Современная теория фильтрации многофазных жидкостей предлагает различные модели, описывающие течение и взаимодействие фаз в порах, большинство из которых основываются на уравнениях сохранения масс фаз, обобщенном законе Дарси. Обобщенный закон Дарси впервые введен в работах Маскета [35] и Леверетта [75], применен Баклеем и Левереттом [77] и Раппортом-Лисом [78] для решения задачи вытеснения несмешивающихся жидкостей. В основе классических моделей [7] лежит представление об однозначной зависимости функций фазовых проницаемостей и капиллярного давления от насыщенности, что физически означает однозначную связь распределения фаз в порах с насыщенностью. Для справедливости такого допущения необходимо, чтобы пористая среда была макрооднородна на расстояниях, достаточно больших по сравнению с размером некоторого микроэлемента, в свою очередь, включающего широкий диапазон размеров пор. Однако реальные коллекторы обладают неоднородностью по пористости и проницаемости самого различного масштаба. Поэтому классические модели двухфазной фильтрации могут рассматриваться как равновесное приближение к описанию процесса. Это подтверждают результаты лабораторных исследований вытеснения нефти водой [34] и численного моделирования процесса двухфазной фильтрации на капиллярных моделях [24], которые показывают, что кривые фазовых проницаемостей двухфазной системы непостоянны во времени, что свидетельствует о неравновесном характере несмешивающегося вытеснения.
Эффекты неравновесности приводят к тому, что зависимости перепада давления от времени, полученные при проведении нестационарных лабораторных исследований образцов пористой среды с целью определения функций ОФП, значительно отличаются от теоретических кривых, рассчитанных в рамках классической теории фильтрации [7, 8]. Как показано в работах [4, 37], влияние неравновесности может быть значительным. Время установления в условиях нефтяных месторождений составляет величину порядка года и более [4]. Поэтому учет неравновесности представляется необходимым на всех этапах разработки нефтяных месторождений, и существующие методики расчета разработки и нефтеотдачи нуждаются в уточнении.
Одним из наиболее перспективных методов при изучении неравновесных эффектов является моделирование течения в макрообъеме на основе сеточных моделей пористой среды, которое реализуется численно на ЭВМ. Например, в работе Э. О. Манучарянца и др. [32] рассматривается неравновесная двухфазная фильтрация в сетке капилляров при условиях, когда неравновесность возникает из-за нестационарности внешнего перепада давления, обусловленной быстрой сменой режима вытеснения. В работе установлено, что фазовые проницаемости существенно изменяются при неравновесном вытеснении. При быстрой смене режима вытеснения, когда характерное время смены режима меньше характерного времени вытеснения из капилляров или капиллярного перераспределения, фазовые проницаемости как вытесняемой, так и вытесняющей фаз меньше, чем в равновесном случае. Показано также, что при неравновесном вытеснении остаточная насыщенность зависит от вязкости вытесняющей и вытесняемой фаз и растет с увеличением степени неравновесности. Результаты работы [32] показали справедливость модели неравновесной фильтрации [3, 4] в тех случаях, когда характерное время изменения насыщенности и время релаксации к капиллярному равновесию сравнимы по величине (слабонеравновесная фильтрация). При сильнонеравновесном вытеснении и, по-видимому, в сильно неоднородных пространственных системах модель [3,4] не применима.
Предложения по совершенствованию моделей фильтрации с учетом неравновесных эффектов представлены в работах [3, 4, 9, 23, 28, 37, 38, 67, 68].
В большинстве из них использовались общепринятые в теории фильтрации феноменологические уравнения баланса массы, импульса и энергии для элементарного объёма, характерный размер которого предполагается достаточно большим по сравнению с размером поровых каналов, но существенно меньшим характерного размера пласта. Неравновесность учитывалась либо введением в уравнения дополнительных членов, либо корректировкой равновесных соотношений, учитывающей взаимодействие фаз при тех или иных предположениях о его механизме.
