Математическое моделирование управления сердечным ритмом

В эпоху научно-технической революции все возрастающее значение приобретает интеллектуальный труд, что позволяет футурологам предсказывать смену пролетариата когнитариатом (Д.Белл, А. Тоффлер — по [25]). Этот процесс требует пересмотра сложившейся системы показателей и критериев оценки и нормирования умственной нагрузкивместо привычных энергетических показателей приходят характеристики напряжения регуляторных функций организма. Наиболее перспективным в этом отношении считаются характеристики вариативности сердечного ритма (HRV). Однако, почти 40-летняя история изучения HRV, начатая в нашей стране ак. В. В Лариным и проф. Р. М. Баевским, еще не привела к созданию общепринятых методик и подходов к применению HRV в практике эргономических исследований. Существенный прорыв в решении проблемы обещает совершенствование математического обеспечения исследований и, в частности, более широкое применение методов математического моделирования, что позволит глубже понять механизмы формирования HRV и правильно оценить физиологическое и эргономическое значение ее показателей.

К настоящему времени известны десятки математических моделей, связанных с исследованием HRV (Клайнс М., 1963 [21], Пикеринг У. Д. и др., 1970 [30]- Boer P.M. et. al, 1983 [57], Luczak H. et. al., 1975 [73], 1979 [74], 1980 [75], Miyawaki К. et. al., 1965 [80], Muller D. et. al., 1984 [81] и др.) Однако, почти все эти модели носят постановочный характер и мало связаны с конкретными задачами. В наше время изменилась и исходная база данных, уточнены значения многих характеристик сердечно-сосудистой системы, а самое главное — достаточно точно изучены характеристики HRV и диапазоны их изменений при различных функциональных нагрузках. В эргономике наметился круг проблем, наиболее адекватным решением которых было бы математическое моделирование.

Указанные обстоятельства и обусловили актуальность темы данной работы.

Цель и задачи исследования

Цель исследования заключалась в разработке математической модели управления сердечным ритмом, способной решать конкретные эргономические и клинические задачи, связанные с оценкой по характеристикам НИУ рабочего напряжения и функционального состояния сердечно-сосудистой системы в условиях здорового организма и при некоторых патологических процессах.

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

— обоснование адекватной задачам исследования структуры математической модели;

— выбор и адаптация к цели исследования системы уравнений, описывающих функционирование модели;

— уточнение в соответствии с современными экспериментальными данными количественных характеристик и констант, используемых в модели;

— исследование характеристик модели;

— определение перечня эргономических проблем, при решении которых целесообразно применение разработанной модели;

— исследование установленных проблем методом математического моделирования;

— разработка практических рекомендаций по результатам моделирования.

В результате решения перечисленных задач были получены данные, представляющие существенный теоретический и практический интерес, свидетельствующие о научной новизне и выносимые на защиту.

Положения, выносимые на защиту.

1. Импульсный характер формирования последовательности сердечных сокращений даёт основание считать дискретную математическую модель более адекватным отображением исследуемого процесса.

2. Моделирование сердечного ритма при стабильных внешних условиях (постоянная рабочая нагрузка, поза и т. д.) помимо «шумов» синусового узла должно отображать волновые процессы сосудистой и дыхательной природы с их спектральными характеристиками.

3. Доминирующее влияние на вариативность и волновую структуру сердечного ритма оказывает степень напряжения сердечно-сосудистой системы, которую в первом приближении можно оценивать по средней частоте пульса.

Научная новизна работы. Впервые разработана математическая модель системы управления сердечным ритмом, в которой использованы более корректные исходные характеристики моделируемых процессов и учтены сосудистые волны. Математический аппарат модели представлен разностными уравнениями, которые более точно воспроизводят дискретный характер процесса.

Практическая значимость работы. Применение разработанной модели позволит решить такие актуальные для эргономики и физиологии труда вопросы, как проверка информативности показателей разброса, адекватность гипотез, объясняющих уменьшение вариативности при умственной нагрузке и т. д. Учёт найденных зависимостей между частотой пульса и её разбросом существенно повысит точность оценки нервно-психического напряжения по показателям вариативности сердечного ритма.

Внедрение результатов работы. Концепция об определяющей роли уровня функционирования сердечно-сосудистой системы для величины вариативности и волновой структуры сердечного ритма, система информативных показателей вариативности пульса и рекомендации по совершенствованию методики количественной оценки нервно-психического напряжения по характеристикам разброса частоты используется при изучении курса специализации «Физиология трудовых процессов» студентами ТвГУ. Показатели нервно-психического напряжения специалистов операторского профиля и рекомендации по оценке напряжённости умственного труда внедрены в учебный процесс на кафедре «Безопасность жизнедеятельности и экология» ТГТУ, в частности в разделе лекционного курса по дисциплине «Безопасность жизнедеятельности», посвящённом гигиенической оценке условий труда и категорированию профессиональной деятельности по тяжести, напряжённости, опасности и вредности труда.

