Применение статистических методов для анализа эффективности экономических показателей предприятия

Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ Высшего профессионального образования Северо-Кавказский государственный технический университет ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Тема Применение статистических методов для анализа эффективности экономических показателей предприятия Студента Внукова Александра Александровича Специальности «Прикладная математика»

Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ Высшего профессионального образования Северо-Кавказский государственный технический университет Факультет информационных технологий и телекоммуникаций _____

РЕЦЕНЗИЯ

Дипломная работа Внукова А. А. посвящена обработке конкретных экономических показателей предприятия средствами прикладной математики. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Во введении раскрываются основные понятия дипломной работы.

В первой главе была построена многофакторная корреляционно-регрессионная модель доходности предприятия. Анализ выполнен грамотно по всем правилам.

Во второй главе сделано прогнозирование модели доходности предприятия на основе временных рядов. Эта глава имеет самостоятельное значение, так как в экономике все еще редко применяются комплекснозначные модели, поэтому интересен опыт применения этой теории в таком локальном варианте для деятельности конкретного предприятия.

В заключении кратко перечисляются самостоятельно полученные автором дипломной работы результаты.

В приложениях приводятся таблицы, результаты вычислений для различных параметров поставленных задач.

В работе рассмотрен и проанализирован достаточный фактический материал, грамотно применены теоретические знания и практические навыки, полученные студентом в ходе обучения по специальности, самостоятельно проведен анализ динамики экономических показателей конкретного предприятия, получены интересные с практической точки зрения результаты.

Работа выполнена в соответствии с требованиями, предъявляемыми к дипломным работам по специальности «Прикладная математика», заслуживает оценки «отлично», а ее автор достоен присвоения квалификации «Математик — инженер».

" «2011 г. Подпись рецензента

Примечание: Рецензия должна содержать: заключения об актуальности темы; о степени соответствия выполненного проекта (работы) заданию; характеристику каждого раздела проекта и степени использования дипломником последних достижений науки и техники; оценку качества расчетно-пояснительной записки и графической части; перечень положительных качеств проекта и основных недостатков, критические замечания, предлагаемую оценку дипломного проекта (работы) и заключение о возможности присвоения студенту квалификации дипломированного специалиста (инженера) соответствующей специальности.

ОТЗЫВ

о работе студента Внукова Александра Александровича группы ПМ-061 над дипломной работой на тему: Применение статистических методов для оценки эффективности экономических показателей предприятия.

Руководитель работы (звание, ф., и., о.)

к. ф.-м. н., доцент кафедры ПМ и КТ Амироков Станислав Рауфович

I. Характеристика работы студента над составлением технической записи (самостоятельность, инициатива и настойчивость в работе, использование отечественной и зарубежной литературы, элементы исследования в работе, теоретическая и практическая подготовка) В процессе выполнения дипломной работы студент проявил инициативность и самостоятельность, показал неплохую теоретическую подготовку, некоторые навыки исследовательской работы, хорошее владение современными компьютерными технологиями, ознакомился с достаточно широким перечнем литературных источников, что расширило его общеобразовательный и научный кругозор.

II. Характеристика работы студента над графической частью и оформление проекта Оформление расчетно-пояснительной записки, рисунки и графики, приведенные таблицы выполнены аккуратно и грамотно.

III. Соответствие объема выполненной работы с дипломным заданием Объем выполненной работы соответствует заданию. Работа содержит введение, две главы, заключение, список литературы и приложение.

Во введении обосновывается актуальность темы.

В первой главе была построена многофакторная корреляционно-регрессионная модель доходности предприятия.

Во второй главе сделано прогнозирование модели доходности предприятия на основе временных рядов.

Первая и вторая главы содержат самостоятельно полученные результаты дипломной работы.

IV. Оценка работы студента Дипломная работа ВНУКОВА А.А. соответствует всем требованиям, предъявляемым к дипломным работам по специальности «прикладная математика», содержит достаточный объем самостоятельно выполненных исследований. Работа может быть оценена оценкой «хорошо», а ее автор заслуживает присвоения квалификации «математик — инженер».

Руководитель работы

1. МНОГОФАКТОРНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННО — РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ДОХОДНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ

1.1 Построение модели

1.2 Оценка параметров функции регрессии

1.3 Регрессионный анализ модели

1.4 Корреляционный анализ тесноты между факторами

1.5 Анализ тесноты взаимосвязи факторов (х) с зависимой переменной (у)

1.6 Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии

1.7 Анализ факторов на управляемость

1.8 Исследование целесообразности исключения факторов из модели с помощью коэффициента детерминации

1.9 Экономическая интерпретация построенной модели и прогнозирование результатов

2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МОДЕЛИ ДОХОДНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ НА ОСНОВЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

2.1 Постановка цели и задачей исследования модели доходности

2.2 Логический отбор видов аппроксимирующей функции

2.3 Подбор аппроксимирующей кривой

2.4 Оценка параметров модели прогноза

2.5 Выбор математической модели прогнозирования Заключение Литература Приложения

Деятельность в любой области экономики требует применения современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах. Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей и взаимосвязей между явлениями в экономике широко применяется корреляционно-регрессионный анализ, который является основой при решении задач прогнозирования деятельности организации.

Различают два вида зависимостей между экономическими явлениями и процессами: функциональную и стохастическую (вероятностную, статистическую).

