Функциональное исчисление и асимптотические конструкции в теории операторов

Теория С*-алгебр, бурно развивающаяся и настоящее время, призвана выработать адекватный математический аппарат для квантовой физики и, в то же время, исследовать алгебраическую основу задач и конструкций операторной теории. Хотя главной особенностью этой теории является некоммутативность, так что ее разделы даже носят названия некоммутативная геометрия, некоммутативная теория вероятностей, одним из основных технических средств остается функциональное исчисление. Аппарат функционального исчисления, связывающий С*-алгебры с теорией функций, используется как в основных конструкциях, так и в оценках норм и спектров, операторных неравенствах и т. д. По существу, возможность применения функционального исчисления в С*-алгебраической ситуации основана на спектральной теореме Гильберта-Шмидта-Вейля-фон Неймана. Эта возможность с успехом использовалась уже в первой, основополагающей работе И.М.Гельфанда-М.А.Наймарка. Ряд дальнейших глубоких результатов, основанных на использовании функционального исчислении был получен Арвесоном, Педерсеном, Хаагерупом, Войкулеску, Кунцем и многими другими исследователями.

Другим важным методом получения нужных объектов и необходимых оценок является метод асимптотических конструкций, состоящий в получении точных соотношений с помощью последовательностей приближенных и дальнейшей факторизации. Его основоположниками следует, новидимому, считать Риффела и Макдафф, но истоки он берет в известных результатах Вейля и фон Неймана, а наиболее важные применения были получены в известной работе Конна о классификации факторов фон Неймана. Дальнейшее развитие метод получил в работах Конна, Хигсона, Войкулеску, Блакадара, Лоринга, Киршберга, Томсена и других исследователей.

В данной работе оба этих метода применяются в задачах классификации представлений соотношений (первая глава работы) и в задачах гомотопической теории С*-алгебр (вторая глава). В третьей главе функциональное исчисление становится не только методом, но и объектом исследования. Здесь отображения вида a н-" f (a) (функциональные отображения) включаются в более широкий класс отображений, ковариаптпых относительно унитарной эквивалентности, и их свойства изучаются в соответствующем более широком контексте.

Задачи расширения области применимости обоих методов, исследования их внутренней природы являются весьма актуальными.

Целью диссертации является применение функционального исчисления и использование асимптотических конструкций для решения конкретных задач теории С*-алгебр и теории операторов.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них отметим следующие:

1. Классификация по сложности теории представлений универсальных алгебр проекторных соотношений.

2. Доказательство существования асимптотического гомоморфизма из С*-алгебры Со (К2) <Э, А ® К в С*-алгебру qA ® К, который индуцирует естественное преобразование КК-функтора Каспарова в Е-функтор Конна и Хигсона (указанные объекты будут определены в главе 2).

3. Доказательство асимптотической эквивалентности С*-алгебр Со (М2)® А®К и qA® Ккак следствие, дана характеризация Е-функтора Конна-Хигсоиа в терминах свободных С*-ироизьедений.

4. Описание и исследование унитарно-ковариантных отображений в конечномерных и аппроксимативно-конечномерных С*-алгебрах.

Работа имеет теоретическую направленность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении устойчивости полиномиальных соотношений, в теории представлений *-алгебр, теории операторных неравенств, в гомотопической теории С*-алгебр, теории операторно-гладких классов функций, теории мультипликаторов Шура.

В диссертации используются методы теории операторов, теории функций, теории представлений, теории С*-алгебр (в частности, С*-алгебраической К-теории, теории расширений, теории операторного КК-функтора Каспарова, теории свободных С*-нроизведений, Е-теории Конна-Хигсона).

Результаты диссертации докладывались на конференции МФТИ (2001 г.), на школах-симпозиумах по спектральным задачам КРОМШ (Крым 2002,2003,2004), на семинаре Мехмата МГУ по некоммутативной геометрии и топологии (руководитель.

А.С.Мищенко) (2003), на Санкт-Петербургской конференции, но математическому анализу (2004 г.), на международной конференции по операторным алгебрам в Словении (Блед 2005).

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы.

