Мультипликаторы Фурье-Хаара в симметричных пространствах

Система Хаара была введена в анализ в докторской диссертации Хаара в 1910 году для построения базиса в пространстве С[0, 1]. Им же были найдены первые замечательные свойства этой системы. Позднее система Хаара стала изучаться и применяться во многих разделах анализа.

Среди банаховых пространств и, особенно банаховых решеток, важное место занимают симметричные (перестановочно-инвариантные) пространства. Значение теории симметричных пространств объясняется тем, что многие функциональные пространства, такие как Ьр, Лоренца, Мар-цинкевича, Орлича и многие другие, являются симметричными. Их изучению посвящена обширная литература.

Сходимость и безусловная сходимость рядов Фурье-Хаара в пространствах Ьр исследована в многих работах. Здесь можно указать монографии [4], [8], [21], [29], статьи [6], [12], [13], [14], [15], [30]. Безусловная сходимость таких рядов тесно связана с ограниченностью мультипликаторов по системе Хаара. Этой тематике посвящены работы [2], [9] и др.

Предлагаемая диссертационная работа продолжает исследование рядов Фурье-Хаара в симметричных пространствах. Рассмотрен вопрос об ограниченности мультипликаторов по системе Хаара в различных симметричных пространствах, изучены базисные свойства системы Хаара в симметричных пространствах. Обобщен ряд теорем, посвященных данной тематике.

Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. В первой главе собраны необходимые предварительные сведения и стандартные обозначения, используемые в работе.

В предлагаемой работе перестановочно-инвариантные (симметричные) пространства сокращенно обозначаются r.i. пространствами, система функций Хаара сокращенно обозначается с.Х.

Во второй главе диссертации изучаются условия ограниченности мультипликаторов по с.Х. Доказаны теоремы 2.1−2.6.

Обозначим через Q множество индексов.

0,0), (иД), и = ОД,., <�к<2п).

Пусть (иД)ей-с.Х. Всякая последовательность Я = порождает линейный оператор Л (называемый мультипликатором), который на полиномах по с.Х. определяется следующим образом: Л.

V п, к J п, к.

Хорошо известно, что с.Х. образует безусловный базис в L, 1 < р < со.

Отсюда вытекает, что Л.

I «sup (п, к) еП, А п, к.

В L и с.Х. не является безусловной. Поэтому возникает вопрос о вычислении нормы мультипликатора в Ц и.

Пусть (n, k) eQ и Д^ = — 1 к Л.

2 л ' гп.

1 У Последовательность вложенных друг в друга диадических интервалов называется цепью. Множество цепей обозначим через А. Каждой цепи К = (1, кх,., кп) поставим в соответствие число т-1 т=1 которое естественно назвать вариацией Я по цепи К. Введем на пространстве последовательностей Я = {Лп к, п, к) е О} полунорму.

КеА, пеЦ т= Х.

КеА т-1 и множество тех Я, для которых Я < со, будем обозначать через 1?.

Из соображений двойственности вытекает, что мультипликатор Л ограничен в Ц, тогда и только тогда, когда Л ограничен в и Л к Л.

Теорема 2.1. Для ограниченности, А в I, необходимо и достаточно, чтобы Я < со. Более того, норма Л эквивалентна Л п, к) еО.

Л, п, к.

Из теоремы 2.1 вытекает.

Следствие 2.2. Для того чтобы мультипликатор Л был ограничен в любом гл. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы Я е УУ .

Обобщением в нескольких направлениях известной теоремы С. Яно об ограниченности мультипликатора Л в паре пространств (Ьр, Ьд), 1 < р < д < оо является.

Теорема 2.2. Пусть Есимметричное пространство на [0- 1], индексы Бойда которого удовлетворяют неравенству §<�у<�аЕ</3Е< и пусть Еу — пространство с нормой X.

