Обратные задачи вариационного исчисления и уравнения с вариационными производными

Понятие вариационной (функциональной) производной восходит П. Леви [321 и В. Вольтерра [6]. В это же время были рассмотрены и некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений в вариационных производных и способы их решения. Многочисленные математические модели с вариационными производными можно найти в монографиях: Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков [31, А. С. Монин и А. М. Яглом [35,361, В. И. Кляцкин [271, П. Олвер [381, В. И. Татарский [461, В. И. Тихонов [481.

Некоторые вопросы техники вариационного дифференцирования и теории дифференциальных уравнений в вариационных производных изложены, например, в работах: В. И. Авербух, О. Г. Смолянов [II, Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков [31, М. И. Вишик [51, В. Вольтерра [61, И. В. Гайшун [101, И. М. Гельфанд, А. М. Яглом.

121, Ю. Л. Далецкий [13,141, А. Н. Деменин, В. С. Королюк [171,.

М.Д.Иосипчук [24,251, М. Д. Иосипчук, М. С. Сявавко [261, В. И. Кляцкин [271, И. М. Ковальчик [28,291, П. Леви [321, Н. П. Мельничак [341, А. С. Монин, А. М. Яглом [35−361, Е. А. Новиков [371, М. С. Сявавко, Н. П. Мельничак [451, В.И.Татарский146,471, М. Н. Феллер [501, С. В. Фомин [521, А. Н. Шеретнев [561.

Диссертация посвящена изучению дифференциальных уравнений, содержащих вариационные производные и их приложению к линейным дифференциальным уравнениям со случайными коэффициентами.

В первой главе развивается техника вариационного дифференцирования и вариационного интегрирования для функционалов, зависящих от функций конечного числа переменных.

Первый параграф посвящен основным определениям и доказательству теорем о дифференцировании сложного функционала.

Во втором параграфе вводится операция вариационного интегрирования, являющаяся обратной к операции вариационного дифференцированияЕсли вариационный интеграл существует, то он является потенциалом для соответствующего вариационной производной функционала. Вопросы существования и вычисления потенциала изложены, например, в работах: [4,7, 8, 42,431. Дается обоснование метода интегрирования по частям (теорема 2.3) и методов замены переменной (теоремы 2.4, 2.5). Отметим, что задача отыскания вариационного интеграла эквивалентна задаче о решении простейшего дифференциального уравнения в вариационных производных.

Третий параграф посвящен нахоздению необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных с тремя независимыми переменными.

Под обратной задачей вариационного исчисления для данного дифференциального уравнения р (х, у (х), у (х), уп (х),., у (п)(х)) = О (1) понимают задачу нахождения функционала $(у) для которого это уравнение является уравнением Эйлера. В терминах вариационных производных эта задача означает решение простейшего уравнения в вариационных производных.

ЩЩ = .

Важность обратной задачи вариационного исчисления об’ясняется, например, теоремой Ветер [38, стр. 3341. Оказывается, если для функционала Ч)(у) известна однопараметрическая группа вариационных симметрий, то порядок дифференциального уравнения (1) можно понизить на два. Обратная задача вариационного исчисления возникает также в связи с записью дифференциальных уравнений в виде гамильтоновой системы С38, гл. 71.

Обратную задачу вариационного исчисления изучали многие авторы, например, А. Hirsch [ 591, I. М. Anderson, Т.Е. Buchamp 1571 (в этой работе имеется достаточная библиография по этому вопросу), И. М. Рапопорт [42,431 получил необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления и получил выражение функционала в виде независящего от выбора пути интегрирования криволинейного интеграла. Однако вычисления криволинейного интеграла зачастую достаточно сложны и продолжаются поиски других способов вычисления функционала.

Б третьем параграфе сначала доказываются три леммы, которые позволяют в дальнейшем получить необходимые и достаточные условия (3.3)-(3.5), полученные другим способом И. М. Рапопортом, для разрешимости обратной задачи вариационного исчисления, и другие более тонкие результаты.

