Некоторые задачи изгиба неортотропных пластин и полос с учетом поперечных сдвигов

Развитие ряда областей современной техники, особенно, машиностроения, авиастроения, ракетостроения, а также различных отраслей строительства тесно связано с проблемам! исследования теории пластинок. Последние годы наблюдается повышенный интерес исследователей к задачам теории неортотропных пластин, которая по своей теоретической и практической значимости становится одной из важнейших областей механики твердых деформируемых тел.

Исследованию задач теории упругости анизотропного тела посвящено много работ, среди которых особое место занимают фундаментальные труды Сен-Венана, В. Фойгта, С. Г. Лехницкого [40, 41, 42, 43], Г. Н. Савина [61], С. ААмбарцумяна [10,11,12, 13,14,15,16 ], В. С. Саркисяна [62, 63, 64, 65, 66, 67] и других. Анизотропные пластинки, применяемые в различных конструкциях техники, как правило, претерпевают деформации изгиба. Первоначальные работы, относящиеся к теории иг изгиба анизотропных пластинок были выполнены Ф. Герингом и М. З. Буссинским затем приближенная теория изгиба анизотропных пластинок в основном разработана в трудах Губера [см.12].

В работах Б. Л .Пеле ха используются и развиваются идеи М. П. Шереметьева, формулируются вариационные принципы для этого варианта уточненной теории, выводится замкнутая система разрешающих дифференциальных уравнений теории платин, позволяющая удовлетворять естественные граничные условия на поверхностях. На базе этих уравнений рассмотрены различные конкретные задачи, в частности, исследован вопрос об определении коэффициентов концентрации напряжений около отверстий при изгибе пластинки.

В работе [81] для исследования влияния поперечного сдвига на большие прогибы защеменной круглой пластины при ассимет-ричных деформациях, вызванных равномерно распределенной поперечной нагрузкой, применен энергетический метод.

Символический метод А. И. Лурье [44] составления решений уравнений теории упругости применен в работах У. К. Ншула [50] для исследования напряженного состояния, возникающего в упругой плите при изгибе С. Гетмана [33*], а также для исследования динамических задач упругих плит при деформациях, антисимметричных относительно срединной плоскости.

В работе В. К. Прокопова [58] символический метод в сочетании с принципом минимума потенциальных уравнений теории толстых плит.

Результаты А. И. Лурье и С. Г. Лехницкого использованы в работе Т. Т. Хачатуряна [73] для исследования изгиба анизотропных пластин.

Применительно к расчету толстых плит метод начальных функций получил широкое применение и развитие в работах В. В. Власова [22,23,24] .

В заключении отметим несколько работ, посвященных расчету толстых плит на основе использования трехмерных уравнений теории упругости. Основополагаицие результаты в этой области теории упругости принадлежат Б. Г. Галеркину [29), А. Ляву [45], А. И. Лурье [44].

Впервые на необходимость учета поперечного сдвига в задаче о поперечных изгибах пластин было указано С. П. Тимошенко в 20-х годах yi расчеты толстых плит посвящены труды Б. Г. Галеркина [29], А .И.Лурье [45]- в 30-х годах Н. А. Кильчевским [36] была построена теория пластин свободная от обычных ограничений классической теориив 50-х годах С. А. Амбарцумяном были проведены глубокие исследования по части уточнения уравнений для анизотропных пластин [10,11,12,14]. Перспективный подход к выводу уточненных уравнений предложен й.П.Векуа [18]. В разные годы к проблеме перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным и расчету толстых плит обращались С. А. Алексеев [6,7], В. З. Власов, В. В. Власов [22,23,24], Б. Ф. Власов, Деев В. М., Х. М. Мушари, В. В. Новожилов, В. В. Понятовский, В. К. Прокопов, И. М. Рапопорт, И. Т. Селезов, М. П. Шереметьев и многие другие исследователи. По этой теме написали диссертации И. Г. Терегулов, Б. П. Пелех, А. Х. Константинов, В.ГЛискунов.

В последние годы существенные результаты получены Л. Я. Айнола, применен энергетический метод. Перемещения с учетом анализа равновесия пластинки и граничных условий.

