Проблема описания упруго-пластического поведения материалов является одной из центральных в механике деформируемого твердого тела. Разделение интересов исследователей в этой области связано, в первую очередь, с необходимостью решать различные по своему качественному уровню задачи, в которых для описания внутренних свойств реальных материалов при деформировании требуется, в общем случае, использование различных математических моделей.
В механике сплошной среды достаточно полно разработана математическая модель упругого деформирования материалов [1, 2]. Допустим, что мы задаем движение среды в переменных Эйлера, тогда в качестве меры полной деформации используется тензор Альманси А^, который, по предположению теории упругости, совпадает с тензором упругой (обратимой) деформации е^. Для того чтобы записать уравнения состояния материала необходимо задать внутреннюю энергию как функцию энтропии и тензора ец. Эти соотношения следует дополнить законами сохранения, сформулировать начальные и краевые условия, тогда получаемая система уравнений является замкнутой и позволяет описать термомеханическую эволюцию материала в рамках модели упругой сплошной среды.
При построении теории упруго-пластического деформирования необходимо расширить число параметров описания, в частности, ввести тензор пластической (необратимой) деформации. Чтобы рассмотреть и 7Гу как термодинамические переменные, необходимо задать соотношения, определяющие связь этих тензоров с другими кинематическими и динамическими характеристиками рассматриваемой модели сплошной среды. В этом случае возникает проблема разделения тензора Альманси А^ на тензор упругой и пластической деформаций. Построение конкретной зависимости А^ от е^ и ща определяется теми или иными физическими гипотезами о разделении полного отклика материала на внешнее воздействие. Если разбиение деформаций на обратимые и необратимые выполнено, то на основе формализма неравновесной термодинамики можно записать уравнения состояния материала через две экспериментально измеряемые независимые функции — внутреннюю энергию и диссипативный потенциал. В предположении аддитивной зависимости тензора Альманси от тензора упругой и пластической деформации этот подход реализован в [3] для построения класса моделей упруго-пластических материалов при произвольных полных деформациях. Этот класс моделей, охватываемый единым описанием в рамках используемого формализма, достаточно широк и в качестве предельных включает в себя как модель обычной вязкой жидкости, так и идеально пластического тела. Более сложные (нелинейные) зависимости между тензорами используются в [4], здесь также приведены ссылки на более ранние работы по проблеме конечных упруго-пластических деформаций.
Механика деформируемого твердого тела как макроскопическая теория не учитывает внутренних механизмов упруго-пластического деформирования. С точки зрения физики упругая среда является идеальным кристаллом, а механизм пластических деформаций определяется структурными дефектами материала. Поэтому традиционно [5] микроскопический уровень рассмотрения процессов упруго-пластического деформирования принято относить к физике пластичности.
Структурные дефекты кристаллов подразделяют по геометрическим признакам на точечные (нульмерные), линейные (одномерные), поверхностные (двумерные) и объемные (трехмерные) (см., например, [6]). Точечные дефекты создают искажения в области, размеры которой по всем направлениям сравнимы с межатомным расстоянием. К точечным дефектам относятся вакансии, примесные атомы и их комплексы, межузельные атомы. Линейные дефекты характеризуются тем, что искаженная область кристалла в двух измерениях имеет атомные размеры, а в третьем измерении протяженность дефектной области может быть порядка размера кристалла. К линейным дефектам относятся дислокации, дисклинации, цепочки вакансий и другие. Поверхностные дефекты малы только в одном измерении. К ним относятся границы зерен, дефекты упаковки и т. д. Линейные и поверхностные дефекты локализованы в каком-то из направлений: их протяженность в соответствующем измерении имеет порядок межатомного расстояния. В отличие от них объемные дефекты имеют относительно большие, по сравнению с атомным диаметром, размеры во всех трех измерениях. К объемным дефектам относятся, в частности, поры, трещины. В течение последних шестидесяти лет интенсивно разрабатывалась теория линейных дефектов решетки (таких, как дислокации, дисклинации) и двумерных (планарных) ее дефектов — дефектов упаковки, границ разориентации и границ фаз (см., например, [5] и ссылки в ней).
