи о течении Пуазейля, течении Куэтта и течении разреженного газа в плоском канале при наличии параллельного стенкам градиента температуры (задачи о тепловом крипе в канале).

В задаче о течении Пуазейля:

1. Построены профиль массовой скорости газа в канале иг (х) (3.1.29) и ¿—компоненты вектора плотности потока тепла (3.1.33).

2. Вычислены расход газа, 1 м (3.1.31) и поток тепла .1ц (3.1.35), приходящиеся иа единицу ширины канала.

3. Значения Jm и Jq, вычисленные согласно (3.1.31) и (3.1.35), а также аналогичные результаты, полученные в [6] и [7] с использованием линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер (LBE), а также модели Шахова кинетического уравнения Больцмана (S) и модели с синтетическим оператором столкновений (CES), приведены в Таблицах 3.1.1 и 3.1.2.

Как следует из приведенных таблиц для широкого диапазона значений D' полученные на основе ЭС модели результаты хорошо согласуются с аналогичными результатами, полученными численными методами как с использованием линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер, так и на основе S и CES моделей кинетического уравнения Больцмана. Можно отметить также, что ЭС модель существенно лучше описывает перенос тепла в канале по сравнению с БГК моделью.

В задаче о течении Куэтта:

1. Построен профили массовой скорости газа в канале Uz{x) (3.2.27) и z-компоненты вектора плотности потока тепла qz (x) (3.2.30).

2. Вычислен безразмерный поток массы газа через половину канала Jm-, приходящиеся на единицу его ширины (3.2.28).

3. Вычислен безразмерный поток тепла через половину канала Jq, приходящиеся на единицу его ширины (3.2.31).

4. Вычислена величина отличной от нуля компоненты тензора вязких напряжений pxz в канале (3.2.32).

5. Значения Jm, Jq и pxz, рассчитанные для различных значений толщины канала на основании (3.2.28), (3.2.31) и (3.2.32) и полученных в [6] и [7] приведены в таблицах 3.2.1−3.2.3. Как следует из таблиц полученные в работе результаты совпадают с аналогичными результатамими [6] и и [7], полученными численными методами.

В задаче о тепловом крипе в канале:

1. Вычислена безразмерная z-компонента вектора потока тепла qz (x) (3.3.37) и беразмерный поток тепла, приходящийся на единицу ширины канала Jq (3.3.38). Значения Jq при различных значениях ширины канала D' приведены в таблице 3.3.1. Из приведенной таблицы видно, что результаты, полученные с использованием ЭС модели намного лучше согласуются с аналогичными результатами, полученными в [5] с использованием CES и LBE моделей кинетического уравнения Больцмана. Последнее объясняется тем, что ЭС модель при переходе к гидродинамическому пределу дает значение числа Прандтля Рг = 2/3, как и CES и LBE модели.

2. Построен профиль безразмерной массовой скорости газа в канале Uz (x) (3.3.39) и вычислен беразмерный поток массы газа, приходящийся на единицу ширины канала Jm (3.3.40). Значения Jm при различных значениях толщины канала согласно 3.3.40 — в таблице 3.3.2. Как следует из приведенных таблиц для широкого диапазона значений D' полученные на основе представленного в работе метода результаты хорошо согласуются с аналогичными результатами, полученными численными методами как с использованием линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер (LBE), так и на основе модели Шахова кинетического уравнения Больцмана (S) и модели с синтетическия оператором столкновений (CES).

В заключение третьей главы доказана справедливость условий симметрии Онзагера в канале с учетом потоков массы и тепла, локализованных в слое Кнудсена, при использовании ЭС модели.

Заключение

.

Итак, в настоящем диссертационном исследовании получены следующие значимые результаты.

1. Решена задача, связанная с математическим моделированием процессов теплои массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках, результаты которой рекомендуется использовать для решения широкого круга задач кинетической теории газа и плазмы.

2. Выявлены связи и закономерности между функцией распределения молекул газа по координатам и скоростям и макропараметрами газа в канале, особенность которых состоит том, что они позволяют устанавливать условия перехода от кинетического описания течения газа к гидродинамическомуустановлены зависимости между значениями макропараметров газа в канале и его толщинойпоказано, что для каналов, толщина которых много больше средней длины свободного пробега молекул газа, полученные результаты переходят в соответствующие результаты классической гидродинамики.

