Численное моделирование соударения цилиндра с недеформируемой преградой методом разделения по физическим процессам на подвижных эйлеровых сетках

Задача, рассматриваемая в данной работе, получившая название «Цилиндр Тейлора», является одной из классических задач механики ударного взаимодействия деформируемых твердых тел. Задача подразумевает исследование процесса деформирования цилиндрического стержня круглого поперечного сечения, движущегося с некоторой начальной скоростью вдоль оси симметрии, происходящего в результате ортогонального соударения с абсолютно твердой недеформируемой преградой.

Задача допускает целый ряд постановок. Сам процесс деформирования может рассматриваться с помощью различных моделей. Так, в упругом приближении задача рассматривалась в работах [23, 50, 62, 66, 94], в упругопластическом — в [25, 66, 51, 52], упругопластическом с упрочнением в работах [25, 47, 92], в вязкоупругопластическом приближении — в [2, 63,.

92]. При высоких скоростях соударения необходимо учитывать процесс развития микроповреждений, приводящих к разрушению материала стержня.

Выбор моделей деформирования и разрушения в первую очередь определяется начальной скоростью соударения. При малых скоростях, когда стержень пластически не деформируется, можно использовать упругую модель. При более высоких скоростях, когда в процессе соударения в некоторой области стержня наблюдаются необратимые пластические деформации, необходимо применять модель упругопластической среды, например, модель пластического течения Прандтля-Рейса [25, 94] с постоянным значением предела текучести, либо с упрочнением. Для некоторых материалов (свинец, каучук, эпоксидная смола) при больших скоростях взаимодействия необходим учет вязкостных свойств материала, т. е. зависимость от скоростей деформаций. В таких случаях следует 3 использовать, например, модель вязкоупругопластической среды Соколовского-Пэжины [63]. Кроме того, взаимодействие с преградой может рассматриваться в упругом приближении, когда допускается возможность отрыва части ударяемого торца стержня от преграды в процессе взаимодействия и происходит полный отскок ударника от преграды. Либо абсолютно неупругим, то есть в процессе деформирования стержня вся поверхность ударяемого торца постоянно находится в контакте с преградой, и отскока ударника от преграды не происходит.

В данной работе задача Тейлора решается в следующей постановке. Материал представляется упругопластическим с постоянным значением предела текучести. Такая модель подходит для описания процессов деформирования металлов, таких как алюминий, медь, железо, сталь при нормальных температурах. Величины скорости соударения рассматриваются от низких (то есть от упругого взаимодействия) до значений, при которых наблюдаются существенные повреждения и разрушение материала. Для большинства металлов при скоростях соударения, не приводящих к макроразрушениям, отличия в численных результатах, полученных при использовании упругопластической модели Прандтля-Рейса и при использовании вязкоупругопластической модели Соколовского-Пэжины невелики. В данной работе используется модель Прандтля-Рейса. В процессе взаимодействия ударника с преградой возможно частичное нарушение контакта ударяемого торца стержня с преградой, последующее восстановление контакта, что учитывается при численном моделировании. Также учитывается влияние трения между преградой и стержнем. В работе исследуются процессы распространения волн и необратимого деформирования, выясняются особенности упругого взаимодействия с преградой. Кроме того, исследуется зависимость конечной формы стержня от скорости соударения, начальной длины стержня, трения между ударником и преградой. Анализируется зависимость продолжительности контакта ударника с преградой от начальной скорости соударения. Наконец, исследованы основные закономерности процессов микрои макроразрушения стержня.

Впервые задача, названная впоследствии «Цилиндр Тейлора», исследовалась в работах британского ученого сэра Джеффри Ингрэма Тэйлора (07.03.1886 — 27.06.1975). В частности, в его работе [101] предлагается теоретико-экспериментальное исследование задачи с целью определения предела текучести материала. Сами процессы деформирования, распространения упругих и пластических волн сжатия, растяжения и т. д. не рассматривались, поскольку задача пространственная, и картина распространения волн сложна и тяжело поддается аналитическому исследованию [51].

С развитием вычислительной техники, в 60-х — начале 70-х годов XX века, появляется возможность численного моделирования и, соответственно, более глубокого исследования процесса ударного взаимодействия тел [14]. В частности, интерес к задаче «Цилиндр Тейлора» вызван из-за её тесной связи с задачами динамической прочности, пробивания, проникания и т. д. В работах [106, 20] задача рассматривается для металлических стержней в упругопластической постановке с постоянным значением предела текучести [20], а также с использованием моделей упрочнения [106]. В статьях [9, 20, 106] приведено множество экспериментальных данных, проведено сравнение численных расчетов с экспериментами. Несмотря на ряд допущений (взаимодействие с преградой считалось неупругим) численные расчеты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Кроме того, рассматривались задачи соударения в более сложных постановках, например, с учетом пористости материала [40].