Дальнейшие исследования показывают, теорема3.2, что для разрешимости обратной задачи вариационного исчисления необходимо и достаточно, чтобы ср имело специальный вид (3.8) р = ^(и^Хуу — ц2у) + - и2хг) + а3(иууи22 — ир + Vих^уг — ихуих7? + а5(ихгиуу ~ + «их^ + Ь1ихх + Ь2иху + ЬЗпХ2 4 Ь4иуу + ь&уг + Ьб%2 + V где а^,. ,. — функции, зависящие от переменных х, у, и, и7-, и выполнялись условия (3.9) — (3.22).

Четвертый параграф посвящен нахождению функционала обратной задачи вариационного исчисления. Показывается (теорема 4.1), что при отсутствии нелинейных членов относительно старших производных функционал может быть вычислен и дается формула для его вычисления (4.1),(4.2).

В пятом параграфе показывается, что в случае двух независимых переменных или одного независимого переменного необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи значительно упрощаются, значительно у пропьются формулы и для вариационного интеграла.

В и. 5.3 отдельно рассмотрен случай квазилинейного уравнения. Даются простые необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи и формула для вариационного интеграла (теорема 5.5).

Во второй главе рассматриваются более сложные дифференциальные уравнения в вариационных производных.

В первом параграфе показывается, что уравнения первого порядка, разрешенные относительно вариационной производной, сводятся к многомерным дифференциальным уравнениям. (И.В.Гайшун называет их уравнениями в полных производных). Эти уравнения изучали многие авторы, например, М. Е. Гавурин.

71, И. В. Гайшун [9,101, В. Г. Задорожний, А. И. Перов [39−411, В. В. Стрыгин [441, Фробениус и другие. Формулируются условия полной интегрируемости уравнений в вариационных производных. Рассмотрены вполне интегрируемые уравнения с разделяющийся переменными и уравнение Бернулли, получены условия полной интегрируемости и получены формулы общего интеграла (теоремы 1.2, 1.4, 1.5).

§ 2 посвящен линейному дифференциальному уравнению второго порядка в вариационных производных в конечномерном пространстве + а,(х г з) +.

ШГЦЩз7 Щту + а2(х, X, з) + а3(х, 1, з)у = ¡-(хЛ, 8).

При а2 = О и при скалярном уравнении оно является частным случаем уравнений изучавшихся И. М. Ковальчиком [28,291, однако наличие коэффициента ар является естественным и результаты являются новыми даже в скалярном случае.

В теореме 2.3 даются необходимые и достаточные условия полной интегрируемости уравнения. Условия эти достаточно громоздки, но в теореме 2.4 приводятся условия, при которых все условия теоремы 2.3 выполняются. Оказывается, что при выполнении условий теоремы 2.4 уравнение может быть проинтегрировано в квадратурах (теорема 2.7).

В третьей главе изучаются дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, содержащие обычные и вариационные производные.

Первый параграф посвящен изучению дифференциального уравнения dyQt.?i) = Mt) y (v, t) + а y (v, t) + b (v, t) (1.5) с начальным условием y (v, Iq) =Uq (v). Оказывается, что при определенных условиях (см. теорему 1.2) эта задача имеет решение и оно записывается в виде t y (v, t) = U (t, t0) y0(v + ax (t0,t)) f J U (t, s) b (v + ax (8ft), s) d8. f0.

Во втором параграфе изучается задача Коши для линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве.

Щ = Aft) х + s (i)x + f (t), х (tQ) = xQ, (2.1) где A (t) — линейный ограниченный оператор, е — скалярный случайный процесс, / - случайный процесс со значениями в банаховом пространстве. Рассматривается задача нахождения математического ожидания решения задачи (2.1). Применяется следующий метод. Вводится вспомогательное отображение y (v, u, i) такое, что y (0,0,t) — ISx (i). Для y (v, u, t) получена задача вида (1.5). (Этим и обгоняется важность задачи 1.5!). По формуле (1.6) находится решение y (v, u. t) и затем легко находится формула (2.8) для математического ожидания Кх (i).

