Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями

В современной теории экстремальных задач и оптимального управления одним из интересных (как с теоретической, так и с практической точек зрения) направлений исследований являются дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями (разрывные системы). Своеобразным фундаментом для изучения разрывных систем являются исследования, посвященные оптимизации систем с промежуточными ограничениями на траекториях.

Основы в теории оптимального управления были заложены академиком Л. С. Понтрягиным и группой его учеников [33]. Новые постановки задач оптимального управления привели к необходимости разработки принципиально новых методов исследований. Большой вклад в их создание внесли советские ученые: Л.С.Понтря-гин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко [33], Е. Р. Аваков [1], А. А. Аграчев и Р. В. Гамкрелидзе [2] - [3], А. В. Арутюнов [8], В. И. Благодатских [9], [43], А.Я.Дубо-вицкий и А. А. Милютин [23], Ю. Н. Жидков [24], А. Д. Иоффе и В. М. Тихомиров [25], Р. В. Гамкрелидзе и Г. Л.Харатишви-ли [20] - [21], А.М.Тер-Крикоров [35] и другие.

Диссертационная работа посвящена исследованию необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях. Основным аппаратом исследований являются методы возмущений. При этом исходная экстремальная задача погружается в семейство аппроксимирующих ее задач, причем возмущенные задачи оказываются качественно проще исходной. После анализа и преобразования аппроксимирующих задач получаем результаты для исходной задачи предельным переходом по параметру возмущения.

В данной работе использованы следующие два метода возмущений: метод штрафов и метод х — возмущений. Метод штрафов впервые был использован Р. Курантом [44] и позднее развивался многими авторами (см. например, [37], [27], [28]).

Опишем суть метода штрафов. Для получения необходимых условий экстремума наряду с задачей f0(x) —> min, х е Х0, где множество Х0 задает ограничения, рассматривается семейство задач ft (x) -" min, зависящих от коэффициентов штрафа t, в которых ограничения отсутствуют, а функция ft подбирается так, что ft (x) fo (x), t->oo Vx е Х0, ft (x) +оо, t оо V х g Х0.

Для произвольного фиксированного значения коэффициента штрафа t в задаче без ограничений выписываются необходимые условия первого, второго порядка и затем, переходя к пределу при t —> оо, получаем необходимые условия для исходной задачи.

Метод [I — возмущений был разработан А. В. Арутюновым [7] - [8]. Рассмотрим модельную задачу быстродействия: х = f (jc, и, t), x (0) = x0, x (T) = x, ugU = {u&Ek:r (u)<0}, T min.

Здесь XGEn, uGEk-, —(u)*0VuGEk:r (u) = 0, все отображения ди достаточно гладки, а минимум ищется в классе существенно ограниченных функций со значениями в U. Пусть u0(t), t е [О, Т0] - оптимальное управление в этой задаче. Предположим, что для любой функции |/, удовлетворяющей этому управлению в силу принципа максимума, max (yiTo), f (xltu, T0))> 0. uetl.

Рассмотрим семейство задач минимизации интегрального функционала с нефиксированным временем т т jl — juJ-r (u) dt + - u0(t)2dt, о 0 зависящего от числовых параметров щ > 0, ц2 > 0. При фиксированных jll± > 0 эту задачу назовем ц — задачей. Ясно, что при фиксированном ц2 > 0 и —>• 0+0 решения ц-задач сходятся к и0. По теореме 1 из [7] любое, удовлетворяющее принципу максимума управление ц — задачи иц принимает значения из int U и для п. в. t расстояние от u^t) до dU не меньше некоторого положительного числа, зависящего от HiТаким образом, в ц — задаче ограничение на управление можно не учитывать, превратив ее в задачу Лагранжа. При этом искомые необходимые условия получаем предельным переходом при щ —> 0+0.

В диссертационной работе задачи исследуются в классе обобщенных управлений [17], [20], а не обычных [33], поскольку минимум в классе обобщенных управлений достигается в силу его слабой секвенциальной компактности [20] при весьма общих предположениях.

Отметим, что исследованию задач оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекторию посвящены работы Л. Т. Ащепкова [12] - [14], В. В. Величенко [15], Г. Маурера [45] и др.

Большое внимание в диссертационной работе уделено условиям невырожденности формулируемых необходимых условий оптимальности. Дело в том, что в определенных ситуациях принцип максимума может вырождаться.

