Разрывные решения задач нелинейной теории упругих дислокаций

В настоящее время дислокационные модели используются для теоретического описания многих явлений на макрои микроуровнях. Теория дислокаций применяется для объяснения как физических так и химических явлений и процессов, например, неупругость, внутреннее трение, пластическое течение, хрупкость, усталость, разрушение, рост кристаллов, поверхностный катализ, диффузия и химические реакции в кристаллах, время жизни носителей в полупроводниках, коэрцитивная сила в магнетиках, электрическая прочность диэлектриков и т. д. Дислокационные представления используются для создания различных макроскопических моделей поведения твердого тела, например, для построения определяющих соотношений упруго-пластических тел [6].

В работе [15], посвященной укладке ДНК в хромосомах, показано, что процесс расщепления хромосомы при делении клетки связан с движением винтовых дислокаций.

Активно развивается в последние годы и теория дисклинаций (поворотных дислокаций), возможность существования которых в конденсированных средах длительное время игнорировалось. В работах М. Kleman, J.F. Sadoc [105, 106], В. А. Лихачева [48], N. Rivier, D.M. Duffy, [119], J. P. Sethna, N.D. Mermin, D.C. Wright [122], D.R. Neilson [115], посвященных исследованию структуры и свойств аморфных тел, авторы развивают подходы, связывающие топологический беспорядок в аморфных телах с наличием характерных элементов структуры — дисклинаций. Дисклинации разбивают аморфное тело на области, в которых в значительной степени сохраняется кристаллический порядок.

Дисклинационый подход применяется для изучения жидких кристаллов, а также таких биологических структур, как белковые полимеры [84], конденсационные пленки белка [63], нематоидне структуры кожи человека [104], древесина [107, 108].

Обычно дисклинации используются для описания структуры и свойств трехмерных объектов, однако уже в самый начальный период развития дисклинационного подхода была рассмотрена возможность появления дис-клинаций в двумерных кристаллах [114], что было инициировано наблюдениями особенностей структуры вирусов и биологических мембран [97].

Дисклинационная теория используется для исследования тонких графитовых трубок. Так, в работе [42] обсуждаются возможности применения' дисклинационного подхода при описании структуры и свойств фуллеренов используются положительные клиновые дисклинации мощности 7г/3. ' Существуют различные способы теоретического описания дислокаций в кристаллах. Среди них: модели Френкеля-Конторовой и Пайерлса [59, 68], ^ континуальная теория дефектов [8, 47, 57, 58, 77], калибровочная теория дислокаций и дисклинаций [28] и др. Важнейшей частью используемого при этом математического аппарата является теория упругих дислокаций (дислокаций Вольтерра), созданная в работах В. Вольтерра [126] и А. Лява [52] и основанная на линейной теории упругости.

Упругим моделям дислокаций и дисклинаций посвящены книги Р. де Вита [8], A.M. Косевича. 43], К. Теодосиу [65] и др. Несмотря на весьма широкую область применимости линейных моделей, в теории упругих дислокаций существует целый ряд проблем, требующих учета нелинейных эффектов.

Прежде всего, следует упомянуть тот факт, что вблизи оси дефекта деформации и напряжения, вычисляемые в линейной теории упругости, неограниченно возрастают, так что гипотезы линейной теории в этой области перестают быть применимыми. Кроме того, бесконечной является и энергия ядра дислокации, вычисляемая на основе линейной теории упругости. Возможность устранения сингулярности полей напряжений и энергии на оси дефекта в рамках нелинейной теории была впервые доказана Л. М. Зубовым (1986).

Другие причины, обуславливающие актуальность привлечения методов нелинейной теории упругости к теории дислокаций связаны, во-первых, с необходимость решать задачи о равновесии и устойчивости тел, содержащих дефекты и испытывающих конечные деформации, а во-вторых, с моделированием ситуаций, когда величины характеристик дефектов (векторов Бюргерса, Франка) не являются малыми. Последний случай, например, связан с нано-механикой дисклинационных структур.

Решению различных задач о дислокациях в нелинейно-упругих телах посвящены работы 3. Веселовски, Б. К. Д. Гэролы, А. Зегера, A.A. Зеленина, JI. М. Зубова, М. И. Карякина, 3. Кнесла, А. М. Косевича, В. А. Стрельцова, К. Теодосиу, В. В. Токия, Ф. Цемелы, В. Т. Шматова и др. Точные решения таких задач найдены лишь в исключительных случаяхв основном это относится к несжимаемым материалам [19, 23]. Для сжимаемых материалов известны только два точные решения в задачах о клиновой дисклинации — для полулинейного материала [21] и упрощенного варианта материала Блейтца и Ко [29]. В работе [12] построено аналитическое представление для решения задачи о краевой дислокации с использованием потенциалов для полулинейного материала.