Однако, в математических моделях, построенных в физике пластичности, и в макроскопической теории пластичности деформируемого твердого тела нет той степени полноты и непротиворечивости, которая достигнута в модели упругой сплошной среды. Такое выделенное положение этой модели определяется, по-видимому, следующими причинами. Дело в том, что картина развития упругой деформации характеризуется более простыми физическими механизмами в отличие от упруго-пластических процессов. Известно, что анализ напряженно-деформированного состояния материалов в рамках модели упругой сплошной среды выполняется при малой деформации. В этом случае внутренние напряжения в материале таковы, что они не приводят к проявлению его структурных свойств, зависящих, в частности, от характера нагружения, предыстории материала и других факторов. Тогда при введении феноменологических параметров в теорию для описания малой деформации достаточно использовать упругие постоянные, которые можно определить из массового эксперимента. Иная ситуация возникает при описании пластических свойств материала. Экспериментальные исследования показывают [5], что при пластическом течении идут процессы структурной перестройки. В классических моделях теории пластичности (см., например, [7]) учитывается только деформационное упрочнение материалов. Это реализуется в представлении деформаций в виде двухстадийного процесса: упругого и пластического. Для макроскопического уровня их рассмотрения результаты теории находят экспериментальное подтверждение. Тем не менее такой подход вступает в противоречие с экспериментально наблюдаемыми картинами развития пластической деформации на промежуточных — между микроскопическим и макроскопическим — масштабах. Выделение таких масштабов в кристалле определяется тем, что коллективные движения дефектов приводят к появлению в нем нового качественного состояния, характеризуемого существованием так называемых уровней деформации. Это, в частности, подтверждается экспериментально хорошо известным поведением поликристаллических материалов [5], для которых процесс пластического течения является многостадийным.
Другая причина, выделяющая модель упругой сплошной среды, связана с внутренней геометрической структурой модели. Хорошо известно [1, 2], что в системе отсчета наблюдателя в трехмерном евклидовом пространстве тензор полной деформации Агз [1,2]- тензор Аль-манси — определяется через лагранжевы характеристики = Ь) частиц сплошной среды с помощью соотношения.
1/ 2 V дхг дхз)' Это представление для тензора Альманси через векторное поле €) справедливо всегда и не зависит от физического механизма процесса деформирования, при этом А^ характеризует форму деформируемого образца. По предположению классической теории упругости тензор упругой деформации Ец совпадает с тензором полной деформации Аг]. С другой стороны, деформирование материала изменяет его термомеханическое состояние, тогда с помощью реологических соотношений тензор упругой деформации е^ вычисляется через тензор напряжений и температуру среды [2]. Следовательно, компоненты е^ можно рассматривать в качестве внутренних характеристик материала, определяющих метрический тензор упругой деформации д^ = 8г] — 2егз (в [2] он называется эффективным метрическим тензором). Согласно предположению классической теории упругости тензор упругой деформации Ец совпадает с тензором Альманси Аг]. Поскольку объект определяется из реологических соотношений способом, независимым от геометрических измерений, то существование векторного поля? а (х, ?), порождающего тензор е^, требует выполнения дополнительных условий — условий совместности. Для малых деформаций они известны как условия Сен-Венана, а в общем случае сводятся к обращению в нуль тензора Римана-Кристоффеля Я, 1^ [1, 2]. Геометрический смысл этого объекта в том [8], что он является инвариантной характеристикой евклидовости некоторого множества: если ¦ = О, то можно ввести евклидовы координаты на этом множестве. Тогда для материала, деформирование которого рассматривается в рамках модели упругой сплошной среды, выполнение условий совместности означает, что его внутренняя геометрическая структура совпадает со структурой евклидова (внешнего по отношению к среде) пространства. Таким образом, возможные движения среды, определяемые силами, действующими на нее, не выводят из класса евклидовых моделей, то есть модель упругой сплошной среды является геометрически замкнутой евклидовой моделью. В диссертации (глава I) выполнен анализ основных геометрических положений модели упругой сплошной среды и дано доказательство замкнутости этой модели.
С геометрической точки зрения макроскопические модели упруго-пластических процессов не являются евклидово замкнутыми, поскольку в них тензор упругих деформаций Ец не совпадает с тензором полной деформации Ац и, как следствие, условия совместности не выполняются. Поэтому для описания этих процессов необходимо использовать неевклидовы геометрические характеристики.
Проблема расширения модели упругой сплошной среды изучается очень давно. При ее анализе рассматриваются различные подходы в геометрическом описании дефектов структуры материала. Как отмечается в [9, с.751] К. Кондо и Б. Билби [10, 11] сделали великое открытие, предлагая использовать аффинно-метрические объекты для описания дефектных структур. Сплошная среда при этом рассматривается как многообразие М аффинной связности и в качестве характеристик дефектов берутся метрический тензор, тензор кривизны и кручения многообразия. Применение методов дифференциальной геометрии для введения определяющих параметров модели рассматривалось также в работах Э. Кренера, Л. И. Седова, В. И. Кунина [9], [12 — 14]. Классификация теорий пространства-времени, использующих аффинно-метрическую структуру, приведена в [15]. Соответствующие примеры физических систем с дефектами различных типов указаны в работе [16, 17]. Принято сопоставлять дислокациям — тензор кручения, дисклинациям — тензор кривизны, точечным дефектам тензор сегментарной кривизны.
