Некорректная задача продолжения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием

Главная цель науки — описание и предсказание. Наблюдая некоторые явления, мы хотим знать, как описать то, что мы видим в настоящий момент, и как определить что произойдет в дальнейшем. Детальное изучение окружающего мира вынуждает нас, хотим мы этого или нет, принять во внимание тот факт, что скорость процессов в физических системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от предыстории этих процессов. Так возникает отклонение аргумента. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе, проблем долгосрочного прогнозирования в экономике, ряда биофизических проблем и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно расширяется.

Систематическое изучение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом было начато в середине прошлого века в нашей стране А. Д. Мышкисом [63,64] и в США Р. Беллмаиом [5, 104]. С тех нор актуальность приложений, сложность и новизна проблем привлекли и продолжают привлекать к функционально-дифференциальным уравнениям многочисленных исследователей. Этапы создания теории функционально-дифференциальных уравнений нашли отражение в монографиях Н. В. Азбелева, В. П. Максимова, Л. Ф. Рахматуллиной, П. М. Симонова [1,2], Р. Беллмана, K.JI. Кука [5], A.B. Кима, В. Г. Пименова [36], H.H. Красовского [43], В. Б. Колмаиовского, В. Р. Носова [40], Ю. А. Митропольского, Д. И. Мартышока [58], А. Д. Мышкиса [63], С. Н. Шиманова [100], Л. Э. Эльсгольца, С. Б. Норкина [102], A. Halanay [117], J.K. Hale, S.M.V. Lunel [94,119], J. Wu [135]. Чрезвычайно плодотворной оказалась концепция функционального пространства состояний H.H. Красовского. Она позволла связать теорию функционально-дифференциальных уравнений с теорией дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [47, 95]. На ее основе был достигнут большой прогресс в развитии качественной теории функционально-дифференциальных уравнений и теории управления [37,39,40,42−46,48,50,57,58,65−67,93,94,100,101,114,124].

Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом хорошо изучена задача Коши па положительной полуоси. Получены условия обеспечивающие непрерывную зависимость решений от начальных функций, т. е. корректность задачи Коши [5,94]. Задача Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом па отрицательной полуоси тесно связана с задачей Коши для дифференциальных уравнений с опережающим аргументом на положительной полуоси. Условия существования решений последней задачи имеют сложный вид и не гарантируют непрерывной зависимости решений от начальных функций [63]. Для автономных линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенными запаздываниями задача Коши на отрицательной полуоси имеет решение, если оператор, определяющий правую часть уравнения, обратим, начальная функция бесконечно дифференцируема и удовлетворяет счетному набору краевых условий [5]. Если ограничиться классом решений, допускающих экспоненциальную оценку на отрицательной полуоси с заданным показателем экспоненты, то рассматриваемое множество является линейной комбинацией конечного na6op? i экспоненциальных решений, т. е. линейным конечномерным пространством [63]. Последний результат обобщался на неавтономные линейные уравнения с запаздывающими аргументами [10,22,28,52]. Решения, иродолжимые на отрицательную полуось, называются двусторонними [102]. Задача нахождения двусторонних решений изучалась в работах [71,74−76,90,102,105,106,109,111−113,116,129,130,132,133]. Условия существования решений задачи Коши на конечном отрезке отрицательной полуоси исследовалась, а работах [32,71,72,118,120,121,125,128]. Задача Коши на отрицательной полуоси относится к классу обратных задач для дифференциальных уравнений [7]. Многие обратные задачи сводятся к решению операторных уравнений. Одной из характерных особенностей обратных задач математической физики является их некорректность в паиболее естественных с точки зрения приложений функциональных пространствах. В теории управления изучается обратная задача восстановления управления в динамической системе [6,12,15,49,54]. При решении обратных задач для дифференциальных уравнений используются методы теории некорректных задач [13,29,51,89].

В работе [20] некорректная задача нахождения решения неавтономного линейного уравнения с запаздыванием на отрезке отрицательной полуоси заменяется нахождением решения операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве. Для решения полученной задачи использовался метод регуляризации А. Н. Тихонова. Показано, что минимизирующий элемент определяется решением сингулярной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [19] для автономного линейного уравнения с запаздыванием предложен метод нахождения асимптотики для минимизирующего элемента. В настоящей работе продолжаются исследования, начатые в работах [19,20]. Строится асимптотическое регуляризованное решение дифференциального уравнения с запаздыванием на конечном отрезке отрицательной полуоси. При построении указанного решения используется процедура метода шагов, на каждом шаге которой решается некорректная задача для операторного уравнения первого рода. Задача нахождения минимизирующего элемента метода регуляризации А. И. Тихонова сводится к задаче нахождения решения сингулярной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении последней задачи используются асимптотические методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений [11,30,31,70,88,91].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый ' из них — номер главы, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 108 страниц машинописного текста.