Развитая Г. И. Баренблаттом и В. М. Битовым в [6] система представлений позволяет в явной форме учесть явления неравновесности и, в принципе, доступна экспериментальной проверке. Подход, сформулированный в [6], содержит два аспекта: 1) разделение насыщенности каждой фазы на два компонента: активную, участвующую в фильтрационном потоке, и пассивную, не вносящую в него вклад- '2) фундаментальное предположение об универсальности фазовых проницаемостей и капиллярного давления. Определяемые как функции насыщенностей только активных компонентов, они, согласно [6], не должны зависеть от скорости фильтрации, равновесности вытеснения, направления процесса. Пределы применимости обобщения теории фазовых проницаемостей, предложенной в [6], описаны в работе [32].
Неравновесная модель первого порядка была предложена Г. И. Баренблаттом [3] и далее развита в работах [4, 21]. Рассматривается процесс вытеснения несмачивающей жидкости смачивающей жидкостью в гидрофильной пористой среде (например, вытеснение нефти водой). В стационарном потоке двухфазной жидкости в пористой среде «каналы», по которым перемещается каждая из фаз, различны: по более узким порам движется смачивающая фаза, а по более широким — несмачивающая. В процессе установления потока смачивающая фаза вытесняет несмачивающую из части занятых ею (наиболее узких) каналов. Это происходит не мгновенно, и на промежуточном этапе часть вытесняемой фазы запирается в узких каналах, а часть вытесняющей фазы временно идет по более широким, чем в стационарном потоке, каналам. Поэтому фазовая проницаемость вытесняющей фазы временно выше, а вытесняемойвременно ниже, чем в стационарном потоке при той же насыщенности. Из-за того, что часть вытесняющей жидкости движется по более широким каналам, уменьшается и капиллярное давление, обратно пропорциональное среднему радиусу канала.
В связи с этим, в простейшей схеме учета неравновесных эффектов предполагается, что при нестационарном движении несмешивающихся жидкостей в пористой среде неравновесные фазовые проницаемости и капиллярное давление при мгновенной насыщенности s равны соответствующим равновесным фазовым проницаемостям и капиллярному давлению при некоторой эффективной насыщенности 7 > s.
Предложено кинетическое уравнение, связывающее эффективную насыщенность 7 с истинной насыщенностью s:
В. Н. Николаевский [43] из общего термодинамического анализа процессов, протекающих в насыщенных пористых средах, получил простую кинетическую модель для фазовых проницаемостей:
Легко видеть, что последнее соотношение вытекает из измененной ОФП разложением по х и сохранением первой степени. Им было предложено кинетическое уравнение второго порядка для зависимости капиллярного давления от насыщенности. Эта гипотеза приводит к модели, допускающей пульсации фазовых давлений при перераспределении фаз.
Для ОФП принимается: f{s) = f s + т —.
В рамках рассмотренных моделей можно объяснить немонотонный характер зависимости длины стабилизированной зоны от величины, обратной темпу вытеснения [7].
В работе В. М. Ентова [21] оценивается влияние неравновесности на устойчивость вытеснения нефти водой. Для описания неравновесных процессов вводится некоторая функция состояния макроэлемента пористой среды, определяемая распределением фаз макроэлемента.
Интересный подход к неравновесной фильтрации представлен в работе Р. И. Нигматулина и др. [48], где рассмотрены процессы мицелярно-полимерного заводнения. Каждой из двух многокомпонентных подвижных фаз (водной и углеводородной) сопоставляется одноименная неподвижная. Неравновесный массообмен между подобными по составу частями жидкой системы определяется отклонением объёмной насыщенности подвижной фазы sno$e от её некоторого равновесного значения s* поде'.
1№()в ПООв W-.
Чподв=-Чнеподв=-> гДе т ~ вРемя релаксации. В т специфических условиях, когда мицеллярный раствор пропускает через себя воду, приведенное линейное уравнение кинетики мож-ет достаточно полно отражать перетоки жидкостей в пласте.
Предложения по учету неравновесности с помощью расщепления потока по микроструктуре пористой среды представлены в работе В. И. Медведкова [37].
В работах Г. П. Цыбульского [67, 68] в рамках феноменологической теории механики сплошных сред выводятся уравнения двухфазной фильтрации, которые содержат силы, обусловленные неравновесным характером несмешивающегося вытеснения в пористой среде. В основу подхода положено использование метода локального осреденения уравнений баланса по пространству.
Влияние неравновесных эффектов на фильтрацию газожидкостных систем изучается в работах Б. М. Панфилова [52, 53].