В неевклидовой модели сплошной среды, как в любой теории, необходимо установить связь между выбранными геометрическими параметрами описания и экспериментально измеряемыми характеристиками. К. Кондо рассмотрел [10] многообразие М, для которого тензор кручения равен нулю. В этом случае многообразие можно вложить в евклидово пространство большего числа измерений, при этом компоненты вектора перемещения точек многообразия определяют изменение со временем его геометрических характеристик. Соответствующие уравнения для обратимых явлений были получены при помощи вариационного принципа.
В анализе проблемы выбора геометрических параметров для описания эволюции материалов с дефектами структуры необходимо отметить работу В. Л. Бердичевского и Л. И. Седова [18]. Они указали на тот факт, что в отсутствии релятивистских эффектов движение сплошной среды всегда рассматривается наблюдателем в евклидовом трехмерном пространстве и это не связано с выбором геометрической модели, поэтому любые аффинно-метрические объекты, которые используются при моделировании движения сплошной среды, зависят от пространственных координат наблюдателя и времени. Построенный в [18] вариант неевклидовой модели сплошной среды описывает распределение дислокаций и включает известные макроскопические модели пластичности. При этом достаточно ввести девять новых степеней свободы — на три больше, чем в обычной теории пластичности. Необходимо отметить, что в этой работе впервые установлена связь между выбранными геометрическими характеристиками, соответствующими степеням свободы, возникающим при расширении классической модели упругой сплошной среды, и диссипативнои функцией, характеризующей физический процесс необратимого деформирования.
Влияние термомеханического состояния материала при деформировании на его внутреннюю геометрическую структуру исследовалось С. К. Годуновым [2]. Он предложил ввести эффективный метрический тензор, вычисляемый с помощью реологических соотношений через тензор напряжений и температуру среды. В общем случае для этого тензора не выполняются условия совместности, поэтому его можно рассматривать в качестве внутренней геометрической характеристики материала.
Насколько нам известно, проблема построения термомеханической модели сплошной среды, включающей полный набор аффинно-метрических характеристик, что с точки зрения физики соответствует описанию дислокаций, дисклинаций и точечных дефектов, не была решена. Варианты расширения модели упругой сплошной среды с использованием аффинно-метрического подхода, в которых учитываются дислокации или дисклинации, рассматриваются во второй главе диссертации. Построение неевклидовой модели сплошной среды с учетом дислокаций, дисклинаций и точечных дефектов выполнено в третьей главе. Доказана геометрическая замкнутость этой модели при произвольных взаимодействий дефектных структур между собой и полем обратимых деформаций, а также геометрическая замкнутость дислокационной и дисклинационной модели. На основе формализма неравновесной термодинамики показано, что для определения аффинно-метрических характеристик экспериментально достаточно измерить две независимые функции — внутреннюю энергию и диссипативную функцию. Построена геометрически замкнутая минимальная схема неевклидовой модели сплошной среды, включающая дефекты всех указанных выше видов, в которой необходимо задать девять независимых диссипативных источников. Вариант неевклидовой модели сплошной среды, в которой учитываются дисклинационные дефектные структуры, используется нами в четвертой главе для описания полей напряжений вокруг подземных выработок, расположенных на больших глубинах.
Подземная добыча полезных ископаемых практически во всех странах с развитой горно-добывающей промышленностью характеризуется интенсивным увеличением глубины горных работ. Многие горные предприятия ведут работы на глубине более 1000 м. С ростом глубины разработок не только увеличиваются напряжения в горном массиве, но и меняются физико-механические свойства пород. Известно, например, что на больших глубинах керн часто разрушается уже в процессе бурения, а сохранившиеся куски могут самопроизвольно разрушаться на поверхности практически сразу после извлечения из скважины.
В 80-е годы в зарубежной и отечественной научно-технической литературе стали приводиться данные о характере деформирования и разрушения пород вокруг выработок, расположенных на больших глубинах. Авторы [19] описывают некоторые результаты исследований, которые были проведены на различных золотодобывающих рудниках Южной Африки. На этих рудниках золотосодержащую породу часто приходится извлекать с глубины 2000 — 3000 м и вокруг выработок образуется область разрушенной горной породы. Чтобы исследовать картину зонального разрушения были пробурены скважины в направление, перпендикулярное выработке. Перископические наблюдения выявили картину разрушения, которая не укладывалась в известные научные представления о поведении горных пород. Оказываются, что разрушения образуются в дискретных зонах шириной около 1 м, разделенных зонами твердой породы также шириной около 1 ж. В горизонтальном направлении эти зоны простираются до 12 м, а в вертикальном до 5 м. Образование разрушений авторы напрямую связывают с процессом разработки. Они провели наблюдение спустя десять недель после увеличения глубины горной выработки на 2.5 ж и обнаружили значительный рост одной из зон, причем разрушения в породе за этой зоной практически исчезли, так что порода стала твердой.
