Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений

Как хорошо известно, метод Фурье является удобным и наиболее распространенным и мощным инструментом исследования смешанных задач математической физики.

Впервые строгое обоснование метод Фурье получил в работах В. А. Стеклова [28]. Для многомерной смешанной задачи дг где? — положительный, самосопряженный оператор, порожденный дифференциальным выражением м д (диЛ дх. к,¡-=1 илг у к У и краевым условием Дирихле или Неймана, метод Фурье обоснован О. А. Ладыженской [22−24]. Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для линейных смешанных задач гиперболического типа в случае разделения переменных получены В. А. Ильиным [16].

Многие важные классы смешанных задач для дифференциальных уравнений с частными производными можно трактовать как задачу Коши для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых или гильбертовых пространствах [12]. Операторные уравнения второго порядка по t довольно общего вида изучались О. А. Ладыженской, М. И. Вишиком [11], Т. Като, М. А. Красносельским, С. Г. Крейном, Ю. Л. Далецким, П. Е. Соболевским и др.- подробную библиографию см. в [21].

Для случая несамосопряженного оператора обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функции в ряды по главным функциям дифференциальных операторов и пучков. Этими вопросами занимались М. В. Келдыш, В. А. Ильин, В. Б. Лидский, А. Г. Костюченко, А. П. Хромов, Ш. А. Алимов, А. А. Шкаликов, А. И. Вагабов, М. Г. Гасымов и др.

Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяющимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются неизвестные коэффициенты разложения.

Впервые метод Фурье к уравнению с неразделяющимися переменными применил С. Н. Бернштейн [7], рассмотревший смешанную задачу для одного нелинейного уравнения гиперболического типа.

Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах З. И. Халилова [31, 32], К. М. Мамедова [26], Ю. Ф. Коробейника [18−20], А. В. Дедушева [15], рассматривавших линейные уравнения с неразделяющимися переменными.

С другой стороны, появилась большая серия работ [13−14], [25], [29], в которых этот же метод распространяли на решение.

ТЧ V/ квазилинеиных смешанных задач. В этой связи отметим другую серию интересных работ [1], [34−36] и др., относящихся к широким классам нелинейных смешанных задач и опирающихся на методы априорных оценок.

Существенное развитие обобщенный метод Фурье получил в работе А. И. Вагабова [9], относящейся к случаю нелинейного гиперболического и параболического уравнений. В ней, с одной стороны, старшая линейная часть задачи не допускает разделения переменных. С другой — решение задачи сводится не к бесконечной системе дифференциальных уравнений, как это было при традиционном методе, а к простой системе из двух или трех интегральных уравнений.

Настоящая диссертация посвящена развитию метода работы [9] - ее приложению к проблеме исследования смешанной задачи для нелинейной гиперболической системы 2-го порядка.

Приведем обзор содержания работы. Весь текст диссертации связан решением следующей смешанной задачи для гиперболической системы: д2и, А д2и, А д2и -+ А2—г + д12 дгдх дх2.

О <х< 1, 0<(<Т< оо, 0 = дt ' дх.

1) V и (0,х) = к0(х), ди дг.

27(Х),.

2) (3).

1=0 где и, к0, к1г/-пх1, а А1, А2 -пхп-матрицы. Предполагается, что а) для ф — корней уравнения с1е^А2(р2 +А]Ц)-Е)=0 выполнены неравенства.

Ф- <-<Ф&bdquo- <0<<рп+1 <.<<�р2иа*к.

4).

5) б) /2г (х)еСЙ,.

Ьс* 0, 8 = 0,2−1, 1 = 0,1;

0,1 в) /(?, х, и) — непрерывно дифференцируема в области В: 0 <1 <Т,.

0<х<1. и-Ф ?2 = сошХ, где Ф = Ф.

ЭФ ЭФ д1 дх.

Ф (/, л-) — решение линейной задачи (1)-(3) при / = 0, (| ¦ | - равномерная норма).

7 / N (0 Е) где М АМ = А=, .-1. •.