Следует отметить и более раннюю работу А. К. Курбанова [28], в которой введены понятия перекрёстных фазовых проницаемостей, отражающие тот факт, что часть активной фазы находится в дисперсном состоянии и переносится потоком второй фазы. Модель характеризуется матрицей четырех функций ОФП.
Исследования корректности краевых задач двухфазной релаксационной фильтрации (согласованность начальных и граничных условий) и поведения скачка насыщенности для произвольного ядра релаксации проведены в [27, 50].
В работе [30] предлагается би-параболическая математическая модель фильтрации в пористых средах в условиях существенной неравновесности (релаксационная фильтрация). Вводятся специальные граничные режимы для би-параболических полей давления. Рассматриваются задачи би-параболической фильтрации в пластах конечной протяженности.
Движение газированной жидкости в пористых средах в переходных условиях (фильтрация при давлениях ниже давления насыщения) является классической проблемой, продолжающей оставаться в центре вопросов подземной гидродинамики, решению которой посвящены работы многих ученых. Изотермическая фильтрация газожидкостной смеси при давлении ниже давления насыщения рассматривается в рамках классической модели Маскета-Мереса [35], причем согласно экспериментам Викова-Ботсета [79], относительные фазовые проницаемости для жидкости и газа считаются монотонными функциями насыщенности.
Однако относительно недавно получены экспериментальные данные, находящиеся в противоречии со сложившимися представлениями о физике процесса [9, 33].
В работе [9] обнаружено аномальное увеличение расхода газированной жидкости в области давления насыщения и уменьшение его при дальнейшем снижении уровня давления, что необъяснимо в рамках классического подхода. Авторы работы объясняют этот эффект докритическим зародышеобразованием (накоплением в пористой среде и последующим выносом мельчайших газовых пузырьков), приводящим к уменьшению объемной вязкости газожидкостной смеси. Но это уменьшение составляет всего 10 — 15%, тогда как расход возрастает в 2,5 — 3 раза [9]. Анализ диаграмм изменения газонасыщенности во времени, проведенный в [33], приводит к заключению о неоднородности потока. На общем фоне роста газонасыщенности по мере увеличения объёма прокачки наблюдаются частые колебания её в отдельных сечениях пласта.
Попытка объяснить аномальное увеличение расхода газированной жидкости в области давления насыщения в рамках схемы «газового подшипника» предпринята в [71]. Однако не рассмотрены условия устойчивости стационарных режимов и не учитывается тот факт, что механизм проскальзывания жидкости проявляется только в области давления насыщения [70], когда пористая среда занята в основном жидкостью с изолированными газовыми пузырьками (зародышами).
Исследование устойчивости движения газожидкостных систем в предпереходных условиях дано в работе [66]. Показано, что при определенных режимах движения возможно возникновение периодических и стохастических автоколебаний.
В [60] рассмотрено изотермическое течение газированной неньютоновской жидкости в капилляре однородных и неоднородных простых средах в докритической области. Найдено стационарное решение для течения степенной (Оствальда-Вейля) жидкости при наличии проскальзывания в капилляре и пористой среде. Показано, что при фильтрации газированной неньютоновской жидкости в докритической области возможна существенная модификация реологических характеристик.
В [43] на примере задачи о вытеснении воды газом исследовано влияние на динамику потока неравновесных эффектов, возникающих из-за образования эмульсий каждой из фаз (газовых пузырьков в воде и водяной пыли в газе). Неравновесные эффекты проявляются в изменении формы кривых фазовых проницаемостей (они становятся выпуклыми) и пороговых насыщенностей фаз в ходе фильтрации. Для описания такого рода эффектов используется кинетическое уравнение, время релаксации в котором обратно пропорционально скорости фильтрации. Рассмотрен случай, когда вытесняемая газом жидкость сама газирована, а объемная концентрация газовых пузырьков постоянна. i.
Авторами работы [44] в задачах неравновесной фильтрации предлагается методика разделения времени по процентам, когда неравновесный процесс, связанный с релаксацией в законе фильтрации, в поведении количества жидкости в элементарном объеме или с фильтрацией жидкости в трещиновато-пористых пластах протекает значительно быстрее, чем весь нестационарный процесс в целом. Тогда, согласно этому методу, можно ввести короткое время, отвечающее за релаксационный процесс, и длинное время, соответствующее нестационарному процессу в целом.
