Спектральные разложения операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций в сингулярном случае

В диссертации рассматриваются вопросы, связанные со спектральной теорией симметрических операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций.

Основы общей теории симметрических операторов в гильбертовом пространстве были заложены Дж. фон Нейманом [31], М. Стоуном [33] и получили свое дальнейшее развитие в работах М. А. Наймарка [27] [29], М. Г. Крейна [18]—[20], М. А. Красносельского [16]-[17], А. В. Штрауса [42], [48]—[50] и других авторов.

Ими были описаны совокупности всех обобщенных резольвент и спектральных функций для различных классов симметрических операторов.

Для формулировки некоторых результатов работ [42], [50], [53], [54], [57], использованных в диссертации, напомним основные понятия и предложения теории линейных операторов в гильбертовом пространстве.

Через Sj обозначим абстрактное гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•) и нормой || • ||.

Линейный оператор А, действующий в f), называется симметрическим, если для любых элементов f, g? Dom, А справедливо равенство (А/, д) = (/, Ад). В общем случае область определения оператора не обязательно плотна в f). Для ограниченного оператора понятие симметрического оператора совпадает с самосопряженным.

Как обычно, оператор В называется расширением оператора, А (А С В), если DomA С Dom В и Bf = Af для любого /? DomA. Оператор, А в этом случае называют сужением оператора В на Dom, А и обозначают, А = В^отА •.

Теория расширений симметрических операторов развита Дж. фон.

Нейманом, который свел ее к задаче расширения изометрического оператора с помощью преобразования Кэли. При этом существенную роль играет теория дефектных подпространств.

Пусть Л — произвольное невещественное число. Через Ш1д обозначим область значений оператора, А — XI:

ШХ (А) = Ran (А — XI) или 9Яд (А) = (АXI) Dom А.

Ортогональное дополнение к области значений оператора, А —XI называется дефектным подпространством оператора, А и обозначается 9Тд (А): тх (А) = ъет{А).

В дальнейшем, если известно о каком операторе идет речь, будем обозначать их просто 9Яд и ЭДд .

Размерность дефектного подпространства 91д одинакова для всех Л, принадлежащих нижней полуплоскости С или верхней полуплоскости С+ и называется дефектным числом оператора в данной полуплоскости. Упорядоченная пара (dimO^-j, dimO^) называется индексом дефекта оператора (или просто дефектными числами). Дефектные подпространства 91д и 91д являются собственными подпространствами оператора А* (или отношения А*, если оператор неплотно задан), отвечающими собственным значениям Л и Л. Каждый симметрический оператор имеет два дефектных числа. У максимального симметрического оператора, не имеющего симметрических расширений в данном пространстве, одно из дефектных чисел равно нулю.

Замкнутый симметрический оператор обладает самосопряженными расширениями в данном пространстве тогда и только и тогда, когда его дефектные числа равны. Для произвольных дефектных чисел, как показано М. А. Наймарком [27] для плотно заданного оператора и М. А. Красносельским [17] в общем случае, оператор обладает самосопряженными расширениями с выходом из данного пространства.

Комплексное число Л называется точкой регулярного типа замкнутого оператора А, если оператор (А — Л/)-1 существует и ограничен. Если при этом Оот (А— Л/)-1 = 5о, то Л называется регулярной точкой. Множество всех точек регулярного типа оператора, А называют полем регулярности. Будем обозначать его А (А). Для симметрического опе,-ратора Л (А) Э С+ и С. Множество всех регулярных точек образует резольвентное множество р (А) оператора А. Ясно, что резольвентное множество есть часть поля регулярности (р (А) С Л (Л)). Дополнение резольвентного множества до всей комплексной плоскости называется спектром оператора и обозначается сг (А): <�т (А) = С р (А). В дальнейшем, если не указано о каком операторе идет речь, поле регулярности оператора и его резольвентное множество будем обозначать просто Л и Р.

Симметрический оператор, А называется регулярным, если Л = С. Очевидно, что для этого достаточно, чтобы К С А. В случае максимального симметрического несамосопряженного оператора резольвентное множество р совпадает с одной из полуплоскостей (С+ или С). В случае самосопряженного оператора р Э С+ и С .