1. Азбелев Н. И., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютерных исслед., 2002.

2. Азбелев Н. И., Симонов П. М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Пзд-во Пермского ун-та, 2001.

3. Азбелев Н. И., Максимов В. П., Худяков В. П. К вопросу о регуляризируемости уравнений // Краевые задачи. Пермь: Изд-во Пермского политехи, ин-та. 1984. С. 3−8.

4. Бекларян Л. А., Шльулъян М. Г. О полноте решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом мажорируемых экспоненциальными функциями // Докл. РАН. 1995. Т. 341. № б. С. 21−27.

5. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

6. Близорукова М. С., Максимов В. И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Изв. РАН. ТиСУ. 1998. № 2. С. 56−61.

7. Бухгейм А. Л. Уравнение Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.

9. Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

10. Валеев К. Г., Кулеско H.A. О консчнопараметрическом семействе решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. 1968. Т. 20. № 6. С. 739−749.

11. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

12. Васильева Е. В., Максимов В. И. О динамической реконструкции управления в дифференциальном уравнении с памятью // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. JY2 6. С. 803−814.

13. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ Наука, 1993.

14. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

15. Гусев М. И., Курснсанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем // Механика и научно-технический прогресс. 1987. Т. 1. С. 187−195.

16. Данилкин A.A. Оленьи (Cervidae). М.: ГЕОС, 1999.

17. Доклад о состоянии и охране окружающей среды Вологодской области в 2006 году / Правительство Вологодской области, Департамент природных ресурсов и охраны окружающей среды Вологодской области. Вологда. 2007. 222 с.

18. Доклад о состоянии и охране окружающей среды Вологодской области в 2008 году / Правительство Вологодской области, Департамент природных ресурсов и охраны окружающей среды Вологодской области. Вологда. 2009. 232 с.

19. Долгий Ю. Ф. Асимптотические решения дифференциальных уравнений запаздывающего типа с обратным временем // Тез. докл. Всероссийской науч. конф. «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач». Екатеринбург. 1998. с. 82.

20. Долгий Ю. Ф., Путилова E.II. Продолжение назад решений линейного дифференциального уравнения с запаздыванием как некорректная задача // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 8. С. 1317−1323.

21. Долгий Ю. Ф., Сурков П. Г. Асимптотика регуляризованиых решений линейной автономной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Проблемы динамического управления: Сб. науч. тр. фак. ВМиК МГУ пм. М. В Ломоносова. 2007. Вып. 2. С. 71−99.

22. Долгий Ю. Ф., Сурков П. Г. Асимптотика рсгулярнзованных решений линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений с опережением // Дифференц. уравнения. 2010. Т.46. № 4. С. 467−485.

23. Долгий Ю. Ф., Сурков П. Г. Некорректная задача восстановления численности популяции в математической модели Хатчинсона // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т.17. № 1. С. 70−84.

24. Долгий Ю. Ф., Сурков П. Г. Некорректная задача Коши для дифференциальных уравнений запаздывающего типа с обратным временем // Тез. докл. Международной конф. «Дифференц. уравнения, теория функций и приложения». Новосибирск. 2007. С. 138−139.

25. Захаров A.A. Численное исследование системы уравнений Колесова, моделирующих задачу «хищник-жертва» с учетом давления хищника на жертву и его миграции за границу ареала обитания // Дифференц. уравнения и их применение. Вильнюс. 1981. Вып. 29. С. 9−26.

26. Захаров A.A., Рысина Н. В. Динамика численности вида, обитающего в неоднородной среде и имеющего неоднородный коэффициент линейного роста // Межвуз. тематический сб. Исслсд. по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1982. С. 55−65.

27. Звсркин A.M. О полноте системы решений типа Флоке для уравнения с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. № 3. С. 474−478.

28. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

29. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений кравевых задач. М.: Наука, 1989.

30. Ильин A.M., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009.

31. Каменский Г. А. Об обратном операторе для оператора сдвига по траекториям уравнений с запаздыванием // Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. 1975. Т. 9. С. 87−92.

32. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

33. Като Т. Теория возмущеий линейных опреаторов. М.: Мир, 1972.

34. Кащенко С. А. Циклические риски и системы с запаздыванием //В кн. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика. М.: Наука, 2000.