Линейная теория упругих плит без использования гипотезы о сохранении нормального элемента построена Х. М. Муштари [49] путем интегрирования трехмерных уравнений теории упругости с последовательным сохранением всех величин порядка (~^ и отбрасыванием величин высших порядков по сравнению с единицей.

В последние годы усиленно стал развиваться новый подход к проблеме перехода от трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин, основанный на известном факте существования медленно меняющегося напряженного состояния вдали от возмущающих факторов и быстро изменяющихся напряженных состояний вблизи их.

Идея введения в рассмотрение вспомогательных быстрозазу-хающих напряженных состояний высказывалась Фридрихсан [87,88], исследовавши явленияк краевых эффектов в изгибаемых пластинках, которая в дальнейшей! была использована для построения приближенных теории изгиба пластин.

Аналогичный метод предложен, А .Л .Галзд енве йзе ром [32], на основе которого рассмотрен вопрос о построении прикладных теорий пластин [31], в работе [31], в частности, показывается, что для достаточно толстых пластин поправка, вносимые предлагаемой теорией, соизмеримы величинам, получаемым по классической теории.

Осесимметричный изгиб круглой пластинки рассмотрен Э. Рейс-сом. Обобщение результатов А. Л. Гольденвейзера на случай изгиба анизотропной пластинки проделано Л. А. Агаловяном 4 .

Асимптотичеакий метод применен та гаке в работе Эрейсснера [89], где граничные условия выводятся при помощи вариационного метода.

В работе [90] процедура, близкая [91,92], применена для построения линейной теории тонких пластин, имеющих начальные напряжения. Рассмотрена внутренняя задача и пограничный слой.

Впервые метод степенных рядов для приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной был рассмотрен И. И. Воровичем и О. К. Аксентян, А. Л. Гольденвейзером, Н. А. Кильчевским, У.К.Нигу-лом.

Теория С. А. Амбарцумяна использована В. И. Королевым [37] в его книге расчета слоистых анизотропных пластин.

В сороковых годах Рейсснер [93,94] предложил новую линейную теорию упруг о статического изгиба пластин, представляющую собой качественное усовершенствование теории Киргоффа. Для тонкой пластины постоянной толщины, загруженной нормальными силами переменной интенсивности, при отсутствии массовых сил из вариационного принщпа Кастимяно с применением метода неопределенных множителей Лагранжа получены новые дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия.

В работе [95] полученные соотношения уточняются и обобщаются на случай неоднородной пластины, а также более подробно, согласно сделанным замечаниям Гудьера, обсуздается применение метода неопределенных множителей! а. гранжа для получения соотношений упругости и граничных условий. В этой же работе уравнения представляются в полярных координатах и решается известная задача об изгибе консольной пластины. Получены также первые числовые результаты, которые сравниваются с известными.

Раздел теории пластин, имеющий своим объектом исследований конструкции из анизотропных и слоистых материалов, в последние годы привлекают все более пристальное внимание исследователей, заклинающееся в разработке общей теории и в изучении различных аспектов ее применения. Приоритет в данной области принадлежит отечественным ученым: первые исследования по теории артотропных пластин были выполнены И. Я. Штаерманом еще в двадцатых годахплоская задача теории упругости разработана в трудах С.Г.Лехниц-когообщая теория анизотропных пластин построена С.А.Амбарцу-мяном.

Широкое распространение получили уточнения теории, предложенные С. А. Амбарцумяном. Весьма подробный обзор исследований по расчету анизотропных пластин с анализом результатов содержится в монографии [18], в обзорных статьях [10,11]>где также высказаны соображения по поводу актуальности и необходимости использования уточненных теории. Эти работы [11,12], цитированные в обзорах С. А. Амбарцумяна отразим лишь в перечне литературы.

Отметим, что одним из основных результатов этих исследований является установление факта, что гипотеза недсформируемых нормалей в теории существенно анизотропных пластин вносит недоступные погрешности, которые устраняются при использовании уточненной теории, учитывающей поперечные нормальные и сдвиговые характеристики материала.

