Аэродинамическое проектирование и оптимизация формы крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток

При разработке и проектировании летательных аппаратов, судов на подводных крыльях, различного рода турбомашин, экранопланов и т. п. наиболее важной проблемой является рациональное построение несущих элементов, гидродинамических решеток и лопаток рабочих колес. Развитие методов проектирование профилей таких элементов вызывает особый интерес ученых и специалистов, занимающихся теоретической и прикладной аэродинамикой.

Современные методы аэродинамического проектирования можно подразделить на следующие основные группы: — прямые методы, позволяющие по заданной форме профиля определять его аэродинамические характеристики при различных режимах обтекания- - обратные методы, используемые для нахождения формы профиля по желаемым аэродинамическим характеристикам- - методы аэродинамической оптимизации, применяемые для нахождения формы профиля с наилучшими аэродинамическими характеристиками.

В настоящее время наибольшее развитие и применение в инженерной практике находят методы первой группы (см., например, [41], [42], [6], [56]). Суть таких методов состоит в последовательном решении прямой задачи с последующей модификацией формы профиля для достижения наилучшего совпадения получаемых свойств с желаемыми.

Обладающие высокой эффективностью прямые методы имеют определенные недостатки. Несмотря на большие возможности, они позволяют находить характеристики уже готового объекта. Сам же выбор формы, его корректировка при проектировании во многом зависят опыта проектировщика, его способности повлиять на аэродинамические характеристики последовательным изменением геометрии объекта. Кроме того, прямые методы достаточно трудоемки и длительны по времени, поскольку совершается множество итераций для успешной коррекции формы контура или поверхности крыла.

Множество трудностей, связанных с применением прямых методов удается преодолеть с помощью методов второй группы. Их суть заключается в следующем, проектировщик выбрав исходное распределение скорости или давления на профиле с учетом желаемых характеристик, получает возможность найти профиль с заранее заданными свойствами, так как они, в основном, определяются указанным распределением.

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования профилей крыльев и гидродинамических решеток, составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., например, [49], [47], [12], [13], [14]), являющиеся частью общей теории обратных краевых задач (ОКЗ). В отличие от прямых краевых задач, в которых требуется найти функцию, удовлетворяющую в заданной области некоторому дифференциальному уравнению в частных производных, а на границе — заданному условию, в ОКЗ граница области и функция в этой области отыскиваются по дополнительному краевому условию на искомой границе.

Суть ОКЗА заключается в определении формы крылового профиля по заданному на его контуре распределению давления (или скорости), обеспечивающему требуемые аэродинамические характеристики. Отличительной особенностью ОКЗА является их конструктивный характер. В этих задачах требуется найти такую форму границы, при которой обтекание обладало бы нужными свойствами. Поэтому в ОКЗА краевые условия определяются не только моделью изучаемого процесса, но и предписываемыми свойствами.

Одно из первых полных исследований обратной задачи по f (s) дано в работе W. Mangler'a [60], где использован так называемый прицнип сопоставления плоскостей. W. Mangler установил зависимость между дуговыми абсциссами контура профиля и окружности в канонической области и свел ОКЗА к решению прямой задачи (задачи Шварца) в канонической области. В этой работе были также получены условия разрешимости задачи и предложен способ их удовлетворения. Г. Г. Тумашев при исследовании ОКЗА в постановке W. Mangler'a ввел в рассмотрение вспомогательную область в плоскости комплексного потенциала течения, что позволило не только дать другой способ построения аналитического решения краевой задачи, но и рассмотреть в дальнешем ряд других ОКЗА (см., например, [48], [49]).

Метод решения ОКЗА существенным образом зависит от выбора параметра, в функции которого задается распределение скорости. Результаты по решению ОКЗА в случае, когда распределение скорости задается не в виде функции дуговой координаты, получены В. М. Шурыгиным [53] (i> = v (x)), Г. Ю. Степановым [47] (v = ^(7), v = v (6)). Л. А. Симонов (см., например, [45], [46]) дал постановку и построил решение ОКЗА по годографу скорости.

