Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и применения

Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [55, 56] и С. Геллерстедта [70], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта» .

В 50 — е годы XX столетия в работах Ф. И. Франкля [58], А.В. Бицад-зе [4, 5] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, В. И. Жегалов, Т.Д. Джура-ев, Т. Ш. Кальменов, А. И. Кожанов, Е. И. Моисеев, A.M. Нахушев, С. М Пономарев, С. П. Пулькин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Л. И. Чибрикова, Р. С. Хайруллин, Вагапов В. З., О. А. Репин и другие), так и за рубежом (S.Agmon, L. Nirenberg, M.N.Protter, C.S.Morawetz, P. Germain, R. Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Г. Д. Каратопракли-ев, Г. Д. Дачев, Н. И. Поливанов и другие). Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А. В. Бицадзе [5, 6], JL Берса [3], К. Г. Гудерлея [И], М. М. Смирнова [50] - [52], М.С. Сала-хитдинова [45], Т. Д. Джураева [13], Моисеева Е. И. [31].

Вместе с тем краевые задачи для уравнения смешанного типа с несколькими линиями изменения типа изучены сравнительно мало.

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М. М. Зайнулабидов [15] - [17], В. Ф. Волкодавов [9], О. И. Маричев [25], Н. И. Попиванов [33], Т. Б. Ломоносова [22], Хе Кан Чер [61, 60], И. А. Макаров [23], С. С. Исамухамедов [18], С. И. Макаров [24], М. С. Салахитдинов [46] - [47], К. Б. Сабитов, А. А. Гималтдинова (Карамо-ва), Г. Г. Биккулова (Шарафутдинова) [35] - [43] и другие авторы.

Зайнулабидов М.М. [15] - [17] для уравнений в области D, ограниченной простой кривой Жордана с концами в точках Ai (l, 0), i3i (0,l) при х, у > 0, характеристиками ОС, CAi, ОС2 и В1С2 уравнения (0.1) или (0.2), исследовал задачи Трикоми (задачу Т с данными на Г U С1С2 и задачу Т2 с данными на Г U В1С2 U AiCi). Им доказаны единственность и существование решений задач Т и Т2 для уравнений (0.1) и (0.2), когда дуга Г — ляпуновская и оканчивается сколь угодно малой длины дужками «нормальной» кривой. Доказательство единственности решения задачи Т для уравнений (0.1) и (0.2) проведено на основании принципа экстремума А. В. Бицадзе, а при доказательстве единственности решения задачи I2 использовался метод интегральных тождеств Франкля. Существование решения доказано методом интегральных уравнений.

Салахитдиновым М.С., Хасановым А. [47] в области fi = D П {ж > 0} для уравнения изучена задача Трикоми с условиями Дирихле на Г, ОВ и ОС. Единственность решения доказана методом интегралов энергии при п > т. Существование решения сведено к разрешимости интегрального уравнения Фредголь-ма второго рода.

0.1) (0.2) sgn уупихх + хтиуу = 0, ш, п — const, т > п > 0, (0.3).

Сабитов К.Б. [36] изучал краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Для уравнения Lu = К (у)ихх + N (x)uyy + Аих + Виу + Си = F, (0.4) где у К (у) > 0 при у Ф 0, хК{х) > 0 при х ф 0, в области D, ограниченной при х, у > 0 кривой Г с концами в точках Ai (a, 0), В{0,6), а, Ъ > 0, при х > 0, у < 0 — характеристиками ОС и СА уравнения (0.4), при х < 0, у > 0 -характеристиками ОС2 и С2 В, были изучены задачи Т и Т2. Установлены принципы экстремума для решений задач Т и Т2, при этом предполагалось, что уравнение (0.4) является слабо вырождающимся. На основе принципа экстремума при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (0.4) доказаны единственность решения задач Т и Т2.

Сабитовым К.Б., Гималтдиновой (Карамовой) А.А., Биккуловой (Шара-футдиновой) Г. Г. [38] установлены принципы экстремума для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения.

Lu = sgnу — упихх + sgnх • xmuyy+.