Операторнозначная функция (А — Л/)-1 (А Е Л), называется резольвентой оператора, А и обозначается Я (А).

Одним из основных результатов спектральной теории самосопряженных операторов является теорема о спектральном разложении, котог рая описывает это разложение в терминах так называемого разложения единицы.

Ортогональным разложением единицы называется операторнозначная функция Е{&euro-) (? Е К), значениями которой являются ортопроекторы в Sj, обладающая следующими свойствами:

1) EfajEfo) = E (t) (t = min{ii, i2});

2) E (t — 0) = E (t);

3) E (—oo) = 0, E (+oo) = / (см., например, [2]).

Ортогональное разложение E (t) однозначно определяет самосопряженный оператор А, который определяется по формуле оо.

Af=j tdE (t)f оо и имеет область определения оо.

Dom A = {feS)| / t2d (E (t)f, /) < оо}. оо.

Все интегралы здесь и в дальнейшем понимаются в смысле сильной сходимости.

Обобщенным разложением единицы называется всякое однопараме-трическое семейство операторов E (t), удовлетворяющих условиям:

1) при ?2 > t разность E (t2) — E{t) является ограниченным положительным оператором;

2) E (t — 0) = E (t);

3) Е (-оо) — 0, Е (+00) = I (см., например, [2]).

М. А. Наймарком [28] установлено, что операторнозначная функция E (t) (t G R), является обобщенным разложением единицы в пространстве fj тогда и только тогда, когда она допускает представление вида E (t) = PE (t)fi, где E{t) — ортогональное разложение единицы в более широком пространстве f) Э fj, Р — ортопроектор в на fj.

Пусть, А — самосопряженное расширение оператора А, действующее в пространстве Э ft. Пусть E (t) (t? R) — ортогональное разложение единицы, отвечающее оператору А. Обобщенной спектральной функцией оператора, А (или просто спектральной функцией), определяемой оператором А, называют операторнозначную функцию E (t) (t G R), заданную формулой.

E (t) = PE (t) где jP — ортопроектор в Sj на S).

Симметрический оператор с ненулевыми дефектными числами обладает бесконечным числом спектральных функций. Максимальный симметрический и самосопряженный — единственной спектральной функцией. Эта единственная спектральная функция является ортогональной тогда и только тогда, когда оператор самосопряженный.

С понятием спектральной функции тесно связано понятие обобщенной резольвенты. Обобщенной резольвентой замкнутого симметрического оператора, А называется операторнозначная функция jR (A) = Р (АI) — (ImA ф 0), где, А — некоторое самосопряженное расширение оператора А, действующее в более широком пространстве 9) Э 9), Р — ортопроектор в f) на.

Я.

Обобщенная резольвента и спектральная функция оператора А, определяемые одним и тем же расширением А, связаны равенством.

ЖА) = 7 73 Г (0Л) оо.

Если E (t) и R (А) связаны равенством (0.1), то спектральная функция E{t) однозначно восстанавливается по обобщенной резольвенте с помощью формулы обращения Стилтьеса t.

7 г г—"0+.

1 t.

E (t) = - lim f lmR (a + ir) da, (0.2).

7 Г T—>0+ J поэтому задача об описании всех спектральных функций оператора, А может быть сведена к задаче описания совокупности всех его обобщенных резольвент.

В работах М. А. Наймарка [29] и М. Г. Крейна [18] независимо друг от друга была решена задача описания всех обобщенных резольвент симметрического плотно заданного оператора с дефектными числами (1,1). Результаты М. Г. Крейна были обобщены в работе [20] на случай равных и конечных дефектных чисел, а затем и на случай равных бесконечных дефектных чисел в работе М. Г. Крейна и Ш. Н. Саакяна [22].

А. В. Штраусом было дано описание совокупности всех обобщенных резольвент симметрического оператора с произвольными дефектными числами в терминах семейств расширений этого оператора в рамках исходного пространства fj сначала для плотно заданного оператора [42], а затем для произвольного оператора [50].

Пусть, А — замкнутый симметрический оператор (необязательно плотно заданный). Зафиксируем произвольное невещественное число (.