В качестве конкретных примеров рассмотрена линейная система дифференциальных уравнений с гауссовскими случайными процессами «? и /, а также случай пуассоновского случайного процесса eft). Результаты легко применимы и для интегродифференциальных уравнений.

1. АвербухВ.И., СмоляновО.Г. Теория дифференцирования влинейных топологических пространствах // Успехи мат. наук. 1967. т. 22, вып. 6(138). с. 201−260.

2. Адомиан Дж. Стохастические системы. М.: Мир, I9S7 -376с.

3. Боголюбовы.H., ШирковД.В.

Введение

в теорию квантовыхполей. М.: Наука, 1976. 479с.

4. Вайнберг М. М Вариационный метод и метод монотонныхоператоров. М.: Наука, 1972. 415с.

5. Вишик М. И. Аналитические решения уравнений Хопфа, соответствующего квазилинейным параболическим уравнениям или системе Навье-Стокса //Задачи механики и математической физики. M. — 1976. с. 69−97.

6. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304с.

7. Гавурин М. К. Аналитические методы исследования нелинейныхфункциональных преобразований. //Уч. зам. ЛГУ, сер. мат. наук, 50, вып. 19. -с. 59 1954.

8. ГаевскийХ., ГрегорК., 3ахариас К. Нелинейные-операторныеуравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир 1978. -336с.

9. Гайшун И. В. Линейные уравнения в полных производных. Минск,. Наука и техника, 1989, 254с.

10. Гайшун И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальныеуравнения. Минск, Наука и техника 1983, 272с.

11. Гельфанд И. М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961, 282с.

12. Гельфанд И. М., Яг лом A.M. Интегрирование в фушсциональных пространствах и его применение в квантовой физике. //Успехи м, ат. наук, 1961, 1956, т. II, N 1(67). с. 77−114.

13. ДалецкийЮ.Л. Дифференциальное уравнение с фушсциональннымипроизводными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов. //Докл. АН СССР, 1966, т. 166, N 5. -с. 1035−1038.

14. Далещсий Ю. Л. 0 некоторых задачах, связанных с интегрированием в функциональных пространствах с дифференциальными уравнениями в функциональных производных //Труды симпозиума по механике сплошных сред. Тбилиси, 1973, с. 78−88.

15. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1979, 534с.

16. ДемидовичБ.П., КовальчикИ.М. Формула Коши для линейныхуравнений с функциональными производными. //Дифференц. уравнения, 1977, т.13, N 8, с. 1509−1511.

17. Деменин А. Н., Королюк В. С. Характеристические функционалы. случайных волновых полей в неоднородных средах. //Физико-технические приложения краевых задач, Киев, Наукова думка, 1978. 295 с.

18. Дьедоне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 230с.

19. ЗадорожнийВ.Г. Обратная задача вариационного исчислениядля дифференцйального уравнения с частными производными. .//Качественные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1988, с. 117−127.

20. ЗадорожнийВ.Г. 0 дифференциальных уравнениях второгопорядка в вариационных производных. //Дифференц. уравнения 1989, т. 25, N 10, с. 1679−1683.

21. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965, т.2. 437с.

22. ИосипчукМ.Д. Решение одного уравнения с функциональнойпроизводной. //Виснык Львивск. политехи, института, 1970, N 44. -с.106−103.

23. ИосипчукМ.Д. О решении одного уравнения в функциональныхпроизводных. //Общ. теория гран, задач. Киев, 1983, -с. 265—266.

24. ИосипчукМ.Д., СявавкоМ.С. ОБ одном классе уравнений вфушщиональных производных //Матем. физика. Респ. межвед. сб. 1974, вып. 15. -с.55−59.

25. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. -333с.

26. Ковальчик И. М. Линейное уравнение с функциональными производными. //Докл. АН СССР, 1970, т.194, N 4. -с.763−766.

27. КовальчикИ.М. 0 линейных уравнениях с функциональнымипроизводными. //УМЖ, 1977, т.29, N I. -с.99−105.

28. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983.-2.79с.

29. КрейнС.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве. М.: Наука, 1967. -464с.