Еу х (t)t 7. Для ограниченности мультипликатора Л = {ЛяА} из Е в Еу необходимо и достаточно. чтобы sup п. к)еП Л п.к.

2″ 7<оо.

Более того, норма мультипликатора Л эквивалентна sup п. к)еП.

Далее доказывается.

Теорема 2.3. Пусть 1 < р, q < go. Тогда, А п, к 2 пу со Л с.

I I Р, Я sup к<2″ .

2 Кк 2 р V п=1 Y где константа Спя зависит только от р к а. р,(] ± -I.

Обозначим через? множество мультипликаторов, удовлетворяющих условию Хпк~±для всех (и, Хорошо известно, что система Хаара образует безусловный базис в сепарабельном пространстве Е тогда и только тогда, когда || А || (А е равномерно ограничена.

Рассмотрим последовательность? = {ёп}, где еп=±-1, пеЩ .

Предположим, что данная последовательность содержит бесконечное число значений +1 и -1. Последовательность? = {бп] порождает последовательность Хп к = £п для всех (п, к) еО. и соответствующий мультипликатор Л£. Обобщением теоремы 1 [14], доказанной О. В. Лелонд, является.

Теорема 2.4. Пусть Е — гл. пространство. Следующие условия эквивалентны:

1) мультипликатор А£ ограничен в Е, 00 Е ii) всякий мультипликатор A (A е S) ограничен в Е и sup А.

AeS iii) 0<аЕ< fiE <1.

Как отмечалось ранее (теорема 2.1 и следствие 2.2), из ограниченности мультипликатора, А в Ьт вытекает ограниченность, А в любом пространстве Лоренца. Оказывается, что это вложение всегда является строгим.

Теорема 2.5. Пусть (реФ и lim (pit) = lim—— = 0.

->о 4 ' /->о f (t).

Тогда существует такой мультипликатор М е ?, что М ограничен в А[(р) и не ограничен в.

Пусть дана ограниченная последовательность Я = |Япк, (пД)еО и соответствующий мультипликатор А. Предположим, что Яп к не зависят от к, т. е. лп, к=лп> (лД)еО (1) и.

Л0 > ij 1 >•••.

2).

Обозначим через Ф0 множество возрастающих, вогнутых на отрезке [0,1] функций (<^(0) = 0, ф () = \ удовлетворяющих условию.

1 + ?<^)-<2-? для некоторого ?>0 и для любого ¿-е[0,1]. Через обозначим функцию —тт-.

ПЧ.

Теорема 2.6. Пусть мультипликатор удовлетворяет условиям (1) и (2) и пусть ср ({) — произвольная функция, принадлежащая множеству.

Ф0. Для непрерывности мультипликатора Л из М (^) в Л (^) необходимо и достаточно, чтобы Л = {Л09Л1,Л2,.} е1{. Более того || Л [Ц^д^ и от Я эквиваленты, причем константы эквивалентности зависят только.

КО.

В третьей главе изучаются базисные свойства системы Хаара. Доказаны теоремы 3.1−3.4.

Пусть Хп (0' е ^ ~ система Хаара, и Хп. (0' 7 е ^ ~ некоторая ее подсистема. Проектором на подсистему Хаара называется линейный оператор, который на полиномах Хаара определяется следующим образом: Р.

I ММ я, к) еО. У г=1.

Для заданного а> О обозначим через (pa (t) вогнутую на [0, 1] 2 функцию из Ф, эквивалентную функции log, а —. Пусть пк, к g N возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим через Р ортогональный проектор на подпространство, порожденное системой функций & = В силу безусловности системы Хаара в.

L, 1<�р<�со оператор Р ограничен в L. В Лс.Х. не является безусловной.

Теорема 3.1. Пусть пк возрастающая последовательность натуральных чисел и пк+1 -пк> 2 для к е N. Для того, чтобы проектор Р был ограничен в пространстве Лоренца Л (<�ра) необходимо и достаточно, чтобы.

СО 2 keN j=k Ylj.