3. На основе установленных связей разработаны и предложены автором математические модели течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры. При их использовании построены профили потоков массы и тепла в канале, вычислены величины приходящихся па единицу ширины канала потоков массы газа и тепла, найдены значения отличных от нуля компонент тензора вязких напряжений.

4. Разработаны, обоснованы и протестированы эффективные алгоритмы, численные методы и комплексы программ для расчета макропараметров газа в канале. Анализ полученных результатов показал, что их использование приводят к корректным результатам при произвольной толщине канала.

5. Доказана справедливость линейных соотношений Он ¡-агора с учетом потоков массы газа и тепла, локализованных в слое Кнудсена.

6. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при решении широкого круга задач во многих отраслях промышленности.

7. Результаты диссертационной работы рекомендуются для использования в учебном процессе для подготовки специалистов по направлению 231 300 «Прикладная математика» .

Показать весь текст

Список литературы

  1. Ф.М., Селезнев В. Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург. УрО РАН. 2008. 230 с.
  2. Loyalka S.K., Hickey К.A. Plane Poiseulle flow near continuum regimes for a rigid spheres // Physica A. 1989. V. 160. № 3. P. 395−408.
  3. C.E. Siewert, R.D.M. Garcia and P. Granjean. A Concise and Accurate Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 2760−2763.
  4. L.B. Barichello and C.E. Siewert. A Discrete-Ordinates Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Zeitschrift fur Angewandte Math-ematic und Physik. V. 50. 1999. 972−981.
  5. Barihcello L.B., Camargo M., Podrigues P., Siewert C.E. Unified solutions to classical flow problems based on the BGK model /7 ZAMP. 2001. V. 52. P. 517−534.
  6. C.E. Siewert. Poiseuille, Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2002. V. 21. P. 579−597.
  7. C.E. Siewert. The linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems // Zeitschrift fur Angewandte Mat hematic und Physik. 2003. V. 54. P. 273−303.
  8. R.D.M. Garcia and C.E. Siewert. The Linearized Boltzmann Equation with Cercignani-Lampis Boundary Conditions: Basic Flow Problems in a Plane Channel. // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. V. 28. P. 387−396.
  9. C.E. Siewert and D. Valougeorgis. The McCormack Model: Channel Flow of Binary Gas Mixture Driven by Temperature, Pressure and Density Gradients European Journal of Mechanics B/Fluids. 2004. V. 23. P. 645 664.
  10. И. Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий // ЖТФ. 1998. Т. 68, № И. С. 27−32.
  11. A.B., Юшканов A.A. Влияние свойств поверхности на характеристики газа между пластинами в задаче Куэтта. Почти зеркальные условия // Поверхность. Рентгеновские, сиихротронные и нейтронные исследования. 1999. № 10. С. 35−41.
  12. A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решения граничных задач для кинетических уравнений. М.: МГОУ. 2004. 286 с.
  13. К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973. — 245 с.
  14. К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир.1978. 495 с.
  15. A.B., Попов В. Н., Юшканов A.A. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений: Монография. Архангельск: Поморский университет. 2004. 266 с.
  16. Е.М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.
  17. A.A. Лекции по кинетической теории. М.: Наука, 1992.
  18. A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ имени М. В. Келдыша, 1987.
  19. Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат. 1956.
  20. В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит. 2001.
  21. В.В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцмапу и Власову. М.: МГОУ. 2005.
  22. Siewert C.E. and Sharipov F. Model equations in rarefied gas dynamics: viscous-slip and thermal-slip coefficiets // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 12. P. 4123−4129.
  23. Л. Новые статистические модели в кинетической теории: методы конструкций // Механика. М.: ИЛ, вып.6, 1967.
  24. Cercignani С., Tironi G. Some application of linearize kinetic model with correct Prandtl number /7 Nuovo Cimento. 1966. V. 43. № IB. P. 64−68.
