Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы

Актуальность темы

исследования.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению геометрических аспектов теории вполне интегрируемых систем.

Скобки Пуассона являются важнейшим инструментом исследования интегрируемых систем и занимают центральное место в геометрических (пуассонова геометрия) и алгебраических (пуассоновы гомологии и ко-гом ологии) теориях, возникших как обобщения этих систем.

Истоком пуассоновой геометрии является введение Пуассоном в начале 19 века кососимметрической скобки при изучении уравнений движения в небесной механике. Спустя тридцать лет Якоби открыл тождество, которому подчиняется скобка Пуассона, получившее название тождества Якоби. В 1834 году, используя скобку Пуассона, Гамильтон сформулировал уравнения движения в форме, сейчас известной как уравнения Гамильтона. С тех пор скобки Пуассона широко применяются в математике и ее приложенияхв конце 19 века Софус Ли начал изучать их геометрию. Он первым обратил внимание на вырожденные скобки Пуассона, в качестве простейшего примера рассмотрев линейные структуры Пуассона, которые впоследствии были названы структурами Ли-Пуассона и заново открыты Березиным в 1960 году.

В 20 веке пуассонова геометрия снова стала объектом исследования в контексте вполне интегрируемых систем, где скобки возникают естественным путем (часто в бесконечномерной ситуации). Примерно в одно и то же время сразу несколько авторов независимо ввели общее понятие многообразия Пуассона. Большой вклад в понимание локальной структуры многообразий Пуассона был сделан Вейнстейном (Weinstein) в 1983 году в его известной статье [129]. Лихнерович (ГлсЬпегошюг) рассмотрел глобальные структуры и в 1977 году ввел термин «пуассоновы когомологии» многообразия Пуассона [85]. Он обнаружил, что скобка Схоутена с пуассоновым бивектором (который отвечает за структуру пуассонова многообразия) определяет дифференциал на пространстве мультивекторов, и рассмотрел когомологии относительно такого дифференциала. В частности, им была найдена связь между пуассоновыми когомологиями и когомологиями де Рама.

После обнаружения Захаровым и Фаддеевым [11] в 1971 году того, что уравнение Кортевега-де Фриза является бесконечномерной вполпе интегрируемой системой, нелинейные солитонные уравнения стали вызывать большой интерес как вполне интегрируемые гамильтоновы уравнения с бесконечным числом степеней свободы. Однако само понятие гамильтоновости вводилось лишь для эволюционных уравнений, а исследование уравнений в частных производных (УрЧП) общего вида проводилось путем приведения исходной системы к эволюционному виду, что не всегда осуществимо корректными методами. К тому же возникает проблема инвариантного определения гамильтоновых структур, поскольку при наличии понятия гамильтоновости лишь для эволюционных уравнений встает вопрос о том, что произойдет с гамильтоновой структурой при преобразовании соответствующего гамильтонова эволюционного уравнения к неэволюционному виду.

Особый интерес представляют бигамильтоновы уравнения, т. е. уравнения, допускающие наличие пары совместных гамильтоновых структур. Если на уравнении имеется бигамилътонова структура, то, применяя схему Магри [72, 91], можно построить бесконечную серию законов сохранения, находящихся в инволюции относительно соответствующих скобок Пуассона, что равносильно полной интегрируемости такого уравнения.

Частным случаем бигамильтоновых структур являются структуры Пуассопа-Нийенхейса, которые задаются пуассоновым бивектором и тензором Нийенхейса типа (1,1) с нулевым кручением и удовлетворяют определенным условиям совместности [69].

Тензоры (операторы) Нийенхейса были введены в теории интегрируемых систем в работах Магри, Гельфанда и Дорфман (см. [37]). Структуры Пуассона-Нийеихейса впервые появились в работе [94] Магри и Морози в 1984 году и в дальнейшем изучались в [69]. Следует отметить, что структуры Пуассона-Нийеихейса [122] играют важную роль как в классической дифференциальной геометрии (см., например [20, 68]), так и в геометрии уравнений в частных производных, см. [69, 94]. В последнем случае существование структуры Пуассона-Нийенхейса фактически равнозначно полной интегрируемости рассматриваемого уравнения.

Структуры Пуассона-Нийепхсйса возникают при попытке построить бигамильтонову пару как композицию пуассонова бивектора Р и тензора Нийенхейса N типа (1,1). При этом возникают условия совместности, одно из которых необходимо для того, чтобы композиция N о Р также являлась бивектором, а второе, чтобы этот бивектор был пуассоновым.