В [29] изложены экспериментальные данные о течениях i газосодержащих жидкостей в пористых средах. Отмечена адсорбция газа в пористом слое до предельного (начального) градиента фильтрации с последующим лавинообразным «срывом» газа. Цикличность «срыва» газа не изменяется при постоянной скорости потока газожидкостной смеси. Турбулизация потока ведет к стабилизации расхода газосодержащих жидкостей через пористый слой.
Влияние адсорбции — десорбции микрозародышей газа на характер фильтрации газированной жидкости исследовалось в работе [42]. Наблюдаемые в экспериментах периодические колебания расхода жидкости i и газа объясняются процессами сорбции десорбции микрозародышей газа на стенках порового пространства и их диффузией. При этом используется кинетическое уравнение, в котором скорость десорбции прямо пропорциональна концентрации адсорбированных микрозародышей и величине скорости фильтрации, а скорость • адсорбции прямо пропорциональна произведению концентрации подвижных зародышей на «концентрацию свободных мест» на поверхности пор. Исследованы стационарные решения данного уравнения. Показано, что периодические колебания расхода могут проявляться только при преобладании процессов адсорбции микрозародышей над их десорбцией.
В работе [76] отмечено, что относительная проницаемость газа зависит от насыщенности жидкой фазы, но не от свойств последней. Экспериментально показано [70], что в микрокапиллярах, ввиду адсорбции газа, происходит ослабление сцепления жидкости с поверхностью капилляра и уже при толщине 0,15нм адсорбционного слоя имеет место значительное проскальзывание жидкости, в результате чего относительная проницаемость для жидкой фазы ведет себя немонотонно.
В работе [60] рассмотрено изотермическое течение газированной жидкости в капилляре и однородных и неоднородных простых средах в докритической области. Найдено стационарное решение для течения жидкости при наличии проскальзывания в капилляре и пористой среде. Показано, что при фильтрации газированной жидкости в докритической области возможна существенная модификация реологических характеристик. В связи с этим, представляется существенный интерес дать качественную и количественную оценку влияния немонотонного изменения относительной фазовой проницаемости жидкой фазы на фильтрационные характеристики газированной жидкости.
В первой главе рассматривается неравновесный процесс вытеснения несмачивающей жидкости смачивающей в пористой гидрофильной среде (например, вытеснение нефти водой). Схема неравновесности, предложенная Г. И. Баренблаттом и А. П. Винниченко, основывается на следующих предположениях. Система «Пористая среда — одна из компонент жидкости», может рассматриваться как некоторая единая пористая среда, в которой происходит фильтрация другой компоненты. Как следствие этой гипотезы, можно записать выражения основного закона фильтрации — закона Дарсидля каждой из компонент. Функции относительных фазовых проницаемостей (ОФП) в неравновесном потоке считаются теми же, что и в равновесном, то есть являются функциями насыщенности, но зависят не от истинной водонасыщенности s, а от некоторой фиктивной водонасыщенности 7, для которой в [4] предложено кинетическое уравнение, связывающее эффективную водонасыщенность с истинной. На границе вводится нестационарное граничное условие для краевой задачи, которое учитывает особенности переходных процессов неравновесной двухфазной фильтрации.
Таким образом, краевая задача, моделирующая процесс неравновесного вытеснения двухфазной жидкости, представена следующим образом: ds SF (s) ds ±— = 0, S-s = T—, двд!- dt j (?0) = 50, s (0,e) = sk.
Здесь F {s) = f{s)j{f2 (s) + Мо/г (Ю) ~ ФУНКЧИЯ Баклея-Левереттапараметр fi0 = Ц / /j.2 — относительная вязкостьft (s) — ОФП- ^и^ - начальная и конечная (предельная) насыщенности пористой среды вытесняющим агентом.
Для поставленной задачи доказывается согласованность начальных и граничных условий в смысле существования непрерывного решения методом последовательных приближений. В случая линейного вида функции F (s) задача сводится к задаче Гурса для уравнения гиперболического типа, явное решение которого построено классическим методом Римана. Для линейной задачи приводятся асимптотические исследования некоторых аспектов неравновесности, связанные с длительностью процессов установления капиллярного равновесия.