А2 2 А1).

После постановки проблемы в § 1 гл. 1 в § 2 составлена краевая задача с комплексным параметром X:

А2у" (х)+ ЩУ (х) — Х2у (х) = ХН0(х)-А}к'0 (х), (6) у (0) = у (1) = 0. (7).

Построена матрица Грина 0(х, X) задачи (6), (7) и дано представление решения задачи: у (хл Я) = {Як0 ({) — АХК) +. о.

В теореме 3 найдена экспоненциальная асимптотика элементов матрицы Грина, с помощью которой в теореме 4 из § 3 получена формула интегрального представления для любой непрерывно дифференцируемой пвектор-функции к°(х): 1 1.

—-== § хах^{х&Х^Ь0^^ = М> н"0. (8).

271л/- 1 Кех=±н о.

Заменяя в формуле (8) интеграл по прямым ЯеХ = ±-Н пределом интегралов по границам определенных прямоугольников с боковыми сторонами, лежащими на этих прямых, легко прийти к разложению к°{х) в ряд Фурье по главным вектор-функциям однородной задачи (6).

7).

В § 4 с помощью формулы (8) доказана теорема 5, утверждающая, что любое решение задачи (1)-(3) служит решением системы интегро-дифференциальных уравнений. 1 и{г, х) = Ф (*, х)—- сГХ в{х, Х) А-2! а£ х.

ЯеХ=±Н О о где ф{их)=г"ахл)А-1 (Л-10(<*)-^+К (Фе.

Яе Я=±Н О.

— решение задачи (1.1)-(1.3) при / = 0.

В теореме 6 обосновывается, что и всякое решение системы (9) является решением задачи (1)-(3). Таким образом, решение задачи (1)-(3) и системы (9) равносильны.

В последнем параграфе гл. 1 установлена теорема 7, сводящая решение системы (9) к равносильному вопросу решения системы Зп интегральных уравнений:

Вторая глава диссертации посвящена исследованию системы интегральных уравнений (10) и установлению основных результатов этого исследования. Отметим, что сложность указанного исследования кроется в нестандартном виде интегральных уравнений (10) в.

10) где присутствии «посторонней операции» интегрирования по прямой Яе X = Н. Наши усилия направлены прежде всего к упрощению системы (10).

В первом параграфе, в теореме 2 для элементов матрицы Грина при КеХ>Н получено представление вида:

I I.

1=0 г1+.+гр≠1 П. гр-1⁰.

2п п, ч к=п+1}=1 п 2п к=1]=п+1.

— Я,(г (ф)+ф ъ{хук (11) где.

1МАМЛ, п+те 0<^<Х, к=1 к=п+1.

2п^ Р.

V п У константы,.

12) г (ф) = г-(ф"+7 -фи)+. + />/(ф"+/ ± + ЪпФ/ —-фи). а в последней сумме в (11) указаны слагаемые, для которых Ь (Х)->1 при ЯеХ—>+оо, Я>Т. Точки в продолжении сумм внутри скобок указывают конечное число слагаемых предыдущего вида с экспонентами, убывающими сильнее их.

В § 2, опираясь на формулы (11), путем вычисления интегралов по X система интегральных уравнений приводится к каноническому виду и доказана.

Теорема 3. Система интегральных уравнений (10) в классе непрерывно дифференцируемых решений эквивалентна канонической системе интегральных уравнений вида: о ], т-1 к=1 ф к I I п I.

2п п «/.

ЕЕ Е Е ИьУ’к>8>т'г1'-'гр-1Рщх т,]=11−0 г1+.-1ггр1=1 к=п+1 .?=/.

X ——- +. У.

О ], т=1 к-1 фк, а с11 +.

Ш].

I 1 п '0 ¿-.п, , .

Е Е Е Е Иъ^к'8<�т'г1'-'гр-1Рщх.

2п п т=11=0 г!+.+Гр1=1 к=п+1 .5=7 V П. X р*.

Т, У.

Жп (1 /.

0 ]№=1 к=1.