Отталкиваясь от структуры Пуассона-Нийенхейса, можно построить иерархию попарно совместных пуассоновых тензоров [90], что зачастую помогает проинтегрировать такую систему. Например, на многообразии Пуассона-Нийенхейса [69] могут быть естественным образом определены координаты Дарбу-Нийенхейса [93]. Они позволяют связать решение уравнений Гамильтона-Якоби с потоками гамильтониана при помощи аддитивного разделения переменных. В [40] показано, что такие координаты возникают из геометрии пуассонова карандаша (т.е. линейной комбинации двух совместных пуассоновых структур) в процессе гамильтоновой редукции на подходящем симплектическом листе. Также примеры разделения переменных в координатах Дарбу-Нийенхейса приведены в работе [57].

На протяжении последних 30-ти лет структуры Пуассона-Нийенхейса активно рассматривались различными авторами, и были получены разные интерпретации условия совместности на пуассонов бивектор и тензор Нийенхейса. Так в [122] автор определял структуры Пуассона-Нийеихейса в общем алгебраическом смысле Гельфанда-Дорфман, а в [68] эти структуры охарактеризованы в терминах алгеброидов Ли [88, 89]. А именно, было показано, что условие того, что пуассоно-ва структура и структура Нийенхейса образуют структуру Пуассона-Нийенхейса, эквивалентно тому, что кокасательное (со скобкой на 1-формах, определенной с помощью пуассоповой структуры) и касательное (со скобкой векторных полей, деформированной с помощью структуры Нийенхейса) расслоения являются биалгеброидом Ли. В [20] условие совместности записано в виде условия на скобку Виноградова [3, 21] пуассонова бивектора и тензора Нийенхейса, понимаемых как градуированные дифференциальные операторы на алгебре дифференциальных форм. В работах [96, 104, 103, 127] рассмотрены структуры Якоби-Нийенхейса как обобщение структур Пуассона-Нийенхейса.

В данной работе пуассонов бивектор и тензор Нийенхейса рассматриваются в бесконечномерном случае как^{-дифференциальные} операторы (операторы в полных производных) на соответствующих пространствах бесконечных джетов (струй), а затем и на уравнениях в частных производных, понимаемых как подмногообразия в многообразии бесконечных джетов, то есть как гамилътонов оператор Н и оператор рекурсии Л, соответственно. Под гамильтоновым оператором мы понимаем кососопряженный оператор, ставящий в соответствие производящим функциям законов сохранения (косимметриям) уравнения $ его симметрии (вообще говоря, нелокальные) и удовлетворяющий условию равенства нулю его вариационной скобки Схоутена. Оператором рекурсии будет оператор, переводящий симметрии уравнения в его симметрии (также, вообще говоря, нелокальные).

Поскольку композиция Л о Я снова переводит косимметрии уравнения? в симметрии, возникает вопрос, при каких условиях на Я и Н оператор КН (а также и все композиции вида Д' о Я, г ^ 1) снова задает гамильтонову структуру на 6°. Как уже упоминалось ранее, ответ на аналогичный вопрос в конечномерном случае был сформулирован в [69, 94] в виде условий совместности соответствующих тензоров. В данной работе приведено обобщение этих условий (условий совместности на структуру Пуассона-Нийенхейса) на бесконечномерный случай.

Структуры Пуассона-Нийенхейса хорошо описываются [8, 5] в случае пространств джетов, а также для эволюционных дифференциальных уравнений, рассматриваемых как потоки на пространстве джетов, в то время как для общих дифференциальных уравнений соответствующей теории не существовало в течение долгого времени.

Построение такой теории сопряжено с рядом проблем как вычислительного, так и концептуального характера. Во-первых, это относится к самому корректному определению таких понятий, как, например, гамильтоновость, бигамильтоновость, симплектичность соответствующих операторов для уравнений, не являющихся эволюционными, а, во-вторых, к разработке эффективных методов вычисления операторов рекурсии, гамильтоновых и симплектических структур (вообще говоря, нелокальных). Решению первой проблемы и посвящена данная диссертационная работа.

В сравнительно недавних работах [63, 62] изложен подход к решению второй проблемы применительно к эволюционным уравнениям, рассматриваемым с геометрической точки зрения. Этот подход основан на понятии А-накрытий и позволяет эффективно строить решения операторных уравнений вида (относительно оператора V).