В работах отечественных исследователей [20 — 26] также отмечается зональный характер разрушения пород вокруг горных выработок. Замерами на реперных станциях при ремонте выработок установлены случаи, когда смещение массива вокруг выработок носит циклический характер, а в массиве обнаруживаются раскрытые трещины, расположенные на значительном удалении от контура выработки. Для проверки эти фактов были проведены исследования характера разрушения пород вокруг выработок на моделях из эквивалентных материалов. Методика предусматривала исследование круглых, штрековых и шарообразных выработок (незакрепленных и закрепленных) в сплошной и трещиноватой среде на плоских и объемных моделях. Разрушения пород контролировали на плоских моделях по фотоснимкам, на объемных — последовательной разборкой модели и фотофиксацией ее отдельных стадий. Эксперименты позволяют сделать вывод, что вокруг выработок возникает зональная дезинтеграция пород в виде чередования сильно раздробленных и слабонарушенных зон. Форма этих зон в пространстве близка к форме выработок, а число и размеры зависят от структуры массива, механических свойств пород и величины напряжений, действующих в массиве. Все модели нагружали в статическом режиме, так что зональная дезинтеграция пород вокруг выработок не является следствием взрывных работ, осуществляемых на практике при проведении выработок.
С математической точки зрения выработку круглого сечения можно рассмотреть в условиях плоской деформации, с заданным на бесконечности напряжением (Too, моделирующим гравитационное поле. Хорошо известно, что в рамках классической упругой модели сплошной среды главное радиальное напряжение агг и угловое напряжение аур имеют экстремальные значения на контуре горной выработки и монотонно стремятся к гидростатическому значению а^ на бесконечности:
По экспериментально наблюдаемое чередование зон разрушения вокруг выработки соответствует возникновению сжатия и разряжения горных пород — это свидетельствует о волнообразном поведении компонент напряжений.
Авторы в работе [27] предложили описывать слабо разрушенные зоны как линейно-упругие, а сильно разрушенные зоны как пластические, для которых выполняется условие пластичности Мизеса. Показано, что при наличии единственной разрушенной области упруго-пластическая задача является статически определимой. Если разрушенных областей несколько, то их расположение не определяется в рамках предложенной модели. Как отмечено в этой работе (с. 129) «для определения внутренних границ требуется объем информации теоретически континуальной мощности».
В [28] предполагается, что так называемый фактор неравновесности (Тгг — а^ (по терминологии [28]) влияет на внутреннюю дефектную структуру массива и, в конечном счете, на его упругие свойства. Связь между упругими характеристиками массива и фактором неравновесности постулируется и при подходящем выборе феноменологических параметров удается описать формирование зональной структуры вокруг выработки.
Во второй и третьей главах мы использовали геометрические характеристики дефектной структуры в качестве внутренних переменных неевклидовой модели. Выбор конкретной функции зависит от типа дефектов, которые рассматриваются. С другой стороны, экспериментальные исследования явления зональной дезинтеграции не позволяют определить тип дефектов, которые вносят основной вклад при формировании зон разрушения вокруг выработки. Тем самым, существует проблема выбора неевклидовой модели, в рамках которой следует анализировать явление зональной дезинтеграции. Однозначного рецепта ее решения нельзя указать, однако, можно воспользоваться принципами построения классической модели упругой сплошной среды. Выше было отмечено, что эта модель построена с позиций требований, которые, безусловно, являются важными элементами силовых и энергетических взаимодействий между частицами упругого тела — геометрической замкнутости модели. Представляется естественным удовлетворить этому требованию при обобщении классической упругой модели для описания явления зональной дезинтеграции. Это требование, заведомо, выполняется, если использовать все характеристики аффинно-метрических пространств. Дополнительное ограничение заключается в том, что число нетривиальных аффиннометрических характеристик должно быть минимальным. Вариант такой геометрически замкнутой неевклидовой модели был построен во второй главе: мы полагали, что тензор кручения и неметричности равны нулю, а дополнительным геометрическим параметром модели является тензор кривизны. Отличие его компонент от нуля означает, что поле упругих деформаций является несовместным и, с физической точки зрения, такая модель допускает существование в среде разрывов сплошности, следовательно, подходит для описания зон разрушенности вокруг выработки.