I /.

П 1р ¿-п п / ч.

ЕЕ Е Е Т*ьч>к>з>т>г1>-''>гр-1)х.

2п п т=11−0 г-+.+Гру=/ к=п+1я=1.

Ф£ Ф, ск,.

13) где.

— переменные, линейно зависящие от хк, хь е [0,7]. В теореме 4 при условиях а)-г) устанавливается существование и единственность непрерывно дифференцируемого решения системы интегральных уравнений (10) при t.

В теореме 5 § 4 и в замечании к ней доказана теорема существования и единственности решения и^, х) исходной задачи (1).

3).

В теореме 6 дана формула разложения решения 1/(1, х) в ряд Фурье по главным вектор-функциям однородной задачи (6)-(7): оо 1 и{$, х):

2%ы~1 к=-сос о.

X ?в (х, ^ Я) А'1 {(Хк0 Й) — А&Й)+(Фхс.

14) где ск — замкнутый контур, содержащий внутри единственный полюс Хк функции С?. Оценивается возмущение слагаемых ряда.

В завершении параграфа 5 выполнены исчерпывающие вычисления в интегральном представлении решения в случае простой задачи колебания струны: д2и д II 0, 0 <х< 1, 0<�Г<�Т дг2 дх2 и (0,х) = Фо (х), £/-(0,х) = Ф'-(х),.

15).

16) (17).

Жс' 0, 1 = 0,1- 8 = 0,2.

0,1.

Получено элементарное выражение для решения задачи (15)-(17) вида: * к=0 + ф0 (2к + 2 + х — г) — ф0 (.2 к + 2 — х — /) + ф0 (/ + х — 2к — 2)} +.

— ф7(2£ + 2 + х + фу (2А- + 2 — х — + ф7(/ + х — 2к — 2.

18) причем полагается, что фг (Д) = 0 при [0,7].

В каждой из сумм в (18) относящихся к ф0 и к фпри данных х, t лишь два слагаемых (соседних) отличны от нуля.

В заключение укажем на основные результаты работы:

1. Смешанная задача для гиперболической системы второго порядка на плоскости сведена к предельно простой системе интегральных уравнений типа Вольтерра.

2. Доказана теорема существования и единственности, и указана конструкция решения исследуемой задачи.

3. Дано представление решения в виде обобщенного ряда Фурье по главным вектор-функциям соответствующей спектральной задачи.

Основные результаты диссертации изложены в работах [2−6].

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на ГУ-Северо-Кавказской региональной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Махачкале, 23−25ЯХ, 1997 г.), на Региональной конференции «Физическая электроника» (Махачкала, 1999 г.), на городском семинаре по математике (г. Махачкала, 1999 г.), на научных семинарах математических кафедр Дагестанского государственного университета.

1. Акрамов Т. А., Вишневский М. П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия //Сибирский матем. журнал. — 1995. — Т.36, № 1. С.3−19.

2. Ашурбеков К. Д. Нелинейная смешанная задача для плоской гиперболической системы второго порядка. В кн.: Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский научно-тематический сборник. Выпуск 3. Махачкала. 1997. — С.42−53.

3. Ашурбеков К. Д. Нелинейная смешанная задача для плоской гиперболической системы второго порядка.2. Махачкала, 1997. -23 с. Рук. представлена Даггосуниверситетом. -Деп. в ВИНИТИ 24.11.97, № 3441-В97.

4. Ашурбеков К. Д. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений. В сб. Материалы VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование», Ростов-на-Дону, 1999 (в печати).

5. Ашурбеков К. Д. Уравнения математической физики, связанные с колебательными процессами в одномерной среде с возмущениями. В сб. докл. Региональной конференции «Физическая электроника», Махачкала, 1999, С.68−70.

6. Бернштейн С. Н. //Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. ИАН СССР, серия математическая, 1940. -Т.4, № 1. -С. 17−25.

7. Вагабов А. И.

Введение

в спектральную теорию дифференциальных операторов, Ростов-на-Дону, 1994, С. 160.