V о V = V' о, А (1) операторы V и, А считаются заданными). А именно, решение уравнения (1) сводится к решению уравнения У (Ф) = 0 в А-накрытии, где Ф — вектор-функция, канонически ассоциированная с оператором V. Поскольку гамильтоновы структуры Н на? удовлетворяют уравнению, а операторы рекурсии Я — уравнению о Я — Я о = О, где ?# и ?*$ — оператор и сопряженный оператор линеаризации уравнения (о, в рамках данного подхода построение как операторов рекурсии, так и гамильтоновых структур сводится к решению линеаризованного уравнения.

МФ) = 0 (2) на специальных расширениях исходного уравнения ?. Эти расширения названы tи t-накрытиями, они играют роль касательного и кокаса-тельного расслоений в категории дифференциальных уравнений. Упомянутый выше подход, применим и к уравнениям общего вида, и в данной работе описывается его обобщение.

Следует отметить, что инвариантное определение £*-накрытия возможно лишь для определенного, но достаточно широкого класса уравнений — для ¿—нормальных уравнений (определение ¿—нормальных уравнений см. на стр. 41). Примерами уравнений, не являющихся t-нормальными являются уравнения Максвелла, Янга-Миллса и Эйнштейна, однако, следует подчеркнуть, что ¿—нормальные уравнения — это наиболее важный класс непереопределенных уравнений, охватывающий подавляющее большинство уравнений, встречающихся во многих приложениях к математической физике. Везде далее в диссертационной работе мы имеем дело с ¿—нормальными уравнениями.

В терминологии теории накрытий (см. [77]), решения уравнения (2) являются тенями симметрий в соответствующем накрытии, а построенные с их помощью операторы могут быть как локальными ctf-дифференциальными операторами, так и нелокальными, т. е. содержать члены типа D~l.

Как оказалось, трактовка операторов рекурсии и гамильтоновых операторов как нелокальных аналогов симметрий является чрезвычайно продуктивной с вычислительной точки зрения (для решения уравнений вида (2) разработаны различные пакеты програмного обеспечения, см., например, [118, 117]), а также обеспечивает новый продуктивный взгляд на теорию гамильтоновых структур для уравнений в частных производных, что позволяет решить вторую проблему. Например, условия гамильтоновости и нийенхейсовости соответствующих операторов, а также условие совместности на структуру Пуассона-Нийенхейса для эволюционных уравнений удается записать как равенство нулю коммутаторов соответствующих теней симметрий — соответствующих решений уравнения (2), что позволяет обобщить понятие структур Пуассона-Нийенхейса как на случай уравнений в частных производных общего вида, так и на случай нелокальных операторов.

Следует отметить, что это обобщение осуществлялось в несколько этапов. Вначале мы обобщаем определение структур Пуассона-Нийенхейса на случай пространств бесконечных джетов («пустое уравнение»). Поскольку эволюционные уравнения можно понимать как пространства джетов, оснащенные специальным векторным полем, полученное определение оказывается возможным естественным образом перенести и на случай эволюционных уравнений. При этом условия совместности на структуру Пуассона-Нийенхейса (условия равенства нулю скобок Схоутена и Нийенхейса, а также условие совместности операторов Я и Н) удается записать в единообразной форме — в виде равенства нулю некоторой специальной скобки, построенной в данной работе (см. также [2]) и названной скобкой Якоби (скобкой Ли) теней симметрий, определение которой по сути не зависит от конкретного вида уравнения, что позволяет дать обобщение структур Пуассона-Нийеихейса и на случай произвольных уравнений в частных производных (операторы Я и Н являются, вообще говоря, нелокальными).

Для обозначения этих структур мы выбрали термин «вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса», поскольку, как и во многих задачах геометрии дифференциальных уравнений, имеющих параллели в конечномерной дифференциальной геометрии, роль, которую в классической ситуации выполняют частные производные, в нашем случае играют вариационные производные.

В общем случае нелокальные аналоги симметрий возникают как естественное обобщение высших симметрий в геометрическом подходе к нелинейным уравнениям в частных производных. Например, оператор рекурсии Ленарта [79] для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ), примененный к галилеевой симметрии, на первом шаге дает локальную масштабную) симметрию, но начиная со второго шага получаются объекты нелокальной природы. Это означает, что полученные выражения содержат новые нелокальные переменные и>, связанные с неизвестной функцией и соотношением гих = и (или, как часто говорят, т = И^и, или го = / ийх), и т. д.