В случае функциональной зависимости имеется однозначное отображение множества, А на множество В. Множество, А называют областью определения функции, а множество В — множеством значений функции. Функциональные зависимости встречаются редко. Статистической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины. При стохастической закономерности каждому фиксированному значению аргумента соответствует определенное статистическое распределение значений функции. Односторонняя стохастическая зависимость выражается с помощью функции, которая называется регрессией. Регрессия представляет собой одностороннюю вероятностную зависимость между случайными величинами и устанавливает соответствие между ними. Регрессия тесно связана с корреляцией. Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями. Связи между явлениями могут быть различны по силе. При измерении тесноты связи говорят о корреляции в узком смысле слова. В корреляционном анализе оценивается сила связи, а в регрессионном анализе исследуется ее форма. Корреляция в широком смысле объединяет корреляцию в узком смысле и регрессию.

Любое причинное влияние может выражаться либо функциональной, либо корреляционной связью. Исследование корреляционных связей называется корреляционным анализом, а исследование односторонних стохастических зависимостей — регрессионным анализом.

Для математических методов прогнозирования характерен подбор и обоснование математической модели исследуемого процесса, а также способов определения ее неизвестных параметров. Задача прогнозирования при этом сводится к решению уравнений, описывающих данную модель для заданного момента времени.

К математическим методам прогнозирования относят методы экстраполяции, которые отличаются простотой, наглядностью и легко реализуются на ЭВМ. При этом развитие экономических явлений наиболее полно находит свое отражение во временных рядах. Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака), называют динамическим рядом, или рядом динамики. Если в качестве признака, в зависимости от которого происходит упорядочение, берется время, то такой динамический ряд называется временным рядом. Так как в экономических процессах, как правило, упорядочение происходит в соответствии со временем, то при изучении последовательных наблюдений экономических показателей все три приведенных выше понятия используются как равнозначные. Составными элементами рядов динамики являются, таким образом, цифровые значения показателя, называемые уровнями этих рядов, и моменты или интервалы времени, к которым относятся уровни.

Если во временном ряду проявляется длительная («вековая») тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Т. е. под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. В связи с этим экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Для выявления тренда во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероятностей и математической статистики, разработанный для простых статистических совокупностей. Основной чертой, выделяющей временные ряды среди других видов статистических данных, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения.

Прогноз на основании трендовых моделей (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечный прогноз — это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения: t=n+1; t=n+2 и т. д. Такой прогноз называется точечным, так как на графике его можно изобразить в виде точки.

Очевидно, что точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, т. е. указанием интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой величины. Установление такого интервала называется интервальным прогнозом.

В ходе решения задачи прогнозирования пользуются ограниченным количеством информации об одномерном временном ряде конечной длины. При этом в экономике исследуются дискретные временные ряды, наблюдаемые в дискретные моменты времени.

Дискретный временной ряд можно рассматривать как последовательность значений у1, у2, … уn в моменты времени t, или сокращенно yt (t = 1, 2, …, n).

Временной ряд может быть представлен в следующем виде:

yt = xt + t,

где хt — детерминированная неслучайная компонента процесса;

t — стохастическая случайная компонента процесса.

Детерминированная компонента (тренд) хt характеризует существующую динамику процесса в целом, основную, длительную тенденцию изменения изучаемого показателя. Стохастическая компонента t отражает случайные колебания или шумы процесса. Задача прогнозирования, в частности, состоит в определении вида экстраполирующих функций хt и t на основе исходных эмпирических данных.

Отрезок времени l от момента времени t, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом процессе, до момента, к которому относится прогноз, называется периодом упреждения (периодом прогноза). В зависимости от длительности периода упреждения применительно к экономике различают три вида прогноза:

* краткосрочные — с периодом упреждения от нескольких дней до трех лет;

* среднесрочные — от трех до 5 лет;

* долгосрочные — от 5 лет и выше.

При прогнозировании, как правило, в точке прогноза оценивают математическое ожидание процесса (точечный прогноз) и величину интервала, в который с заданной вероятностью попадет прогнозируемое значение процесса (интервальный прогноз). Результаты экстраполяции наиболее надежны при краткои среднесрочном прогнозировании. При этом предполагается, что совокупность факторов, определявших тенденцию временного ряда в прошлом, в среднем сохранит свою силу и направление действия в течение прогнозируемого периода. При прогнозировании методом корреляционно-регрессионного анализа строится модель, включающая набор переменных, от которых зависит поведение функции.

1. МНОГОФАКТОРНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННО — РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ДОХОДНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ

1.1 Построение модели

Построим многофакторную корреляционно — регрессионную модель доходности ООО «СЕТЬ». Разработку модели и исследование экономических процессов выполним по следующим известным этапам корреляционно — регрессионного анализа: априорное исследование экономической проблемы, формирование перечня факторов и их логический анализ, сбор исходных данных и их первичная обработка, спецификация функции регрессии, оценка функции регрессии, отбор главных факторов, проверка адекватности модели, экономическая интерпретация.

Для данной модели отберем главные факторы, которые определяют уровень доходов организации и оценку степени их взаимодействия на доходы. Допустим, что доходы организации являются зависимой переменной y,(тыс. руб.).

