Пространства векторнозначных и операторозначных функций и их применение к аналитическому представлению операторов

В диссертационной работе изучается классическая для функционального анализа задача об аналитическом представлении линейных операторов и связанные с ней вопросы теории пространств векторнозначных и операторнозначных функций.

Пространства вектор-функций были введены и активно изучались во второй половине 30-х годов vl др). Интерес к этим пространствам возник, в частности, как к пространствам ядер различных классов линейных операторов, допускающих аналитическое представление с помощью векторфункций •.

В последние годы интерес к этой тематике снова стал возрастать. Пространства вектор-функций нашли интересные и важные приложения в теории банаховых пространств (f J } /~3&7), теории вероятностей), в теории дифференциальных и интегральных уравнений в банаховом пространстве" (ffiJ., jC27J{), оптимальном управлении.

C5J). Изучение пространств вектор-функций представляет важную и самостоятельную задачу, богатую интересными и нетривиальными результатами. Некоторые задачи, поставленные более 15 — 20 лет назад, все еще остаются нерешенными. Это, в основном, — задачи, связанные с исследованием пространств вектор-функций в топологиях более слабых, чем нормированная .

Теория линейных интегральных операторов, действующих в пространствах измеримых функций, представляет собой достаточно разработанный раздел функционального анализа. Большой вклад в создание этой теории внесли советские математики: С. Л. Соболев, Л. В. Канторович, М. А. Красносельский, П.П.Забрей-ко, В. Б. Коротков, Ю. И. Грибанов, А. В. Бухвалов и др. Различные разделы этой теории систематизированы в монографиях Ш, [19], [231, [24], [2&], [44] .

Тем не менее в теории интегральных операторов еще много остается нерешенных задач. Некоторые из них приведены в недавно вышедшей монографии Халмоша и Сандера [44] .

При отыскании общего вида линейного непрерывного оператора, действующего из одного банахова пространства измеримых функций Е в другое F, полезным оказался метод, когда одно из пространств Е или F считается произвольным банаховым пространством, а другое фиксированным банаховым пространством функций. При этом оператор 'допускает представление либо в виде билинейной формы с векторнозна^ным ядром, либо в виде векторнозначного интеграла (Бохнера, Петтиса и др.). Такой подход потребовал подробного изучения операторов, имеющих данное аналитическое представление.

Операторы, допускающие представление в виде билинейной уг формы с векторнозначным ядром, (С — к С — операторы) были подробно изучены в работах В. Б. Короткова и С. И. Жданова. Представляет интерес задача об изучении линейных операторов, допускающих представление в форме векторнозначных интегралов.

Цель ю диссертационной работы является изучение пространств векторнозначннх и операторнозначных функций, которые возникают при исследовании векторнозналных интегральных операторовнахождение условий представимости линейных операторов, действующих в пространствах измеримых вектоп-функций, в векторнозначном интегральном виде.

Перейдем к обзору содержания работы.

Б первой главе изучаются пространства векторнозначкых и операторнозначных функций.

Первый параграф носит вспомогательный характер — в нем собраны основные используемые в работе определения, обозначения и вспомогательные факты.

Во втором параграфе дается определение пространства измеримых вектор-функций ^ 2″ ,/С/) и пространства классов равных п.в. измеримых вектор-функций f Hjj/JJ, задаш-шх на пространстве с полной & - конечной мерой. Цель параграфа — изучение свойств пространства в топологии &^^ > ^^) ' где? и F любая пара банаховых пространств в двойственности. Найден критерий фундаментальности последовательности элементов из в t /Pj — топологии. с? ' F с помощью которого дана характеризация секвенциально f^-^, ~ предкомпактных множеств в Zj^.

Одним из центральных результатов работы является критерий секвенциальной Cf^} ^'j ~ полноты пространства /.J? (теорема 1.2.2): пространство /Z7 секвенциально / РJ ~ полно тогда и только тогда, когда? секвенциально — полно и обладает свойством Радона — Никодима. стот результат является новым уке для пространств Лебега — Бохнера ().

В третьем параграфе вводятся пространства операгпор

П)Т?г.тт-тттЛ1Д.