У Последнее означает, что оптимальной паре соответствует набор множителей Лагранжа, у которого |/(t) = 0 для п.в. t, с0 = 0. Более того, можно привести примеры, в которых известным вариантам принципа максимума удовлетворяют только такие множители Лагранжа. Чтобы сделать принцип максимума содержательным, на изучаемую оптимальную пару накладываются дополнительные ограничения, что и продемонстрировано в данной диссертации.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена задаче оптимального управления с промежуточными ограничениями.

В § 1 приводятся основные определения и обозначения, вводятся понятия условной сходимости [8], существенных пределов измеримой функции [8], пространства вариаций обобщенных управлений Аг2 и Агв [17].

В § 2 приведена постановка задачи и сделаны основные предположения. Рассматривается задача: х = {f (x, u, t), v (tj) — t е im], tx{tm,.

К,(р) < 0- К2(р) = 0- ^.

Rx{x, u, t) < 0- R2(x, u, t) = 0- где р = (tb tm, хь xm), Xi = x (ti), i =1, m, tx <. < tm. Здесь x e En, u e Er, K0 — скалярная, a Kx, K2 — векторные функции, которые предполагаются непрерывно дифференцируемыми. Вектор-функции f, R2 предполагаются непрерывно дифференцируемыми по (х, и) для п. в. t, ограниченными вместе со своими частными производными по (х, и) на любом ограниченном подмножестве и измеримы по t для любых фиксированных х, и.

В качестве допустимых управлений рассматриваются обобщенные управления. Обобщенным управлением называется [20] слабо измеримое по t финитное семейство вероятностных мер Радона v (t), сосредоточенных для п. в. t из некоторого отрезка [tx, t2] на множествах.

U (x, t) = {ueEr: Rx (x, u, t) < 0- R2(x, u, t) = 0}. Положим к: = {*,.,}-,> к2 = {*"}-, Ri = к,}, R2 — ы, У.

Будем изучать оптимальную пару (x0(t), v0(t)), t е [ti, 0″ 0], ПОЛОЖИВ Ро = (t1>0, tm>0, Х1)0, Xm>o), xi, o = х (Чо)> i = 1> тОбозначим через I = {i: к^Ро) = 0} -множество активных индексов неравенственных ограничений. Положим.

Is (x, u, t) = (i: |r1?i (x, u, t)| < s} для s > 0;

• ft, fa ;

R8(x, u, t) = Lin |-±L (x, u, t), i e /?(M) — -?(x, u, t), i = 1, n4|,.

C0(x, u, t) — матрица ортогонального проектирования Ег на ^(х, u, t) — К — (|1|+п2)-мерная функция, имеющая координаты кХд, i е I, к2д, i = 1, п2,.

B (t) = l^-(x0,u, t) C0(x, u, t), V0(t)j;

Фундаментальную матрицу линейного уравнения.

X = (§-(*0,М), V0{t)^jx обозначим через Z (t, t10) и определим матрицы Q1? Q2 и Q по формулам: «як qi = l/=i дх{ q2 = т ЯГ ''.о, ЯГ*.

Po)Z (tifiA, o) Z t, tlfi) B (t)Bt) (z l (tAfi j) dtZ*(tifi, tU)) Po) — ,=i 3c, J v ' fa.

1,0 fn ^.

6i q = * - q = dim Ker Q.

Для задачи (*) будем считать выполненным следующее предположения: а) смешанные ограничения регулярны, то есть существует в0 > 0: d (x, u, t) > s0 V (x, и) для п.в. t, где d (x, и, t) — максимальный по модулю из всех миноров порядка |I?o (x, u, t)| + п4 матрицы, строками которой являются вектора -^Цx, u, t), i е ISn (x, u, t) — x, u, t), i = ljT4- ди du б) множества U (t) ограничены равномерно по почти всем t, лежащим в окрестностях точек ti 0, i = I, т.

Третий параграф посвящен построению семейства аппроксимирующих задач и изучению его свойств в предположении, что смешанные ограничения не зависят от х.

Доказано, что решения — задач существуют, и их семейство аппроксимирует исходную задачу (*), то есть последовательность оптимальных управлений ц — задач слабо сходится к оптимальному управлению исходной задачи. Получен принцип максимума для ц — задачи, условия трансверсальности по времени и доказаны необходимые условия второго порядка.

На основе проведенных исследований ц — задач в § 4 выводятся необходимые условия первого и второго порядка в классе обобщенных управлений.

Пусть Н (х, и, t, i|/) = -функция Гамильтона — Понтрягина и.

1(р, с) = с0К0(р) + <сь Ki (p)> + <с2, К2(р)>,.