Рассмотрим влияние на доходы предприятия следующих факторов:

x1 — прибыль от реализации, тыс. руб.;

x2 — численность работников предприятия, чел.;

x3 — фонд оплаты труда работников, тыс. руб.;

x4 — среднемесячная зарплата 1-го работника, тыс. руб.;

x5 — производительность труда (выработка 1-го работника), тыс. руб.;

x6 — предоставление услуг связи, тыс. руб.;

x7 — чистая прибыль, тыс. руб.;

На этапе сбора исходных данных и их первичной обработки, согласно теории[5], сходная информация может быть собрана в трех видах:

* динамические (временные) ряды;

* пространственная информация — информация о работе нескольких объектов в одном разрезе времени;

* сменная — табличная форма, т. е. информация о работе нескольких объектов за разные периоды.

Объем выборки зависит от числа факторов, включаемых в модель с учетом свободного члена. Для получения статистически значимой модели требуется на каждый фактор объем выборки, равный 5 — 8 наблюдений.

В данной работе исходные данные для выполнения многофакторного корреляционно — регрессионного анализа влияния факторов на зависимую переменную (доходы предприятия) собраны в виде динамических рядов и представлены в таблице 1.1. Матрица исходных данных, представленная в таблице 1.1, включает в себя 7 показателей — факторов и функцию (доходы организации — y) за 24 месяца (с 2009 — 2010 г.г.).

На этапе спецификации функции регрессии предполагаем, что имеет место множественная линейная регрессия, т. е. доходы организации линейно зависят от выбранных семи факторов x1, x2, …x7. Уравнение регрессии имеет следующий вид:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6+ a7x7, (1.1.1)

где a0, a1,…a7 — параметры уравнения регрессии, подлежат оценке.

Таблица 1.1

Исходные данные

1.2 Оценка параметров функции регрессии

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

y = a + b1x1+ b2x2+ b3x3+ b4x4+ b5x5+ b6x6+ b7x7, (1.2.1)

то есть к оценке параметров — a и bi. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и bi, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) y минимальна:

(1.2.2)

Чтобы вычислить минимум данной функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и bi и приравнять их к нулю. В результате всех преобразований получим следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров, а и b:

. (1.2.3)

Решая систему нормальных уравнений методом определителей, найдем искомые оценки параметров a и bi:

а =; bi =, i = 1…7, (1.2.4)

где — определитель системы;, , …, — частные определители.

При этом

а, , …, получаем путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Параметры bi называются коэффициентами регрессии. Их величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В данной работе оценку параметров выполняем с использованием программных продуктов Statistica и Microsoft Excel. Для этого исходные данные таблицы 1.1 вводятся в электронную таблицу Statistica и Microsoft Excel.

А) Statistica

Б) Microsoft Excel

Рис. 1.1. Фрагменты таблиц «Исходные данные»

1.3 Регрессионный анализ модели

Согласно теории[12], для выполнения регрессионного и корреляционного анализа в Microsoft Excel имеется набор инструментов, называемый «Пакет анализа», который может быть использован для решения сложных статистических задач. Для использования одного из этих инструментов необходимо указать входные данные и выбрать параметры, анализ которых будет проведен с помощью статистической макрофункции, и результаты будут представлены в выходном диапазоне. Некоторые инструменты позволяют представить результаты в графическом виде.

Результаты регрессионного анализа, выполненного с использованием пакета анализа, выводятся на экран. Уравнение регрессии строем по данным, указанным в графе «коэффициенты». Строка «Yпересечение» показывает значение свободного члена и соответствующих статистик, строки «переменная х1» — «переменная х7» — значения коэффициентов регрессии и соответствующих статистик. Уравнение регрессии имеет вид:

у = - 545,5450 + 0,4235×1 — 28,8137×2 + 0,4639×3 — 0,1872×4 — 7,0530×5 + 0,9213×6 + 1,1439×7.

Коэффициент множественной корреляции используется для характеристики тесноты связи:

R=, (1.3.1)

где ост2 = - остаточная дисперсия зависимой переменной, уi - теоретические значения переменной у, полученные по уравнению регрессии при подстановке в него наблюдаемых фактических значений xi. В результате получаем следующую таблицу:

Рис. 1.2. Результаты выполнения функции регрессии

Остаточная дисперсия характеризует ту часть рассеяния переменной у, которая возникает из-за всякого рода случайностей и влияния неучтенных факторов;

общ2 =- общая дисперсия зависимой переменной.

Величина 2общ характеризует разброс наблюдений фактических значений от среднего значения у.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R2:

R2 =. (1.3.2)

Для данной регрессии коэффициент множественной корреляции равен R=0,9971, а коэффициент детерминации R2=0,9942 что свидетельствует о высокой тесноте связи между выбранными факторами и доходами предприятия.

Графа «t — статистика» рассчитывает t — критерий Стьюдента, который используется для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции. Если значения t — критерия для параметра больше 2 — 3, то данный фактор является статистически значимым и был сформирован под воздействием случайных причин. Здесь наиболее значимым фактором является фактор x6. У факторов x2 и x4 x5 значение t — критерия отрицательное, поэтому данные факторы несущественно влияет на доходы и их даже можно исключить.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

m =, (1.3.3)

где S — остаточная дисперсия на одну степень свободы, n — число наблюдений.