Xsgn{xy)-xmynu = 0 (0.5) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области при всех 71, га > 0, n + m>0, А = 0и получены утверждения о единственности решения краевых задач типа Трикоми в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (0.5) при произвольной эллиптической границе. В работе Сабитова К. Б., Биккуловой (Шарафутдиновой) Г. Г. [43] доказано существование регулярного решения задачи Трикоми для уравнения (0.5), в случае, когда, А = 0 и «нормальная» кривая уравнения целиком содержится в эллиптической части области.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение спектральных задач, которые позволяют строить решения краевых задач в специальных областях в виде сумм биортогональ-ных рядов. Моисеевым Е. И. [27] -[29] были решены спектральным методом задачи Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике.

Сабитов К.Б., Гималтдинова (Карамова) А.А. [40] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Ими были изучены спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева — Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения и показаны применения при построении решения задачи Трикоми, а в работе [41] исследована краевая задача для уравнения (0.5) при ?>0, п — т > 0, А = 0. На основании функциональных соотношений между следом решения и следом нормальной производной решения задачи Дарбу на линиях изменения типа краевая задача сводилась к новой нелокальной эллиптической задаче. В случае, когда область эллиптичности является четвертью круга с центром в начале координат, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи.

Задачи на собственные значения и краевые задачи для уравнения (0.5) ранее при, А ф 0 не были изучены.

Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов:

1. Нахождение собственных значений и собственных функций спектральной задачи для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения и исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве Ь2.

2. Нахождение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой лицией степенного вырождения с различными граничными условиями на эллиптической границеисследование построенных систем собственных функций на полноту в ь2.

3. Построение решений задач Трикоми и Трикоми — Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения методом рядов по собственным функциям.

4. Обоснование единственности регулярных решений поставленных краевых задач с различными граничными условиями для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 найдены собственные значения и собственные функции спектральной задачи для уравнения (0.5) в области D, ограниченной «нормальной» кривой Го: (ха / а)2 + (у13 / (З)2 = 1, лежащей в первой четверти х, у > 0 с концами в точках А (а1/а,$) и В (О,/?1^), характеристиками OCi,.

CiA, ОС2 и С2 В уравнения (0.5), где 0(0,0), Ci{xCl, yci), С2(хС2,ус2), где xqx = (а^/г)-, yCl = -{РаУа/2)К хС2 = - (а^/г)*, ус2 = {№'" /2)*, с* = (т + 2)/2, р = (п + 2)/2.

В § 1.1 приводится постановка спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми.

Спектральная задача (Задача Т). Найти собственные значения, А и соответствующие им собственные функции и{х, у) = и (х, у), удовлетворяющие условиям: где D+ = D П {х > 0, у > 0}- Dx = D П {х > 0, у < 0}- D2 = D П {х < 0, у > 0}. и (х, у) е C (D) П CD) П C2{D+ U A U D2);

Lu (x, у) = 0, (х, у) е D+ U ?>i U D2- и{х, у) = 0, (х, у) е Г0 U OCi U ОС2, й.

0.6).

0.7) (0.8).

В §§ 1.2, 1.3 методом разделения переменных построены многообразия частных решений уравнения в эллиптической и гиперболических областях соответственно.

В § 1.4 для уравнения (0.5) найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций спектральной задачи Т: и.

1 Л.

— q-p X Г (1 — + +1 + рл) г (1 + «) Г* q-p 1 q-p 1 3 (^)2.

XF Г— + 2 +Ph + 2 «¦2 — ¦(1^)2 + (У)2)2 1 v/? в области D+,.

0.9) ,'l Л r (g±a + ft) r (V + l+Pt).

— 2- + Й, —+ 2+Р", 2Л + 1—^в области Di, и- (х v) — Г (|-р)Г (-? + |+№) cos (g + pt)7T sinf.

X (жф^У — X х f (g+I + izg + 1 + Рк! ы + 1- W), (0.11) б области D4, где c^k Ф 0 -произвольная постоянная, 2q = (а — 1)/а, 2р = ((3—l)//3, Jp (-) — функция Бесселя первого рода порядка и, Г (-) — гаммафункция Эйлера, F (-) — гипергеометрическая функция Гаусса.