П Т1 где с = (с0, с1? с2) — с0 е Е1- Cj е Е 1- с2 б Е 2 — малый лагранжиан.

Теорема 1.

Оптимальная пара (х0, v0) удовлетворяет принципу максимума, то есть существуют ненулевой вектор с, кусочно непрерывная слева функция |/o (t), t е [t1>0, tm>0], имеющая в промежуточных точках ti0, i = 2, m-1 разрывы первого рода, абсолютно непрерывная на интервалах (ti>0, ti+lj0), i = 1, m-1 и удовлетворяющая на каждом из них сопряженному уравнению: дн .

П = - — дк для п. в. t условию максимума max H (u, t) = H (u, t) Vu e S (t), иеУо (') условиям трансверсальности по времени:

Я /" w я ess nm (sup H (x0(tmо), u, t, — — (po, с))) — — (p0, c) > 0, ess lim (sup H (x0(tm>0), u, t, — -^-(p0, с))) — ^(p0, c) < 0, ueU0(t) OX, m am я, ччч, а ess nm (sup H (x0(ti 0), u, t, -Hpo, с))) + ^(p0, c) > 0, ess lim (sup H (x0(ti>0), u, t, ^(p0, c))) + -f (p0, c) < 0,.

-><,• 0 ueU^t) Щ a i = 1, m-1. условиям трансверсальности: oi /я o (ti, o) = -тг (Ро, с), j/0(tm, 0) = - x-(Po, с), в промежуточных точках равенствам:

Уо (Чо + 0) — |/о (Чо) = ^(Po, с), i = 2, m-1- ex. условиям дополнительной нежесткости.

Со > 0- Ci > 0;

Будем предполагать, что все отображения, участвующие в формулировке задачи, дважды непрерывно дифференцируемы по (х, и), а соответствующие производные измеримы по t и существенно ограничены на любом ограниченном множестве.

Рассмотрим подпространство © cz Enx д-^ 0, tm)0], состоящее из таких пар (а, 8), что, если 5х () — соответствующее 8 решение уравнения в вариациях Si = f- (t) 5х + (f (u, t) 60(u, t), v0(t)>, 5x (t1>0) = a, ox, ou то для п. в. t l^-(u, t), Su (t}j = 0, Vu e S (t): Rsi (u, t)= 0, s = 1,2 Vim Off 0.

Ha © определим квадратичную форму Ы по формуле ') l^^iu, t)[dx{t), 8(uj)}v0{t)dt + f l (Po, C) [Sx (tlfi),.Sx (tmfi)]2, где 5х () — соответствующее решение уравнения в вариациях. Теорема 2.

Для оптимальной пары (х0, v0) существуют такие c> Vo)> удовлетворяющие ей в силу принципа максимума, что индекс построенной по ним квадратичной формы Ы на подпространстве 0 не превышает min (nm, q).

Вторая глава посвящена условиям невырожденности необходимых условий первого порядка в задаче оптимального управления с промежуточными и фазовыми ограничениями.

В § 5 доказано, что при выполнении определенных условий имеет место принцип максимума с усиленным условием нетривиальности, а именно: Теорема 3.

Пусть для каждого номера j: 1 < j < m-1 существует такой вектор hj, что выполняются условия: а) В*^ > 0- В*^ = 0, где.

В*ц =? §-ЧР) ®(tm, tk), = 1 f4p) o (tm, tk), k=j+1 cxk.

Звездочка * обозначает операцию транспонированияб) столбцы матрицы B*2j линейно независимы. Тогда.

Со + k (t)| * 0 V t е (tj, tj+1), j = 1, m-1. Здесь Ф (т, t) — фундаментальная матрица сопряженного уравнения ^(t) = - Щ-lf) и, как известно, для любых т,.

С/л. ti, t2 матрица Ф (т, т) является единичной и имеют место соотношения: 0(t2, tx) Ф (т, t2) = Ф (х, tx) — <5(t, т) = Ф-1(х, t). Теорема 4.

Если выполняются условия теоремы 3 и, кроме того, условие с) О, то v (t)| * О V t е (tj, tj+1), j = 1, m-1.

В шестом параграфе исследуется вопрос о необходимом условии непрерывности гамильтониана для частного случая задачи (*), и приведены примеры. В первом из них функция Гамильтона-Понтрягина терпит разрыв первого рода в промежуточной точке. Во втором — функция |/(t) вырождается на одном из интервалов непрерывности.

