Реконструкция развития математического знания в методологии научно-исследовательских программ

Актуальность темы

исследования. Исследования закономерностей развития научного познания всегда принадлежали к важнейшим направлениям философского осмысления мира. Вместе с тем, современное состояние исследований в области философии науки отличает новое богатство проблематики. Появление таких книг как «Порядок из хаоса» И. Пригожина и И. Стенгерс, «Структурная устойчивость и морфогенез» Р. Тома и некоторых других ставит перед философией науки задачу адекватного реагирования на представленные в этих книгах изменения в видении науки и ее последствий. В фокусе новейших исследований оказались проблемы осмысления пути, пройденного познанием, а также проблемы поиска новых оснований в союзе человека и природы, восстанавливающих единство науки, культуры и общества. Сказанное выше относится, в частности, и к развитию математического познания и его философского осмысления.

Одной из наиболее интригующих проблем развития научного знания является проблема предвидения возможных сценариев его развития и поиск адекватных им механизмов методологической рефлексии. В настоящее время эта проблема назрела для своего анализа, особенно в отношении развития математического знания. Так, в книге «Будущее математики» А. Г. Барабашева анализируются возможности исторического подхода к предвидению развития математики, предлагаются принципы его реализации и обсуждается специфика прогнозов. Отмечая, что основной поток предвидений в науке порождается научной практикой и, в силу этого, имеет внутринауч-ный индивидуальный характер, автор книги видит задачу методологии в концептуальной переработке этих сведений. Альтернативой внутреннему подходу оказывается внешняя позиция методолога науки, анализирующего исторические закономерности развития и исследующего условия, при которых выявленные закономерности допускают продолжение в будущее.

В настоящее время важное место в ряду исследований развития научного знания, занимает методология НИП И.Лакатоса. Эта методология, предназначенная для анализа роста любого, в том числе и математического, знания успешно применялась, главным образом, в области эмпирических наук [Лакатос, 1970; Захар, 1973; Нугаев, 1989, и др.]. Однако, применимость этой методологии для анализа роста математического знания обнаруживает определенные трудности [Перминов, 198 1- Хэллет, 1979, и др.]. Эти трудности проистекают, главным образом, из того обстоятельства, что Лакатос рассматривает методологию математики по аналогии с методологией естественных наук. Однако, в настоящее время становится все более ясным, что эта аналогия не отвечает специфике математики. Соответственно, именно специфика математического знания остается за бортом методологии Лакатоса. Вместе с тем, эта методология с ее упором на внутренние факторы развития научного знания, обладает значительным потенциалом для совершенствования. Поэтому развитие этой методологии в направлении адекватного охвата методологическими рамками динамики роста математического знания, является, безусловно, актуальной задачей.

Указанная общая задача приводит к постановке и частных задач, которые могут быть поставлены не только в связи с конкретной методологией. А именно, несомненно актуальными являются и следующие методологические вопросы анализа развития математики: а) в каких методологических единицах следует анализировать развитие этой науки, б) каковы механизмы и движущие силы развития математического познания и каковы возможности адекватной ему философской рефлексии, в) является ли математическое познание саморефлексивным и каковыми могут стать последствия учета обратной связи и т. п. Все эти вопросы не только оказываются актуальными для анализа динамики развития научного знания, но и, по-видимому, могут быть разрешены в рамках современных философских представлений.

Степень разработанности проблемы. Научно-исследовательские программы как методологические единицы философского анализа динамики развития. научного знания, по-видимому, впервые возникли в философских работах И.Лакатоса. Развивая концепцию своего учителя К. Поппера, Лакатос предложил методологию НИП для анализа роста научного знания. Претендуя на универсализм и логико-нормативный характер своей методологии, Лакатос рассматривал рост знания как смену ряда непрерывно связанных теорий, объединенных рамками единой НИП. Сам процесс роста знания он укладывал в схему конкурентной борьбы различных НИП, демонстрируя ее динамику на примерах истории развития, главным образом, эмпирических наук.