Теорема 1.1. Собственными значениями спектральной задачи (0.6) -(0.8) являются положительные корни Xk, i уравнения J2pk{VX) = 0, где pt = p—q + kul? N, к — 0,1,2,.. Соответствующие собственные функции определяются по формулам (0.9) — (0.11).

Теорема 1.2. Система собственных функций спектральной задачи (0.6) — (0.8) при п = т не полна с весом хтут в пространстве L^iD), причем размерность дефекта равна бесконечности.

Глава 2 посвящена исследованию спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой линией вырождения.

L{u) = sgn у утихх + хтиуу + A sgn у хтути = 0, т > 0, (0.12) в области G = D П {х > 0}.

В § 2.1 найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции спектральной задачи 71А для уравнения (0.12).

Задача Тх. Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям: и (х, у) е C (G) П CG) П C2{G+ U G-), (0.13).

Lu (x, y) = 0, (x, y) eG+UG-, (0.14) и (х, у) = 0, (х, у) е Г0- (0.15) и (х, у) = 0, (х, у)€ОСи (0.16) и{х, у) = 0, (х, у) е ОВ. (0.17).

Методом разделения переменных найдены собственные значения Xkl, i и соответствующие им собственные функции ukl, i{x, y) спектральной задачи Тх и ukiaj/) у) ^ ukui (x, y)?G J.

Ux> у) = N^fV^HP) x.

— 2 q.

4, X.

Цд + Рь) та-д).

2 q) 'r (l-q + Phl) ra + qy.

F[q + Ph, qPhX + q у.

2a.

2 ' x2a + y2a У.

2a.

2a.

1−29 /1 1 3 у y/X2a + y2aJ F U + ' 2 «^' 2 «95 r (2Pfel + 1) Г (| + g) x.

2a.

— 2? X.

0.18).

X Jo 4 ж.

2a.

2a — (-J/).

2a.

— Q-Pki.

1 X2a — C—г/)2а где Akl, i — 1- й корень уравнения J2ph (л/А) = 0, pkl = h~ q/2 + ¾, к — 0,1,2,. и C2, fc! ф 0 — произвольная постоянная.

В § 2.2 изучен вопрос о полноте системы собственных функций (0.18), (0.19) в области эллиптичности и в целом в смешанной области.

Теорема 2.2. Система функций (0.18) спектральной задачи (0.13) — (0.17) полна с весом хтут в пространстве L, 2(G+).

Теорема 2.3. Система функций (0.18) и (0.19) спектральной задачи Тх не полна с весом xmym в пространстве L2 (G), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В §§ 2.3 и 2.4 для уравнения (0.12) исследована спектральная задача Т2Х.

Задача Т2Л. Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям (0.13) — (0.16) и их{0,у) = 0, 0 <у <Ъ. (0.20).

Теорема 2.4. Собственными значениями спектральной задачи Т2Л являются положительные корни А^ уравнения J2Pfc2(/A) = 0, где pk2 = k, 2 + #/2 + ¼ ul е N, = 0,1,2,.. Соответствующие собственные функции задачи Т2Х определяются по формулам: х.

Ux> у) — ~2qJ2Pk2 l r (g + pfc2) Щ-q) ^ 1 о~q] '¥-Гл—7—uvi-L- ^[Q + P^q-+ y2a IX 1+ x2a + y2a y2a, i2 q (l l 3 y2a (. «J + Pfc. 2 — Ph, 2 ~ & x2a + y2aJ V2 ' 2 2 Ж2* + |/2a ukJ*, y) = C2J—q ¦ r (2 1) r (J + e) x.

0.21) хF (q + ft,, + 1 ¦ ^), (0.22) ф 0 — произвольная постоянная. Теорема 2.5. Система функций (0.21) спектральной задачи ТгА полна с весом хтут в пространстве ½(G+).

Теорема 2.6. Система функций (0.21) и (0.22) спектральной задачи ТгА не полна с весом хтут в пространстве L/2(G), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В главе 3 показано применение системы собственных функций, построенных в главе 2, для построения решения краевых задач для уравнения смешанного типа (0.12) в области G. Единственность решения краевых задач для уравнения (0.5) при п > т доказывается методом установления знакоопределенности интеграла а.