Апробация работы и публикации. Основные положения работы были представлены на научно-методической конференции (Тверь, 1993 г.), где получили положительную оценку. Работа обсуждалась на заседаниях кафедр физиологии ТвГУ и высшей математики ТГТУ. По результатам исследования было опубликовано три статьи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 4 глав, в которых обоснованы цель и задачи исследования, дано описание методов исследования, изложены и обсуждены результаты моделирования. Завершают работу основные выводы и список использованной литературы. Общий объём диссертации 136 страниц машинописного текста с 19 рисунками и 3 таблицами. В списке литературы представлено 54 отечественных и 35 иностранных источников.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ.

1. Внедрение наиболее перспективного показателя нервно-психического напряжения операторов — вариативности сердечного ритма в практику эргономических исследований тормозится недостаточной изученностью механизмов вариативности, неполнотой и противоречивостью литературных данных и количественных характеристик. Существенная роль в разрешении имеющихся противоречий принадлежит математическому моделированию сердечного ритма.

2. В естественных условиях функционирования в состоянии покоя определяющими причинами вариативности сердечного ритма являются внутренние шумы синусового узла и колебания системного АД, вызванные дыхательными движениями грудной клетки и периодическими изменениями сосудистого тонуса.

3. Структура системы управления сердечным ритмом должна, как минимум, включать синусовый осциллятор, кольцо обратной барорецепторной связи и три обязательных входа:

— дыхательный вход, представленный экспериментально определёнными статистическими характеристиками внешнего дыхания;

— сосудистый вход, представляющий собой экспериментально определённые частотные и амплитудные характеристики сосудистой аритмии;

— собственный «шум» синусового осциллятора, определённый по результатам спектрального анализа КЯ-интервалов.

4. Учитывая дискретный характер моделируемого процесса, наиболее адекватным математическим аппаратом будет теория автоматического регулирования импульсных систем, представленных в разностных уравнениях. Оптимальный шаг дискретности по времени — 1/6 сек.

5. Разработанная математическая модель системы управления сердечным ритмом позволила получить полигоны значений ЯК-интервалов с такими же соотношениями среднего арифметического и стандартного отклонения и такой же волновой структурой ритма, как и у реального человека, чем доказывается адекватность разработанной модели исследуемому физиологическому процессу.

6. В результате моделирования установлено, что основным фактором, определяющим уровень разброса, является изменение средней частоты сердечных сокращений. При учащении пульса уменьшается амплитуда сосудистой и дыхательной аритмий. При частоте пульса 110. 130 уд/мин существенно меняется волновая структура сердечного ритма: резко увеличивается выраженность высокочастотной аритмии, на долю которой уже приходится до % всей мощности спектра ЯЯ-интервалов.

7. Установленные в процессе моделирования закономерности могут быть рекомендованы к применению при оценке нервно-эмоционального напряжения по показателям разброса пульса.

8. При совпадении частот дыхания и волн АД увеличения разброса, не соответствующего закономерности процесса, не зарегистрировано, что позволяет отвергнуть концепции «резонансных» частот и «вегетативного резонанса» .

9. Разработанная математическая модель системы управления сердечным ритмом представляет собой перспективный метод решения широкого круга теоретических проблем физиологии сердечно-сосудистой системы: определения механизмов уменьшения разброса частоты пульса при умственной нагрузке, сравнительная оценка информативности предлагаемых показателей аритмий, уточнение ряда физиологических констант и характеристик системы управления сердечным ритмом и т. д., что имеет большое практическое значение для эргономики, физиологии труда и клинической медицины.

В заключение параграфа можно сделать следующие выводы: 1. Более адекватным математическим аппаратом модели управления ритмом сердца сравнительно с принятыми подходами будет система разностных уравнений, т.к. именно такие уравнения учитывают дискретный характер моделируемого процесса и существенно облегчают решение задач моделирования.

2. Переход к разностным уравнениям обеспечивается переходом от преобразования Лапласа непрерывной функции к преобразованию Лапласа дискретной функции.

3. Устойчивость решения разностных уравнений обеспечивается подбором оптимального шага дискретности.

2.3. Выбор начальных условий.

