Некоторые задачи теории упругости и электроупругости и их решение методом конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) начал развиваться и широко использоваться с начала 70-х годов прошлого столетия. Он применялся для решения краевых задач теории упругости [7, 32, 54, 76, 93, 102], а впоследствии стал применяться для решения задач различных областей механики, в том числе электроупругости [3, 4, 11, 34, 89]. За эти годы с помощью МКЭ выполнен огромный объем работ, и накопившийся опыт позволил коллективам ученых и разработчиков создать мощные конечно-элементные пакеты такие как [1, 6] ANSYS, FlexPDE, FEMLab, а также ACELAN — пакет, созданный коллективом разработчиков РГУ кафедры математического моделирования. С помощью этих пакетов в настоящее время решаются сложные пространственные задачи в трехмерных постановках.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена развитию МКЭ для построения и анализа численного решения задачи растяжения-кручения для ЕЗС и пружины, а также динамических задач для пьезоактивной пластины.

В продолжение проблем, связанных с построением теории и исследованием свойств ЕЗС, рассматриваемых в работах [8, 12], [22] - [25], [31], в середине 90-х годов прошлого столетия в работах [26] - [28], [71, 74, 98] построение решений задач Сен-Венана для естественно-закрученного стержня (ЕЗС) и пружины были сведены к нетрадиционным двумерным краевым задачам на сечении.

Уравнения, полученные в работах [71, 72] помимо двумерного оператора теории упругости содержат еще дополнительные члены, которые для ЕЗС зависят от угла закручивания, а для пружины — от шага винта.

Построить точное аналитическое решение для простейших поперечных сечений, которые могли бы быть тестовыми для решений, строящихся по приближенным схемам, не удается. В связи с этим возможны два подхода построения решения. Это метод малого параметра и прямые численные методы.

Что касается прямых численных методов, для построения решения ЕЗС целесообразно использовать МКЭ, как наиболее универсальный и эффективный метод сведения континуальных краевых задач к дискретным.

Рассматриваемые задачи хотя и являются самосопряженными, а также могут быть сведены к линейным квадратичным функционалам, но вместе с тем являются задачами на спектре. Это обстоятельство требует модификации классических схем МКЭ построения численного решения задач теории упругости.

Аналогичными особенностями обладают задачи для пружины. Эти факторы и обусловливают выбор МКЭ и его развитие применительно к специфике рассматриваемых задач.

Первая глава диссертации посвящена построению решения двумерных задач, отвечающих решению задачи Сен-Венана растяжения-кручения естественно-закрученного стержня.

В большинстве работ [54, 58, 62, 89] для решения задач теории упругости, которым отвечает положительно определенная краевая задача, расчетные схемы были основаны на этом существенно свойстве. В рассматриваемом случае хотя двумерные задачи и являются самосопряженными, но отвечающий им оператор не является положительно определенным. И соответствующая однородная задача имеет два нетривиальных решения [74]. Эта особенность потребовала развития известных классических подходов для построения решений на основе вариационных схем.

Традиционно для статических задач теории упругости, решаемых в рамках теории самосопряженных операторов, применяется вариационный принцип Лагранжа [50, 54, 58], суть которого сводится к определению стационарного решения функционала потенциальной энергии деформации. В задаче растяжения-кручения функционал потенциальной энергии на сечении имеет не единственное решение. Единственность обеспечивается выполнением двух дополнительных условий, которые учитываются с помощью метода множителей Лагранжа.

В этом случае вариационная постановка является существенно более сложной, ибо в результате конечно-элементной дискретизации мы [46] не ограничиваемся полевыми неизвестными, а вводим новые, подлежащие варьированию — множители Лагранжасогласно принятой систематизации [95] такая вариационная постановка может быть отнесена к т. н. гибридным методам конечных элементов. Усложнение реализации в такой постановке связано в том числе с тем, что система линейных алгебраических уравнений, являющаяся дискретным аналогом исходной вариационной задачи, теряет положительную определенность. Оставаясь неотрицательно определенной и симметричной, она также утрачивает ленточность, и это диктует необходимость отказаться от методов [18, 62] решения систем, опирающихся на положительную определенность и поддерживающих экономное векторное хранение ленты системы.