Другой существенной особенностью ОКЗА является тот факт, что произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи, то есть контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся. Кроме того, заданная скорость Voo набегающего потока может не совпадать с величиной скорости, определяемой в ходе решения задачи. Таким образом, эти задачи являются некорректными. Условия, обеспечивающие замкнутость контура (условия замкнутости) и согласование указанных величин скорости, называются условиями разрешимости. По существу условия разрешимости содержатся в работах А. Бетца [54] и подробно выведены в статьях В. Манглера [60], М. Лайтхилла [57] и Г. Г. Тумашева [51].

Основываясь на общей идее В. К. Иванова (см., например, [17]) построения квазирешения некорректных задач, А. М. Елизаровым [9] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗА. Далее в работах А. М. Елизарова, Н. Б. Ильинского, А. В. Поташева (см., например, [13]) разработан метод построения квазирешения ОКЗА. Суть его состоит в минимальной коррекции исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. Однако, применение квазирешения для замкнутости искомого контура иногда может очень сильно изменить исходное распределение скорости или давления.

Из сказанного выше видно, что как прямые, так и обратные методы не дают полной возможности нахождения оптимальных аэродинамических форм, удовлетворяющих различным ограничениям. Решение таких задач возможно при использовании третьего подхода — использования методов аэродинамической оптимизации. На этом пути также имеются разные возможности.

Первый подход к нахождению оптимальных форм состоит в постановке и решении «модельных» задач. При их формулировке, как правило, используются простейшие модели. Это позволяет построить аналитические решения и сделать выводы об их оптимальных аэродинамических характеристиках. Именно такой подход использовался в работе М. А. Лаврентьева [22], который доказал, что решением вариационной задачи о дуге максимальной подъемной силы заданной длины и ограни-ченнной кривизны в потоке идеальной несжимаемой жидкости является дуга окружности.

Аналогичные результаты были получены и другими авторами. В. И. Зубов [16] предложил численный метод оптимизации формы профиля, обладающего максимальной подъемной силой, при дополнительных ограничениях, выражающих приближенно условие безотрывности обтекания. Этот метод основывается на интегральном представлении функции, конформно отображающей единичный круг на внешность профиля. Через коэффициенты Фурье этой функции выражена величина подъемной силы, максимум которой достигается за счет варьирования этих коэффициентов при указанных дополнительных ограничениях. А. М. Елизаровым [10], Д. Ф. Абзалиловым, Н. Б. Ильинским, Р. Ф. Мардановым [3] даны постановки и решения задачи об отыскании среди профилей с заданной длиной контура такого профиля, который обладает максимальной подъемной силой при некоторых ограничениях на форму профиля и распределение скорости на его поверхности.

При анализе и использовании результатов решения таких «модельных» задач, естественно, следует учитывать, что они показывают пути совершенствования аэродинамических форм. Получаемые при этом объекты бывают физически нереализуемы.

Следующий подход к задачам аэродинамической оптимизации основан на разработке численных методов их решения. Основная проблема при реализации такого подхода состоит в наиболее удобном математическом описании оптимизируемых величин и накладываемых на искомое решение ограничений. Оптимизируемый функционал и ограничения должны быть выражены через некоторую управляющую функцию. При этом программа расчета указанных величин должна, по-возможности, требовать малых затрат машинного времени. В противном случае процесс оптимизации становится громоздким и непроизводительным.

В том случае, когда описание оптимизируемых величин и ограничений дается через форму профиля приходят к методам проектирования, суть которых заключается в разработке итерационных процессов, в которых, начиная с первоначально взятого профиля или крыла, на каждом очередном шаге итерации после решения прямой задачи осуществляется модификация геометрии контура профиля или поверхности крыла для оптимизации определенных аэродинамических характеристик. Такие методы (см., например, [4]) объединяют решение прямой задачи аэродинамики и нелинейные методы оптимизации, обеспечивающие достижение экстремальных значений аэродинамических характеристик или заданных функционалов. Совершенствование расчетных процедур таких методов возможно за счет замены вычислительных программ решения прямых задач более универсальными. При этом возникает проблема соединения разработанных программ с программами модификации геометрии, поскольку не каждая оптимизационная задача удовлетворяет условиям разрешимости при фиксации определенного класса контуров.