В представленных выше разностных уравнениях для описания модели системы управления сердечным ритмом надо задать конкретные начальные условия для каждого уравнения. При этом следует учитывать, что в данном случае нецелесообразно на входе модели задавать нулевые начальные условия. Дело в том, что модель предназначена для изучения сердечного ритма человека. Нулевые значения частоты пульса у реальных испытуемых невозможны, человек существует до тех пор, пока у него бьётся сердце. С другой стороны, нулевые значения на входе модели дают начало переходному процессу со своим временем выхода на изучаемый режим. Поэтому более целесообразно моделирование проводить только для исследуемого процесса, исключая время выхода системы на требуемый уровень. При таком подходе экономится машинное время на расчёты. Получить решение сразу для установившегося режима можно, если надлежащим образом подобрать начальные условия для решения уравнений.

Согласно структуре модели (рис. 2.1) при расчётах всегда задаётся внутренняя частота сердечных сокращений — IHR (генерируется синусовым узлом) и средняя частота пульса в установившемся режиме — HR0 (поступает из высших отделов ЦНС через сосудодвигательный центр на компаратор 2 -для удобства анализа представлено отдельным входом). На IHR перед поступлением на компаратор 2 накладывают помехи, вносимые собственным шумом синусового узла. На выходе компаратора 2.

HR0 = IHR — SAN x IHR. Следовательно, SAN = (IHRHR,)/ IHR.

Значению SAN соответствует (согласно предыдущему параграфу) FVCF которое в свою очередь, рассчитывается по формуле.

VC.

FVCF =.

А +В х VC ' где.

Ах FVCF Ах SAN, А х (IHR — HR0) / IHR.

VC =.

1 -BxFVCF 1 -BxSAN 1 — В x (IHR — HR0) / IHR •.

Выходя из компаратора 2, HR0 проходит через сердечно-сосудистую систему, создаёт Р, равный HR0 х KHR и поступающий на компаратор 3. На выходе из которого получаем Ps = Р = HR0 х KHRпосле барорецеп-торного преобразования получаем FAF1 = KF х (Ps — Ркр). Между выходом с барорецепторов и синусовым узлом стоит усилитель с коэффициентом усиления KVS, который должен удовлетворять следующему условию:

FAFI х KVS = VC, или KVS = VC/ FAF. (*).

Подставляя в значения VC и FAF 1, получим.

А х (IHR — HRq) / IHR.

KVS = 1 — В x (IHR — HR0) / IHR ] x [ KF x (HR^ x KHR — P^)].

В этом выражении заданы, А и В (табл. 1.1), HR0 задаётся экспериментатором, КР =0.5, а КНЯ принимаем равным 1.5 с тем, чтобы.

FAFI = KF х (HR0 х KHR — Ркр)>0} т. е. KHR > (при РКР = 40, HR0MN =30).

Ркр 40 hrqmin 30.

KVS подбираем таким образом, чтобы система сразу выходила на установившийся режим, что экономит машинное время при решении.

Подбор остальных констант и характеристик приводится ниже.

В литературе [74], [80] приведены численные значения следующих параметров модели. Внутренняя частота синусового узла IHR =200 уд/мин, круговые частоты wni=1.0, wn2=0.4. Параметры колебательности? i=0.65,.

2=1.0. Параметры нелинейных элементов, А =1.74, В =0.96, РКР =40,.

KF =0.5. Постояные времени тс= 0.2 сек, тР=0.5 сек.

Все коэффициенты усиления динамических звеньев в [74,80] приняты равными 1.

Однако анализ модели показал, что устойчивая её работа возможна только при некоторых значениях коэффициентов KVS и KHR. Коэффициент усиления KVS определяется однозначно, если задать среднюю частоту сердечных сокращений HRQ. Расчет KVS выполнен выше при выборе начальных условий для установившегося режима. Некоторые ограничения на коэффициент усиления KHR можно наити, если учесть, что нормальная работа модели возможна только при положительном сигнале на выходе нелинейного элемента,.

FAF1 А.

-> кр F т. е. из условия FAF 1>0.

Этот элемент описывается KFx{Ps ~~ Ркр)' если Ps > Ркр [ 0, если Ps < Ркр

При FAF1 = 0 на выходе модели устанавливается HR, равная IHR, т. е. равная внутренней частоте синусового узла, следовательно, наступает тахикардия — отклонение от нормы, так как регулирование HR прекращается.

Согласно описанию модели.

Ps = KHR х HR .

Далее вместо текущего значения HR будем подставлять среднее значение HR0, тогда.

Ps — Ркр = KHR х HR0 — Ркр > О.

Ркр или KHR > jqj^ - это нижняя граница для KHR, т. е. KHR не может быть меньше РКР / HR0.