Re J хт и (х, 0) иу (х, 0) dx, о, а в случае п = т — на основании принципа максимума модуля решения данного уравнения.

В § 3.1 приведена постановка краевой задачи Т для уравнения.

L (u) ЕЕ sgn у упихх + xmuyy + Л sgn у хтупи = 0, п, т > 0, (0.23) в области области G, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти х, у > 0 с концами в точках A (alla, ti) и В (0,Ь), Ъ > 0, отрезком О В оси х = 0 и характеристиками ОС и СА уравнения (0.23), где 0(0,0),.

Cl (xCl, yCl), ХСг = (а1+1/72:УС1 = - (Ма/2)' •.

Задача Т. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) е C (G) П CG) П C2{G+ U GL) — (0.24).

Lu (x, y) = 0, (x, y) G G+UG— (0.25) и (х, у) = Ь (х, у), (x, y) eT-, (0.26) u (x, y) = 0, (x, y)€OCu (0.27) u (0,y) = 0, 0.

Определение 3.1. Под регулярным в G решением уравнения (0.23) будем понимать функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

1) (0.24), (0.25) задачи Тх;

2) производные первого порядка их, иу непрерывны в G, за исключением точек О, А и В и, кроме того, на окружностях Kqs, Ки и К2s с центрами в точках О, А и В произвольно малого радиуса 5 > 0 справедливы неравенства j (упих + xmuy) dS < О, j = 0,1,2, KjSf]G+ где постоянные Cj не зависят от S. Лемма 3.1. Если и = 0 на OCi, и (х, у) = y)+i и2(х, у) и X — i+i2,.

А < -Ai (- Vf + {p + Я) Ai < 0, (0.29) n > m, то для любого регулярного решения уравнения (0.23) имеет место неравенство.

J tm L (*, 0) uly (t, 0) + u2(t, 0) u2y (t, 0) j dt> 0. о ^ '.

Лемма 3.3. Пусть: 1) u (x, y) удовлетворяет условиям (0.24), (0.25) и равна нулю на ОС- 2) т = п > 0,.

V2\2−1<21~qq (l + q), Ai < 0. (0.30).

Тогда max и достигается на OA. g.

Лемма 3.4. Пусть: 1) и— регулярное решение уравнения (0.23) при п = т в области G — 2) и (х, у) удовлетворяет условиям (0.24), (0.25) и равна нулю на ОС- 3) выполнено условие (0.30). Тогда max т/)| достигается g наТиОВ.

Теорема 3.1. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачи (0.24) — (0.28), то оно единственно в случаях.

1) Р > Ч (п > т) и условии (0.29);

2) Р — q (п = т) и условии (0.30).

В случае, когда Г = Го, Ь = (5W и п = т, на основании собственных функций задачи Тх построено решение задачи Т в области G.

Теорема 3.2. Если /i (y?) Е С1[0,7г/2], функция fi (.

— WVA) (2 — ЙЧР* + Уч1 — 9 — P*i) X ^V*20 —^j ^ ^V^^j X ж2а / x x2a-y2a'.

X[x2ay2a 1 F И + ^ ' g + ' 1 + ^> в области G-, при этом коэффициенты определяются по формулам: fkо — 0, fh = h^ll~q{e)F (e)d9, h = 1,2,3,.,.

VV2 о / 7 Г — t.

F{9)= sin6> / ЛГ- (costcos6″)91dt, где Р^(-) — присоединенная функция Лежандра, hv{&), // = 1,2,., —3.

В § 3.2 для уравнения (0.23) в области G найдено решение следующей задачи.

Задача Тг. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (0.20) и (0.24) — (0.27) .

Теорема 3.3. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачи Тг, то оно единственно в случаях.

1) р > q (п > т) и условии (0.29);

2)p — Q (п = т) и условии (0.30).

При Г = Го, Ь = (З1^ и n = т решение задачи Т2 построено на основании собственных функций задачи Т2Л.