Теория, учитывающая поперечные деформации сдвига, развита С. А. Амбарцумяном в работах [10,11,12,13,14,15,16]. Метод перехода от трехмерных уравнений теории упругости и двумерным заклинается в следующем, попе речные касательные напряжения задаются в виде тй ={">41 (х% х-)£ + (С = а определяется из трехмерных уравнений равновесия. Функция считается заданной, а для неизвестных функций выводятся дифференциальные уравнения из трехмерных уравнений равновесия теории упругости путем их интегрирования по толщине. При этом считается, что поперечная деформация равна нулю. Граничные условия формулируются по Рейсснеру.

Эта теория была использована при рассмотрении задач прочности, колебаний статической и динамической устойчивости орто-тропных и трансверсально-изотропных пластинок в линейной и нелине йной постановке.

Вопросу о влиянии поперечного сдвига на деформированное состояние при изгибе пластины из существенно-анизотропного материала ориентированного стеклопластика (т.е. материала с низкой сдвиговой жесткостью) посвящена статья А. В. Розе [70]. Показано, что в данном едучае существенное влияние оказывает ташке принятый закон распределения поперечных касательных напряжений по толщине и поэтому рекомендуется искать этот закон в ходе решения задачи.

Исследования последних лет в области теории пластин, выполненные как в СССР, так и за рубежом, все чаще и чаще посвящаются построению уточненных теорий, свободных от основной гипотезы классической теории, т. е. от гипотезы недеформируемых нормалей. Большой интерес исследователей к построению новых уточненных теории пластин вызван тем, что классическая теория во многих случаях оказывается слишком грубой, и результаты, получаемые по этой теории не всегда применимы для рассмотрения важных прикладник задач.

В развитии анизотропных пластин важную роль сыграли монографии С. Г. Лехшщкого ?40,41,42], С. А. Амбарцумяна [10,11,12,13,14, 15,16], В. С. Саркисяна [62,63, 64,65,66,67].

Достаточно полная библиография по теории пластинок имеется в книге П. М. Огибанова и М. А. Колтунова [52] .

Современные проблемы и вопросы теории анизотропных пластин освещены также в работах Л. А. Мовсисяна, Л. А. Агаловяна, В.Ц.Гну-ни, Г. Е. Багдасаряна, С. М. Дургаряна, А. А. Хачатряна, М.В.Белубе-кяна и других.

В 1958 г. Хао Туи-шен предложил приближенный способ решения задачи об изгибе тонкой ортотропной плиты, основанной на введении малого паршетра, связанного с упругими константами материала. Полагая параметр малой величиной, прогиб представляется по степеням этого параметра, затем строятся рекуррентные процессы для определения неизвестных функций.

В 1962 г. И. Р. Винсон, М. А. Брулль вводили метод малого параметра для решения задач об изгибе ортотропных тонких пластин. Вводится малый параметр, зависящий от жесткостей ортотропной пластинки, затем решение задачи представлено в виде ряда по степеням малого параметра.

Ряд задач математической ¡-теории упругости анизотропного тела, в частности анизотропных пластин, решены В. С. Саркисяном и его учениками методом малого физического и геометрического параметра.

Цель работы. Применение уточненной теории анизотропных пластин С. А. Амбарцумяна к составлению общего уравнения и граничных условий для задач об изгибе анизотропных пластин и полос с учетом поперечных сдвиговых деформаций, которые нагружены лишь нормально приложенной нагрузкой.

Применение и расширение метода малого физического и геометрического параметра, предложенного В. С. Саркисяном, к решению задач об изгибе однородных неортотропных пластин и полос, неоднородных анизотропных полос.

Исследование влияние основных параметров конструкций на прогиб, изгибающие, скручивающие моменты и перерезывающие силы для изгиба анизотропных пластин и полос.

Научная новизна. -Построено новое общее уравнение с граничными условиями для одной потенциальной функции при изгибе анизотропных пластин с учетом поперечных сдвигов.

— Получена система основных уравнений для задач об изгибе неоднородных анизотропных полос.

— Исследовано влияние закона распределения касательно х напряжений по толщине пластинки на общее уравнение и граничные условия при поперечных изгибах анизотропных пластин и полос.

— Исследована связь между прогибом, изгибающими, скучивающими моментами, перерезывающими силами и направлениями главных осей анизотропии в задачах об изгибе.