Предложена схема для нахождения водонасыщенности в общем случае. ! Искомая водонасыщенность есть сумма функционального ряда, коэффициенты которого суть решения краевой задачи для линейного гиперболического уравнения. Построены явные формулы для членов этого функционального ряда и получено асимптотическое представление решения нелинейной задачи при малых временах релаксации.
Во второй главе рассматривается движение газированной жидкости в однородным образце пористой среды при давлениях ниже давления. Физические свойства флюида и коллектора считаются известными. Процесс предполагается изотермическим. 1.
Экспериментальные исследования подобных задач [9, 32] указывают на аномальное увеличение расхода газированной жидкости в области, где давление ниже давления насыщения, которое может быть объяснено эффектом «газового подшипника» [41, 71] ведущего за счет «проскальзывания» жидкости к немонотонности зависимости относительной фазовой проницаемости жидкой фазы от газонасыщенности. Этот эффект проявляется вблизи давления насыщения и подтверждается экспериментальными исследованиями Н. В. Чураева [70].
Фильтрация газированной жидкости рассматривается в рамках теории ! многофазной многокомпонентной фильтрации [55]. Считается, что фазовые переходы имеют неравновесный характер. Обоснованием такого предположения являются, в частности, исследования Д. А. Эфроса [73], в которых отмечалось заметное запаздывание в выделении газа. Зависимость массовой концентрации растворенного газа от давления описывается классической неравновесной моделью. Релаксационные явления связаны с запаздывающим характером растворимости газа в жидкости по отношению к скорости изменения давления во времени.
Начальные и граничные условия соответствуют условиям фильтрации 1 газожидкостной смеси в модели пористой среды, на входе которой поддерживается давление выше давления насыщения, а на выходе — ниже давления насыщения.
Таким образом, краевая задача, моделирующая процесс неравновесной фильтрации газированной жидкости в переходных условиях, представляется следующей системой дифференциальных уравнений:
Здесь s — насыщенность газовой фазыg — массовая концентрация растворенного газа в жидкой фазер — давление в каждой из фазfiотносительная фазовая проницаемость i-Pi фазыщ — вязкость /-й фазы. Считая выделившийся газ идеальным, полагаем: где P2S — плотность газа в сечении начала газовыделения, ps — давление насыщения.
Для поставленной задачи проведён анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации газированной жидкости с учётом немонотонности функции фазовой проницаемости жидкой фазы.
Исследования линеаризованной системы уравнений для малых возмущений с использованием подходов Бубнова-Галеркина [54] показали неустойчивость стационарных режимов течения. dg № dp dg g~gsp dt 1 — s дх дх т Начальные и граничные условия заданы следующим образом: t = 0, х>0- р = р0- g = g°e= constt> 0, х = 0- р = р0>р/, s = 0- t> 0, x = Lp = pk.
Краевая задача решалась численно на основе консервативной конечно-разностной схемы сквозного счета, алгоритм которой аналогичен IMPES методу [1]. Данный алгоритм считается наиболее оптимальным с точки зрения точности и устойчивости.
Учет нелинейных эффектов приводит к возникновению автоколебаний давления и газонасыщенности. Характер колебаний меняется в зависимости от перепада давления, вязкости нефти, времени релаксации. Изменение этих параметров приводит к потере устойчивости предельного цикла и возникновению квазипериодического движения, переходящего затем в хаотическое. Применение процедуры Паккарда-Такенса показывает, что наблюдаемый хаос является детерминированным, и минимальное число динамических переменных, необходимых для описания колебаний в фильтрационном потоке, равно трём, что соответствует предложенной модели фильтрации.
В третьей главе исследуется влияние воды на фильтрацию газированной жидкости при давлении ниже давления насыщения в рамках модели «газового подшипника». Здесь также учитывается неравновесность, связанная с межфазными переходами в системе.
Для замыкания системы уравнений, описывающей многофазную многокомпонентную фильтрацию, необходимо задать относительные фазовые проницаемости ft. Известен ряд эмпирических зависимостей, позволяющих оценивать относительные фазовые проницаемости для нефти, газа и воды при различном их соотношении. Как показал анализ, наилучшее согласие с известными экспериментальными данными дают расчеты, выполненные по модели, предложенной X. JI. Стоуном (Stone H.L. 1973). Таким образом, предложенная здесь модель позволяет учесть эффект «газового подшипника» при фильтрации трехфазной жидкости.
