Анализ дифференциальных уравнений

Лекция: Анализ дифференциальных уравнений

• 1. Основные понятия
• 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
• 2.1 Равноускоренное движение
• 2.2 Геометрические задачи
• 3. Дифференциальные уравнения первого порядка
• 3.1 Уравнения с разделяющимися переменными

1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y', y'',.y ⁽ⁿ⁾ F (x, y, y', y'',.y ⁽ⁿ⁾⁾ = 0.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=y (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Например, уравнение y''=y' представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, а функции y (x) = C₁e^x + C₂ являются его решениями при любых постоянных C₁ и C₂.

Процедура поиска решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а графики его решений — интегральными кривыми.

Всякое дифференциальное уравнение порядка n имеет бесчисленное множество решений. Все эти решения определяются функцией, содержащей n произвольных постоянных y =ц (x, C₁, C₂.C_n). Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется всякая функция этого семейства, отвечающая конкретному набору постоянных C₁, C₂.C_n.

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых плоскости XOY, а частное решение — конкретную кривую этого семейства. Например, непосредственным дифференцированием легко проверить, что общим решением дифференциального уравнения yўy ??x =?0 является функция y =—. То есть, общее решение уравнения — это семейство окружностей x ² + y² = C², а

Начальными условиями для дифференциального уравнения порядка n называется набор значений функции y (x) и ее производных порядка n-1 включительно yў (x), yў (x),.y (n??1) (x) в некоторой точке x₀.

Задачей Коши называется задача об отыскании решения дифференциального уравнения F (x, y, yў, yў,.y (n)) =?0, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

y (x₀) = y₀, y' (x₀) = y₁, y'' (x₀) =y₂,.y (^{n-1) (}x₀) =y_n-1 ?.

Геометрически это означает, что в общем решении уравнения

y =?j? (x, C₁, C₂.C_n) необходимо так подобрать константы C₁, C₂.C_n, чтобы соответствующая им интегральная кривая проходила через точку плоскости (x₀, y₀) и в этой точке имела заданные значения всех своих производных до порядка n-1. Например, решением задачи Коши yўy ??x =?0, y (0) =?2 является окружность x ² + y² = 4. Чтобы получить это решение необходимо в общее решение уравнения x ² + y² = C² подставить заданные начальные условия x=0 и у=2 и из него найти требуемое значение постоянной C=2.

Приведем без доказательства одну из основополагающих теорем теории ДУ.

Теорема 1. (существования и единственности решения задачи Коши)

Если функция F (x, y, yў, yў,.y ⁽ⁿ⁾⁾ непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей точку (x₀, y₀), то в этой области существует и притом единственно решение дифференциального уравнения F (x, y, yў, yў,.y ⁽ⁿ⁾⁾ = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y (x₀) = y₀, y' (x₀) = y₁, y'' (x₀) =y₂,.y (^{n-1) (}x₀) =y_n-1 ?.

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

2.1 Равноускоренное движение

Пусть в начальный момент времени t=0 материальная точка имеет начальное положение S (0) =0, начальную скорость V (0) = V0 и далее движется прямолинейно с постоянным ускорением a (t) =a. Если S (t) и V (t) — соответственно путь, пройденный точкой за время t, и ее скорость в момент времени t, то, как известно Sў? (t) =?V (t) и Vў (t) =?a (t) =?a.

То есть, функция перемещения S (t) является решением дифференциального уравнения Sўў? (t) =?a. Это решение будем искать, интегрируя уравнение дважды.

V (t) =?Sў? (t) =?т?Sў'? (t) dt =?т?adt =?at ??C, V (0) =?V₀ Ю?C =?V₀ Ю V (t) =?V₀ ??at.

2.2 Геометрические задачи

Пусть, например, требуется найти линию, проходящую через точку А (1,2) и обладающую следующим свойством: для любой ее касательной отрезок этой касательной, заключенный между осями системы координат, в точке касания делится пополам.

Для решения этой задачи обозначим через y (x) уравнение искомой линии и пусть M (x₀, y₀) — ее произвольная фиксированная точка.