Об особенностях взаимодействия с преградой упоминается в работах [20, 12, 13], а именно, в данных статьях исследуется зависимость времени контакта с преградой от скорости соударения стержня. Опираясь на экспериментальные данные, показано, что данная зависимость носит ступенчатый характер, что объясняется взаимодействием упругих и пластических волн. Считается, что отскок стержня от преграды происходит при полном нарушении контакта между телами. Однако в процессе деформирования наблюдается и частичный отход поверхности ударяемого торца от преграды. Зависимость площади контакта с преградой, скорость точки отрыва также представляется интересной задачей, поскольку в районе ударяемого торца стержень значительно меняет форму. Происходит выгибание плоскости ударяемого торца в сторону боковой поверхности, также большая кольцевая деформация ведет к разрыву материала вдоль образующей боковой поверхности цилиндра (разрушение стержня так называемого «лепесткового» типа, характерного при пробивании тонких металлических мишеней [109]).

Задача Тейлора также вызывает интерес при рассмотрении ряда проблем машиностроения, поскольку стержневые системы часто используются в элементах конструкций машин [4−7]. Данные элементы могут подвергаться ударным нагрузкам различной интенсивности, в том числе и в направлении оси стержня. Встает вопрос о долговечности деталей, допустимых нагрузках, остаточных деформациях и т. п. В работах, посвященных данной тематике, стержень обычно рассматривается в одномерной постановке, в качестве модели деформирования выбирается модель идеальной пластичности. Постановка задачи в настоящей диссертационной работе более общая и, возможно, излишне сложная для вопросов машиностроения, однако, некоторые результаты вполне могут найти применение и в инженерной практике.

И в настоящее время задача Тейлора в различных постановках все еще нередко встречается в литературе [81, 83, 103], однако ее роль несколько изменилась. Большое количество проведенных численных исследований и имеющихся экспериментальных данных, а также простота постановки позволяют использовать её в качестве тестовой задачи для оценки эффективности численных методов и новых вычислительных комплексов. Действительно, одним из направлений науки сейчас является численное моделирование тех или иных физических процессов. В мире для этого существует большое количество коммерческих кодов, программ, комплексов. Однако ни один из них не позволяет в полной мере охватить весь спектр задач механики. Поэтому во многих научных организациях создаются вычислительные коды для внутреннего использования и решения задач, связанных непосредственно с тематикой исследований организации. В частности, во Всероссийском научно-исследовательском институте автоматики им. Н. Л. Духова создается оригинальный комплекс прикладных программ под названием «ТИС». Тестирование комплекса проводилось на ряде одномерных гидродинамических [99] и упругопластических [100] задач, таких как «плоское соударение пластин» [24], задача динамического растяжения плоского образца, динамическое сжатие толстостенной оболочки [78, 85, 90]. Для этих задач было получено полное соответствие численных и аналитических результатов. А также тестирование проводилось на рассматриваемой в данной работе задаче «Цилиндр Тейлора». Результаты сравнения с экспериментальными данными и с численными расчетами, полученными на других вычислительных комплексах с использованием альтернативных расчетных схем, приведены в диссертации. Все представленные результаты получены на комплексе «ТИС». В данном комплексе в качестве численной схемы используется схема расщепления по физическим процессам, подробное описание которой также приводится.

Возвращаясь к задаче и резюмируя вышесказанное, следует отметить, что задача рассмотрена с разных сторон многими авторами. Однако до сих пор остается и ряд неисследованных особенностей динамического деформирования и разрушения ударника.

Ниже сформированы основные цели проводимого в данной работе исследования. А именно:

1. Исследование характера деформирования стержня в зоне ударяемого торца, а также деформирования самой плоскости торца. Зависимость силы взаимодействия ударника и преграды и площади их контакта от времени при разных скоростях соударения.

2. Исследование продолжительности взаимодействия стержня и преграды. Определение критериев отскока.

3. Исследование влияния трения между стержнем и преградой на конечную форму стержня.

4. Исследование конечной формы стержня.

Следует заметить, что форма боковой поверхности стержня после отскока от преграды имеет явно «ступенчатый» вид: наблюдается две и более области утолщения. Причем ступенчатость наблюдается как в экспериментах, так и в численных расчетах. Однако, причины данного явления ранее в литературе в полной мере не анализировались.).

Остановимся кратко на численных методах моделирования процессов высокоинтенсивного деформирования твердых тел.