Величина стандартной ошибки совместно с t — распределением Стьюдента при n-2 степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов.

Нормированный R2 = 0,9917 определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсии. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели. Значение данного коэффициента указывает на высокую (более 99%) детерминированность результата y в модели факторами х1 — х7.

1.4 Корреляционный анализ тесноты между факторами

Необходимо произвести отбор главных факторов, оказывающих наибольшее влияние на функцию у, т.к. модель, включающая большое количество факторов неустойчива. Неустойчивость модели заключается в необъективном отражении изменения у при соответствующих изменениях факторов. Отбор факторов производим на основе анализа значений специальных статистических характеристик.

Процедура отбора главных факторов включает следующие этапы: анализ факторов на мультиколлинеарность и ее исключение, анализ тесноты взаимосвязи факторов (х) с зависимой переменной (у), анализ коэффициентов факторов, анализ факторов на управляемость, а также проверку коэффициентов регрессии на статистическую значимость.

Мультиколлинеарность — попарная корреляционная зависимость между факторами. Мультиколлинеарная зависимость присутствует, если коэффициент парной корреляции

rij = 0,70 0,80.

Отрицательное воздействие мультиколлинеарности состоит в том, что снижается точность оценки параметров регрессии, искажается оценка дисперсии. Следствием этого является ненадежность коэффициентов регрессии и отчасти неприемлемость их использования для интерпретации как меры воздействия соответствующей объясняющей переменной на зависимую переменную.

Оценки коэффициента становятся очень чувствительными к выборочным наблюдениям. Небольшое увеличение объема выборки может привести к очень сильным сдвигам в значениях оценок. Кроме того, стандартные ошибки оценок входят в формулы критерия значимости, поэтому применение самих критериев становится также ненадежным.

Определение мультиколлинеарности проводим путем анализа значений коэффициентов парной корреляции rij между факторами xi xj. Если rij>0,7, то факторы xi xj — мультиколлинеарны.

Величины rij определяются программно и представлены в корреляционной матрице вида:

Для получения коэффициентов парной корреляции вычислим корреляционную матрицу.

Для измерения мультиколлинеарности можно использовать коэффициент множественной детерминации

Д=R2, (1.4.1)

где R - коэффициент множественной корреляции.

Рис. 1.3 Корреляционная матрица.

При отсутствии мультиколлинеарности факторов Д=, (1.4.2)

где dyj — коэффициент парной детерминации, вычисляемый по формуле

dyj = r, (1.4.3)

где ryj — коэффициент парной корреляции между j-м фактором и зависимой переменной у.

При наличии мультиколлинеарности соотношение (1.4.2) не соблюдается. Поэтому в качестве меры мультиколлинеарности используется следующая разность:

M = Д —. (1.4.4)

корреляционный регрессионный модель доходность прогнозирование

Чем меньше эта разность, тем меньше мультиколлинеарность. Для устранения мультиколлинеарности используется метод исключения переменных. Этот метод заключается в том, что высоко коррелированные объясняющие переменные (факторы) устраняются из регрессии и она заново оценивается. Отбор переменных, подлежащих исключению, производится с помощью коэффициентов парной корреляции. Опыт показывает, что если |ryj| 0,8 то одну из переменных можно исключить, но какую переменную исключить из анализа, решают исходя из управляемости факторов на уровне предприятия. В модели мультиколлинеарность присутствует между факторами х1 и х3, х1 и х4, x1 и x5, х1 и х6, х1 и х7, х3 и х4, х3 и х5, х3 и х6, х3 и х7, х4 и х5, х4 и х6, х4 и х7, х5 и х6, х5 и х7, х6 и х7.

1.5 Анализ тесноты взаимосвязи факторов (х) с зависимой переменной (у)

Для проведения этого анализа используем значения парной корреляции между фактором и функцией (rx, y). Величина rx, y также представлена в корреляционной матрице. Факторы, для которых rx, y=0, т. е. не связанные с у, исключаем в первую очередь. Факторы, имеющие наименьшее значение rij, могут быть потенциально исключены из модели. Вопрос об окончательном исключении факторов решается в ходе анализа других статистических характеристик.

Проведем анализ коэффициентов факторов, которые потенциально могут быть исключены. Коэффициент указывает влияние анализируемых факторов на у с учетом различий в уровне их колеблемости. Коэффициент показывает, насколько сигм (средних квадратических отклонений) изменяется функция с изменением соответствующего аргумента на одну сигму при фиксированном значении остальных аргументов:

k = k, (1.5.1)

где k — коэффициент k — го фактора;

xk — среднеквадратическое отклонение kго фактора;

y — среднеквадратическое отклонение функции;

k — коэффициент регрессии при k — м факторе.

Для расчета коэффициентов предварительно рассчитаем среднеквадратическое отклонение (в Excel оно называется стандартным отклонением) факторов и функции.

А) Microsoft Excel

Б) Statistica

Рис. 1.4. Расчет коэффициентов

Из двух факторов хi и хj может быть исключен тот фактор, который имеет меньшее значение, поэтому отбрасываем факторы х1, х2, x4, x5.

1.6 Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии

Проверку коэффициентов регрессии на статистическую значимость производим двумя способами: по критерию Стьюдента и по критерию Фишера.