Касательная к кривой в этой точке имеет уравнение y - y (x₀) = y' (x₀) (x - x₀)

Найдем ординаты точек пересечения этой касательной с осями системы координат.

Ясно, что x_B = 0 и y_C = 0. Тогда:

Так как x₀ — произвольная точка, то искомая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению первого порядка

Для произвольной постоянной С функция удовлетворяет этому уравнению. Поскольку кривая должна проходить через точку А (1,2), то подставив в это решение x=1 и y=2, получим С=2. Решением задачи является гипербола .

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида

F (x, y, yў) =?0.

Далее мы будем полагать, что это уравнение разрешено относительно производной: yў?=?f (x, y). Это уравнение так же можно записать в дифференциальной форме:

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Общих методов решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует, однако для некоторых важных классов функций f (x, y) такие методы известны и приводят к общему решению уравнения. Рассмотрим некоторые из этих классов.

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Так называется уравнение, правая часть которого представляет собой произведение функции, зависящей только от х, и функции, зависящей только от у.

Для поиска решения такого уравнения выразим входящую в него производную через дифференциалы и перейдем к уравнению в дифференциалах

Теперь разделим переменные

(В последнем уравнении переменные х и у разделяет знак равенства).

Проинтегрировав обе части последнего равенства получаем общее решение уравнения в виде неявно заданной функции:

G (y) =F (x) +C.

Рассмотрим практический пример: Найти общее решение уравнения

y' = y cos x.

Решение. Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит от х, а другая от у. Следовательно — это уравнение с разделяющимися переменными. Выразим производную через дифференциалы и разделим переменные:

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения:

Пример 2. Решить задачу Коши

Решение. Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения.

В полученное общее решение подставим заданные начальные условия x=1 и у=1: 0=ln1=acrtg1+С=р /4+С. Значит, частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получается из его общего решения при значении постоянной С=-р/4. Решением задачи Коши является функция lny=acrtgx-р/4, или y = e ^{arctg x - р / 4.}

Однородные уравнения.

Так называются уравнение вида. С помощью замены переменной z (x) =y (x) /x это уравнение может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, тогда

y =?x Ч?z,??Ю?yў?=? (x Ч?z) ў?Ю?yў?=?z ??xzў

и для функции z (x) получаем уравнение с разделяющимися переменными

Решив это уравнение, найдем функцию z (x), а с ней и решение исходного уравнения y (x) =x z (x).

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Разрешим уравнение относительно производной

и обозначим. Тогда и для функции z (x) получаем уравнение:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Выразим в нем производную через дифференциалы и разделим переменные

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения

Отсюда

Подставив в последнее равенство z=y/x, найдем общее решение исходного уравнения

Пример 2. Решить задачу Коши

Отсюда z = 2arctg (Cx) и, значит, y = 2x Ч arctg (Cx). Подставив в это

равенство начальные условия x=1 и y = р / 2, получим arctg (C) = р / 4,то есть С=1. Решением задачи Коши является функция y = 2x Ч arctgx.

Линейные уравнения.

Так называются дифференциальные уравнения вида

yў???p (x) y =?q (x).

Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций y (x) =u (x) v (x). Тогда yў?=?uўv ??uvў и относительно функций u и v уравнение примет вид

uўv ??u (vў???p (x) v) =?q (x).

Вместо одной неизвестной функции y (x) мы ввели в рассмотрение две функции u и v, поэтому одной из них мы можем распорядиться по своему усмотрению. Выберем функцию v так, чтобы слагаемое в скобках в левой части последнего уравнения обращалось в ноль. Для этого в качестве v достаточно взять какое-нибудь решение уравнения с разделяющимися переменными

vў???p (x) v =?0.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Таким образом, в качестве v достаточно взять функцию

При этом мы можем считать, что константа, возникающая в результате вычисления интеграла, равна нулю. При таком выборе функции v для функции u получаем уравнение

или

Интегрируя последнее уравнение, получим

Когда функции u и v найдены, общее решение линейного уравнения находится без труда y=uv.

Уравнение Бернулли.

Естественным обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли

yў???p (x) y =?q (x) y^??.

Метод его решения таков же, как и метод решения линейного уравнения.