Для моделирования таких процессов существует большое количество методов, обладающих своими преимуществами и недостатками [42, 45, 46, 65, 84, 105]. Например, в лагранжевых методах [67, 105] основная идея состоит в отслеживании изменения параметров среды в каждой материальной частице, что сильно упрощает постановку граничных условий и позволяет легко отслеживать форму тела в процессе соударения. А также легко следить за развитием микроповреждений, накоплением пластических деформаций и т. д. Но при больших деформациях происходит сильное искажение расчетной сетки, что может привести к потере точности расчетов и невозможности их дальнейшего продолжения. Для эйлерова подхода [44, 72, 75, 80, 81, 95], где изменение параметров рассматривается в неподвижной точке пространства, менее актуальны трудности, связанные с сильными деформациями. Но, например, отслеживание изменения границ тела является более сложной задачей, поскольку возникают ячейки, частично заполненные различными средами. Решение данной проблемы, к примеру, методом концентраций [53] приводит к размытию границы твердого тела, и, как следствие, происходит потеря точности.

Кроме того, часто используются методы конечных элементов [98, 108]. В основе этих методов лежит минимизация функционала вариационной задачи на выбранном классе функций (например, линейных функций) в рассматриваемой ячейке. Эти методы не так требовательны к искажениям сетки, саму сетку можно выбрать, в частности, более разреженной в областях, где не требуется высокой точности результатов. Но они являются более затратными в смысле расхода времени счета. На их основе создан ряд коммерческих вычислительных комплексов, например, АпэуБ, Ь8 БУМА [74].

Как альтернатива сеточным, в последнее время активно используются бессеточные методы, например SPH (Smooth Particle Hydrodynamics), или метод сглаженных частиц [91, 93], легший в основу вычислительного комплекса MASTER Professional [96]. Среди их преимуществ выделяются способность без потери скорости счета рассчитывать задачи с большими деформациями. А также простота применения современных средств параллельного программирования (MPI, CUDA). Но проблемы в постановке граничных условий и расчете точных потенциалов взаимодействия между частицами существенно усложняют работу с ними.

Часто для решения подобных задач механики твердого деформируемого тела используются гибридные схемы [14, 107]. К одной из таких схем можно отнести рассматриваемый в данной работе метод разделения по физическим процессам на подвижной эйлеровой сетке. Этот метод включает в себя некоторые преимущества как лагранжевого, так и эйлерового подходов. Его суть состоит в том, что решение на каждом временном шаге расщепляется на два этапа. На первом этапе решается система уравнений гидродинамики с фиксированными в каждой лагранжевой точке среды компонентами девиатора тензора напряжений, решение строится на подвижной эйлеровой сетке. На втором этапе производится коррекция полученного предварительного решения с учетом выбранной модели упругопластического деформирования, решение строится на уже неподвижной сетке. На втором же этапе производится расчет дополнительных параметров среды (поврежденность, пластические деформации и др.). Движение сетки производится путем отслеживания точного положения границы расчетного блока и последующего перестроения сетки (при совпадении границы блока и границы раздела двух сред есть возможность точно отследить форму твердого тела в процессе соударения, положение контактного разрыва и т. п.).

Рассматриваемый метод вбирает в себя основные преимущества других методов. Граница расчетной области может смещаться в соответствии с границей твердого тела, внутренние границы можно рассматривать как лагранжевы. Отсюда следует точность описания границ и граничных условий, как в лагранжевых методах. При этом, поскольку сетка постоянно перестраивается от шага к шагу, она не так чувствительна к сильным искажениям. Единственным условием изменения сетки является сохранение ее топологии. В то же время сетку можно строить со сгущением в областях, где требуется повышенная точность решения. Либо более разреженной в областях, где большой точности не требуется. И при этом ячейки могут быть произвольной формы. По существу, данный метод применим и на неструктурированных сетках.

В работе рассматривается также решение задачи Тейлора с учетом микроразрушения. Для описания процессов образования и развития микропор и микротрещин используется связанная двухпараметрическая модель так называемого континуального (или рассеянного) разрушения [2628, 32−39, 79]. В качестве критерия начала макроразрушения с образованием новых свободных поверхностей в теле используется энтропийный критерий предельной удельной диссипации [32, 33]. Накопление диссипации вызывается как образованием и развитием микропор и микротрещин, так и пластических деформаций.

Расчеты проводились до момента разрушения, то есть, до момента достижения в ячейке предельного значения удельной диссипации. Таким образом, можно определить основные зоны и особенности разрушения.