Мы рассматриваем задачу о распределении напряжений вокруг выработки в условиях плоской деформации. В этом случае, как известно [8], тензор кривизны имеет единственную компоненту, отличную от тождественного нуля. Ее, естественно, называть параметром дефектности среды, тогда области, соответствующие максимальному значению модуля этого параметра следует рассматривать как зоны нарушения сплошности среды — зоны разрушенности массива. Но параметр дефектности имеет кинематическое происхождение, а разрушение вокруг горных выработок происходит на достаточно больших глубинах, то есть когда напряжение в массиве достигает некоторого критического значения. Поэтому проблема описания явления зональной дезинтеграции заключается в том, чтобы связать напряжение, возникающее в массиве, и параметр дефектности среды. С физической точки зрения ясно, что области наибольшего нарушения сплошности среды — области максимума модуля параметра дефектности — должны совпадать с областями, в которых напряжение становится критическим, или выполняется некоторый силовой критерий. Связь между напряжением в массиве и внутренней дефектной структурой отмечается в работе [28], однако, никто из авторов, анализировавших явление зональной дезинтеграции, не вычислял параметр дефектности.
В рамках предложенной нами неевклидовой модели параметр дефектности вычислен в четвертой главе. Здесь получено явное представление для распределения поля напряжений вокруг выработки.
Другой подход, позволяющий расширить модель упругой сплошной среды, использует лагранжев формализм. Для упругой сплошной среды уравнения движения могут быть обычным образом получены из условия экстремальности функционала действия [29]. Более того, изд х дх ?), где €) определяет положение частицы сплошной среды, обладает глобальной симметрией: он инвариантен относительно преобразований €) —?) = дх (£, ?) + т, т — произвольный постоянный вектор, а д — матрица вращений с постоянными элементами. Наборы таких т и д образуют соответственно однородные группы трансляций Т (3) и ?>0(3), а полупростое произведение 50(3) на Т (3) является группой внутренних симметрий и обозначается 50(3) >Т (3).
Как отмечено выше, физический механизм пластических деформаций определяется прежде всего дефектами кристаллической структуры материала. Изучение природы различных типов дефектов показало (см., например, [30]), что их присутствие разрушает исходное состояние идеального упругого тела, нарушая диффеоморфную кинематическую структуру поля смещений. Физически этому соответствует возникновение неоднородного напряженного состояния в материале и нарушение глобальной симметрии: среда разбивается на локально однородные области — элементы структуры, для описания которых необходимо ввести дополнительные степени свободы.
Эвристический рецепт их описания заключается в применении принципа локальной калибровочной инвариантности, часто используемого в квантовой теории поля [31]. В соответствии с ним требуется, чтобы лагранжиан системы среда-дефекты был инвариантным относительно локализованной группы внутренних симметрий, то есть при преобразованиях ?) —> а?'(£, ?) — Ь) -Ь т (£, ?), где элементы группы являются функциями лагранжевых координат? и времени Преобразования такого вида не коммутируют с операторами дифференцирования, которые стоят в лагранжиане Ь. Для сохранения инвариантности лагранжиана относительно действия неоднородной группы 50(3) >Т (3), согласно калибровочному формализму Янга-Миллса [31], необходимо заменить в исходном лагранжиане дхг ¦ дхг классические производные —— = дtxг, -— = д^х на ковариантные оЬ о3 производные И^х — д^х+А^х+ф^, ц = 1,2,3, где Ам = - ма трицы, 0ц = Ь) — векторы, и ввести калибровочный лагранжиан.
Ьд — 1/(1^ ж, О^х). Калибровочные поля фц характеризуют отклонение локальной структуры поля смещений от классической структуры, описываемой диффеоморфизмом.
Для линейной модели теории упругости этот подход был реализован А. Кадичем и Д. Эделеном [32]. В их теории независимыми функциями являются поле деформаций х и калибровочные поля А1и (р^ групп вращений и трансляций, а сплошная среда рассматривается как трехмерное многообразие, вложенное в пространство Минковско-го. Дополнительные степени свободы, описываемые полями Ац, появляются в результате расширения пространства кинематических состояний, в которых может находиться среда. Требование инвариантности лагранжиана системы среда-дефекты относительно локализованной группы внутренних симметрий задает структуру калибровочных преобразований для функций Ац, фц. Динамические уравнения для определения калибровочных полей можно получить с помощью минимального расширения принципа наименьшего действия [31] введением полевого лагранжиана Ьр, инвариантного относительно калибровочных преобразований. Такие инварианты, как известно [31], строятся через тензор кривизны связности и тензор кручения. Структура этих тензоров такая же, как аффинно-метрических объектов в теории К. Кондо и Б.Билби. Следовательно, использование А. Кадичем и Д. Эделеном группы 50(3) >Т (3) позволяет описать сплошную среду с дефектами дислокационного и дисклинационного типа.
В 80-е годы применение калибровочного формализма Янга-Миллса с целью построения новых моделей для макроскопического описания неупругого поведения материалов сложилось в одно из новых направлений механики деформируемого тела. В нашей стране это направление было представлено научной группой института физики им.