В настоящее время имеется обширная философская литература [Барабашев, 199 1- Лакатос, 1970; Нугаев, 1989; Перминов, 1986; Пан-ченко, 1988; Розов, 1987; Рузавин, 1988; Сокулер, 1983 и др.], анализирующая различные аспекты как самой концепции НИП, так и ее место в методологии науки. В ней неоднократно отмечалась неуниверсальность конструкций этой методологии и их неадекватность росту математического знания. Основным пунктом критики концепции НИП для математики, по-видимому, являлось неприятие как рядом философов, так и самими математиками квазиэмпирического статуса математики, ставящего математическое познание в один ряд с иными формами научного познания, более характерными для эмпирических наук [Беляев и Перминов Л 98 1- Хэллет, 1979, и др]. Эта критика расслаивала подход Лакатоса в двух отношениях: а) отказ от того статуса квазиэмпиричности математики, который был необходим самому Лакатосу для распространения методологии НИП на математическое познание, б) выявление специфики исследовательских программ, вытекающей из особенностей функционирования частных наук, и отражение этой специфики в методологических конструкциях. В каждом из указанных направлений, развивающих концепцию Лакатоса, было получено существенное продвижение. Поэтому рассмотрим сказанное подробнее.

За последние несколько десятков лет в методологии науки, и, в частности, в методологии математики, произошли существенные сдвиги в проблематике исследований. В частности, произошло смещение в акцентах понимания самого термина исследовательской программы. А именно, в работе Розова (1987) отмечалось, что понятие НИП, введенное Лакатосом, не является удачной экспликацией традиционного термина исследовательской программы, широко применяемого в обиходе научных обсуждений. Более широкое понимание НИП, было предложено в Розовым (1987) для философского анализа широкого спектра научных проблем, связанных с перестройками в развитии наук. В то же время это понимание подытоживало ряд уже выполненных исследований, как отечественных, так и зарубежных. Отметим некоторые из них.

В работе Кочергина (1987) с помощью отмеченного расширения объема понятия НИП была поставлена проблема исследования возможностей адекватного охвата тех новаций математического развития, которые были порождены применением ЭВМ. В этом исследовании деятельность, предпринимаемая в форме машинных доказательств математических теорем, квалифицировалась как разработка нетрадиционных НИП в математике. Тем самым динамика роста математического знания эпохи НТР связывалась с фундаментальными процессами развития науки в целом.

В работе Кулакова и Сычевой (1987) была предложена теория физических структур, аналогичных математическим структурам Н. Бурбаки, соподчинявшая научную деятельность в физике возникновению программных деклараций в математике.

Область применения понятия НИП была расширена и в традиционной для этой методологии проблеме выбора. Помимо исследований в физике и химии [Лакатос, 1978; Захар, 1973; Мамчур, 1987; Нугаев, 1989; и другие], аналогичные исследования были выполнены в геологии, биологии, теоретической генетике, лингвистике, социальном прогнозировании [см.35]. Характеризуя указанный круг исследований, можно отметить, что они: а) существенно расширили перспективы развития оригинальной методологии НИП за счет разработки новых принципов, более адекватно учитывающих специфику НИП конкретных наук, б) предоставили новые научные данные для оценки перспектив применения исследовательских программ в качестве методологических единиц для философского анализа процесса познания в целом.

Проблематика развития математического знания расширялась и в направлении изменения подходов к вопросу о статусе математики и значимости последнего для методологического анализа процесса математического развития. А именно, исследование внутренних проблем, встающих перед философией математики, происходит в настоящее время двумя способами. В основном эти проблемы решаются в русле фундаментализма, т. е. направления, которое подчиняет исследование математики установке на выяснение проблемы сущности математики вне зависимости от ее конкретных исторических состояний [Барабашев, 1991]. В отечественной философской литературе это направление представлено работами.

A.Д.Александрова, Б. Т. Алексеева, Л. Г. Антипенко, Е. А. Беляева, И. Н. Буровой, Н. А. Киселевой, А. А. Кармина, О. И. Кедровского,.

B.Я.Перминова, А. Г. Рузавина, В. А. Успенского и др. Из зарубежных исследователей в русле фундаментализма выполняли свои исследования У. Куайн, Х. Патнем, Ч. Парсонс, Г. Фрейдентал, Ж. Дьедонне и др.