— Получено решение задачи изгиба неоднородной анизотропной полосы с переменной толщиной при применении уточненной теории.

— Расширены методы малого физического и геометрического параметра для решения задач об изгибе однородных и неоднородных анизотропных пластин и полос при произвольно распределенных нагрузках.

— Показано, что применение метода малого физического и геометрического параметра при решении задач нахождения прогиба, моментов, сил прямоугольной пластины и полос, изготовленных из анизотропных материалов, существенно расширяет область реализации известных решений, а также позволяет во многих случаях находить решения сложных задач с достаточной степенью точности.

Практическая ценность. Примененные в диссертации методы малого физического и геометрического параметра для определения прогиба, моментов, сил прямоугольных пластин и полос, имеющих лишь одну плоскость упругой симметрии, так и полученные решения целого ряда новых задач могут найти разнообразные применения в проектированных или инженерных расчетах по изгибу таких конструкций.

Достоверность результатов. Полученные результаты в некоторых случаях сравнимы с известными результатами С.А.Амбарцу-мяна [12] и других, так как нулевые приближения предложенного метода в настоящей работе являются соответственными решениями задач ортотройных пластин.

Апробация работы. Основные результаты данной диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

— I Всесоюзной конференции «Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов» Каменец-По-дрльск, 1982 г.,).

— Юбилейной научной конференции (Ереван, Е1УД982 г.).

— Республиканской научно-практической конференции по методике преподавания математики и механики в ВУЗе (Ереван, 1983 г.).

— Совещании по теории упругости неоднородных тел.(Кишинев, 1983 г.).

— Научной конференции (Ереван, Е1У, 1982 г.).

— Семинаре «Строительная механика конструкций» (руководитель, профессор 10.Н.Новичков), (Москва, 1984 г.).

— Научной конференции (Ереван, Е1У, 1984 г.).

— семинарах кафедры механики сплошной среды Е1У. (руководители, академик АН Арм. ССР С. А. Амбарцумян, профессор В.С.Саркисян), (Ереван, МУ, I98I-I984 гг.).

Настоящая диссертационная работа содержит введение, три главы, основные выводы и библиографический список.

0СН0ШЫЕ ВЫВОДЫ.

1.Для задачи изгиба анизотропных пластин введена потенциальная функция, через которую выражаются все расчетные величины. На основе теории анизотропных пластин с учетом поперечных сдвиговых деформаций построены общие уравнения и граничные условия.

2.Исследовано влияние' закона распределения касательных напряжений по толщине пластинки ((выбор функции) на общее уравнение и граничные условия при поперечных изгибах анизотропных пластин и полос. З. Для задач изгиба пластин и полос выявлен существенный эффект влияния поперечных сдвиговых деформаций и нормальных напряжений на общее уравнение и граничные условия.

4. Дана постановка задачи об изгибе неортотрошшх пластин и полос неоднородных и однородных.

5.Построено решение задачи об изгибе прямоугольных неортотрошшх пластин, изгибающихся нормальной нагрузкой, распределенной по произвольному закону. Этим. способом можно построить решения задач изгиба прямоугольных неортотройных пластин при разных граничных условиях.

6.Построено решение задачи изгиба однородных неортотрошшх пластин по цилиндрической поверхности при произвольно распределенных нагрузках.

7.По с трое, но решение задачи изгиба пластин «изготовленных из ортотропных материалов. Исследована связь между прогибом, изгибающими, скручивающими моментами, перерезывающими силами и направлениями главных осей анизотропии.

8.Пос троено решение задачи об изгибе неоднородной не-ортотропной полосы с учетом поперечных сдвиговых деформаций при предположении о слабой неоднородности материала.

9.Получено решение задачи изгиба неортотропной полосы с учетом поперечных сдвигов и слабо переменной толщиной.

10.Использованы методы малого физического и геометрического параметра для решения задач об изгибе однородных и неоднородных анизотропных пластин и полос по уточненной теории.

11.Исследование расчетных результатов показывает, что для тонких полос прогиб незначительно отличается от соответствующего значения, найденного по классической теории.

12.Полученные результаты показывают, что прогиб пластин или полос увеличивается, когда увеличивается влияние поперечных сдвигов.