Л.В.Киренского СО РАН, г. Красноярск, и Института физики прочности и материаловедения СО РАН, г. Томск.
Авторы [16, 17] расширили калибровочную группу 50(3) оТ (3) до общей аффинной группы 01/(3, Л)>Т (3). Такой выбор позволяет получить калибровочную теорию и точечных, и линейных дефектов. Следует отметить, что красноярская группа использовали идеи и методы калибровочного подхода для описания процессов в неупорядоченных системах [33 — 36].
В работах томской группы много внимания было уделено проблеме физической интерпретации калибровочной теории. Дело в том, что лагранжиан калибровочных полей содержит феноменологические параметры, трудность определения которых заключается в том, что дефекты, моделируемые калибровочными полями, не определяются однозначно внешними воздействиями. В [38, 39] анализировался спектр нормальных колебаний «пластически несжимаемой» среды, описываемой простейшей калибровочной моделью и обнаружено сходство полученных дисперсионных соотношений и дисперсионных соотношений модели Мин длина, учитывающей микроструктуру в линейной теории упругости. Сравнение калибровочной модели упруго-пластической среды с теорией Миндлина и интерпретация неизвестных феноменологических параметров калибровочной теории приведено в [40, 41]. Дальнейшее применение идей теории поля для описания эффектов коллективного поведения дефектов дано в [42]. Теоретические подходы, развитые в работах томской группы, используются в мезомеханике материалов [5] ,[43 — 45] для описания сдвиговых неустойчивостей и связанных с ними дефектных структур в деформируемом твердом теле на различных масштабных уровнях деформации. По мнению В. Е. Панина [45, с.30] «.полевая теория дефектов. наиболее перспективный путь описания коллективных эффектов сдвиговых неустойчивостей в деформируемом твердом теле на мезои макромасштабных уровнях».
Проблема описания структуры материала с дефектами в рамках калибровочного подхода рассматривается в пятой главе. Как известно [32], уравнения калибровочной теории дефектов аналогичны уравнениям Максвелла в электродинамике. Чтобы построить решения, учитывающие специфику процесса деформирования материала с дефектами, приводящего к формированию структур, предлагается воспользоваться следующей простой эвристической идей, основанной на анализе экспериментальных результатов [5]. Структуры, с точки зрения наблюдателя, представляют некоторый набор множеств с границами в виде кривых (в плоском случае) или поверхностей (в пространстве). Поскольку эти границы рассматриваются в евклидовом пространстве, то для них характеристика неевклидовости (тензор калибровочного поля) обращается в нуль. Таким образом, задача описания структур сводится к нахождению нулей тензора калибровочного поля на множестве, размерность которого меньше размерности пространства. Обоснование предлагаемого рецепта описания структур дается на основе лагранжева принципа. Для случая плоской деформации построены решения, отвечающие структурам с нулевой и ненулевой кривизной, процессу рождения и исчезновения структур.
Теперь опишем содержание диссертации. Она состоит из пяти глав.
В первой главе анализируется классическая модель упругой сплошной среды. Это рассмотрение важно с точки зрения проблемы ее расширения для описания материалов с дефектами, поскольку оно позволяет выделить характерные особенности классической модели. В §§ 1−4 в дифференциальной форме дана формулировка условий неизменности свойства евклидовости внутренней геометрии упругой сплошной среды при движении и показано, что классическая модель упругой сплошной среды содержит «скрытые» параметры, характеризующие геометрическую структуру внутренних взаимодействий частиц между собой: тензор Римана, тензор кручения и тензор неме-тричности. Термодинамическая схема получения уравнений упругой сплошной среды приведена в § 5. В § 6 обсуждается проблема «скрытых» параметров модели упругой сплошной среды.