Эти нелокальные объекты зачастую понимают и трактуют подобно симметриям, и не редкость, например, прочесть, что «первая нелокальная симметрия уравнения КдФ является наследственной», т. е. действием коммутатора порождает всю иерархию высших уравнений КдФ. Однако, трактовка их как истинных симметрий может привести к парадоксам, что часто происходит при работе на чисто координатном языке. Так, например, для преодоления возникших парадоксов автору работы [106] пришлось прибегнуть к искусственным построениям, так называемым «духам», что по сути никоим образом не добавило ясности в сложившуюся ситуацию.

Дело в том, что действие операторов рекурсии на симметриях не дает симметрий в общем случае, а лишь их обобщения, объекты, которые были названы в работе [77] тенями симметрий. В отличие от симметрий, которые являются векторными полями на рассматриваемом диф-) ференциальном уравнении & (или на накрывающем многообразии <�§ в нелокальном случае), тени являются дифференцированиями вдоль проекции накрытия т:? —> <�§ (см. [77] и краткое описание в разделе 2.1 ниже). Таким образом, в силу своей природы они не могут быть про-коммутированы в таком виде, каком они заданы изначально.

Подход к коммутированию теней симметрий, разработанный в диссертации, проистекает из результата, впервые опубликованного в [14] (см. также [77] и [74]). А именно, в этой статье было доказано, что любая тень может быть поднята в какое-то другое накрытие. Точнее, если X — тень в накрытии т: <�§ —> то существуют некоторые новое накрытие тх $ —" и такая тень X в этом накрытии, что ограничение X на алгебру функций на <�§ совпадает с X.

Накрытие г, ассоциированное с тенью (р по конструкции из [14], определено единственным образом с точностью до эквивалентности, но тень X не единственна. В данной работе мы строим заново, чисто геометрическим способом, накрытие? х и определяем каноническое поднятие X тени X в это накрытие. Коммутатор двух теней определяется как.

X, У] = X о У — У о где «тильда» обозначает каноническое поднятие. Конструкция такого канонического поднятия базируется на понятии^{-накрытия,} введенного Красильщиком И. С. и др., которое оказалось полезным для различных приложений (см., например, [62]).

Следует отмстить, что множество теней симметрий с построенным таким образом коммутатором — скобкой Ли — не образует алгебры Ли. Тем не менее полученная скобка Ли теней симметрий удовлетворяет тождеству Якоби.

Разработанные теоретические конструкции в диссертации примене-няются к исследованию уравнения Камассы-Холма (КХ).

Уравнение КХ представляет собой нелинейное дисперсионное уравнение.

Щ — и1хх + 3иих + 2ких = 2ихихх + ииххх (3) и является в безразмерных переменных пространства-времени (х, ?) моделью для однонаправленного распространения волн в мелкой воде над плоским дномпредставляет горизонтальную компоненту скорости жидкости, т. е. описывает свободную поверхность, а параметр к > О является параметром, связанным с критической мелководной скоростью, ср. с [23]. В дайной работе рассматривается бездисперсионное уравнение КХ, т. е. случай к — 0.

Уравнение КХ впервые появилось в работе Фуксштейнера и Фокаса 1981 года [45] как абстрактное уравнение, допускающее бигамильтонову структуру. Позднее в 1993 году Камасса и Холм вывели это уравнение исходя из физических соображений, используя ассимптотическое разложение непосредственно в гамильтониане гидродинамических уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости, см. [22]. При этом уравнение.

КХ является волновым уравнением второго порядка в асимптотическом разложении, в то время как уравнение КдФ возникает в первом порядке в этом разложении. В [22] была построена пара Лакса для уравнения КХ, а также было показано, что оно является бигамильтоновым и интегрируемо с помощью метода обратной задачи рассеяния. Однако следует отметить, что все эти результаты были получены не напрямую, а с помощью приведения уравнения КХ к «эволюционному» виду.

В последнее время уравнение КХ вызывает значительный интерес как пример интегрируемой системы, имеющей более общие по сравнению с КдФ волновые решения, такие как решения взрывного характера и класс кусочно-аналитических слабых решений, известных как пиконы (см. [22]). Анализ, проведенный в [23] (см. также [26, 29, 98]), показывает существование гладких уединенных волн для всех к > О [18, 32, 33, 61] и заостренных солитонов, пиконов, для к = 0 [22, 84].