  25. Frisch H., Frisch U. A method of Cauchy integral equation for noncoherent transfer in half-space// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1982. V. 28, № 5. P. 361−375.
  26. Frisch H. A Cauchy integral equation method for analytic solution of half-space convolution equation// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1988. V. 39, № 2. P. 149−162.
  27. Ф.Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука. 1978. 269 с.
  28. А.В., Юшканов А. А. Уравнения свертки в задаче диффузионного скольжения бинарного газа с аккомодацией // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1991. № 1. С. 31−37.
  29. Н.Б., Хачатрян А. Х. О некоторых интегральных уравнениях типа свертки в кинетической теории // Журналвычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 3. С. 466−468.
  30. Case K.M. Elementary solution of the transport equation and their applications//' Annals of Physics. 1960. V. 9. № 1. P. 1−23.
  31. K.M., Цвайфель П. Ф. Линейная теория переноса.- М.:Мир. 1972.
  32. A.B., Юшкапов A.A. Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения. М.: МГОУ. 2004. 271 с.
  33. A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для молекулярных газов. М.: МГОУ. 2005. 264 с.
  34. A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы. М.: МГОУ. 2006. 274 с.
  35. A.B., Лесскис А. Г., Юшканов A.A. Точное решение задачи о поведении электронной плазмы в слое металла в переменном электрическом поле // ТМФ, — 1992, — Т. 90. № 2, — С. 179−189.
  36. A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов // ЖТФ. 2000. Т. 70, № 8. С. 18.
  37. A.B., Юшканов A.A., Слободской Г. В. Граничная задача для кинетического уравнения в слое с зеркальными граничными условиями // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 6. С. 32−40.
  38. A.B., Юшканов A.A. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий. // ЖТФ, 1998, Т. 68, № 11. С. 27 31.
  39. Loyalka S.K. The Qn and Fn integrals for the BGK model // Transport theory and statistical physics. 1975. V. 4, P. 55−65.
  40. А.И. Основы статистической физики и термодинамики. М.: Наука, 1973. 424 с.
  41. И.П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. М.: Изд-во МГУ. 1989.
  42. В.М., Ролдугин В. И. О неравновесной термодинамике слаборазряженной газовой смеси // ЖЭТФ. 1996. Т. 109. № 4. С. 12 671 287.
  43. В.М., Ролдугин В. И. Неравновесная термодинамика и кинетическая теория разреженных газов // Успехи физических наук. 1998. Т. 168. № 4. С. 407−438.
  44. A.B., Юшканов A.A. Анализ соотношений Онзагера аналитическими методами в кинетической теории газов // Известия РАН. Сер. МЖГ. 2001. № 1. С. 173−181.
  45. A.B., Юшканов A.A. Анализ соотношений Онзагера с помощью эллипсоидально-статистического уравнения // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. Вып. 9. С. 77−84.
  46. М.М. Феноменологический вывод соотношений взаимности Онзагера // ЖТФ. 2003. Т. 29. Вып. 16. С. 39−44.
  47. Ю.И., Гайдуков М. Н. Два метода построения теории термофореза крупных аэрозольных частиц // Коллоидный журнал. 1976. Т. 38. № 6. С. 1149−1155.
  48. Ю.И., Гайдуков М. Н., Голиков A.M. Два метода построения теории дифс}.)узиофореза крупных аэрозольных частиц / / Коллоидный журнал. 1977. Т. 39. № 6. С. 1132−1138.
  49. Де Гроот С. Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.
  50. В.Н., Тестова И. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта в плоском канале с бесконечными параллельными стенками //' Журнал технической физики. 2011. Т. 81. Вып. 1. С. 53−58.
  51. И.В. Аналитическое решение задачи о вычислении изотермического потока тепла в плоском канале // Вестник Поморского университета. Серия: Естественные и точные науки. 2011. № 1. С. 122−126.
  52. И.В. Перенос массы газа в канале при наличии параллельного стенкам градиента температуры // Вестник Поморского университета. Серия: Естественные и точные науки. 2011. № 2. С. 124−128.
  53. В.Н., Тестова И. В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля // Математический журнал Средневолжского математического общества. 2010. Т. 12. JY5 3. С. 111−120.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!