Во второй главе в переменных Эйлера конструируются неевклидовы модели упруго-пластического материала, в которых учитываются дефекты структуры типа дислокаций и дисклинаций. В § 1 рассматриваются неевклидовы свойства классической макроскопической модели идеально упруго-пластического тела. Выше было отмечено, что характеристикой евклидовости является тензор Римана-Кристоффеля. Для этого тензора получено уравнение переноса и показано, что в общем случае его решение, в отличие от случая модели упругой сплошной среды, является нетривиальным. Это означает, что внутренняя геометрическая структура материала, рассматриваемая в рамках указанной выше модели пластичности, является неевклидовой. Для описания свойств неевклидовости необходимо ввести дополнительные параметры. Предлагается две схемы построения неевклидовой модели упруго-пластического материала. Для первой из них дополнительным набором переменных для внутренней энергии, кроме энтропии являются обобщенные дисторсии и тензор кручения, а для второй моделитензор упругой деформации и тензор Римана-Кристоффеля. С микроскопической точки зрения это означает, что мы учитываем дефекты дислокационного и дисклинационного видов соответственно. Общая идея такого расширения модели упругой сплошной среды и возникающие геометрические ограничения рассматривается в § 2. В следующих параграфах приведены уравнения переноса для термодинамических характеристик обоих моделей, а также полная система уравнений движения упруго-пластического материала с дефектами дислокационного и дисклинационного видов. Обобщенные дисторсии в первой модели удовлетворяют уравнению второго порядка по пространственной переменной, поэтому для девяти дисторсий следует сформулировать девять краевых условий. В отличие от первой модели симметричный тензор упругой деформации второй модели удовлетворяет уравнению четвертого порядка, поэтому число независимых краевых условий равно двенадцати. Для формулировки краевых условий в обоих моделях предлагается воспользоваться естественным, с точки зрения физики, требованием: поскольку дефекты не выходят за границу материала, то нормальная компонента вектора потока дефектов должна обращаться в нуль на границе. Это дает необходимое число краевых условий в соответствующих уравнениях. Вычисление вектора потока дефектов для каждой из моделей выполняется в рамках стандартной схемы неравновесной термодинамики.
Третья глава посвящена проблеме построения общей аффинно-метрической модели упруго-пластического материала, содержащего дислокации, дисклинации и точечные дефекты.
Расширяя евклидову геометрическую структуру модели упругой сплошной среды, мы рассматриваем деформируемое твердое тело как некоторое многообразие М в пространстве наблюдателя. Для количественного описания процесса деформирования среды необходимо задать метрическую структуру и структуру аффинной связности. Метрика и связность вводятся независимо. При этом существует две кинематических возможности введения этих структур. В § 1 это делается в рамках подхода, развитого в дифференциальной геометрии: метрическая структура задается через положительно определенную квадратичную форму, вычисляемую на касательных векторах в каждой точке многообразию Маффинная связность Г^ определяет правила параллельного переноса, по которому сопоставляются касательные векторы в бесконечно близких точках многообразия. При этом метрическая связность Г^, вычисляемая по формуле Римана-Кристоффеля, входит аддитивно в аффинную связность, а разность между ними определяется через тензор сегментарной кривизны и тензор кручения. Второй способ введения аффинно-метрической структуры предлагается в § 2 и состоит в том, чтобы рассмотреть ее как решение некоторого дифференциального уравнения. Структура этого уравнения обсуждалась в главе I, § 6: уравнения для метрического тензора и аффинной связности отличаются от соответствующих уравнений в модели упругой сплошной среды наличием дополнительных источников. В этом параграфе доказывается следующее утверждение: система уравнений переноса для коэффициентов аффинной связности и метрического тензора при произвольных источниках для этих функций обладает первым интегралом, который дается соотношением, определяющим связь функций и Г^ в рамках геометрического подхода. При этом не делается никаких предположений относительно структуры этих источников. Это означает, что эволюция упруго-пластического материала не выводит из класса аффинно-метрических моделей, в рамках которых он рассматривается.
Полный набор тензорных аффинно-метрических характеристик и энтропия являются внутренними термодинамическими переменными в модели. Для нее в рамках стандартной схемы неравновесной термодинамики вычислена диссипативная функция и записаны уравнения состояния упруго-пластического материала для класса аффинно-метрических моделей. Краевые условия для аффинно-метрических характеристик следуют из обращения в нуль нормальной компоненты вектора потока дефектов. В ситуации общего положения число краевых условий равно тридцати трем.
В четвертой главе неевклидова модель сплошной среды, учитывающая дефектные структуры дисклинационного вида, используется нами для вычисления поля напряжений и зон разрушения вокруг подземных выработок. Задача рассматривается при малых деформациях и в стационарной постановке. В соответствии с изложенным во второй и третьей главах формализмом необходимо задать внутреннюю энергию среды. Мы полагаем, что она включает упругий вклад и дополнительное слагаемое, соответствующее энергии дефектной структуры и зависящее от параметра дефектности Я. Для простоты дальнейшего анализа зависимость от Я предполагается квадратичной. В этом случае получено уравнение для Я: оно имеет четвертый порядок по пространственной переменной. Краевые условия для него определяются стандартным требованием обращения в нуль нормальной компоненты вектора потока дефектов на границе выработки и сводятся к обнуледЯ нию функции К и производной —— на границе. Построенное решение от для Я является линейной комбинацией функций Неймана, Бесселя и Макдональда. Рассмотрены три силовых критерия нарушения сплошности среды — условие Треска, Мизеса и Д. Д. Ивлева. Показано, что области максимума параметра дефектности совпадают с областями максимумов функций, соответствующих выбранным критериям. Эти области следует отождествить как раз с зонами разрушенности, которые повторяют форму выработок и располагаются почти равномерно.