по критерию Стьюдента проверка статистической значимости ak производится по формуле:

tk = (1.6.1)

где ak — коэффициент регрессии при k — ом факторе;

Sak — стандартное отклонение оценки параметра ak.

В данной модели критерий Стьюдента уже был вычислен при выполнении функции регрессии.

Число степеней свободы статистики tk равно f = n — m — 1, где m — количество факторов включенных в модель (f = 24 — 7 — 1 = 16). Расчетное значение tk сравниваем с критическим значением tf,a. При заданном уровне значимости (=0,05) и числе степеней свободы f=16, в данной модели t16,0.05=2,120.

Если tktf, a, то ak существенно больше 0, а фактор хk оказывает существенное влияние на у. При этом фактор хk оставляем в модели. Если tk

проверка статистической значимости аk по критерию Фишера ;

Fk=, (1.6.2)

где t2 — многомерный аналог критерия Стьюдента.

Число степеней свободы статистики Fk следующее: f1 = m, f2=n-m-1. Значение Fk, вычисляемое по формуле, сравниваем с критическим значением Ff1f2, при заданном уровне значимости и числе степеней свободы f1 и f2.

Если FkFf1f2, то k — существенно больше 0, а фактор xk оказывает существенное влияние на у. При этом фактор хk оставляем в модели. Если Fk

1.7 Анализ факторов на управляемость

В ходе логического анализа на основе экономических знаний делаем вывод, о возможности разработки организационно — технических мероприятий, направленных на улучшение (изменение) выбранных факторов на уровне организации. Отмечаем, что данные факторы управляемы. Неуправляемые факторы на уровне организации исключаем из модели.

Рис. 1.5. Фрагмент листа «Данные 2»

Строим новую регрессионную модель без исключенных факторов. Аналогично, описанному выше создаем лист «Данные 2» в котором будут следующие факторы: х3, х6, х7 и у. Затем аналогично создаем листы «Регрессия 2», «Корреляция 2».

Рис. 1.6. Фрагмент листа «Регрессия 2»

Рис. 1.7. Фрагмент листа «Корреляция 2»

Для этой модели определяем коэффициент множественной детерминации Д =R2= 0,9927; нормированный коэффициент множественной детерминации равен 0,9916; коэффициент множественной корреляции равен 0,9963. Наличие высоких оценок данных параметров свидетельствует о большой тесноте связи между выбранными параметрами и доходами предприятия.

1.8 Исследование целесообразности исключения факторов из модели с помощью коэффициента детерминации

Прежде чем вынести окончательное решение об исключении переменных из анализа в силу их незначимого влияния на зависимую переменную, проведем исследование совместного влияния факторов.

Для этого воспользуемся статистикой, которая имеет F — распределение с f:

F= (1.8.1)

где Дm — коэффициент детерминации регрессии с m объясняющими переменными; Дm1 — коэффициент детерминации регрессии с m1 факторами; m — число переменных в первой регрессии; m1 — число переменных в последней регрессии.

Если Fрас. Ff1f2, то исключенные выше факторы совместно не оказывают статистически значимого влияния на функцию. Вычислим Fрас.:

Fрас.=

Определим критическое значение статистики F при f1 = 7 — 3 = 4 и f2 = 24 — 7 -1 = 16 и уровне значимости =0,05: F4,16,0.05=2,66. Тогда, сравнивая 1,034 < 2,66, делаем вывод, что ранее исключенные факторы совместно не оказывают статистически значимого влияния на вариацию переменной у. Поэтому данные факторы: прибыль от реализации, численность работников предприятия, среднемесячная з/п одного работника и выработка одного работника окончательно исключаем из модели.

Этап проверки адекватности модели включает расчет следующих показателей: оценку значимости коэффициента детерминации, проверку качества подбора теоретического уравнения, вычисление специальных показателей.

Оценка значимости коэффициента детерминации необходима для решения вопроса: оказывают ли выбранные факторы влияние на зависимую переменную? Оценку значимости Дследует проводить, так как может сложиться такая ситуация, когда величина коэффициента детерминации будет целиком обусловлена случайными колебаниями в выборке, на основании которой он вычислен. Это объясняется тем, что величина Д существенно зависит от объема выборки. Т. е. оцениваем влияние выбранных факторов на зависимую переменную, она производится с помощью статистики:

F= (1.8.2)

где Д — коэффициент детерминации, Д=R2;

R — коэффициент множественной корреляции.

Расчетное значение статистики F, вычисленное по эмпирическим данным, сравниваем с табличными значениями Ff1f2, где f1=m=3; f2=n-m-1=24−3-1=20; =0.05; F3,20,0.05=3,10.

В данном случае имеем F=

Если F > Fff, то вычисленный коэффициент детерминации значимо отличается от 0 и, следовательно, включенные в регрессию переменные достаточно объясняют зависимую переменную, что позволяет говорить о значимости самой регрессии (модели).

Так как 906,5753 > 3,10, то включаемые в регрессию переменные достаточно объясняют зависимую переменную, что позволяет говорить о значимости самой регрессии (модели).

проверка качества подбора теоретического уравнения проводится с использованием средней ошибки аппроксимации регрессии. Средняя ошибка аппроксимации регрессии рассчитывается по формуле:

Е=%, (1.8.3)

где уi — фактическое значение функции для i — го календарного периода;

уi — теоретическое значение функции для i — го календарного периода;.