Минимизация затрат ресурсов памяти при программной реализации достигалась решением линейной системы алгебраических уравнений в классе разреженных матриц. Преимущества симметрии и разреженность матрицы системы используются при и реализации метода Гаусса.

Для ЕЗС с прямоугольным поперечным сечением конечно-элементное моделирование осуществлялось с использованием четырехузлового билинейного элемента [75, 86, 87]. Недостатком его применения является то обстоятельство, что напряжение или иная физическая величина, которая определяется дифференцированием полевых характеристик, будут постоянными всюду внутри элемента [32, 33, 93], а, следовательно, их распределение по сечению всей модели будет кусочно-постоянным.

Однако такая ситуация не представляется фатальной, поскольку точность решения повышается благодаря увеличению разбиения, а точность вычисления узловых физических величин указанной природы, может быть улучшена, например, осреднением значения результанта [62] по всем элементам, окружающим текущий узел. Заметим также, что широко применяемая в настоящее время технология динамического управления линейными размерами элементов [90] для подобластей, содержащих особенности, ослабляет мотивацию в пользу выбора элементов высоких порядков.

Проведен анализ сходимости решения в зависимости от разбиения. Анализ напряженно-деформированного состояния, поведения жесткостей ЕЗС в зависимости от т — крутки, а также визуализация поля перемещений в сечении естественно закрученного стержня проведены в области устойчивого численного решения. Полученные данные [75] свидетельствуют о приемлемом согласовании результатов в случае малых т и построенными на основе решений для незакрученных стержней [52, 67]. Конечно-элементные расчеты указывают, что сечение как при кручении, так и при растяжении в случае ЕЗС испытывают депланацию.

Вторая глава также посвящена построению решения двумерных задач, отвечающих решению задачи Сен-Венана растяжения-кручения для винтовой пружины. На основе вариационной постановки, сформулированной в [72], строится конечно-элементный аналог задачи, имеющей такие же особенности реализации, как и освещенные в первой главе. Рассматриваемое сечение также выбирается прямоугольным, а аппроксимирующие функции — билинейными. Условия, обеспечивающие единственность решения, учитываются введением новых неузловых неизвестных, подлежащих варьированию.

Для пружины проведен анализ свойств: жесткости на растяжение и кручение в зависимости от плотности витков пружины в широком диапазоне изменения этого параметра. В области изменения параметров, доступной для асимптотик, проведен сравнительный анализ результатов [36]. Построено напряженно-деформированное состояние в поперечном сечении пружины.

Третья глава посвящена исследованию планарных колебаний пластины, выполненной из пьезокерамики, поляризованной по толщине. В качестве метода построения решения выбирается метод конечных элементов, который отличается от классических подходов в части выбора функций формы, базисных функций при аппроксимации. Эти функции имеют волновую природу, а произвол, содержащийся в них позволяет удовлетворить уравнениям колебаний. Построенные с их помощью «волновые» элементы обеспечивают получение решения высокой точности для малого разбиения. Этим компенсируются высокозатратные усилия по получению аналитических выражений элементов матриц жесткости и инерции [93], традиционных для динамических задач, решаемых МКЭ.

В сути своей такой подход известен [96], а в сочетании с современными конечно-элементными технологиями оказывается весьма эффективным.

Выбор простого объекта исследований — пластины прямоугольной формы обусловлен технологической легкостью исполнения таких пьезоэлемен-тов. Прямоугольные пьезоэлементы используются в конструкция типа резонаторов, трансформаторов, фильтров.

Целью исследования было получить такие размеры пластины и оптимальную геометрию разрезов плоских электродированных поверхностей, которые позволят увеличить коэффициент электромеханической связи k2d и обеспечить эффективность возбуждения рассматриваемой моды колебаний. В работе предлагаются результаты серии расчетовзначения собственных частот для различных отношений сторон пластины, а также собственные формы колебаний. Для пьезопреобразователей в широком диапазоне изменения отношения сторон для первых шести мод колебаний предлагаются варианты нанесения разрезов, которые обеспечивают максимум к. Сравнительный анализ значений к до и после нанесения разрезов демонстрирует эффективность процедуры разграничения областей потенциала разной полярности. Графики зависимости k2d демонстрируют существование оптимальной геометриив каждом таком случае предлагается форма нанесения разрезов.