Уравнение КХ входит в семейство интегрируемых уравнений а (уг + 3уух) — Р{ухх1 + 2ухухх + ууххх) — Ьуххх = 0. (4) где а, Р и Ь — произвольные постоянные параметры.

Это семейство появилось в работе [65] Хесина и Мисиолека как уравнения Эйлера на алгебре Вирасоро для естественного двупараметриче-ского семейства метрик. В случае не равных нулю параметров, а и Р уравнение (4) эквивалентно уравнению КХ (3). В вырожденных случаях мы имеем уравнение Хантера-Сакстона (ХС) [55] ххХ 2УХУХХ ^^ХХХ — 0, когда, а = 0, РФ 0, и уравнение КдФ 3 уух + Уххх = 0, когда р = 0, л ф 0, Ьф 0.

Все эти уравнения обладают одной и той же группой симметрий (см. [65]), а именно, группой Вирасоро, являющейся одномерным расширением группы диффеоморфизмов окружности. Точнее говоря, группа Вирасоро служит для них конфигугационным пространством, а все эти три уравнения можно рассматривать как уравнения геодезического потока, связанного с различными правоинвариантными метриками на этой группе (в случае КдФ и КХ) или на ассоциированном однородном пространстве (в случае уравнения ХС). Эти три уравнения описывают все бигамильтоновы системы общего положения, связанные с группой Вирасоро.

Следует отметить, что такой интерпретации уравнения КХ уделялось значительное внимание в литературе, см. [100, 109, 70, 121, 30, 31], а в работе [110] это же семейство возникло при рассмотрении непрерывного предела достаточно широкого класса правоинвариантных дискретных лагранжевых систем на группе Вирасоро.

Еще одна геометрическая интерпретация уравнения КХ приведена в работе Рэйеса [114], где показано, что уравнение КХ описывает псевдосферические поверхности, а с помощью изучения геодезических, определенных этими поверхностями, построен аналог преобразования Ми-уры [101] и «модифицированное уравнение КХ». Также этим автором показано [114,115, 116], что уравнение КХ обладает нелокальными сим-метриями.

Уравнение КХ.

Щ — uixx + 3иих = 2ихихх + ииххх (5) не является эволюционным, что в значительной степени усложняет его изучение как бигамильтоновой системы, поскольку, как отмечалось выше, для неэволюционных уравнений фактически отсутствуют корректные определения таких понятий как гамильтоновы операторы, гамильтониан, законы сохранения и т. д.

В подавляющем большинстве работ (см., например, [22, 24, 52, 82, 87] и др.) с этой проблемой пытались бороться с помощью введения дополнительной переменной т = и — ихх, называемой иногда моментом, в результате чего уравнению (5) удавалось придать «эволюционный» вид mt = —2тих — тхи, (6) а также записать его в бигамильтоновой форме относительно операторов В = дх — и 1?2 = тдх — дхт, а именно ть = -Вх-— или ГГЦ = -В2-—, от от где #1 = ${и2 + и1) с1х и Я2 = | /(и3 +.

По-нашему мнению, такой подход, во-первых, не избавляет от имеющихся чисто технических сложостей в иссследовании уравнения в связи с необходимостью во многих случаях обращения оператора вида 1 — с^, что в принципе является возможным, но накладывает определенные ограничения на пространство функций, на котором рассматривается данное уравнение, и, во-вторых, не позволяет до конца понять и корректно определить основные конструкции и понятия бигамильтонова подхода в теории интегрируемых систем. Так, например, в большинстве работ, посвященных поиску законов сохранения уравспия КХ, т. е. фактически замкнутых 1-форм на уравнении, авторы старались избегать самого использования слова закон сохранения, заменяя его термином сохраняющаяся величина.

Введение

«момента» т не решает проблемы, поскольку уравнение (6) должно рассматриваться совместно с неэволюционной связью т = и — ихх.

Также следует отметить, что подавляющее большинство результатов, касающихся интегрируемости уравнения КХ, были получены не напрямую. При поиске законов сохранения были предложены различные схемы вычислений, см. [24, 83, 114]. Так, локальная и нелокальная серии сохраняющихся величин для уравнения КХ были получены в [114] с использованием аналога преобразования Миуры, в [24] с помощью решения подходящего уравнения Риккатив [41] при работе с ассоциированным уравнением КХ, введенным в [120] и связанным с уравнением КХ преобразованием координат, показано, что уравнение КХ обладает бесконечным числом локальных сохраняющихся величин. Детальное обсуждение законов сохранения уравнения (5) также приведено в работе [82].