1. P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, van Nostrand, 19G7.

2. I.Ts.Gohberg and M.G.Kreyn, Introduction to the Theory of Linear Nonselj’adjoint Operators in Hilbert Spaces, Nauka, Moscow, 1965.

3. И. М. Глазман, Ю. И. Любич, Конечномерный Линейный Анализ, Наука, Москва, 1969.

4. G. Bennett, Shur multipliers, Duke Math. J., 44, 603−639 (1977).

5. А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, Москва, 1971.

6. Н. Бурбаки, Спектральная теория, серия Элементы Математики, М. Мир, 1972.

7. J. Gliinm, Type I C*-algebras, Ann. Math. 73, 572−612 (1961).

8. V. Ostrovskyi, Yu. Sainoilenko, Introduction to the Theory of Representation of Finitely Presented *-Algebras, Reviews in mathematics and mathematical physics, Vol. 11, Part 1, Moscow, 1999.

9. E. Kirchberg, N. Phillips, Embedding of exact C*-algebras in the Cuntz algebra 02, J. Reine Angew, Math. 525, 17−53 (2000).

10. E. Kirchberg, On subalgebras of the CAR-algebra, J. Functional Analysis, 129, no. l, 35−63 (1995).

11. P. Wu, Additive combinations of operators, Functional Analysis and Operator Theory, Banach center publications, Vol. 30, Warszawa, 1994.

12. K. R. Davidson, C*-Algebras by Examples, Fields Institute Monographs, 1995.

13. A. Connes, Noncommutative geometry, Academic Press, 1994.

14. J. Cuntz, A new look at KK-theory, K-theory 1 (1987), 31−51.

15. J. Cuntz, Generalized homomorphisms between C*-algebras and KK-theory, Proc. of Math. Pliys. Conf. (ZIF Bielefeld 1981), Springer Lecture Notes in Math. 1031, 180−195.

16. Г. Г. Каспаров, Операторный К-функтор и расширения С*-алгебр, Известия Академии Наук СССР, Серия Математическая 44 номер 3, 571−636 (1980).

17. A. Connes, N. Higson, Deformations, morphisjries asymptotiques et K-theorie bivariante, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math. 311, 101−106 (1990).

18. T. Loring, Perturbation questions in the Cuntz Picture of K-theory, K-theory 11:161−193(1997).

19. T. Loring, K-theory and asymptotically commuting matrices, Can.J. Math., Vol. XL, no.1, 197−216 (1988).

20. T. Loring, Almost multiplicative maps between C*-algebras, Operator Algebras and Quantum Field Theory. Internat. Press, 111−122 (1997).

21. W. Arveson, Notes on extensions of C*-algebras, Duke Math.J.44, 329−355 (1977).

22. B. Blackadar, K-theory for Operator Algebras, Math.Sci.Res.Inst. Publ.5, Springer-Verlag, New York, 1986.

23. K. Thomsen, К. K. Jensen, Elements of KK-theory, Birkhauser, Boston, 1991.

24. N. Higson, A characterization of KK-theory, Pacific J. of Math., Vol.126, no.2 (1987).

25. G. K. Pedersen, C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, London-New York-San Francisco, 1979.

26. D. Voiculescu, Asymptotically commuting finite rank unitary operators without commuting approximants, Acta Sci. Math. (Szeged) 45, 429−431 (1983).

27. M. Dadarlat, T. Loring, K-homology, asymptotic representations, and unsuspended E-theory, J. Funct. Anal. 126, 367−383 (1994).

28. С. А. Кругляк, В. И. Рабанович, Ю. С. Самойленко, О суммах проекторов, Функц. анализ и его ирил., 36, номер 3, 20−35 (2002).

29. В. И. Рабанович, Ю. С. самойленко, Когда сумма идемпотентов или проекторов кратна единице, Функц. анализ и его ирил., 34, номер 4, 91−93 (2000).

30. С. А. Кругляк, Функторы Кокстера для одного класса *-колчапов, Укр. матем. ж., 53, номер 7, 939−953 (2001).

31. С. А. Кругляк, А. В. Ройтер, Локально скалярные представления графов в категории гильбертовых пространств, Функц. анализ и его ирил., 39, номер 2, 13−30 (2005).