Следствие 3.1. Если проектор Р ограничен в Л[(ра) для некоторого, а > 0, то Р ограничен в Лдля всех а> 0.

27+1 2″ .

Следствие 3.2. Если sup ^ <00> то мультипликатор М//5 определяемый последовательностью |//и к J, ограничен в Л).

Пусть Х — банахово пространство над полем действительных чисел с базисом {еки je^j — система координатных функционалов. Гипероктантом j, соответствующим данному набору знаков вк=±-, будем называть множество элементов хеХ, пред ставимых в виде со x =^aiOiei, где все щ неотрицательны.

Напомним, что ряд^хк элементов банахова пространства сходитк= ся безусловно, если для любой последовательности ак=±- 1 (1<£<со) со сходится ряд^Гакхк. к=1.

Гипероктант будем называть безусловным для базиса.

ОО / 00 00 е*}", если для любого х еГцб^ | ряд х = (разложение х по базису {ек}&trade-) сходится безусловно. Гипероктант, не являющийся безусловным для данного базиса, называется условным.

Базис в банаховом пространстве называется усиленно условным, если для этого базиса все гипероктаны условны. По определению всякий усиленно условный базис является условным. Известны примеры условных, но не усиленно условных базисов. В [6] В. М. Кадец и М. М. Попов доказали, что с.Х. образует усиленно условный базис в пространстве Ь.

В предлагаемой работе доказано, что в любом сепарабельном гл. пространстве с.Х. является либо безусловным, либо усиленно условным базисом.

Теорема 3.2. Если с.Х. образует условный базис в сепарабельном гл. пространстве Е, то с.Х. есть усиленно условный базис в Е. Из теоремы 3.2 как следствие вытекает.

Теорема 3.3. Для того чтобы с.Х. была усиленно условным базисом в сепарабельном гл. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы аЕ- 0 или ¡-3Е = 1.

Следующая теорема описывает еще одно базисное свойство с.Х. в пространствах Лоренца.

Теорема 3.4. Пусть ере Ф. Для того, чтобы.

Нт т-> <х> т I.

Ж.

I 00 равномерно по 1 <�пх<�пг<. <пт необходимо и достаточно, чтобы.

1- ¦ г<�р (2*) <Р (2 О шшш —> 1, птзир—< 2. ср^) (р[г).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [14], [16]—[19]. Из совместных работ [14] и [16] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие автору.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, старшему научному сотруднику И .Я. Новикову, а также доктору физико-математических наук, профессору Е. М. Семенову, оказавшим существенную помощь и поддержку в работе над диссертацией.

1. Берг И. Интерполяционные пространства.

Введение

/ И. Берг, И. Леф-стрем. -М.: Мир, 1980.-264 с.

2. Брыскин И. Б. Мультипликаторы рядов Фурье — Хаара / И. Б. Брыскин, О. В. Лелонд, Е. М. Семенов // Сиб. мат. журн. — 2000. — Т.41, № 4. — С. 758−766.

3. Бирман М. Ш. Функциональный анализ / М. Ш. Бирман и др.- под общ. ред. С. Г. Крейна. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1972. -544 с.

4. Голубов Б. И. Ряды Фурье по системе Хаара / Б. И. Голубов // Математический анализ. — М.: ВИНИТИ, 1971. — С. 109−146. (Итоги науки).

5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2-х т. / А. Зигмундпер. с англ. — М.: Мир, 1965. — Т.2. — 537 с.

6. Кадец В. М. О базисах Шаудера, условных в каждом гипероктанте / В. М. Кадец, М. М. Попов // Сиб. мат. журн. — 1987. — Т. ХХУШ, № 1. — С. 115−118.

7. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Аки-лов. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1977. — 742 с.

8. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. Л. Саакян. — М.: Наука, 1984.-496 с.