§ 7 посвящен изучению задачи (*) при наличии фазовых ограничений: х = (f (x, u, t), v (t)), t е It, < tmК,(р) < О, К 2(p) = 0- gj (x, t) < 0, je JК 0 (p) -> min, где gj — скалярные непрерывно дифференцируемые по совокупности переменных функции.

Введем несколько определений и обозначений.

J (t) = {j g J: gj (t) = 0}. Будем говорить, что фазовое ограничение gj согласовано с промежуточными ограничениями в точке р0, если вложение: р: |p-pol ^ е, К0(р) < К0(Ро), К^р) < 0, К2(р) = 0} с с {р: gj (Xi, ti) < 0, i=l,. m}.

Обозначим через Jj множество тех индексов jeJ, для которых фазовое ограничение gj согласовано в точке р0 с промежуточными. В дальнейшем будем предполагать, что промежуточные ограничения, к которым добавлены неравенственные ограничения gj (Xi, tA) < 0, jeJJ! регулярны, то есть rang %р0) = п2- 3%Ро)Р° = О, ф ф.

Ро), Р°> < О V iel, <%(ро), р°> < О V) eJJv ф ф.

Будем считать, что заданное управление v0(t) и соответствующая траектория x0(t) оптимальны в рассматриваемой задаче и удовлетворяют следующему предположению: а) существует такое в > 0, что множества U (t) равномерно ограничены по t, лежащим в s — окрестностях точек t1>0, tmj0.

Теорема 5.

Пусть пара (x0(t), v0(t)), t е о>^m о] оптимальна для задачи и выполняется предположение а). Тогда существуют одновременно неравные нулю вектор с, регулярная борелевская неотрицательная векторная мера г|0 j, j е J и непрерывная слева функция ограниченной вариации |/o (t), te[t1>0, tmjoL удовлетворяющие следующим соотношениям: ?л w W w Ь, а / ч J ~ ^ j j &-Х jGj t сХ k=i+1 cxk.

V t e (tij0, ti+1>0], i = 1, m-1- для п. в. t условию максимума max H (u, t) = H (u, t) Vu e S (t) — ueU0(t) условиям трансверсальности по времени: ess li^ (sup H (x0™0), u, t, — — (po, c))) — — (po, e) > 0, ueU0(t) <Лт Otm ess lim (sup H (x0(tm>0), u, t, — -^-(p0, с))) — -f^Po, c) < 0,.

-><�"," ueU (l (t) <Жт Otm Я ess Jim (sup H (x0(ti)0), u, t, —(p0, c))) + — (p0, c) > 0, t->tifi UGU0(t) Щ ess Ит (sup H (x0(ti>0), u, t, — (p0, c))) + — (p0, c) < 0, i = 1, ., m-1, условиям трансверсальности: Vo (ti, o) = -тг (Ро> с), в промежуточных точках ti0, i = 2, ., m-1 равенствам:

Уо (Чо+0) — v|/0(ti>0) = ^(Po, с) + S %(ti>0) Ло^Чо);

CKi jeJ CX условиям дополнительной нежесткости: c0 > 0- Cl > 0- (K^po), Cl> = 0. Если, кроме того, f непрерывно дифференцируема, а многозначное отображение U постоянно, то для Н имеет место представление: тт/ ч V дН /. , ^ V dg. / ч, A dl / ч max H (u, t) = - J —{r)dr + 2, Jz-®drj0J + la—(p0,c), t^ tifi, tt ugU t Л JeJ t 01 k=i+l <Лк, а условия трансверсальности по времени принимают вид: max Щи, ti>0, х" (Ро" с" + 4(Ро> с) = 0, i = 1, m-1, ueU0(t) CXi at I.

1,0 max Щи, tm, o, — -f-(P0, с)) — f (Po, с) = 0.

Для доказательства теоремы построена последовательность возмущенных задач и доказаны оценки, обеспечивающие возможность предельных переходов.

Чтобы сделать принцип максимума содержательным, в восьмом параграфе на изучаемую оптимальную пару накладывается ограничение, предполагающее ее управляемость.

Определение.

Пара (х, v) управляема в промежуточных и концевых точках, если существует UjeU, i = l, т: 0, Vj: gj (0 = О J G J, i = uTl- &-Г (0,f (x (0,um, tm) J +^L (/j J < О, V/: gj™ = 0, y G /.

Теорема 6.

Пусть выполняются предположения теоремы 3, а также.