Претцигоггдьнуга роль при 'исследовании зтих пространств играет теорема 1.3 Л, гарантирующая существование в кэлдом классе уЛ предизмеришх предэквивэлентнътх Функций (тми слабо.

V/ измеримых слабо эквивалентных функций) оператор-фикции, обладающей рядом «хороших» свойств. Дело в том, что.

Л W два представителя С? С и J^T одного класса J^T (или ^Ж) могут быть такими, что «+//ж fej// «при катдом? и, более того, функция &—^//^fflj//, может быть неизмеримой. Ме^кду введенными пространствами оператор-функций имеет место следующее соотношение:

Доказано, что пространства fry) ч влягат ся б анахо вышт.

1 ' '.

В четвертом параграфе рассматриваются пространства скалярно и — скалярно измеримых вектор-йушщий Пространство ^ Z~JF7 было введено рушнскими математиками А. и К. йонеску Тулча {&ZJ) для описания пространства, сопряженного к пространству Лебега — Бохнера ZJ? (о^. = /). г у.

Определение пространства Z^ Z~6Г. данное в диссертации. отличается от определения, данного А. и К. Ионеску Тулча. Доказано, что пространство / ^ секвеициально полно в топологии Z^ J.

Найден критерий сходимости последовательности элементов из /f. ffj в .

Во второй главе изучаются вопроси, связанные с интегральным представлением линейных операторов.

В первом параграфе, носящем вспомогательный характер, рассматриваются правильные к регулярные операторы. р

Линейный оператор АZ^ —— X называется правильным, если существует функция ZZ ^ такая, /7 что для всех f е / '.

ZAfZZ +fZZfft)ZZ mj^rtj. СI).

И ^.

Через /Y/Д X) обозначается пространство всех ~ правильных операторов из Z⁷ в X, наделенное нормой.

A/jp ~ J7//?J, где интимум берется по всем.

7, удовлетворяющим (I). Получена следующая характеризация правильных операторов: линейный оператор

АеР//.^ X) тогда и только тогда, когда, А Р — /7 абсолютно непрерывен (т.е. из ^^jc ' //P^/J/Z/P следует, что //А/1//-) к ///А///<�оо. Здесь ffcfrM/ Ж «л где — произвольное конечное разбиение множества/» .

Двойственным к классу правильных операторов является класс регулярных операторов. у Л.

Линейный оператор А: X—называется регулярным, если существует супремум.

7= ^ ^ Шх//) п ,.

А //x/te/,//&*//+f ' tt* А 3.

Л ^ где Р.'А ^—произвольное отображение, определяемое равенством СРР) = Р. Через X’fX,/.^J обозначается пространство всех регулярных операторов, наделенное нормой //А//= Л- • Получено обобщение.

Т, А на векторный случай известной теоремы Канторовича — Вулиха: пространство Р/Х} L ^) изометрично пространству.

Я ' F.

PxJ: при этом соответствующие, А и.

Х}Р).

Ofc связаны соотношением Ах= (• J.

Имеется два подхода к изучению интегральных операторов из в X. Один из них связан с «сильной» теорией интегрирования вектор-дикций, а другой — со «слабой». В связи с этими подходами, в работе вводятся три класса интегральных операторов — /3 -, Р*- и Р — интегральные операторы.

Во втором параграфе изучаются /9 — интегральные операторн.

Линейный оператор А——-/Г называется — интегральным, если суитествует оператор-функция.

— w сЖ-Г—— Л) такая, что при люб о? л /^"s//7 функция JCf интегрируема по Бохнеру и.

Одним из основных результатов диссертации является теорема II.2.1 об описании класса ядер? — интегральных операторов: для того чтобы оператор-функция ijfc- 7~— была ядром /3 — интегрального оператора, действующего из ' в Л, необходимо и достаточно, чтобы.

OCeZ/f'^x) CfJ. При этомpfJC)=///A///.

Отметим, что доказательство этого факта представляет значительные трудности, связанные с отсутствием измеримости, а. следовательно, и возмога-гости аппроксимации простыми функциями ядер S — интеградьных операторов.

Показано, что если мера^/ непрерывна, то класс.