35. Ким A.B., Пименов В. Р. г-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.- Ижевск: НИУ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.

36. Клейменов А. Ф., Шиманов С. Н. К вопросу о существовании и построении периодических решений систем с запаздыванием, близким к системам Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. jY° 7. С. 1199−1211.

37. Колесов А. Ю., Колесов Ю. С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Тр. мат. ин-та В. А. Стеклова. 1993. Т. 199. с. 123.

38. Колесов Ю. С., Швитра Д. И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979.

39. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

40. Колмогоров А. Н. Качественное изучение математических моделей популяций // Проблемы кибернетики. 1972. Вып. 25. с. 100−106.

41. Красносельский М. А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1966. Т. 21. № 3. С. 53−74.

42. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

43. Красовский H.H. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 4. С. 716−724.

44. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

45. Красовский H.H., Осипов Ю. С. Линейные дифференциально-разностные игры // ДАН СССР. 1971. Т. 197. № 5. С. 1022−1025.

46. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

47. Кряжимский A.B. Дифференциально-разностная игра уклонения от функциональной цели // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. № 4. С. 71−79.

48. Кряжимский A.B., Осипов Ю. С. Обратные задачи и управляемые модели // ¡-Механика и науч.-техн. прогресс. Общая и прикл. механика. 1987. Т. 1. С. 196−211.

49. Куржанский A.B. Дифференциальные игры сближения в системах с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. JY" 8. С. 1398−1409.

50. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1962.

51. Леонтьев А. Ф. Решение обобщённого уравнения свёртки // Изв. АН СССР. Сер. математика. 1979. Т 43. № 2. С. 342−366.

52. Лэк Д. Численность животных и её регуляция в природе. М.: ИЛ, 1957.

53. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2000.

54. Марчук Г. PI. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и экс-пирименты. М.: Наука, 1991.

55. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

56. Миркушин Е. М., Шиманов С. Н. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для уравнения с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. № 8. С. 1018−1026.

57. Митрополъский Ю. А., Мартынюк Д. И. Лекции по теории колебаний систем с последействием. Киев: Ин-т математики. АН УССР. 1969.

58. Муровцев А. Н. Двусторонние решения линейных неавтономных однородных дифференциально-функциональных уравнений // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1345−1352.

59. Муровцев А. Н. Двусторонние решения нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами // Изв. вузов. Математика. 1991. JY8 12. С. 30−33.

60. Муровцев А. Н. Решения неавтономного нелинейного дифференциально-функционального уравнения, представимые рядами экспонент // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 7. С. 992−994.

61. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.

62. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

63. Колмогоров А. Н. Качественное изучение математических моделей популяций // Проблемы кибернетики. 1972. Вып. 25. с. 100−106.

64. Красносельский М. А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1966. Т. 21. JVa 3. С. 53−74.

65. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

66. Красовский H.H. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 4. С. 716−724.

67. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

68. Красовский H.H., Осипов Ю. С. Линейные дифференциально-разностные игры // ДАН СССР. 1971. Т. 197. № 5. С. 1022−1025.

69. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

70. Кряжимский A.B. Дифференциально-разностная игра уклонения от функциональной цели // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. № 4. С. 71−79.

71. Кряжимскгш A.B., Осипов Ю. С. Обратные задачи и управляемые модели // Механика и науч.-техн. прогресс. Общая и прикл. механика. 1987. Т. 1. С. 196−211.

72. Куржанский А. Б. Дифференциальные игры сближения в системах с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 8. С. 1398−1409.

73. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1962.

74. Леонтьев А. Ф. Решение обобщённого уравнения свёртки // Изв. АН СССР. Сер. математика. 1979. Т 43. № 2. С. 342−366.

75. Лэк Д. Численность животных и её регуляция в природе. М.: ИЛ, 1957.

76. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2000.

77. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и экс-пирименты. М.: Наука, 1991.

78. Марри Док. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

79. Миркушин Е. М., Шилшнов С. Н. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для уравнения с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. № 8. С. 1018−1026.

80. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Лекции по теории колебаний систем с последействием. Киев: Ин-т математики. АН УССР. 1969.

81. Муровцев А. Н. Двусторонние решения линейных неавтономных однородных дифференциально-функциональных уравнений // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1345−1352. ' ^.

82. Муровцев А. Н. Двусторонние решения нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами // Изв. вузов. Математика. 1991. № 12. С. 30−33.

83. Муровцев А. Н. Решения неавтономного нелинейного дифференциально-функционального уравнения, представимые рядами экспонент // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 7. С. 992−994.

84. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.63.