Иной способ решения теоретических проблем философии математики предлагается в нефундамеиталистском направлении. Это направление ориентируется на исторический подход к анализу развития математического знания. Основная проблематика этого направления состоит в определении тенденций развития математики на основе наблюдаемых исторических закономерностей. Как оказалось, исследование функционирования математики может производиться без окончательного решения проблем установления сущности этой науки [Барабашев, 1991]. В свою очередь это раскрыло новые горизонты философских исследований. В настоящее время в этом русле выполнены работы А. Г. Барабашева, Б. В. Бирюкова, В. Э. Войцехович, О. А. Габриэляна, В. А. Карпунина, И. С. Кузнецовой, О. И. Кедровского, А. Н. Нысанбаева, М. И. Панова, В. А. Панфилова, Л. А. Соловьева, М. В. Салихова, З. А. Сокулер и др. Из зарубежных исследователей к этому направлений следует отнести работы И. Лакатоса, М. Хэллет, К. Хоусон, Ф. Китчер, Т. Коетсиер и др. Следует заметить, что разделение самих исследователей по указанным направлениям до некоторой степени условно, т.к. работы одного и того же ученого могут принадлежать как первому направлению, так и второму, в зависимости от предпринятого подхода, целей и задач исследования.

Работы нефундаменталистской ориентации ставят проблему разработки глобальной концепции развития математики и поиска частных схем ее развития [Барабашев, 1991, с.84]. Так, в работе Кузнецовой (1984) было предпринято исследование исторического развития математического знания в форме процесса взаимодействия метаэмпирического и метаумозрительного уровней рефлексии математического познания. В работе Кедровского (1977) была выстроена общая схема исторического взаимодействия философии и математики и указаны типы такого взаимодействия. В работе Панова (1988) рассматривались проблемы интуиционистской математики и исторических этапов ее развития. В работе Карпунина (1983) исследовалось развитие математики в контексте исследования математической интуиции и сущности математического доказательства, рассматриваемого как исторически эволюционирующего. В работе Ба-рабашева (1991) исследовались рефлексивные и саморефлексивные механизмы математического познания в плане предсказательных возможностей исторического подхода. Все эти работы объединены стремлением обнаружить диалектику развития самой математики, утверждая множественность точек зрения на развитие математики и ее различных, уточняемых в ходе математического развития, моделей. При этом проблема реконструкции развития знания приобрела новые черты. Целью реконструкции становится не только построение моделей, воспроизводящих определенные закономерности развития исторических этапов математического познания, но поиск тенденций развития в самой методологии математики, позволяющих объединить анализ прошлого и возможного будущего математики в единой методологии.

Отдельно выделим исследования, не столь радикально ревизующие проблемы реконструкции закономерностей математического развития, исследования, в которых обсуждаются вопросы адекватности методологии НИП развитию математического знания. В них методология НИП анализируется в сопоставлении с реальным историческим процессом. Как правило вопрос о значимости такой единицы как НИП не подвергается критике, но исследуются принципы функционирования математических программ. Так, К. Хоусон (1979, с. 262) утверждает, что непосредственно в математике исследовательские программы существуют и предлагает свои, подтверждающие этот тезис, примеры. Основной вопрос его исследования состоит в том, соответствуют ли принципы, которыми управляются эти программы, тем оригинальным принципам, которые Лакатос установил для программ в эмпирических науках. В работе М.Хэллета.

1979) предпринята попытка реконструировать некоторые из эпизодов истории математики в духе методологии НИП в том варианте, который был предложен самим Лакатосом. В ней автор ищет решение традиционных для методологии Лакатоса вопросов о различении стадий роста НИП в суждениях и оценках математического сообщества. В работе Т. Коетсиера (1991) предложена панорама развития математической мысли, начинающаяся с древних времен и наполняющая новым историческим материалом оригинальную версию методологии НИП Лакатоса. Она распространяет в свете сказанного выше, методологию НИП Лакатоса на исследовательские традиции, исследовательские проекты и т. п. Обзор работ зарубежных исследователей данного направления дан Сокулер (1983).