Теорема 3.4. Если /г (<^) 6 С1[0,7г/2], функция /г (^) в малой окрестности точек ip = 0 и ip = 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема, /2(0) = /2(0) = /2 (vr/2) = /2(71-/2) = 0, то существует единственное решение задачи Т2, и оно определяется формулами +00 /^(v'ar)-^sin1^-^ 2с^р cos 2^) fc2=о е области f^n f^n (VA) (2 — + + P*,) x 1 — y2a^j JPk2 ~ x x2a ~q~pk2 / 1 x2ay2a.

X1 X2ay2a J F Ь + ^ + Pk2A + ^ в области (?, где fk2 ~ коэффициенты определяются no формулам j Я" .

F (d)= sine j ^^^(sin*)29″ ^ {cost-cose)-qdt.

В § 3.3 для уравнения (0.12) в области G рассмотрена спектральная.

Задача TNix. Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям (0.13), (0.14), (0.16), (0.17) и = ут— ~ ^ = о, у) е Го. (0.31).

Теорема 3.5. Собственными значениями спектральной задачи TNix являются положительные корни уравнения.

VXJ^(y/X)-2qJ2pki (Vx) = 0t где ркг = к — q/2 + ¾ и I G N, к = 0,1, 2,.. Соответствующие собственные функции в областях G+ и G определяются по формулам (0.18) и (0.19).

Теорема 3.6. Система собственных функций спектральной задачи TNX полна с весом хтут в пространстве L2(G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2(Gпричем размерность дефекта равна бесконечности.

В области G для уравнения (0.23) исследована задача TN, аналогичная задаче Ti, только вместо (0.26) задано граничное условие.

Й = (0.32) где ui (x, y) — заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 3.7. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачиТИх, то оно единственно в случаях 1) и 2) теоремы 3.1.

В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой Го и п — т, Ъ — а1/0, при некоторых ограничениях 5ж[и]|г0 = 0 < <р < тг, на граничную функцию получено представление решения задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи TNX.

В § 3.4 для уравнения (0.12) в области G рассмотрена спектральная.

Задача TN2x. Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям (0.14), (0.16), (0.20) и (0.31).

Теорема 3.9. Собственными значениями спектральной задачи TN2x являются положительные корни k2, i уравнения.

VJ^(VX)-2qJ2pk2(VX) = 0, где pk2 = к2 + q/2 + ¼ и I G N, к2 = 0,1,2,.. Соответствующие собственные функции в областях G+ и G определяются по формулам (0.21), (0.22).

Теорема 3.10. Система собственных функций спектральной задачи TN2x полна с весом хтут в пространстве L2(G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2(G), причем размерность дефекта равен равна бесконечности.

Для уравнения (0.23) в области G рассмотрена задача (0.24), (0.25), (0.20), (0.27) и (0.32). В классе регулярных решений доказана теорема единственности данной задачи. В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой Го и п = т, Ъ = а1/а, аналогично § 3.3, при некоторых ограничениях на граничную функцию 5х[и]т0 = ш2((р), 0 < (р < 7 г, получены представление решения задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи TN2x.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырожденияпоказано, что система собственных функций не полна с весом в Ь2 в смешанной области.

2. Найдены собственные значения и построена система собственных функций для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождениядоказано, что система собственных функций полна с весом в.

L2 в области эллиптичности и не полна с весом в L2 в целом в смешанной области.

3. Построены решения краевых задач типа Трикоми и Трикоми — Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.

4. Доказаны теоремы единственности регулярных решений краевых задач с различными граничными условиями при произвольной эллиптической границе для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44], [62] - [66].

Работа [44] выполнена в соавторстве с научным руководителем Сабитовым К. Б., которому принадлежит постановка задачи и идеи доказательства.

Автор выражает сердечную признательность научному руководителю доктору физико — математических наук, профессору, чл. — корр. АН РБ Камилю Басировичу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1965. — 293 с.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 2. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1973. — 299 с.

3. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ, 1961. — 208 с.

4. Бицадзе, А.В. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа / А. В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1950. — Т. 70, № 4. — С. 561 — 564.

5. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. М. Серия «Итоги науки». — 1959, — Вып. 2. — 164 с.

6. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. М.: Наука, 1981. — 448 с.

7. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций. В 5 ч. Ч I. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон. М: ИЛ, 1949. — 799 с.

8. Волкодавов, В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Волкодавов В. Ф. Казань, 1969.

9. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976. — 528 с.И. Гудерлей, К. Г. Теория околозвуковых течений / К. Г. Гудерлей. М.: ИЛ, 1960. — 421 с.

10. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: ИЛ, Издво физ. — мат. лит., 1963. 1109 с.

11. Джураев, Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанносоставного типов / Т. Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979 — 238 с.

12. Жегалов, В. И. Исследование краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа. Автореферат дис. на соиск. науч. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Жегалов В. И. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. 28 с.

13. Зайнулабидов, М. М. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями параболического вырождения: Авторефер. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Зайнулабидов М. М. Новосибирск, 1969. — 18 с.

14. Зайнулабидов, М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения / М. М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1969. — Т. 5, № 1. — С. 91−99.

15. Зайнулабидов, М. М. Краевая задача для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения /М.М. Зайнулабидов // Дифференц уравнения. 1970. — Т. 6, № 1. — С. 99 — 108.

16. Исамухамедов, С.С. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения / С. С. Исамухамедов, Ж. Орамов // Дифференц. уравнения. 1982. — Т. 18, № 2. — С. 324 -334.

17. Кальменов, Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе / Т. Ш. Кальменов // Дифференц. уравнения -1977. — Т. 13, № 8. — С. 1718 — 1725.

18. Кальменов, Т.Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Автореф. дисс на соикан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Т. Ш. Кальменов М., 1982. -28 с.

19. Колмогоров, А. Н. Элементы теорий функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М: Наука, 1972. — 496 с.

20. Ломоносова, Т. Б. Существование решения задачи Т для уравнения с двумя линиями сингулярности коэффициентов / Т. Б. Ломоносова // Дифференциальные уравнения: Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1977. — Вып. 10. — С. 88 — 96.

21. Макаров, И. А. Теория потенциала для уравнений с двумя линиями вырождения / И. А. Макаров // Дифференц. уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. 1973. Вып. 2. — С. 124 — 155.

22. Маричев, О. И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / О. И. Маричев // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970. № 5. — С. 21 — 29.

23. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов и косинусов / Е. И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1984. — Т. 1275, № 4. С. 794 — 798.

24. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов / Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения 1987. — Т. 23, № 1- С. 177 — 179.

25. Моисеев, Е. И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа / Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1990. — Т. 26, № 7. — С. 1160 — 1172.

26. Моисеев, Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биор-тогонального ряда / Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1991. -Т. 27, № 7. — С. 1229 — 1237.

27. Моисеев, Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа / Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1992. — Т. 28, № 1.-С. 110−121.

28. Моисеев, Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е. И. Моисеев. М.: Изд-во МГУ, 1988. — 150 с.

29. Пономарев, С. М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа ЛаврентьеваБицадзе: Авторефер. на соискан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Пономарев, С.М. М., 1981. — 28 с.

30. Попиванов, Н. И. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения / Н. И. Попиванов. Сер-дика. Болгарско математическо списание, — 1975. — Т. 1. — С. 295 — 310.

31. Репин, О. А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типа и дробное интегродифференцирование. Авторефер. дисс. на соискан. учен. степ, д-ра физ. мат. наук: 01.01.02 / Репин О. А. Минск, 1998. — 30 с.

32. Сабитов, К.В. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К. Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 1988. — Т. 24, № И. — С. 1967; 1976.

33. Сабитов, К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дисс. на соикан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Сабитов К. Б. М., 1991.

34. Сабитов, К. Б. Экстремальные свойства модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа / К. Б. Сабитов // Докл. АН СССР.- 1990. Т. 310. — № 1. — С. 33 — 36 .

35. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / К. Б. Сабитов, А. А. Карамова, Г. Г. Шарафутдинова // Известия вузов. Математика. 1999. — № 11. — С. 70 — 80.

36. Сабитов, К.Б. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля / К. Б. Сабитов, В. В. Тихомиров // Матем. моделирование.- 1990, — Т. 2, МО С. 100 — 109.