На защиту выносятся:

— методика расчета двумерных динамических задач необратимого деформирования и разрушения сред;

— результаты численного решения задачи динамического деформирования цилиндра в процессе соударения с недеформируемой преградой;

Основные результаты работы представлены в следующих публикациях:

1. Киселев А. Б., Серёжкин А. А. Численное исследование особенностей процесса соударения упругопластического цилиндра с недеформируемой преградой // ПММ. — 2013. — Т. 77.

2. Меньшов И. С., Мищенко А. В., Серёжкин А. А. Численное моделирование упругопластических течений методом Годунова на подвижных эйлеровых сетках. // Математическое моделирование. -2013.-Т. 25.

3. Menshov /., Mischenko A., Serezhkin A. An eulerian Godunov-type scheme for calculation of the elastic-plastic flow equations with moving grids // Europ. Congress on Comput. Methods in Appl. Sc. and Eng. (ECCOMAS 2012). J. Eberhardsteiner et. al. (eds.). Vienna, Austria, September 10−14, 2012. CD format, 2012. Article 2164. 20 p.

4. Мищенко A.B., Серёжкин А. А., Меньшов КС., Киселев А. Б. Метод разделения по физическим процессам для моделирования деформирования и разрушения твердых тел. // Забабахинские научные чтения: сб. материалов XI Межд. конф. 16−20 апреля 2012. — Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012. — С. 306.

5. Киселев А. Б., Меньшов КС., Серёжкин А. А. Вычислительный комплекс «ТИС»: тестирование на задачах гидродинамики //.

Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2012 года. Тезисы докладов. — М.: Издво Моск. ун-та, 2012. — С. 90−91.

А также докладывались на следующих конференциях:

1. Ломоносовские чтения МГУ. Москва, ноябрь, 2011.

2. Ломоносовские чтения МГУ. Москва, апрель 2012.

3. Ломоносовские чтения МГУ. Москва, апрель 2013.

4. XI Забабахинские научные чтения. Снежинск. 16−20 апреля 2012.

5. Advanced Problems in Mechanics. St. Petersburg. July 2−8, 2012.

6. European Congress on Computational Methods in Applying Science and Engineering (ECCOMAS 2012). September 10−14, 2012.

7. V-VII Научно-технические конференциии молодых ученых ВНИИ автоматики имени Н. Л. Духова (март 2011, март 2012, март 2013).

Заключение

.

В данной работе подробным образом исследована задача о соударении цилиндрического стержня, движущегося с некоторой начальной скоростью параллельно оси симметрии, с недеформируемой преградой (задача «Цилиндр Тейлора»). Для численного исследования использовался метод разделения по физическим процессам, реализованный на подвижных эйлеровых расчетных сетках.

Проведено сравнение численных результатов с экспериментальными данными, а также с результатами, полученными другими авторами с использованием альтернативных численных методов. Исследована зависимость конечной формы стержня от силы трения между стержнем и преградой, скорости соударения, соотношения начальной длины и радиуса. Объясняется эффект образования вторичной области деформации стержня, установлен энергетический критерий отскока стержня. Исследуются особенности взаимодействия стержня с преградой. А также проведен анализ зарождения процесса разрушения и фрагментации стержня при высоких скоростях соударения.

В качестве результатов численного исследования можно сделать следующие выводы.

1. Метод разделения по физическим процессам позволяет с хорошей точностью получить решение системы уравнений механики деформируемого твердого тела. В частности, позволяет провести численное исследование задачи «цилиндр Тейлора» .

2. При увеличении силы трения между стержнем и преградой утолщение стержня в районе ударяемого торца уменьшается. Уменьшается также и деформирование самой плоскости торца. При этом область высокой интенсивности пластических деформаций стержня смещается в сторону свободного торца.

3. Конечная форма боковой поверхности стержней, при пластическом деформировании имеет ступенчатый вид, характеризуемый возникновением «вторичной области деформации». Факт образования которой определяется соотношением длины и радиуса стержня и не зависит от скорости соударения.

4. Критерием отскока, или окончанием процесса пластического деформирования стержня, может служить достижение значением кинетической энергией первого локального экстремума.

5. Зависимость времени контакта с преградой от начальной скорости стержня имеет ступенчатый характер, определяемый взаимодействием упругих и пластических волн в продольном и радиальном направлениях.

6. В процессе деформирования возможен частичный отрыв поверхности ударяемого торца стержня от преграды. При увеличении скорости соударения увеличивается искажение плоскости ударяемого торца, при этом максимальная скорость точки отрыва падает.

7. При больших скоростях соударения разрушение стержня возникает двух видов: возникновение продольных трещин в районе боковой поверхности (образование «лепестков») и фрагментация в районе оси симметрии, вызываемая кумуляцией волн разгрузки, распространяющихся от свободной поверхности к оси.