Таким образом, предметом диссертационного исследования является комплекс вопросов связанных с развитием методологии математики и рациональной реконструкцией истории развития математического знания.

Цель и задачи исследования

Общая постановка цели исследования в данной диссертации заключается в развитии методологии НИП в математике и ее применение к реконструкции роста математического знания. В соответствии с этим в работе ставились следующие задачи:

1) на основе анализа реальной истории развития теоретической математики и имеющегося философского понятийного аппарата дать адекватную для методологии математики экспликацию единиц, позволяющих выполнить рациональную реконструкцию истории развития этого знания,.

2) на основе выбранных методологических единиц дать реконструкцию роста математического знания в критические этапы его развития и, в частности, дать рациональную реконструкцию роста геометрического знания в истории создания неевклидовой геометрии,.

3) на основе анализа результатов реконструкции отдельных периодов развития теоретической математики построить методологию развития математического знания и выявить ее место среди существующих методологических схем.

Теоретико-методологической базой данного исследования явились работы в области философии, методологии и истории математики — А. Г. Барабашева, В. Ф. Кагана, И. Лакатоса, В. А. Лекторского, Р. М. Нугаева, В. Я. Перминова, М. А. Розова.

Научная новизна исследования. Исходной посылкой для создания методологии развития математического знания, определяющей научную новизну как самой диссертации, так и предлагаемой в ней методологии, послужило выявление того обстоятельства, что исследовательские программы Лакатоса по сути являются метатео-ретическими программами, фальсификация которых, подобная эмпирической проверке, не отвечает статусу теоретической математики. Акцентированное расслоение класса собственно исследовательских программ в математике на математические и метаматематические НИИ и соответствующее расслоение проблематики развития математического знания на внутриматематическую и метаматематическую детерминанты, также является новым, определяющим подход данной диссертации. В таком расслоении множества исследовательских программ в математике на два класса получают новое освещение и те кризисные явления, которые имели место в истории математики, связанные с возникновением метаматематических течений интуиционизма, формализма и др. При этом, если метаматематические НИП по существу широко обсуждались в литературе, то математические НИП и их специфика не получили должного освещения. Выявление же определяющего характера именно математических НИП на динамику роста математического знания явилось новым результатом, полученным в данной диссертации.

Далее, в отличии от методологии НИП Лакатоса, в которой развитие знания вкладывалось в рамки конкурентной борьбы уже имеющихся различных НИП, в данной диссертации предложен новый подход, связывающий развитие знания непосредственно с самим фактом возникновения новых НИП. Соответственно этому, приобрела новое содержание и проблема роста знания. А именно, появилась возможность типологизации критических периодов развития знания по количеству возникших новых НИП. Новым содержательным элементом проблемы роста знания в предлагаемой методологии стало выявление программного характера наблюдаемых в истории математики фундаментальных открытий и получение критериев для такой оценки.

Предлагаемая в диссертации методология математических НИП в математике была разработана в результате философской рефлексии на основе внутринаучных оценок и оценочных суждений как философов науки, так и квалифицированного математического сообщества. Если оригинальная методология НИП Лакатоса исходила из фаллибилистической позиции в отношении закономерностей развития знания, то в данном исследовании эта позиция была подвергнута критическому пересмотру. В частности, неадекватность этой позиции наблюдаемой жесткой конструкции математического знания потребовала выработки новой концепции развития. Выбор последней был произведен на основе имеющихся современных концепций как естественнонаучных, так и собственно философских.

Наконец, в плане исследования эвристических возможностей методологии математических НИП в реконструкции роста математического знания, была выполнена реконструкция исторически наблюдаемых ветвей эволюции развития знания в истории открытия неевклидовой геометрии.

Наиболее значимые новые результаты исследования заключаются в следующем.

1. Анализ исторического развития математики позволяет заключить, что научные исследовательские программы в математике разделяются на два качественно различающихся класса — математические и метаматематические НИП — определяющие собой динамику математического развития на современном этапе.

2. Обоснован определяющий характер математических НИП в реконструкции развития математического знания на современном этапе развития и выявлено несоответствие методологии НИП Ла-катоса специфике математических НИП.