3 — интегральных операторов из /. ^ в X совпадает с j. классом правильных операторов тогда и только тогда, когда X обладает свойством Радона — Никодима. Получено расширение на векторный случай классической теоремы ДанфордаПеттиса — ©-иллипса {Р4 Z7) о представлении слабо компактных операторов из в X. Зто расширение было известно при дополнительных ограничениях на область определения оператора (РР&-7).

Е третьем параграфе изучаются классы Р* - и Р — интегральных операторов.

Линейный операторX называется.

Р* ~ интегральным, если найдется оператор-функция.

7~-— SfP, X*) такая, что при каждых и X фикция Cfcf-J * > интегрируема и х> jcWPW, ' или, что равносильно,.

Тесоема Данфорда — Петтиса утверждает, что пространство.

X*) изометрично пространству/^ /X/ {P47J).

А.В.Вухваловым (Г27) получен аналог этой теоремы, когда / / заменяется на — абсолютно непрерывная норма,). Этот результат является частным случаем следующей теоремы II.3.2: пространство Pf/.^., X *) изометрично пространству Лр, X)? при этом соот.

3f?, X*J ' ветствующие, А и X связаны соотношением (2).

Линейный оператор А:——X называется квазиправильным, если существует измеримая функция /7 такая, что при всех fe/.^ имеет место (I).

Получен критерий Р* - интегральности линейного оператоР хpa: А•—X: для того чтобы// был Р*~ - интегральным оператором, необходимо и достаточно, чтобы он был квазиправильным оператором, непрерывным в топологиях fffzPzgJrfJ) к fffA*, X). 7.

Линейный оператор, А: -~~Х называется.

Р — интегральным, если существует оператор-функция сЖ7~ ¦—3{РХ) такая, что при любом функция f интегрируема по Петтису и.

Каждый 3 — интегральный оператор является Р — интегральным. Обратное утверждение не верно. Найдена (теорема II.3.4) связь между 3 — интегральными и — интегральными операторами. Получен следующий критерий Р — интегральности линейного оператора. Пусть X обладает слабым свойством Радона — Никодима. Для того чтобы линейный оператор

А -/ Р-—X был Р — интегральным, необходимо и достаточно, чтобы он был квазиправильным оператором, непрерывным в топологиях.

Показало, что если мера^// непрерывна, то пространство Pfz^xиз ометрично про странст ву Л тогда к только тогда, когда X обладает слабым свойством Радона — Никодима.

В четвертом параграфе рассматриваются интегральные операторы, действующие из одного пространства измеримых вектор-пункций в другое.

Под интегральным оператором A .'/jf —— понимается оператор, представимый в виде.

Af=Jeers, tjmjtf/yft), где С&-: SXT-Sf^fJ такая оператор-пункция, что при каждом /Wjf функция 'Jff'J j// - интегрируема по Бохнеру при Vпочти каждом S Если найдется интегральный оператор СУ с ядром / такой, что при всех /^ё/^7 то, А называется вполне интегральным оператором.

Hv-стъ, А: Z. ^—— / ° «- линейный оператор

F* и пусть обладает свойством Радона — Никодима. Если существует интегральный оператор СУ: —° такой, что при всех /е //.

ГАГ//г" ^ су), г? то, А является вполне интегральным оператором с Vx^/Jптэенизмелимым ятпэом (теотэема II.4.1).

Г ¦ I «¦ L I IJ- -L- ' йз этой теорэш следует, что если вполне интегральный оператор порожден не предизмеришм ядром, то, при сделанных в тереме предположениях, его ядро можно заменить пред-из мерит л.-тм.

Пусть р — абсолютно непрерывная норма и обладает свойством Радона — Никодима. Для того чтобы линейный оператор —- /5 был интегральным опе" пато" оом? ? ^ с ядром с^Г, удовлетворяющим условию: u&fSУб£" £.7 при V — п.в. S, необходимо и достаточно, чтобы сушест.

J- 7 11(1 7 tJ 1 вовэла измеримая соункция такая, что при мрсех п.е.

I//ГА<- ГЯ для любого конечного разбиения с/Г=ля-южества.