Высшие пуассоновы структуры для нелокальной иерархии КХ рассматривались в [108], где был получен их производящий ряд. При этом оказалось, что такие структуры уже не являются слабо-нелокальными, как в случае уравнения КдФ.

В [60] получена рекурентная формула для бесконечной последовательности независимых интегралов движения для цепочки уравнений типа КХ, т. е. было построено продолжение иерархии КХ и изучались сохраняющиеся величины для этой иерархии.

Многих авторов интересовал вопрос связи уравнения КХ с другими уравнениями математической физики. Так, в работах [44, 52] показано, что уравнение КХ и его бигамильтонова структура могут быть нолу-чены из бигамильтоновой структуры КдФ, используя так называемую конструкцию три-гамильпоновой дуальности [105]. В [38] показано, что уравнение КХ ассимптотически эквивалентно уравнению КдФ-5 — интегрируемому уравнению пятого порядка в иерархии КдФ. Различные аспекты связи уравнений КХ и и Гарри Дима [79] щ = (и~*)ххх, интересовали авторов работы [19] в контексте обратной задачи рассеяния, а авторов [87] при использовании гамильтопова подхода: было показано, что бигамильтоновы структуры этих уравнений могут быть получены с помощью процедуры редукции из соответствующего пуассо-нова карандаша, заданного на пространстве отображений из единичной окружности в алгебру Ли з1(2, М).

В работах [35, 99] показано, что уравнение КХ и уравнение Дегаспериса-Прочези [34] входят в семейство уравнений в частных производных.

Щ — иххл + {Ь + 1) иих = Ъихихх + ииххх, которое задает интегрируемые уравнения лишь в этих двух случаях [35]. Уравнение КХ получается при Ь = 2, а уравнение ДП при 6 = 3. Свойства интегрируемости этого семейства исследовались также в [54].

В последнее время большое внимание уделяется различным обобщениям уравнения КХ, см. [25, 39, 43, 60, 87, 97, 15, 119].

Многокомпонентные аналоги уравнения КХ изучались в работах [39, 25], а также в [52], при этом в основном рассматривались различные двухкомпонентные обобщения уравнения КХ, см. [86, 39, 81, 12]. Как одно из гамильтоновых расширений уравнения ДП до двухкомпонентных уравнений в работах [111, 112] была получена система взаимодействующих уравнений, которая содержит уравнения КХ и ДП.

Суперсимметричные обобщения уравнения КХ можно найти, например, в работах [113, 9].

В работе [102] проведена классификация интегрируемых (обладающих бесконечными иерархиями высших симметрий) обобщенных уравнений типа КХ, т. е. уравнений вида.

1 — &-1)щ = Р (и, их, ихх, иххх,.), где функция ^ в правой части является однородным дифференциальным полиномом над С, квадратичным или кубическим по и и ее х-производпым.

Цель и задачи работы.

Основной целью диссертации является обобщение структур Пуассона-Нийенхейса на случай произвольных УрЧП, включая также и случай нелокальных операторов рекурсии и нелокальных гамильтоновых структур, и применение полученных теоретических конструкций к нелинейным УрЧП: уравнениям Камассы-Холма и бездисперсионному уравнению типа Буссинеска.

Перечислим основные задачи исследования:

1. Построить скобку Ли для теней симметрий, т. е. задать корректный способ коммутирования теней симметрий.

2. Обобщить структуры Пуассона-Нийенхейса, определенные для тензоров Пуассона и Нийенхейса, на случай операторов в полных производных на пространствах бесконечных джетов — гамильтоновых структур и операторов рекурсии.

3. Определить структуры Пуассоиа-Нийенхейса для эволюционных уравнений в терминах скобки Ли теней симметрий, трактуя операторы рекурсии и гамильтоновы операторы как тени симметрий в Iи ¿-*-накрытиях.

4. На основе определения структур Пуассона-Нийенхейса в терминах скобки Ли теней симметрий построить их обобщение на случай произвольных УрЧП. В частности, дать определение гамильтоновости.

5. Построить обобщение структур Пуассона-Нийенхейса в случае нелокальных операторов.

6. Исследовать интегрируемость уравнения Камассы-Холма:

Найти его симметрии, законы сохранения, гамильтоновы и симплектические структуры, операторы рекурсии.