Для вычисления средней ошибки аппроксимации составляем еще одну расчетную таблицу. Выбираем следующий свободный лист, переименуем его «Средняя ошибка» и выполняем таблицу по образцу (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Фрагмент листа «Средняя ошибка»

Согласно расчетам средняя ошибка аппроксимации E=0,008% (менее 10%) — допустимый показатель.

вычисление специальных показателей, которые применяются для характеристики воздействия отдельных факторов на результирующий показатель:

коэффициент эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1% при фиксированных значениях других факторов — аргументов.

Эк = ак, (1.8.4)

где Эк — коэффициент эластичности для к -го показателя.

Значение коэффициентов эластичности в данной работе получились соответственно Э3=0,1590; Э6=0,8707; Э7=0,0014. Отсюда при изменении фонда оплаты труда работников на 1% функция изменяется на 0,159%, при изменении предоставления услуг связи на 1% - функция изменяется на 0,8707%, а при изменении чистой прибыли на 1% - функция изменяется на 0,0014%.

коэффициент вариации:

Vk =. (1.8.5)

Для расчета этого коэффициента в таблицу «Вычисление коэффициента эластичности» переписываем:

Рис. 1.9. Фрагмент листа «Коэффициенты эластичности и вариации»

Исходя из всех выше сделанных расчетов, используя коэффициенты регрессии, получаем следующее корреляционно — регрессионное уравнение доходности предприятия ООО «СЕТЬ»:

Д = 0,4027×3 + 0,8997×6 + 0,0389×7 — 986,4893. (1.8.6)

1.9 Экономическая интерпретация построенной модели

Результаты регрессионного анализа сравниваем с гипотезами, сформулированными на первом этапе исследования, и оцениваем их правдоподобие с экономической точки зрения.

Рис. 1.10. Результат регрессионного анализа Таким образом, в ходе корреляционно — регрессионного анализа было выявлено, что главными факторами определяющими вариацию уровня доходов предприятия в ретроспективном периоде являются: фонд оплаты труда работников, предоставление услуг связи и чистая прибыль.

2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МОДЕЛИ ДОХОДНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ НА ОСНОВЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

2.1 Постановка цели и задачей исследования модели доходности

Рассмотрим построение моделей прогноза финансовых показателей организации.

Прогнозирование развития любой системы (предприятия, фирмы и так далее) предъявляет специфические требования к параметрам (объектам), характеризующим и определяющим ее развитие. Поэтому необходимо на этом этапе работ провести детальное логическое изучение системы: зависимость рассматриваемого объекта (параметра, показателя) от других систем одного уровня и субсистемы (системы более высокого уровня); взаимосвязь между данным объектом и другими объектами системы; установление характера предоставления статистических данных об объекте.

Прогнозирование с помощью методов экстраполяции включает несколько этапов работ. Сначала необходимо установить цель и задачи исследования, анализ объекта прогнозирования. Цель исследования: анализ финансовых показателей предприятия за период с 2009 по 2010 год. и прогнозирование соответствующих показателей на 2011 г. Задачи исследования:

построение аппроксимирующей функции, адекватно описывающей исходный динамический ряд;

выполнение трендового анализа;

построение прогноза финансовых показателей на 2011 г.

Объектом прогнозирования являются результаты корреляционно — регрессионного анализа работы организации. Подготовку исходных данных начинаем с проверки временного ряда, в результате которой устанавливаем полноту ряда (наличие данных за каждый месяц периода), сопоставимость данных и, в случае необходимости, проверку методики приведения данных к сопоставимому виду. Если временной ряд представлен не полностью, то недостающие данные определяем с помощью тех или иных методов интерполяции в зависимости от характера протекания процесса. Наряду с этим осуществляем также формирование массива функций, который в последующем будем использовать для выбора вида математической модели.

Исходные данные о финансовых показателях предприятия представлены в виде динамических рядов за последние два года (период 2009 — 2010 гг.). Динамические ряды приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 Динамика финансовых показателей за период 2009 — 2010 годы

На основе исходных данных таблицы 2.1 создаем электронную таблицу в Excel.

Фильтрацию исходного динамического ряда проводим с использованием процедур сглаживания и выравнивания в автоматическом режиме. В результате этой процедуры устраняются случайные возмущения (флуктуации), возникающие под воздействием неучтенных факторов или ошибок измерения относительно наиболее вероятного протекания процесса, и тем самым исключается искажающие влияние случайных колебаний на выбор вида регрессии. Сглаживание применяется для устранения случайных отклонений (шума) из экспериментальных значений исходного ряда. Сглаживание (даже в простом линейном варианте) является во многих случаях эффективным средством выявления тренда при наличии в экспериментальных точках случайных помех и ошибок измерения.

Выравнивание применяется для более удобного представления исходного ряда без изменения его числовых значений. Выравниванием называется приведение исходной эмпирической формулы

y = f (t, a, b), (2.1.1)

где t — время, a, b — параметры, к виду y = a1T + b0 (2.1.2)

Наиболее распространенными способами выравнивания являются логарифмирование и замена переменных. Можно рассматривать выравнивание не как метод представления исходного динамического ряда, а как метод непосредственного приближенного определения параметров аппроксимирующей функции, что часто и делается на практике.