1) оптимальная пара (х, v) управляема в промежуточных и концевых точках;

2) фазовые ограничения согласованы с промежуточными;

3) вектора = о|, у е / позитивно линейно независимы Vt е [tb tm], то есть для любого t существует вектор g = g (t) такой, что V/ ej (t).

Тогда пара (х, у) удовлетворяет принципу максимума со следующим условием нетривиальности: с0 + mes {t: |/(t) ф 0} > 0. § 9 посвящен решению минимаксной задачи. На решениях задачи с промежуточными ограничениями х = {f (x (t), u (t), t), v (t)), t е [t^Q, tt< 0, K2(p) = 0 требуется минимизировать функционал J[x, u] = max cp (x (t), t) + K0(p).

Теорема 8.

Пусть выполнены условия согласованности, управляемости и о дх для всех пар (х, t), для которых cp (x (t), t) + KQ (p) = J0. Тогда найдется оптимальная пара (x0(t), v0(t)), t е [t10, tm>0] и число |/° < 0, удовлетворяющие принципу максимума для функции.

Н°(х, u, t, |/, v|/°) = Н (х, u, t, |/) + |/°ф (х, t) и условию невырожденности с0 + mes {t: |/0(t) ^ 0} > 0. В § 10 рассматривается задача оптимального управления со смешанными ограничениями: х = (f (x, u, t), v (t>), t 6 [f,, tm], t, < tm K,(p) < 0, К 2 (p) = 0- R^x^uj) < 0, R2(jc, u, t) = 0- К0(p) min.

Теорема 9.

Оптимальная пара (x0(t), v0(t)), t e [t1)0, tm, 0] удовлетворяет принципу максимума, то есть существуют ненулевой вектор с = (с0, с1? с2), слабо измеримые (по t) семейства п3- и п4-мерных мер Радона a^t), a2(t) и кусочно непрерывная слева функция |/o (t), t е [t1>0, tm 0], имеющая в промежуточных точках ti0, i = 2, m-1 разрывы первого рода, абсолютно непрерывная на интервалах (ti0, ti+1>0], i = 1, m-1 и удовлетворяющая сопряженному уравнению на каждом из них:

Wait) = J dv — 2 J ~, t ax jGj t ox, k=M axk для п. в. t условию максимума тах H (u, t) = Н (и, t) Vu е S (t) — ef/0(O и, t), v0(t)j + ^ (и, t), а^ + ^ {и, t), а2(t)^J = 0- условиям трансверсальности по времени: ess Mm (sup H (x0(tmj0), u, t, — —(p0, с))) — — (po, с) > О, о uzU0(t) Otm.

31 31 ess Ит (sup H (x0(tm>0), u, t, — —(Po, с))) — — (p0, c) < 0, t^tafi uzu^t) cicm am ess (sup H (x0(ti>0), u, t, — (po, c))) + —(po, c) > 0,.

->/,-, о ueU0(t) Щ.

31 ess lim (sup H (x0(ti>0), u, t, — (p0, c))) + —(p0, c) < 0, i = 1, ., m-1, условиям трансверсальности:

Уо (Чо) = J^Po" c)> Vo (tm, o) = - f (Po, c);

1 m в промежуточных точках ti>0, i = 2, m-1 равенствам:

Vo (ti, o+0) — ЫКо) = ^(Po, c) + 2%Чо)Л (и (Чо) — cXj jGj ax условиям дополнительной нежесткости: с0 > 0- Cl > 0- (К^ро), сг) = О, меры a^t), a2(t) абсолютно непрерывны относительно меры v0(t), меры ay (t) сосредоточены на множествах ueU (t): rj4(x0, u, t) = 0}, j = 1, 2, ax = (an, aln3), dR / dr.

-(u, t), ai (t)) = V{—^(ji, t), alt (t)) и аналогично для a2. ди / i=i ди j.

В § 11 исследованы различные задачи оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях в классе обычных управлений. Для них получены необходимые условия оптимальности.

1. Аграчев А. А. Необходимое условие оптимальности второго порядка в общем нелинейном случае. // Мат. сборник. 1977. — Т.102, № 4. — С.551−568.

2. Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия. // Мат. сборник. 1976. — Т.100, № 4. — С.610−643.

3. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. — 429 С.

4. Арутюнов А. В. К необходимым условиям оптимальностив задаче с фазовыми ограничениями. // Докл. АН СССР. -1985. Т.280, № 5. — С.1033−1037.

5. Арутюнов А. В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Докл. АН СССР. 1989. — Т.304, № 1. — С.11−14.

6. Арутюнов А. В. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Труды Ин-та Прикл. мат., Тбил. ун-т. -1988. Т.27. — С.46−59.