Общепризнанно влияние, которое оказывает структура ядра дислокации — области, тесно примыкающей к ее оси, где линейная теория упругости неприменима — на многие физически важные характеристики, среди которых скорость движения дислокаций, зависимость предела текучести от температуры, эффект аннигиляции позитронов и т. д. [85, 123].

Одной из важных задач физики дислокаций, поэтому, является моделирование процессов, протекающих в ядре дефекта, а также выяснение его структуры области. Использованные для такого моделирования методы молекулярной динамики показали, в частности, что одним из вариантов этой структуры может быть полость. Существуют различные «упругие» модели ядра — полость, полость с жидкостью, модель линейного расширения, включение другой фазы и т. д. [45, 46, 68, 123]. Для создания модели, учитывающей нелинейно-упругие свойства среды, необходим анализ поведения упругих полей дислокации вблизи её оси.

Возможность описания порообразования на оси дислокации в рамках континуального подхода на основе нелинейной теории упругости была впервые продемонстрирована М. И. Карякиным (1988).

Поскольку окрестность оси дефекта представляет собой область высокой концентрации напряжений, учет эффектов микроструктуры при ее изучении в рамках континуальной механики представляется весьма актуальным. Еще одним фактором, свидетельствующим об актуальности учета микроструктуры в теории упругих дислокаций, является использование этой теории при описании нано-объектов [82]. Простейшим способом учета структуры в рамках теории упругости является использование модели среды с моментыми напряжениями.

В работе [81] братья Эжен и Франсуа Коссера описали модель сплошной среды, каждая точка которой обладает шестью степенями свободы, как у твердого тела. Наряду с обычным полем напряжений в микрополярной среде присутствуют также и моментные напряжения. Механика микрополярной среды (континуума Коссера) получила значительное развитие в основополагающих работах Э. Л. Аэро и Е. В. Кувшинского [4], В. И. Ерофеева [13], П. А. Жилина [16], В. Т. Койтера [41], В. Новацкого [116], В.А. Паль-мова [56], Р. А. Тупина [67], Л. И. Шкутина [72], К. Эрингена [76].

Модель микрополярной среды (континуума Коссера) нашла значительные приложения в механике твердого тела и жидкости. Например, она использовалась для исследования и описания жидких кристаллов Э. Л. Аэро [2], Дж. Эриксеном [75]. На основе теории континуума Коссера в работах Э. Л. Аэро [3] и К. Эрингена [88] были построены модели микрополярных жидкостей. Кроме того, идеи Коссера получили значительное развитие в. теории пластин, оболочек и стержней, а так же нашли применение при решении прикладных задач по моделированию гранулированных и сыпучих сред, композитов, геоматериалов, нано-структур.

Некоторые вопросы механики деформируемого твердого тела с применением теории микрополярной среды были решены учеными ростовской школы — Л. М. Зубовым, В. А. Еремеевым, М. И. Карякиным, А. А. Зелениной, Д. Н. Шейдаковым [11, 17, 20, 70, 71].

Понятие кавитации (образование полости) обычно применяют в теории жидких сред. Однако, ряд экспериментальных и теоретических работ показал [78, 92, 93, 125], что зарождение полостей и, возможно, последующее их развитие характерно и для твердых тел.

Явление кавитации и роста полости в резиноподобных материалах наблюдалось уже достаточно давно. В работах A.N. Gent и P.B. Lindley [93], M.L. Williams и R.A. Schapery, [127] экспериментально было показано, что в резиновых образцах, подверженных трехосному напряженному состоянию возникают полости. С ростом нагрузки полости растут вплоть до полного разрыва образца. Позднее это явление было подтверждено экспериментальными изучениями [83, 103].

Теоретические решения с полостью в [78, 124] называют разрывными. J.M. Ball [78] предложил математический анализ условий устойчивости для случая сферической полости при гидростатической нагрузке. Он показал, что для некоторого класса определяющих соотношений существует бифуркационное решение, которое соответствует образованию полости. Для неогуковского материала теоретическое значение критического напряжения, соответствующее кавитации, совпало с экспериментальными результатами работы [93]. Альтернативное объяснение кавитации, такое как рост полости с изначально нулевым радиусом, было дано в [98]. Вопросам порообразования посвящены также более поздние работы [99], [103]. В работах [53, 86] при моделировании кристаллических дисклинаций методами молекулярной динамики установлено, что ядро дисклинации может выступать как сток, на котором при достижении критической концентрации вакансий зарождается пора.