Применение калибровочного формализма для описания структур в сплошной среде дается в пятой главе. Предложена постановка задачи определения положения границ областей неоднородного деформирования, которые могут возникать в материале: она сводится к нахождению нулей тензоров калибровочного поля на множестве меньшей размерности, чем размерность пространства. Для плоского случая рассматривается редукция соответствующей задачи за счет выбора параметризации функционала и краевых условийполучены уравнения для тензора поля. В рамках предложенной постановки задачи построены решения, соответствующие структурам с нулевой и ненулевой кривизны, а также решения, описывающие процесс рождения и исчезновения структур. В последнем параграфе выполнен анализ дис-сипативных свойств калибровочной модели сплошной среды, получено представление для диссипативной функции и источников диссипации.
Материалы диссертации опубликованы в [58 — 79]. Результаты, представленные в совместных с академиком В. П. Мясниковым работах [58 — 63], [67, 71, 72, 75, 76, 78, 79], получены на паритетных началах. В [73, 74] автор участвовал в выборе постановки задачи (совместно с В.В.Макаровым) для модели, предложенной академиком В. П. Мясниковым [3], и построил аналитическое решение задачи. В работе [65] автор предложил постановку задачи и метод получения решений для структур различной кривизны.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В диссертации получены следующие результаты.
1. Дана формулировка основных кинематических гипотез классической теории упругости в виде решений однородных уравнений переноса. На основе этих уравнений переноса доказано свойство геометрической замкнутости этой теории и показано, что механическая модель классической теории упругости содержит «скрытые» термодинамические параметры, характеризующие геометрическую структуру внутренних взаимодействий частиц между собой. Эти параметры в классической теории равны нулю, что связано с гипотезой о совпадении внутренней геометрии материала с геометрией евклидова пространства наблюдателя. При отказе от этой гипотезы «скрытые» параметры становятся отличными от нуля и допускают естественную интерпретацию как геометрические объекты аффинно-метрических пространств. Предложен способ построения уравнений переноса для аффинно-метрических характеристик путем введения источника в уравнения для «скрытых» параметров классической теории.
2. На основе уравнения переноса для тензора кривизны показано, что внутренняя геометрическая структура классической модели идеально упруго-пластического тела является неевклидовой и определяется характером процесса диссипации. Построены неевклидовы модели термомеханического поведения сплошной среды с непрерывно распределенными дислокациями или дисклинациями, вычислены потоки дефектов, дана постановка краевых задач. Показано, что в случае малых упругих деформаций и отсутствия дефектов классическая модель идеально упруго-пластического тела является предельным случаем построенных неевклидовых моделей при определенном выборе параметризации внутренней энергии. Учет вклада дефектов в диссипацию позволяет описать трансляционный перенос поверхности текучести в пространстве напряжений, приводящий к возникновению упрочнения материала.
3. Предложен новый класс моделей упруго-пластических материалов, построенных на основе предположения об аффинно-метрической геометрической структуре внутренних взаимодействий между частицами сплошной среды. Доказано, что он является геометрически замкнутым и описывает эволюцию дислокаций, дисклинаций и точечных дефектов в деформируемом материале, взаимодействие их между собой и с полем обратимых деформаций. С помощью формализма неравновесной термодинамики вычислены потоки дефектов и сформулированы краевые условия для аффинно-метрических объектов. Построен вариант геометрически замкнутой неевклидовой модели, в которой число функций, определяющих эволюцию полного набора аффинно-метрических характеристик является минимальным. Доказано, что неевклидовы модели термомеханического поведения сплошной среды с непрерывно распределенными дислокациями или дисклинациями также геометрически замкнуты.
4. В рамках римановой модели сплошной среды выполнен анализ напряженно-деформированного состояния горных пород вокруг подземной выработки. Получены аналитические выражения для компонент поля наряжений и функции несовместности деформаций. Показано, что зоны разрушения вокруг выработки соответствуют тем областям массива, в которых функция несовместности достигает максимального значения и выполняется силовой критерий нарушения сплошности горной породы.
5. Для калибровочной модели сплошной среды, содержащей дислокации, предложена физически осмысленная постановка задачи, которая сводится к построению структур, определяемых требованием обращения в нуль тензора калибровочного поля, причем размерность этих структур меньше, чем размерность пространства. Для плоского случая указана редукция лагранжиана, соответствующая данной постановке и построены решения, отвечающие структурам различной кривизны. При условии чистой калибровки для одного из компенсирующих полей проведен анализ модели в рамках стандартного формализма неравновесной термодинамики. Показано, что краевые условия для вариационной задачи соответствуют требованию обращения в нуль нормальной компоненты вектора плотности потока дефектов, а выбор полевого лагранжиана определяет диссипативную функцию.