При применении методов, базирующихся на последовательном решении прямых задач, не получаются разомкнутые или неоднолистные контуры или поверхности, поскольку оптимальное решение ищется в строго определенном классе. Такие методы наиболее эффективно подходят для усовершенствования аэродинамических форм, и, как правило, применяются для решения задач модификации.

Еще одно из достоинств прямых методов, это то, что проектирование крыловых профилей не зависит от задания исходных данных как функций того или иного параметра (дуговая абсцисса, годограф скорости и т. д.), так как при решении прямой задачи пересчет этих данных для различных параметров осуществляется просто.

Более быстродействующие методы базируются на описании оптимизируемых величин и ограничений через решение ОКЗА. В качестве управляющей в данном подходе выбирается некоторая вспомогательная функция, позволяющая с малыми вычислительными затратами отыскивать требуемые величины (см., например, [11], [2], [15]).

Целью настоящей работы является разработка методов оптимизации форм крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток. Сначала внимание уделено решению «модельных» задач. К ним относятся задачи построения профилей с кусочно-постоянным распределением скорости. В данном классе задач удалось аналитически определить максимум коэффициента подъемной силы. Далее были поставлены и решены оптимизационные задачи (бесконечно-тонких профилей, гидродинамической решетки, телесных профилей), решение которых осуществлялось с помощью итерационных процедур с модификацией геометрии контура для оптимизации аэродинамических характеристик на каждом шаге итерации. Основное преимущество разработанных методов оптимизации данной диссертации является то что, выбор математической модели и метода решения, позволили записать оптимизируемый функционал и накладываемые ограничения записываются через одну функцию, которая выбиралась в качестве управляющей. При этом решение задачи отыскивается сразу в физической области, что является существенным отличием от работ [2], [3], [10], [15], где для построения решения использовалась вспомогательная область комплексного потенциала.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих девять параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

.

В данной работе разработаны методы оптимизации форм крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток. Рассмотрен некоторый класс «модельных» задач, позволяющих получить оптимальное решение в относительно простом виде.

Поставлен и решен ряд задач о построении формы крылового профиля, вдоль контура которого задано распределение скорости в виде кусочно-постоянной функции. Решение задач записано в аналитическом виде и проведены исследования оптимальных аэродинамических характеристик. В случае, когда кромки профиля являются точками разветвления потока и точками разрыва скорости, определен максимум коэффициента подъемной силы в данном классе крыловых профилей, являющихся при этом неоднолистными. Для построения однолистных профилей точка разрыва скорости была перенесена на верхнюю поверхность профиля. Далее логарифмическая особенность в точке скачка скорости была заменена на плоский кольцевой полубесконечный канал. Построенное в этом случае решение распространено на случай движения профиля вблизи экрана.

Поставлен и решен ряд задач оптимизации формы бесконечно-тонких профилей в неограниченном потоке и при наличии плоского экрана, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. На искомую форму контура накладывалось ограничение на максимальное значение кривизны и условие безотрывности обтекания. Проведено сравнение с точным решением. Приведены результаты числовых расчетов.

Поставлена и решена оптимизационная задача построения прямой гидродинамической решетки бесконечно-тонких профилей, обтекаемой безотрывно при заданных параметрах на входе и выходе и обладающей минимальным коэффициентом сопротивления.

По разработанному методу оптимизации бесконечно-тонких профилей, поставлена и решена задач нахождения оптимального профиля с конечной (ненулевой) толщиной в неограниченном потоке и при наличии экра на. Проведено сравнение с решением по методу ОКЗА. Приведены ре зультаты числовых расчетов. О.