Анализ товарооборота с помощью математических функций

• Решение

• Решение

• Решение

Решение

Цепной абсолютный прирост исчисляется по формуле:

гдеабсолютный прирост;

— текущий уровень;

— предшествующий уровень ряда.

180−120= 60,0 тыс. руб.

250−180= 70,0 тыс. руб.

240−250= -10,0 тыс. руб. и т. д. в таблице 1, гр. 3

Таблица 1. Динамика товарооборота

Исчислим темпы роста цепные по формуле

=150,0%

=138,9%

=96,0% и т. д. таблица 1 гр. 4

Исчислим средний абсолютный прирост по формуле:

=8,14 тыс. руб.

В среднем в год товарооборот увеличивался на 8,14 тыс. руб.

Исчислим среднегодовой темп роста по формуле:

=

Рассчитанные значения цепных абсолютных приростов варьируют значительно, что позволяет предположить характер динамики товарооборота как линейный, так и по кривой второго порядка.

2 Задание

Сгладить исходный временной ряд по методу скользящей средней для периодов сглаживания g=3; g=5. Построить график исходного временного ряда и сглаженных рядов.

Решение

Метод скользящей средней применяется для характеристики тенденции развития и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период.

Прежде всего, устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитывают три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней — пятичленной и т. д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал увеличивают. Если волны следует сохранить, то число членов уменьшают.

Скользящие средние исчисляют по формуле средней арифметической простой:

где — i-й уровень ряда;

m — число членов скользящей средней.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания. Исчислим скользящую среднюю для периода сглаживания равном g=3

=183

=223

=260 и т. д. таблица 2, гр. 3

Таблица 2. Динамика товарооборота

Исчислим скользящую среднюю для периода сглаживания равном g=5

=216

=239

=287 и т. д. таблица 2, гр. 4

Рис. 1 Графики исходного и сглаженного рядов

На рис. 1 показаны графики исходного и сглаженного товарооборота, где четко видны различия в динамике, полученной сглаживанием по простой скользящей средней.

3 Задание

Рассчитать параметры кривых роста для линейной и параболической модели, записать аналитический вид данных моделей и определить расчетные значения временного ряда по полученным моделям для заданных временных точек. При выполнении данного пункта использовать метод переноса шкалы времени.

Решение

Удобным средством описания одномерных рядов является их выравнивание с помощью функций. Кривая роста позволяет получить теоретические значения уровней динамического ряда.

Полином первой степени

На графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Нахождение параметров уравнения производится по методу наименьших квадратов (МНК). Строится система нормальных уравнений число которых соответствует числу параметров.

Для линейного тренда система нормальных уравнений следующая:

При переносе шкалы времени в центр ряда динамики, система нормальных уравнений примет вид:

Исчислим параметры уравнения прямой:

==301,9 ~ 302

== 12,4

уравнение прямой линии примет вид:

последовательно подставляя в уравнение значения (t) получим

= 218

= 230

= 242

= 254

= 266

= 278

=290

= 302

= 314

= 326

= 338

= 350

= 362

= 374

= 386

теоретические, расчетные уровни по уравнению прямой линии представлены в таблице 3 графа 6.

Таблица 3. Расчет параметров уравнений

Полином второй степени

Применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно.

Оценка параметров моделей осуществляется методом наименьших квадратов.

Параболическое выравнивание динамического ряда — это нахождение плавного уровня ряда в предположении его изменения по параболе, т. е. кривой n-го порядка. Уравнение кривой 2-го порядка:

Выравнивание сводится к нахождению параметров, , уравнения. Для этого по методу наименьших квадратов (МНК) решают систему нормальных уравнений:

При переносе шкалы времени в центр ряда динамики, а система нормальных уравнений примет вид:

подставим исчисленные значения в уравнения:

отсюда

280 = 3480, == 12,43

для нахождения параметров, составим систему нормальных уравнений:

умножим первое на 18,7 (280:15), получим

вычтем первое из второго, получим

4125 = 10 210, откуда ==2,475

подставим значение в первое уравнение, получим

15 + 280Ч2,5 = 4529

15 = 3836

=256

уравнение параболы примет вид:

последовательно подставляя в уравнение значения (t) и получим

= 295

=274

=259

= 248

= 243

= 242

= 247

= 256

= 271

= 290

= 315

= 344

= 379

= 418

= 463

Рис. 2 Аналитическое выравнивание по прямой и по параболе

4 Задание

товарооборот прирост модель прогноз

Сделать точечный прогноз рассматриваемого показателя на один шаг вперед (на один месяц, год).