Для анализа влияния водной фазы на процесс неравновесной фильтрации трехфазной жидкости в нелинейной области построено численное решение задачи. Расчёты также показали, что при определённых значениях параметров (отношения вязкостей жидкой и газовой фаз, перепада давления и времени релаксации) в области фильтрации газированной нефти возникают периодические во времени изменения давления и насыщенности. Их изменение приводит к потере устойчивости предельного цикла и возникновению сложного периодического движения. С ростом водонасыщенности упрощается структура колебаний временной зависимости давления и газонасыщенности.
Основные результаты работы формулируются следующим образом:
1. Обоснована корректность постановки задачи неравновесной двухфазной фильтрации с краевым нестационарным условием. Для линейной задачи получено точное решение и его асимптотические представления. В общем случае решение найдено в виде асимптотического функционального ряда. Предложен и апробирован на точном решении численный алгоритм расчета исходных функций, реализованный в виде программы в математическом пакете MAPLE.
2. Разработана и исследована математическая модель фильтрации газожидкостной смеси со сложными нелинейными и неравновесными свойствами, вызванными переходными условиями, в пористых средах. На основе разработанной модели реализована программа расчета гидродинамических функций в системе интегрированной разработки Delphi6. Вычислительный эксперимент показал возникновение автоколебаний газонасыщенности и давления во времени в зависимости от перепада давления, вязкости жидкости, времени релаксации.
3. Вычислительный эксперимент, проведенный для краевой задачи, моделирующей процесс фильтрации трехфазной жидкости в переходных условиях установил, что увеличение начальной водонасыщенности приводит к упрощению структуры колебаний функций газонасыщенности и давления от времени.
Полученные результаты могут быть использованы в исследовании конкретных моделей физики, химии, техники и других отраслей научных знаний. Предложенные математические модели расширяют теоретические представления о неравновесных и нелинейных эффектах в процессах фильтрации газожидкостной системы. Численный алгоритм решения задачи неравновесной двухфазной фильтрации может быть использован для решения конкретной прикладной задачи: определения относительных фазовых проницаемостей по данным нестационарных исследований образцов пористой среды.
Основные положения диссертации опубликованы в [12−17,62−65].
Автор выражает глубокую благодарность д-ру физ.-мат. наук, профессору Булгаковой Гузель Талгатовне за научное руководство работой, а также д-ру физ.-мат. наук, профессору Жиберу Анатолию Васильевичу за помощь в исследовании задачи первой главы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Результаты диссертационной работы сводятся к следующему.
1. Обоснована корректность постановки задачи неравновесной двухфазной i фильтрации с краевыми нестационарными условиями. В случае линейного вида функции Баклея-Леверетта задача сведена к задаче типа Гурса для линейного гиперболического уравнения. Методом Римана получено точное аналитическое решение. Построены асимптотические представления решения при больших и малых значениях параметра релаксации. Для произвольного вида функции Баклея-Леверетта решение найдено в виде функционального ряда, коэффициенты которого являются решением краевой задачи для соответствующего линейного гиперболического уравнения. Построены явные формулы для членов функционального ряда и получено i асимптотическое представление решения нелинейной задачи при малых временах релаксации. Предложенный численный алгоритм расчета задачи неравновесной двухфазной фильтрации хорошо согласуется с точным решением для линейной задачи.
2. Численно решена задача неравновесной фильтрации газированной жидкости в предположении немонотонной зависимости ОФП жидкой фазы от газонасыщенности. Проведен линейный анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации, который выявил возможность i возникновения автоколебательных режимов фильтрации. Численный анализ показал возникновение периодических во времени колебаний газонасыщенности и давления в зависимости от перепада давления, относительной вязкости и времени релаксации.
3. Для задачи неравновесной трехфазной фильтрации методом вычислительного эксперимента исследовано влияние водонасыщенности на фильтрационные характеристики фильтрационного, потока в случае.
106 1 немонотонной зависимости ОФП нефтяной фазы от газонасыщенности. Установлено, что увеличение начальной водонасыщенности приводит к упрощению структуры колебаний функций газонасыщенности и давления от времени. Доказано, что размерность фазового пространства равна 3.