9. Ким Ю. Е. Об одном типе мультипликаторов в симметричных пространствах / Ю. Е. Ким // Мера и интеграл: межвуз. сб. научн. ст. — Самара, 1995.-С. 35−42.

10. Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. — М.: Физматгиз, 1958. — 271 с.П.Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии, Е. М. Семенов. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

11. Кротов В. Г. О безусловной сходимости рядов Хаара в Арю / В.Г. Кротов// Мат. заметки. — 1978. — т.5, № 23. — С. 685−695.

12. Лелонд О. В. Мультипликаторы рядов Фурье — Хаара в пространствах Лоренца / О. В. Лелонд // Проблемы математического образования и культуры: сб. тез. международн. научн. конф. — Тольятти, 2003. — С. 18−19.

13. Лелонд О. В. Пространство мультипликаторов Фурье — Хаара / О. В. Лелонд, Е. М. Семенов, С. Н. Уксусов // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т.46, № 1. -С. 130−138.

14. Новиков И. Я. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах / И. Я. Новиков // Сиб. мат. журн. — 1983. — Т.24, № 2. — С. 193−196.

15. Семенов Е. М. Мультипликаторы Фурье — Хаара / Е. М. Семенов, С. Н. Уксусов // Ряды Фурье и их приложения: сб. тез. III междунар. симп. -Ростов-на-Дону, 2005. — С. 32−33.

16. Уксусов С. Н. Мультипликаторы Фурье — Хаара в пространствах Лоренца / С. Н. Уксусов // Ряды Фурье и их приложения: сб. тез. IV междунар. симп. — Ростов-на-Дону, 2006. — С. 52−53.

17. Уксусов С. Н. Ограниченность мультипликаторов в симметричных пространствах / С. Н. Уксусов // Воронежская зимняя мат. школа: тез. докл. -Воронеж: ВорГУ, 2006.-С. 100−101.

18. Уксусов С. Н. Проекторы на подсистему Хаара / С. Н. Уксусов // Совр. проблемы прикл. математики и мат. моделирования: сб. тез. междунар. научн. конф. — Воронеж, 2005. — С. 227.

19. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдвардепер. с англ. — М.: Мир, 1969. — 1072 с.

20. Burkholder D.L. A nonlinear partial differential equation and unconditional constant of the Haar system in Lp / D.L. Burkholder 11 Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. — № 7. — P. 591−595.

21. Carothers N.L. Geometry of Lorentz spaces via interpolation / N.L. Carothers, S.J. Dilworth // Functional analysis. Proc. 4th Annu. Semin., Austin / TX (USA), 1985;86. Austin, TX: University of Texas, 1986. — P. 107−133.

22. Carothers N.L. Isometries on LPt / N.L. Carothers, B. Tureet 11 Transaction of the Amer. Math. Soc. — 1986. — Vol. 297, № 1. — P. 95−103.

23. Creekmore J. Type and cotype in Lorentz Lp>q spaces / J. Creekmore 11 In-dag. Math. (N.S.) — 1981. — Vol. 43, № 2. — P. 145−152.

24. Hunt R.A. On L (p, q) spaces / R.A. Hunt 11L' Enseignement Math. — 1966. -№ 12.-P. 249−276.

25. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces I. Seguence Spaces / J. Linden-strauss, L. Tzafriri. — Berlin: Springer-Verlag, 1977. — 190 pp.

26. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces II. Function Spaces / J. Linden-strauss, L. Tzafriri. — Berlin: Springer-Verlag, 1979. — 243 pp.

27. Luxemburg W.A. Banach Function Spaces / W.A. Luxemburg. — Van Gor-cum and C. Assen, 1955.-70 pp.

28. Novikov I. Haar series and linear operators / I. Novikov, E. Semenov // Dordrecht: Cluver Acad. Publ. — 1997. — 218 pp.

29. Yano S. On a lemma ofMarcinkiewicz and its applications to Fourier series / S. Yano // Tohoku Math. J. — 1959. — № 11. — P. 195−215.