В публикациях [14, 15, 16, 40] представлены результаты численных расчетов, а также физических экспериментов, которые выполнялись в рамках проектов НИР, в том числе [56].

Работы, посвященные похожим проблемам электроупругости широко представлены, например, учеными украинской школы механиков [21, 70, 84]- для прямоугольных пьезоэлементов моделировались физические эксперименты по нанесению электродных покрытий [19]. В последнее время широко используются элементы управлениятехнологии сенсор-актуатор применяются в задачах оптимизации тех или иных свойствнапример, управление деформацией с помощью [100] оптимизации формы электродных покрытий. Ряд работ направлен на моделирование заданных свойств пьезоматериалов [78, 101]. Однако следует отметить, что ко времени получения результатов [56] и выхода публикаций [16, 14] данные исследований такого рода в литературе не встречались. Это скорее всего было обусловлено ограниченными вычислительными возможностями персональных компьютеров. С ростом частоты, когда длина продольных и поперечных волн уменьшается, для обеспечения приемлемой точности требуются либо существенное увеличение разбиения [102] либо увеличение степени аппроксимации. Характеристики персональных компьютеров делали такой счет весьма затруднительным.

Помимо такой важной характеристики как коэффициент электромеханической связи существенной является также оценка добротности материала и моды колебаний.

Для исследования добротности исследуемых мод колебаний [30], в расчетах учитывается затухание в материале, которое вводится по модели Фой-хтаизмерения параметров добротности Q, Q^ осуществлялось в рамках проекта [57] для образцов, выполненных из ПКР-8. Для таких материалов были построены амплитудно-частотные характеристики (по амплитуде тока и амплитуде вектора решения в характерной точке), позволяющие оценить добротность возбуждаемых мод колебаний.

Основные публикации, отражающие содержание диссертационной работы [36], [40], [41], [42],[43], [44], [46],[73], [75] выполнены в соавторстве с научным руководителем Ю. А. Устиновым, сформулировавшим основные задачи, представленного исследования. Диссертанту принадлежит выбор метода, его модификация и реализация. Обсуждение результатов и подготовка публикаций осуществлялись совместно.

В работах [14]—[16] диссертанту принадлежит реализация модифицированного МКЭ, предложенного И. П. Гетманом. Автор благодарен В. К. Яценко за проведение физических экспериментов, позволивших оценить расчетные характеристики. Обсуждение результатов, выводы, подготовка публикаций проводились совместно.

Многомодульный конечно-элементный пакет ACELAN создан на кафедре математического моделирования коллективом ученых: О. Н. Акоповым, А. В. Белоконем, А. В. Еремеевым, К. А. Надолиным, А. В. Наседкиным, А. С. Скалиухом, А. Н. Соловьевым и др. Диссертантом была выполнена модификация модуля задания граничных условий [2], в том числе контактного типа [29]. Пакет использовался для осуществления оценки сходимости при реализации модифицированного МКЭ и традиционного.

Работы [86], [87], [88], посвященные разработке модификаций МКЭ, выполнены без соавторов.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность профессору Юрию Анатольевичу Устинову за поддержку и помощь.

6 Заключение.

В диссертации исследованы задачи растяжения-кручения естественно-закрученного стержня и винтовой пружины, а также планарных колебаний пьезоэлектрической пластины с помощью метода конечных элементов.

1. Методом конечных элементов построено решение нетрадиционных вариационных задач, соответствующих случаю растяжения-кручения ЕЗС и винтовой пружины.

2. Разработана методика и получены эффективные алгоритмы построения локальных матриц репликацией минимальных блоковпостроены аналитические выражения элементов блоков, позволяющие автоматизировать вычисление локальных матриц.

3. Исследовано НДС в задачах растяжения-кручения. Рассчитаны элементы матрицы жесткостей в широкой области изменения параметра крутки и плотности витков.

4. Построены базисные функции, удовлетворяющие уравнениям колебаний пластины.

5. С их помощью получены элементы локальных матриц инерции и жесткости. Разработана методика модифицированного МКЭ.

6. Проведен анализ характеристик пластины, влияющих на эффективность возбуждения мод колебаний. Предложены формы нанесения разрезов на электродных покрытиях, обеспечивающие увеличение КЭМС, а также построены АЧХ с учетом потерь по модели Фойхта.