Доказать наличие структур Пуассона-Нийенхейса.

Научная новизна работы.

Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Основные результаты, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие результаты.

1. Построена скобка Ли для теней симметрий — нелокальных аналогов симметрий, являющаяся аналогом скобки Якоби для (высших) симметрий.

2. Получено обобщение структур Пуассона-Нийенхейса на случай операторов в полных производных на пространствах бесконечных джетов.

3. Получено обобщение структур Пуассона-Нийенхейса для эволюционных УрЧП в терминах скобки Ли соответствующих теней симметрий.

4. Получено обобщение структур Пуассона-Нийенхейса на случай произвольных уравнений в частных производных, а также на случай нелокальных операторов. В частности, построена скобка Схо-утена для операторов на произвольных уравнениях в частных производных.

5. Доказано существование структур Пуассона-Нийенхейса для бездисперсионного уравнения типа Буссинеска.

6. Исследовано уравнение Камассы-Холма:

Получены локальные и нелокальные серии симметрий и косимметрий уравнения Камассы-Холма, а также соответствующие им законы сохранения. Доказана локальность так называемой положительной серии симметрий.

Найдены операторы рекурсии и гамильтоновы структуры, первые две из которых являются локальными.

Доказано существование структур Пуассона-Нийенхейса на уравнении Камассы-Холма, что в свою очередь влечет существование бесконечной серии попарно совместных гамильтоно-вых структур.

Найдены симплектические структуры и операторы рекурсии для косимметрий.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могут быть использованы для исследования интегрируемости нелинейных УрЧП. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к уравнениям математической физики: бездисперсионному уравнению типа Буссинеска и уравнению Камассы-Холма. Результаты работы позволяют по-новому взглянуть на проблему гамильтоновости неэволюционных уравнений.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов МШО-РФФИ 047.017.015 и РФФИ-Консорциум Е.1.Ы.8.Т.Е.1^ 06−01−92 060, РФФИ-СЖБ 08−07−92 496-НЦНИЛа.

Личный вклад автора.

Все выносимые на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации

.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 10 таблиц, 16 диаграмм. Библиографический список включает 130 наименований. Полный объем диссертации составляет 190 страниц машинописного текста.

Заключение

.

В заключение приведем основные результаты работы.

• Построена скобка Ли для теней симметрии, являющихся нелокальными аналогами симметрий. Построенная скобка находит широкое применение, поскольку операторы рекурсии и гамильтоновы структуры можно понимать как тени симметрий в специальных накрытиях. Если Л, В! — операторы рекурсии, а Хд, Хц> — соответствующие им тени в ¿-'-накрытии, то.

Хр, ХЯ>] = где [Д, В!} обозначает скобку Нийенхейса. Аналогично, если Н, Н' — гамильтоновы структуры, а Хн, Хн> — соответствующие им тени в ¿-*-накрытии, то.

Хн, Хн>] = Х[н, н', где |Н, Н'] обозначает скобку Схоутена. В случае нелокальных операторов, а также в случае неэволюционных уравнений, приведенные равенства могут быть приняты за определение скобок Схоутена и Нийенхейса. Таким образом, получен критерий для интегрируемости нелокальных структур в случае произвольных уравнений в частных производных.

• Используя скобку Ли для теней симметрий построено обобщение структур Пуассона-Нийенхейса на случай произвольных уравнений в частных производных, существование которых обеспечивает интегрируемость рассматриваемого уравнения в силу существования бесконечной серии попарно совместных гамильтоновых структур.

• Исследовано уравнение Камассы-Холма. Получены локальные и нелокальные серии симметрий и косимметрий уравнения Камассы-Холма, а также соответствующие им законы сохранения. Найдены операторы рекурсии и гамильтоновы структуры, первые две из которых являются локальными, и доказано существование бесконечной серии попарно совместных гамильтоновых структур. Найдены симплектические структуры и операторы рекурсии для косимметрий.

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность проф. И. С. Красильщику за постановку задачи и неоднократные полезные обсуждения, A.M. Вербовецкому и Д. Д. Соколову за ценные замечания по результатам работы, а также П. Керстену за помощь и ценные консультации при освоении пакета REDUCE.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов NWO-РФФИ 047.017.015 и РФФИ-Консорциум E.I.N.S.T.E.I.N 06−01−92 060, РФФИ-CNRS 08−07−92 496-НЦНИЛа.