37. Сабитов, К. Б. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения / К. Б. Сабитов, А. А. Карамова // Изв. РАН. Серия математическая. 2001. № 4. — С. 133 — 150.

38. Сабитов, К. Б. Решение одной газодинамической задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / К. Б. Сабитов, А. А. Карамова // Дифференц. уравнения. 2001. — Т. 37, № 1. — С. 111 — 116.

39. Сабитов, К.Б. О знаке производной по конормали вблизи точки максимума решения вырождающихся эллиптических уравнений / К. Б. Сабитов, Ф. Х. Мукминов // Дифференц. уравнения. 2000 — № 6. — С. 844 — 848.

40. Сабитов, К. Б. Задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения / К. Б. Сабитов, Г. Г. Ша-рафутдинова // Дифференц. уравнения. 2003. — Т. 39, № 6 — С. 788 -800.

41. Сабитов, К. Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / К. Б. Сабитов, Н. В. Чиганова // Изв. Вузов. Математика. 2006. — № 7. — С. 65 — 76.

42. Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно составного типа / М. С. Салахитдинов.- Ташкент. Фан, 1974. — 156 с.

43. Салахитдинов, М. С. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / М. С. Салахитдинов, Б. Исломов // Докл. АН СССР. 1986. — Т. 289, № 3. — С. 549 -553.

44. Салахитдинов, М. С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / М. С. Салахитдинов, А. Хасанов // Дифференц. уравнения. 1983. — Т. 19, № 1. — С. 110 — 119.

45. Салахитдинов, М. С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя внутренними линиями вырождения / М. С. Салахитдинов, Б. Исломов // Докл. АН СССР. 1991. — Т. 316, № 5. — С. 1051 — 1054.

46. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

47. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1966. — 292 с.

48. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1970. — 296 с.

49. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. М.: Высш. шк., 1985. — 304 с.

50. Солдатов, А.П. О единственности решения одной задачи А. В. Бицадзе / А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 1. — С. 143 -146.

51. Солдатов, А. П. Об одной задаче теории функций / А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1973. — Т. 9, № 2. — С. 325 — 332.

52. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми. M.-JL: Гостехиздат, 1947. -192 с.

53. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1957. — 443 с.

54. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа. В 2 ч. Ч. II. Трансцендентные функции / Э. Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. М., Физматгиз. — 1963. 516 с.

55. Франкль, Ф.И. О задачах Чаплыгина С. А. для смешанных дои сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9, № 2. С. 121 — 142.

56. Франкль, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль. -М.: Наука, 1973. 605 с.

57. Хе Кан Чер. О сингулярной задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / Хе Кан Чер // Препринт. ИМ СО АН СССР. 1976. — 16 с.

58. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения / Хе Кан Чер //В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными / ИМ СО АН СССР. -Новосибирск. 1980. — С. 64 — 67.

59. Чиганова, Н. В. Задача на собственные значения для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения /Н.В. Чиганова // Изв. Вузов. Математика. 2003. — № 9. — С. 67 — 74.

60. Agmon, S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Comm. Appl. Math. — 1953. — V. 6, № 4. — P. 455 — 470.

61. Agmon, S. On solutions of linear partial differential equations of mixed type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Amer. J. Math., 1952. -V. 74, P. 444 — 474.

62. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte / S. Gellerstedt. These pour le doctorat. Uppsala. 1935.

63. Hopf, E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order / E.A. Hopf // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. — V. 3, P. 791 — 793.

64. Michael, J. The will-posed Tricomi problem of two kings / J. Michael // R. J. Math, and Phys. Sci. 1993. — V. 27, N 6. — P. 383−393.

65. Protter, M.H. New boundary value problems for the ware equation and equations of mixed type / M.H. Protter // J. Rat.Mech. and Anal. 1954. -V. 3, N 4. — P. 435−446.

66. Morawetz, C.S. A uniqueness theorem for the frankl problem / C.S. Morawetz // Communs pure ahd Appl. Math. -1954. V. 7, N 4. P. 697−703.

67. Morawetz, C.S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. — V. 236, N 1024. P. 141−144.