3. Для анализа развития математического знания разработан новый вариант методологии НИП в математике, использующий математические НИП в качестве основных единиц анализа.

4. Разработаны критерии для выявления математических НИП в реальной истории математики и на их основе предложена типоло-гизация критических этапов роста математического знания.

5. На основе предложенной методологии выполнена реконструкция роста геометрического знания в истории создания неевклидовой геометрии: а) периода открытия первой неевклидовой геометрии Лобачевского, и б) периода последующего развития неевклидовой геометрии.

6. Для процессов становления математических НИП предложена эволюционная модель, описывающая механизм взаимодействия математических и метаматематических идей из различных исследовательских программ.

7. В реальной истории развития математики выявлены примеры еще не завершившихся процессов программного оформления исследовательской деятельности в форме математических НИП, для реконструкции которых предложены дополнительные методологические единицы.

Научно-практическая значимость диссертации. Полученные в исследовании результаты позволяют углубить понимание проблем.

15 развития математического знания и его рациональной реконструкции в методологии математики. Эта диссертация может стать предметом для последующего критического анализа предложенной в ней методологии математического развития в столкновении с фактами реальной истории. Помимо этого, полученные в диссертации результаты могут быть использованы для построения спецкурса по основаниям геометрии, входящего в образовательную программу по кафедре геометрии педагогического университета.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертации обсуждались на заседании кафедры философии Казанского государственного университета и кафедры геометрии Казанского государственного педагогического университета. Некоторые из положений диссертации обсуждались на XIX международном конгрессе по истории науки в г. Сарагоса (Испания), международной научной конференции «Лобачевский и современная геометрия» в г. Казани, международном семинаре «Космическое пространство в науке, философии и богословии» в г. Санкт-Петербурге.

Заключение

.

В данной диссертации, изложен авторский вариант методологии НИП, предназначенный для анализа и реконструкции роста математического знания. Его разработка заключалась в следующем.

1) В процессе исследования исторического развития математики было выявлено, что научные исследовательские программы могут рассматриваться как основные методологические единицы для оценки роста знания. При этом сами НИП в математике подразделялись на два качественно различающихся класса — математические и метаматематические НИП — определяющие собой различные уровни рефлексии над математическим познанием.

2) Из анализа реальной истории математического развития стало ясным, что выделенный в диссертации класс собственно математических НИП является в настоящее время определяющим для методологии математики. Вместе с тем, оказалось, что специфика таких НИП не отвечает характеру НИП, принятому в исходной версии методологии И.Лакатоса. В свою очередь это и предопределило разработку новой, более адекватной версии методологии НИП в математике.

3) Новый вариант методологии использует математические НИП в качестве основных единиц анализа. В этой связи был предложен критерий для выявления математических НИП в реальной истории математического развития, на основе этого критерия предложена ти-пологизация стадий роста математического знания и дан пример реконструкции роста геометрического знания в истории создания неевклидовой геометрии.

4) Для процессов становления математических НИП была предложена эволюционная модель, механизм которой образует взаимодействие математических и метаматематических идей из различных исследовательских программ. Вместе с тем, выявляя диалектику исторического развития математики, в данном исследовании приведены.

137 примеры еще не завершившихся процессов программного оформления научной исследовательской деятельности. Для методологического анализа этих процессов предложены дополнительные методологические единицы.

Результаты проведенного исследования, в свою очередь, ставят новые исследовательские задачи. Одно из направлений исследований связано с применением предложенной методологии для анализа конкретных исторических периодов. Эти исследования должны выявить новую конкретику методологии и дать соответствующее осмысление наблюдаемых деталей исторического развития математики рассматриваемых периодов. Другое направление состоит в детальном развитии механизмов программного оформления исследовательской деятельности в математике. Предложенные в диссертации дополнительные единицы методологического анализа, предназначенные для исследования процессов становления НИП, дают необходимые для этого конструктивные элементы.

Из результатов проведенного исследования вытекает, что разработанный вариант методологии математических НИП дает новую перспективную модель оценки роста математического знания, в котором более адекватно, чем в существующих моделях, учтена специфика математического знания.