8. Вагабов А. И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений //Дифф. уравнения. -1996. Т.32, № 1, С.90−100.

9. Вагабов А. И. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по главным функциям обыкновенных дифференциальных операторов //Изв. АН СССР. Сер. матем. -1984. -Т.48, № 3. С.614−630.

10. Вишик М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. Мат. сб., 1956, 3961. — С.51−148.

11. Гаевский X., Грегер К., Зазариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: «Мир», 1978. — 336 с.

12. Гусейнов А. И., Гасанов К. К. О применимости метода Фурье к решению смешанной задачи для одного класса квазилинейных гиперболических уравнений. //ДАН СССР. -1963, Т. 148. — № 4. С.761−764.

13. Гусейнов А. И., Худавердиев К. И. О решении методом Фурье одномерной смешанной задачи для квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка. //ДАН СССР. -1963. Т.148. — № 4. — С.761−764.

14. Дедушев A.B. Обобщенный метод Фурье в уравнениях с частными производными: Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1987. — С.149.

15. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений.//УМН. 1960. — Т. 15, № 2. — С.97−154.

16. Келдыш М. В. О собственных функциях и собственных значениях некоторых классов несамосопряженных уравнений. //ДАН СССР. -1951. -Т.77, № 1. С.11−14.

17. Коробейник Ю. Ф. Бесконечные системы линейных дифференциальных уравнений. // Дисс.. канд. физ.-мат. наук, -Ростов Н/Д, 1955.-204 с.

18. Коробейник Ю. Ф. О сходимости метода редукции при решении счетных систем линейных интегральных уравнений. -Ученые записки РТУ, Ростов Н/Д. -1959. -Т.43, № 6. С.21−57.

19. Коробейник Ю. Ф. Решение смешанной задачи методом Фурье для интегро-дифференциального уравнения.//ДАН СССР. -1957.-Т.114.

20. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. С.: «Наука», 1967. — 464 с.

21. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: ГФМЛ, 1973. 407 с.

22. Ладыженская O.A. О решении нестационарных операторных уравнений.//Математический сборник. 1956. -Т.39, № 4, — С.491−524.

23. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ, 1953. -279 с.

24. Максудов Ф. Г., Худавердиев Ф. К. Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений.//ДАН СССР. -1990. -Т.310, № 3. -С.539−542.

25. Мамедов K.M. Решение смешанной задачи для одного общего одномерного гиперболического уравнения. //Труды института физики и матем. АН Азерб. ССР, сер. матем. -1955, № 7.

26. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. -М.: ГФМЛ, 1969.-526 с.

27. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. -М.: «Наука», 1983. -432 с.

28. Сулейманов Д. Н. О существовании и единственности обобщенного решения смешанной задачи для гиперболической системы с нелинейной частью второго порядка. //Сб. «Функциональный анализ и его применение». Баку, изд-во «Элм», 1971, -С. 178−192.

29. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917. — 308 с.

30. Халилов З. И. К методу разложения по собственным функциям главной части уравнения в решении смешанных задач. //Труды Азерб. ун-та, сер. физ.-мат. наук, 1954. -Т. 10, № 4. С.235−239.

31. Халилов З. И. Об одном методе решения смешанных задач.//ДАН СССР, 1952. Т.83.

32. Шварц Лоран. Анализ. Т.1. -М: Мир, 1972. -742 с.

33. Amann H. Dynamic theory of quasilinear parabolic equations II reaction diffusion system //Differential Integral Equations. 1990. V.3, № 1. P.13−75.

34. Struwe M.A. Counterexample in regularily theory for parabolic systems. //Czechoclovak Math. J. 1984. V.34, № 2. P. 183−188.

35. Stara J., John O., Maly J. Counterexample to the regularity of weak solution of the quasilinear parabolic systems //Comment. Math, univ. Carolin. 1986. V.27, № 1. P. 123.

36. TaMapKHH Some general problems of theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions. Math, Zs. 1927. № 27. P. 1−54.