Решение

Исходя из предположения, что тенденция, выраженная уравнением прямой линии сохранится точечный прогноз на 16 период составит:

= 398

Следовательно, товарооборот в 16 месяце, если сохранится данная тенденция, составит 398 тыс. руб.

Исходя из предположения, что тенденция, выраженная уравнением параболы сохранится, точечный прогноз на 16 месяц составит:

= 512

Следовательно, товарооборот в 16 месяце, если сохранится данная тенденция, составит 512 тыс. руб.

5 Задание

Сделать интервальный прогноз рассматриваемого показателя по полученным моделям на один шаг вперед (на один месяц, год) при надежности прогноза 90% (т.е. при доверительной вероятности 0,9).

Решение

На основе уравнения тренда дается точечная оценка прогноза. Однако более надежный прогноз предполагает оценку его в интервале, т.к. полное совпадение фактического и прогнозируемого уровней маловероятно. Даже если выбор формы уравнения тренда удачен, фактическая реализация развития события может отличаться от прогнозируемой, т.к. тренд характеризует лишь тенденцию, а уровни временного ряда содержат случайную компоненту (е), т. е.

Возможная ошибка параметров тренда учитывается в доверительном интервале прогноза.

В основе расчета доверительного интервала прогноза лежит показатель вариации уровней динамического ряда относительно тренда (). Чем больше этот показатель, тем шире интервал прогноза при одной и той же степени вероятности. Вариация уровней динамического ряда относительно тренда исчисляется по формуле:

где — фактические уровни динамического ряда;

— расчетные значения уровней динамического ряда по уравнению тренда;

n — длина динамического ряда;

m — число параметров в уравнении тренда (без свободного члена)

Таблица 4. Исчисление показателя вариации уровней ряда динамики

Для линейного уравнения

=83,09

Доверительный интервал для линейного уравнения тренда

Р=0,9, =1,65, n=15, m=2−1=1, — по таблице.

±1,65Ч83,09

386−137??386+137

249??523

товарооборот по линейному тренду и уточненному прогнозу в 16 месяце будет находиться в интервале от 249 до 523 тыс. руб.

для уравнения параболы:

=123

Доверительный интервал для уравнения параболы

Р=0,9, =1,65, n=15, m=3−1=2

±1,65Ч123

463−203??463+203

260??666

товарооборот по линейному тренду и уточненному прогнозу в 16 месяце по параболе будет находиться в интервале от 260 до 666 тыс. руб.

6 Задание

Проверить модели на точность.

Для проверки модели на прочность используем метод серий.

Решение

Метод серий заключается в том, что ряд динамики представляется как последовательность типов (А и В), типы определяются на основе медианы: тип, А — значения товарооборота меньше медианы, тип В — значения товарооборота больше медианы, () количество серий.

Таблица 5

В ранжированном ряду определим медиану, которой соответствует значение, находящее в середине ряда, =286.

Фактическое количество серий равно 9.

=8

=1,87

Фактическое число серий находится в интервале, следовательно закономерности в ряду динамики нет.

7−8 Задание

Проведенный анализ товарооборота показал, что в анализируемом периоде товарооборот изменялся неравномерно, так наибольший абсолютный прирост наблюдался в 189 тыс. руб. в 10 месяце и 185 в 7 месяце, а наименьший абсолютный прирост наблюдался в 13 месяце — 141 тыс. руб. и 124 тыс. руб. в 9 месяце.

В среднем товарооборот увеличивался на 8,14 тыс. руб. в месяц.

Для определения тенденции динамического ряда проводилось сглаживание на основе простой скользящей средней по 3 и 5 интервалам, Это позволило предположить, что изменение товарооборота можно описать линейной моделью и параболической моделью.

Представляется, что парабола точнее описывает данный динамический ряд, т.к. величина товарооборота зависит от множества факторов, в том числе от внедрения новой техники, которые могут приводить к увеличению затрат.