Т (теорема II.4.2).

В заключение параграфа показано, что каждый вполне. /7. Л интегральный оператор АI —— Z непрерывен f Л Л' в топологиях^572и, f^JJ .

Кратко основные положения диссертации можно сформулировать следующим образом.

1. Изучены свойства пространства / Р в &f Р, / Р J? ? 7? топологии. В частности, найден критерий секвенциальной.

— полноты пространства /.?

2. Введены пространства оператор-фз^ткций /T?~J и.

Р С?, Х). Доказана их полнота.

3. Расст. готреьш пространства ВрУ и / ^ /~?7 Показано, что пространство f fsj секвенциально г*полно в топологрш С?{/. ^ /ГВ7. с J.

Г г*- / с:

4. Выделены классы В — и Р — интегральных операторов. Описан класс ядер В — интегральных операторов. Найдены критерии представимости линейных операторов г В -.

Р* - и Р — интегральном виде. Получены аналоги теорем Данторда — Петтиса и ДангТюрда — Петтиса — Филлипса.

5. Найдены условия представимости линейных опера. торов из Р /О в / в интегральном виде.

1. Еалакриттгнан А. В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

2. Бухвалов А. В. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой. Известия вузов, Матем., 1975, U II, с. 21 32.

3. Бухвалов А. В. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой. Сиб. мат. журн., 1975, т.16,Р 3, с. 483−493.

4. Бухвалов А. В. Геометрические свойства банаховых пространств измеримых вектор-функций. Докл. АН СССР, 1973, т.208,1? 5, с. 1279 — 1282.о. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными к функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

5. Гаевский X, Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

6. Гельфанд Й. М. Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren Мат. сб., 1938, т. 4,?-° 2, с. 235 286.

7. Грибанов Ю. И. Банаховы пространства функций и интегральные операторы, I. Известия вузов, Мат ем., 1966, № 4, с. 23 — 35.

8. Грибанов Ю. И. Линейные операторы в совершенных пространствах функций, II. Известия вузов, Матем., 1970, № 8, с. 48 — 58.

9. Диетель Дж. Геометрия банаховых пространств. Избранные главы. Киев: Вища школа, I960.

10. Жданов С. И. Интегральные представления операторов в локально выпуклых и полуупорядоченных пространствах: Дис. канд. гиз.-мат. наук/Н0Е0сиб. гос. ун-т.Новосибирск, 1975. Машинопись.

11. Забрейко П. П. Нелинейные интегральные операторы. Тр. семинара по функцион. анализу/Воронежск. гос. ун-т, 1966, вып. 8, с. 3 — 148.

12. Забрейко ПЛ. Идеальные пространства функций. Вестник Яросл. ун-та, 1974. вып. 8, с. 12−52.

13. Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

14. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

15. Канторович Л. В., Вулих Б. З. Sur la representation des operations lineaires. Сотр. math., 1938.5,p.119−165.

16. Коротков В. Б. Об интегральных операторах с ядрами Карле-мана. Докл. АН СССР, 1965, т.165,!!° 4, с. 748 — 751.

17. Короткой В. Б. Об интегральном представлении линейных операторов. -Докл. АН СССР, 1971, т.198,Р 4, с.755−758.

18. Коротков В. Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983.

19. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суадшруемых функций. М.: Наука, 1966.

20. Крейн С. Г. Линёйные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. I/I.: Наука, 1968.

21. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некоректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, I960.

22. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

23. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. Ы.: Мир, 1969.

24. Andrews К.Т. Representation of compact and wealcly compact operators on the space of Bochner integrahle functions. Pacif. J. Math., 1981, 92, IT 2, pp. 257−267.

25. Batt J. On weak compactness in spaces of vector-valued measures and Bochner integrable functions in connection with the RIT property of Banach spaces. Rev. Roumain. Math. Pures Appl., 1974, 19, pp. 285−304.

26. Bochner S. and Taylor A.E. Linear functionals on certain spaces of ahstractly-valued functions. Ann. of Math., 1938, 39, Ж 2, pp. 913−944.

27. Brooks J.K. and Dinculeanu IT. Weak compact-ness in space33.