7. Арутюнов А. В. Возмущения экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности. //Итоги науки и техники, сер. матем. анализ. М., 1989. -С.147−235.

8. Арутюнов А. В., Зеркалов Л. Г., Силин Д. Б. Необходимые условия первого и второго порядков в минимаксной задаче оптимального управления. // Вестник Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. мат. и киберн. 1990, № 3. — С.60−67.

9. Арутюнов А. В., Тынянский Н. Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями. // Изв. АН СССР, сер. тех. киберн. 1984, № 4. — С.60−68.

10. Арутюнов А. В., Окулевич А. И. Необходимые условия оптимальности в задачах с промежуточными ограничениями. // «Понтрягинские чтения V», тезисы докладов школы. — Воронеж, ВГУ. — 1994. — С.11.

11. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск: Наука, 1987. — 227 С.

12. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями. // Прикладная математика и механика. 1981. — Т.45, вып.2. — С.215−222.

13. Ащепков Л. Т., Белов Б. И., Булатов В. П. и др. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления. Новосибирск: Наука, 1984. -233 С.

14. Благодатских В. И. Принцип максимума для дифференциальных включений. // Труды МИАН им. В.А.Стек-лова. 1984, CXVI. — С.23−43.

15. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. — 408 С.

16. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальнымии функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977. -622 С.

17. Величенко В. В. Условия оптимальности в задачах управления с промежуточными условиями. // Докл. АН СССР. 1967. — Т.174, № 5. — С.1011−1013.

18. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974. — 272 С.

19. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. -Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1977. 253 С.

20. Гамкрелидзе Р. В., Харатишвили Г. Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1969. — Т. ЗЗ, № 4. — С.781−839.

21. Дубовицкий А. Я., Дубовицкий В. А. Необходимыел, условия сильного минимума в задачах оптимального управления с вырождением концевых и фазовых ограничений. // Успехи мат. наук. 1985. — Т.40, № 2, С.175−176.

22. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. -1965. Т.5, № 3. — С.395−453.

23. Жидков Ю. Н. Необходимые условия оптимальности в двухуровневых иерархических динамических системах с векторными критериями. М.: Вычислит. Центр АН СССР, 1981. — 46 С.

24. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальныхзадач. М.: Наука, 1974. — 479 С.

25. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. -544 С.

26. Лионе Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. — 412 С.

27. Мордухович Б. Ш. Штрафные функции и необходимые условия в негладких и невыпуклых задачах оптимизации. // Успехи мат. наук. 1981. — Т.36, вып.1. — С.215−216.

28. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. — 480 С.

29. Окулевич А. И. Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях. Тезисы докладов XXX научной конференции фак-та физ.-мат. и естеств. наук. 4.2 — М.: Изд-во РУДН, 1994. — С.17.

30. Окулевич А. И. Принцип максимума и его невырожденность в задаче с промежуточными и фазовыми ограничениями. М., 1994. — 21 С. — Деп. в ВИНИТИ 15.07.94, № 1805 — В94.

31. Окулевич А. И. Принцип максимума в задаче с промежуточными ограничениями. М., 1994. — 37 С. — Деп. в ВИНИТИ 15.07.94, № 1806 — В94.

32. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. — 384 С.

33. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. -М.: Наука, 1969. 151 С. Ф 35. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. — М.: Наука, 1977. — 214 С.

34. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. — 496 С.

35. Федоров В. В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. — 278 С.

36. Федоров В. В. Принцип максимума в минимаксной задаче управления с фазовыми ограничениями. // Вестн. МГУ, сер.15. 1977. — № 4. — С.36−46.

37. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. -1071 С.

38. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теорииоптимального управления. М.: Мир, 1974. — 488 С.

39. Arutyunov А.V., Silin D.B., Zerkalov L.G. Maximum principle and second-order conditions for minimax problems of optimal control. // J. Optimiz. theory and appl. Vol.75, № 3. — 1992. — C.521−533.

40. Blagodatskih V.I. Sufficient conditions for optimality in * problems with state constraints. // Appl. Math, and Optimiz.- 1984. Vol.7. — C.149−157.

41. Courant R. Variational method for the solution of problems of equilibrium and vibrations. // Bull. Amer. Math.$ Soc. 1943. — Vol.49, № 1. — C. l-23.

42. Maurer H. On the minimum principle for optimal control problems with state constraints. // Schriftenreihe des Rechenzentrums des Universitat Munster, № 41. 1979. -28C.