Из приведенного краткого обзора следует, что анализ решений задач нелинейной теории упругости, описывающих образование полости вокруг оси изолированного дефекта, в том числе на основе использования модели среды Коссера, является важной актуальной задачей современной механики сплошной среды.

Цель работы состоит в изучении возможности порообразования на оси нелинейно-упругого цилиндра, содержащего изолированный дефект (типа клиновой дисклинации или винтовой дислокации), определении ограничений на функцию удельной потенциальной энергии материала, допускающей образование полости, определение зависимости радиуса образующейся полости от параметров дефекта, исследование влияния учета моментных напряжений на возможность образования полостей.

Содержание работы изложено в трёх главах.

В первой главе, на примере задач о клиновой дисклинации и винтовой дислокации, показано, что учет физической и геометрической нелинейности в задачах о равновесии упругого тела, содержащего изолированный дефект, может приводить к качественно новым результатам по сравнению с линейной теорией. Одним из таких результатов является возможность существования разрывного решения, описывающего образование полости в сплошном теле вдоль оси дефекта. Сформулировано интегральное соотношение, служащее как для анализа возможности существования разрывного решения, так и для определения зависимости радиуса образующейся полости от характеристик дефекта. Для конкретных семейств нелинейно-упругих потенциалов определены интервалы изменения параметров материала, при которых существует разрывное решение, и проведены расчеты параметров образующихся полостей.

Вторая глава посвящена учету микроструктуры материала в задачах о равновесии нелинейно-упругих тел с клиновой дисклинацией. В ней содержатся основные сведения о континууме Коссера, определяющих соотношениях и уравнениях равновесия для этой среды. Приводятся результаты решения ряда задач о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией. Изучено влияние учета моментных напряжений на возможность порообразования вокруг оси нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией с использованием различных моделей нелинейной теории упругости.

В третьей главе рассматриваются задачи о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с винтовой дислокацией в рамках механики континуума Коссера. В случае несжимаемого псевдоконтинуума Коссера выявлены условия для определяющего соотношения, при которых возможно образование полости. Для различных моделей материалов численно исследовано влияние характеристик сред Коссера на образование полости.

По теме диссертации опубликовано 13 работ [30]-[40], [60], [61], в том числе две статьи [31] и [40] в журналах «Прикладная механика и техническая физика», 1995, «Вестник Южного Научного Центра РАН», 2008, которые входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ. В работах [30], [31] Карякину М. И. принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения, Пустоваловой О. Г. принадлежат решение краевых задач о напряженно-деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра, получение уравнения для определения потенциального радиуса полости, разработка и реализация численного метода, численные результаты. В работе [32] Карякину М. И. принадлежит постановка задачи и рекомендации по выбору метода решения, результаты для материала Блейтца и Ко, Пустоваловой О. Г. принадлежат результаты, полученные для несжимаемых материалов, Резниченко A.A. принадлежат результаты для полулинейного материала. В работах [33], [34]-[39] Карякину М. И. принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения, Пустоваловой О. Г. принадлежат решение краевых задач, разработка и реализация численного метода, численные результаты. В работе [40] Карякину М. И. принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения, результаты для задач с учетом поверхностного натяжения и результаты задач для сжимаемых материалов, Пустоваловой О. Г. принадлежат результаты задач для несжимаемых материалов в среде псевдоконтинуума Коссера.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доценту кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ Михаилу Игоревичу Карякину за внимание и большую помощь в работе.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему.

1. В рамках нелинейной теории упругости для несжимаемых сред сформулировано уравнение для определения радиуса полости, которая может образовываться вокруг оси клиновой дисклинации или винтовой дислокации.

2. Получены необходимые условия возникновения полости в виде предельных соотношений для функции удельной потенциальной энергии.

3. Показано, что состояние с полостью (в случае ее существования) является энергетически более выгодным.

4. Установлено, что для клиновой дисклинации учет микроструктуры материала на основе использования континуума Коссера не влияет на образование полости и ее геометрические характеристики.

5. Для несжимаемого нелинейно-упругого континуума Коссера показано, что для винтовой дислокации влияние учета микроструктуры не является однозначным. Как правило, этот учет приводит к уменьшению радиуса полости вплоть до полного ее устранения. В то же время существуют модели материалов и диапазоны материальных и геометрических параметров, когда радиус полости в среде Коссера превосходит аналогичное значение классической теории упругости.

Заключение

.