2.2 Логический отбор видов аппроксимирующей функции

На основании изучения статистических данных и логического анализа протекания изучаемого процесса из заданного массива функций отбираются наиболее приемлемые виды уравнений связи. Этот этап необходим, так как позволяет при отборе функций учесть основные условия протекания рассматриваемого процесса и требования, предъявляемые к математической модели. На этом этапе должны быть решены следующие вопросы:

* является ли исследуемый показатель величиной монотонно возрастающей (убывающей), стабильной, периодической, имеющей один или несколько экстремумов;

* ограничен ли показатель сверху или снизу каким-либо пределом;

* имеет ли функция, определяющая процесс, точку перегиба;

* обладает ли анализируемая функция свойством симметричности;

* имеет ли процесс четкое ограничение развития во времени.

Рассмотрим те функции, которые предпочтительно использовать в прогнозной экстраполяции. Данный вопрос решаем по каждому показателю с использованием графического способа с применением программного продукта «EXCEL» (в основу которого положен алгоритм нахождения параметров модели методом наименьших квадратов). В ходе решения подбираем одну из аппроксимирующих функций, которая затем используем для прогнозной экстраполяции.

В Excel используется комплекс аппроксимирующих функций:

Полиномиальная y (t)=a0+, (2.2.1)

Линейная y (t)=a+bt, (2.2.2)

Степенная y (t)=atb, (2.2.3)

Экспоненциальная y (t)=a exp (bt), (2.2.4)

Логарифмическая y (t)=a+b ln (t), (2.2.5)

Модифицированная экспонента y (t) = k — ае-bt, (2.2.6)

7. Гиперболическая y (t) = a +, (2.2.7)

8. Логистическая кривая y (t) =, (2.2.8)

где а, b, c, k — параметры.

Подбор линии тренда осуществляем с использованием Excel в следующей последовательности: используя, «Мастер диаграмм», строим по исходным данным диаграмму типа «График».

Рис. 2.5. Пример диаграммы в Excel

2.3 Подбор аппроксимирующей кривой

После построения графика надо подобрать линию тренда. Выбор линии тренда осуществляется на основе визуального анализа полученного графика и представления вида основных линий тренда.

В данной работе наиболее приемлемыми оказались полиномиальная и экспоненциальная аппроксимирующие функции. Но окончательное решение о виде аппроксимирующей функции принимаем только после определения ее параметров и версификации прогноза по ретроспективному ряду.

2.4 Оценка параметров модели прогноза

Наиболее распространенными методами оценки параметров аппроксимирующих зависимостей являются метод наименьших квадратов (МНК) и его модификации, метод экспоненциального сглаживания, метод вероятностного моделирования, метод адаптивного сглаживания.

Метод наименьших квадратов состоит в определении параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда. Метод наименьших квадратов широко применяется при прогнозировании, что объясняется его простотой и легкостью реализации на ЭВМ. К недостаткам МНК можно отнести следующее:

во-первых, модель тренда жестко фиксируется, и с помощью МНК можно получить прогноз на небольшой период упреждения. Поэтому МНК относят к методам краткосрочного прогнозирования;

во-вторых, значительную трудность представляет правильный выбор вида модели, а также обоснование и выбор весов во взвешенном методе наименьших квадратов.

Наконец, МНК очень просто реализуется только для линейных и линеаризуемых зависимостей, когда для получения оценок коэффициентов моделей решается система линейных уравнений. Задача значительно усложняется, если для прогноза используется функциональная зависимость, не сводимая к линейной.

В данной работе оценка параметров аппроксимирующих зависимостей осуществляется в автоматическом режиме при построении линии тренда. Результаты определения функции представлены в таблице 2.2:

Результаты подбора моделей прогноза:

Таблица 2.2.

2.5 Выбор математической модели прогнозирования

Выбор моделей прогнозирования базируется на оценке их качества. Независимо от метода оценки параметров моделей экстраполяции (прогнозирования) их качество определяется на основе исследования свойств остаточной компоненты: (уi — уTi), i = 1… n, т. е. величины расхождений на участке аппроксимации (построения модели) между фактическими уровнями и их расчетными значениями.

Качество модели определяется ее адекватностью исследуемому процессу и точностью. Адекватность характеризуется наличием и учетом определенных статистических свойств, а точность — степенью близости к фактическим данным. Модель прогнозирования будет считаться лучшей со статистической точки зрения, если она является адекватной и более точно описывает исходный динамический ряд.

Модель прогнозирования считается адекватной, если она учитывает существенную закономерность исследуемого процесса. В ином случае ее нельзя применять для анализа и прогнозирования. Закономерность исследуемого процесса находит отражение в наличии определенных статистических свойств остаточной компоненты, а именно: независимости уровней, их случайности, соответствия нормальному закону распределения и равенства нулю средней ошибки.

Независимость остаточной компоненты означает отсутствие автокорреляции между остатками (уi — уTi). Очевидно, важно иметь критерий, позволяющий устанавливать наличие автокорреляции. Таким критерием является критерий Дарбина—Уотсона, в соответствии с которым вычисляется статистика d:

d=, (2.5.1)

где yi, yi-1 — уровни фактического динамического ряда;

yTi, yTi-1 — теоретические (прогнозные) уровни динамического ряда;

n — объем выборки. В данном случае n = 24.