30. ЛевиП. Конкретные проблемы функционального анализа. М.:Наука, 1967. -510с.

31. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. -520с.

32. Мельничак П. П. Неоднородные линейные уравнения сфункциональными производными. //Матем. физика. Респ. межвед. сб., IS77, N 119. -с.Т46−149.

33. Монин A.C., Яг лом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. Т., М.: Наука, 1965. -639с.

34. Монин A.C., Яг лом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. II, М.: Наука, 1967. -720с.

35. Новикове.А. Решение некоторых уравнений с вариационнымипроизводными. /'/Успехи мат. наук, 1361, т.16, 'Ii Z. -C.I35-I4I.

36. Олвер П. Приложения группы Ли к дифференциальным уравнениям. М. г Мир, 1989. —637с.

37. Перов А. И. 0 многомерном дифференциальном уравнении второго порядка. //Докл.-АН СССР, 1964, т.159, Н 4. -с.755−758,.

38. Перов А. И. Об одном многомерном обобщении определителя Вронского. //Успехи мат. наук, 1964, т.19, вып. 5. -с.194−196.

39. Перов А. И. Омногмерном линейном дифференциальном уравнениивторого порядка с постоянными коэффициентами. //Изв. BV30B. Математика, 1966, N 6. -с.117−124.V •.

40. Рапопорт И. М. Обратная задача вариационного исчисления.Изв. физ. матем. общества. Казань, 1939, II. -с.47−69. 43. Рапопорт И. М, Обратная задача вариационного исчисления. //Докл. АН СССР, 1938, т.18. -с.131−136.

41. СтрыгинВ.В. Полная разрешимость многомерных дифференциальныхуравнений с потенциальной правой частью. //Дифференц. уравнения, 1969, т.5, N 2. -с.331−342.

42. СявавкоМ.С., Мельничак П. П. Об одном классе уравнений сфункциональными производными. //УМЖ, 1974, т.26, N6. -с.836−841.

43. Татарский В. PL Распространение волн в турбулентной атмосфере М.: Наука, 1979. -286с.

44. Татарский В. И. О первообразном функционале и его применении к интегрированию некоторых уравнений в функциональных производных, / /Успе хи мат. наук, IS6I, т.16,H 4(100),-с.179−136.

45. Тихонов В. И. Стохастическая радиотехника. Ч. -, Советское радж 1966. -678с.

46. Тихонов В. И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметри-ческиесистемы. //Автоматика и телемеханика, I95S, т.19,N 8. -с.717−723.

47. ФеллерМ.Н. Бесконечномерные элштические уравнения иоператоры типа П.Леви. //Успехи мат. наук, ISS6, т.41, N 4(250). -с.97−140. 61. Фихтенгольц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1963, т. З, -656с.

48. Фомин C.B. Метод преобразования Фурье для уравнений в функциональных производных. //Докл. АН СССР, 1968, т. 181, М. -с.812−814.

49. Фурсиков A.B. 0 проблеме замыкания цепочек моментных уравнений соответствующих трехмерной системе Навье-Стокса в случаебольших-чисел Рейнольдса. //Докл АН СССР, 1991, т.319. -с.33−37.

50. Фурсиков A.B. 0 единственности решения цепочки моментныхуравнений соответствующих трехмерной системе Навье-СтоксаМатематический сборник, т.63, Ш, 1989. -с.465−490.

51. Шварц JI. Анализ, т. II, М., Мир, 1972, -528с,.

52. Шесгернев А. Н. 0 'решении уравнений в функциональных производных. .//Изв. вузов. Математика, IS6I, J66. -с. 155−168.

53. Anderson I.M., Puchamp Т.Е. Variational principles lor secondorder qiLSI-linear scalar equations. J.Diff. Eq., 1984;, 51. c. I-47.

54. Elrod V. Numerical methods for the solution of stohastic differential equations. Ph. D. dissertation (Mathematics), University of Georgia, 1973.

55. Hirscli A. IJher eine clrarakteristisehe Eigensehaft der Differentialgle cliiingeri der Variationsreclinung, Math. Ann 49(1897), 49−72.