Так как РКР задано (=40), то KHR однозначно определяется средним значением HR — HR0, которое в свою очередь у здорового человека не может быть меньше некоторого минимально допустимого значения. Очевидно, среднее артериальное давление Ps у здорового человека не может быть меньше 40 мм рт. ст.

Однако за счет флюктуаций внутренней частоты синусового узла в отдельные моменты текущее значение средней частоты HR может оказаться меньше 40 уд/мин. При этом Ps станет меньше допустимого. Поэтому, чтобы обеспечить устойчивую работу модели при любых HR0 > 40, выберем KHR = 1.5. В этом случае срыв частоты сердечных сокращений на тахйкардию практически окажется невозможным при любых HR0 > 40 уд/мин. Итак, KHR = 1.5.

Рассмотрим требования к параметрам случайных сигналов. В модели рассматриваются три входных сигнала:

1). Внутренняя частота синусового узла IHR с флюктуациями — шумами этой частоты. Этот шум задается в виде случайного сигнала ASH 1, который добавляется к сигналу IHR. Величину этого сигнала ASH 1 надо выбрать, как средний модуль разности значений HR при отсутствии дыхательной и сосудистой осцилляций.

2). Частота дыхания. Среднее значение принять Тдых=4.509 сек, со средне-квадратическим отклонением сгт =0.6148. Так как в [60] колебания дыхательного цикла даны в секундах, а в модель их надо вводить в виде числа дыханий за 1 минуту FabIX. Частота с циклом дыхания Тдых связана соотношением:

F =г дых т.

1 дых.

Среднеквадратическое отклонение Рдых через среднеквадратическое отклонение Тдых можно найти через дифференциал Fmx.

60 dFflbix — ~ т2 иТДЬ1Х ^.

1дых откуда окончательно 60 дых — rpl &-т. 1дых.

Подставляя 7^^=4.509 с и сут=0.6 148 получаем &-дщ=.85 уд/мин.

Это значение сгцых под обозначением ASHQ и введено в модель:

ASH О = <Удых=1.85 уд/мин.

Сигнал на частоте дыхания в модели записан в виде RS (t) = А0х Бт[2ж (Рдш + SH0) t] (*). ЭТ0 гармонический сигнал со случайной частотой, где SH0 = ASH0 • XR (v), где XR (y) — случайные числа, распределённые по нормальному закону, с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением равным 1.

Сама средняя частота дыхания Рдых задается исследователем по своему усмотрению. Амплитуда А0 выбрана в ходе анализа переходных процессов в модели.

Доказательство правомерности синусоидальной функции в (*) подлежит проверке при последующем исследовании модели.

3). Третьим входным сигналом модели является колебания сосудистого артериального давления. Его также описываем синусоидальным колебанием со случайной частотой.

AD = AD0 х sin[2n х (FAD + ASH2) t], (**) где AD0 — амплитуда сосудистого артериального давления;

FAD — средняя частота колебаний сосудистого артериального давления;

ASH2 — случайная составляющая сосудистого артериального давления.

Были заданы FAD =0.17 Гц, 0−25 х FAD это ширина спектра, коэффициент вариации — У ад ~ 0−5 .

Так как у ад ~ °ад i fad 5 то из этих данных можно найти (Тдд = FAD х Ущ — 0.17 X 0.5 = 0.095 Гц. В модели обозначено ASH2 = стАД = 0.095 Гц.

Из рассмотренного видим, что пока остаются не определенной амплитуда частоты сосудистого артериального давления AD0.

Эту величину нужно выбрать так, чтобы статистические характеристики RR-интервалов модели были близки к таким же характеристикам реального человека в том или ином его психофизиологическом состоянии. В частности данные, полученные по модели, должны совпадать с экспериментальными данными у реального человека по мощности спектра (по с.кв.о.) и по спектральному составу RR-интервалов во всем реально возможном изменении HR нормального человека (например, от 40 до 200 ударов сердца в минуту).

Значения о и спектрального состава реального человека приведены в [31].

В результате проведённого выбора начальных условий можно сделать следующие выводы:

1. В процессе моделирования нецелесообразно на входе модели задавать нулевые начальные условия, т.к. в этом случае часть машинного времени уйдёт на переходные процессы.

2. Значение коэффициента усиления в нелинейном элементе модели в связи с отсутствием литературных данных следует выбирать путём расчёта по задаваемым исходным значениям внутренней частоты пульса и его средней частоты в установившемся режиме.

3. Количественные значения констант и характеристик модели следует принимать по литературным данным, а статистических характеристик волн АД, дыхания и собственного шума синусового узла — по экспериментальным данным.