Возможные значения статистики лежат в интервале 0 d 4. Согласно методу Дарбина и Уотсона существует верхний dв и нижний dн пределы значений статистики d. Эти критические значения зависят от уровня значимости, объема выборки n и числа объясняющих переменных m (для трендовых моделей m = 1). Вычисленное по (2.5.1) значение d сравнивается с dв и dн, найденными табличными значениями. При этом руководствуются следующими правилами:

dв d 4-dв принимается гипотеза: автокорреляция отсутствует;

0 d dн принимается гипотеза о существовании положительной автокорреляции остатков;

dн d dв и 4-dв d 4-dн при выбранном уровне значимости нельзя прийти к определенному выводу;

4-dн d 4 принимается гипотеза о существовании отрицательной автокорреляции остатков.

Для данной работы расчет всех статистических критериев проведем с использованием программного продукта Excel. Статистику Дарбина — Уотсона рассчитаем по формуле (2.5.1). Получаем следующие значения данной величины: для доходов предприятия d=1,757; находим, что при n = 24 и m=1, dн = 1,275, а dв = 1,446. То есть величина d попадает в интервал от dв до 4-dв, значит, принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков в расходах. Для показателя чистая прибыль d=0,056. Значение d находится в интервале от 0 до dн, значит, принимается гипотеза о существовании положительной автокорреляции остатков. Для услуг связи d=0,071. Значение d лежит в пределах от 0 до dн, значит, принимается гипотеза о существовании положительной автокорреляции остатков. И наконец, для фонда оплаты труда d=0,064, то есть существует положительная автокорреляция остатков.

Критерий Дарбина — Уотсона обладает двумя недостатками. Первый из них — наличие области неопределенности, в которой с помощью данного критерия нельзя прийти ни к какому решению. Второй недостаток заключается в том, что при объеме выборки меньше 15 для d не существует критических значений dн и dв. В этом случае для оценки независимости уровней ряда можно использовать коэффициент автокорреляции ra. Данный показатель приближенно можно вычислить по формуле

ra = 1 —, (2.5.2)

где d — статистика Дарбина — Уотсона.

Для данных показателей коэффициенты автокорреляции следующие: для доходов предприятия ra = 0,1215, для чистой прибыли ra = 0,9720, для услуг связи ra = 0,9645, и для фонда оплаты ra = 0,9680. Расчетное значение ra сравнивают с табличным raT. Табличное значение величины ra равно 0,276. Табличное (критическое) значение ra имеет одну степень свободы f = n = 24. Если ra raT, то уровни динамического ряда независимы. Видно, что из-за присутствия автокорреляции остатков уровни динамического ряда имеют зависимость.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения важно с точки зрения правомерности построения интервалов прогноза. Основными свойствами ряда остатков является их симметричность относительно тренда и преобладание малых по абсолютной величине ошибок над большими. В этой связи определяется близость к соответствующим параметрам нормального закона распределения коэффициентов асимметрии — Ас (мера «скошенности») и эксцесса — Эk (мера «скученности») наблюдений около модели, т. е.

Ac =; (2.5.3)

Эk =. (2.5.4)

Если эти коэффициенты близки к нулю или равны нулю, то ряд остатков распределен в соответствии с нормальным законом. Для оценки степени их близости к нулю вычисляют средние квадратические отклонения:

Sa = ;

Sэ =. (2.5.5)

В данной работе Sa = = 0,1955, а Sэ = = 0,5437.

Если выполняются соотношения:

Ас 1,5Sa=0,2932; (2.5.6)

Эk 1,5Sэ=0,8155, (2.5.7)

то считается, что распределение ряда остатков не противоречит нормальному закону. В случае когда Ас > 2Sa=0,391 или Эk > 2Sэ=1,0874, (2.5.8)

то распределение ряда не соответствует нормальному закону распределения, и построение доверительных интервалов прогноза неправомочно. В данной работе коэффициенты асимметрии и эксцесса были получены для данных показателей следующие: для доходов предприятия Ас = -0,4359, Эк = -0,6008; для чистой прибыли Ас = -1,0340, Эк = -1,9095; для услуг связи Ас = -1,0352, Эк = -1,9132; для фонда оплаты Ас = -1,0473, Эк = -1,8728. В случае попадания Аc и Эk в зону неопределенности (между полутора и двумя среднеквадратическими отклонениями) может быть использован RS-критерий:

RS = (Emax — Emin) / S, (2.5.9)

где Emax — максимальный уровень ряда остатков (уiyTi), i = 1, …, n;

Emin — минимальный уровень ряда остатков (уiyTi), i = 1,…, n;

S — среднее квадратическое отклонение остатков.

Если значение этого критерия попадает между табулированными границами с заданным уровнем значимости, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

Результаты расчетов показывают, что соотношения (2.5.6) и (2.5.7) выполняются для всех выбранных параметров. Следовательно, во всех динамических рядах остатки распределены в соответствии с нормальным законом.

Итогом работ по выбору вида математической модели прогноза является формирование ее обобщенных характеристик. В обобщенную характеристику должны быть включены уравнения регрессии, значения его параметров, оценка адекватности модели и прогнозные оценки.

Результаты подбора моделей прогноза:

Таблица 2.3.