Если и? , v? Щ и и — v G Dom А, то ||w|| = ||г>||. Рассмотрим изометрический оператор X, полагая v = Xu для любых таких и и v. Оператор X называется «запретным» (см. [27]).

Обозначим через Т класс всех голоморфных в полуплоскости П = {Л <Е С | Im Л Im С > 0} операторнозначных функций F (А) таких, что для любого Л G П F (А): —> ОТ^ есть линейный оператор с нормой < 15 удовлетворяющий следующим условиям: если для некоторого и е %- lim qF (X)u = Xu и^imJAl (||к|| - \F (X)u\)) < +оо, то и = 0. Здесь П Э, А —У оо означает, что, А —" оо и для некоторого $ G (0, |)? < arg А| < тт — ?. Такие классы были введены А. В. Штраусом.

Согласно [50], формула.

R () = (Ат — xi)~l (Л е п), где.

Dom Af{x) = Dom, А + (F (А) — 1) У1(,.

Af{x)(/ + F (A)u — и) = Af + (F{X)u -(и (/ E Dom А, и E определяет взаимно однозначное соответствие между множеством всех обобщенных резольвент оператора, А и множеством всех операторно-значных функций F (А) (А? П) класса Т.

Заметим, что если оператор, А плотно задан, то DomX = 0, т. е. класс Т состоит из всех голоморфных в П операторнозначных функций F (Л) таких, что для любого Л Е П F (X): —у есть линейный оператор с нормой ||.F (A)|| < 1.

Введем теперь важное понятие масштабного подпространства оператора. Подпространство С fj называется масштабным подпространством оператора А, если непустым является множество fi (grt) = {А Е Л (А)|5э = Шх (А) + <п}.

А. В. Штраусом впервые было указано на возможность выбора дефектного подпространства в качестве масштабного.

Обозначим через П множество всех точек комплексной плоскости таких, что при любом, А Е П пространство fi представимо в виде прямой суммы: э = аяЛ 4- тс- (о.з).

Как показано А. В. Штраусом [48], [52] П Э П, П D AUR и П — открытое множество. Для любого, А Е П обозначим через Q (A): f) —> проектор соответствующий данному разложению пространства fj.

Если R (А) (ImЛ ф 0) — обобщенная резольвента оператора А, то операторнозначная функция R.

Rm ({X) = PmcR (X)mc (ImA^O), где РЩ (— ортопроектор в S) на, называетсярезольвентой оператора А. Будем говорить, что она отвечает обобщенной резольвенте.

Д (А).

Пусть с обобщенной резольвентой R (X) оператора, А равенством (0.1) связана спектральная функция E (t). Введем ^(—спектральную функцию S (t) (t G R) оператора А, полагая.

S (t) = P^E (t) К (te R), при этом оо и для функций S (t) и i?^c (A) справедлива формула обращения Стилтьеса аналогичная (0.2):

1. }.

S (t) = — lim / ImRyxc (er + ir) da.

CO.

Как установлено А. В. Штраусом [53], [57] совокупность всех резольвент оператора, А в полуплоскости П задается формулой.

Rm ((X) = (K (X)F (X)-I)((C-X)K (X)F (X)-((-X)I)-1 (X е П), (0.4) где К (X) = Q (A)|.

Формула (0.4) в сочетании с формулой обращения Стилтьеса описывает совокупность всехспектральных функций оператора А.

В [53] А. В. Штраусом получена формула, описывающая спектральные разложения регулярного оператора: оо.

Af= J Q*(X)dS (X)Q (X)f, (0.5) где С<}() — проектор, соответствующий разложению (0.3), а ¿->(А) — произвольнаяспектральная функция оператора А.

В [54] А. В. Штраусом в рамках теории проективных пределов получена формула, аналогичная (0.5), для абстрактного симметрического оператора (не являющегося в общем случае регулярным), обладающего цепочкой инвариантных подпространств, в каждом из которых им индуцируется регулярный оператор. При этом в качестве масштабного подпространства при описании таких разложений выбирается дефектное подпространство первого оператора в цепочке.

Отметим, что данные результаты тесно связаны с теорией представления симметрических операторов, развитой в фундаментальной работе М. Г. Крейна [21]. Важные результаты, относящиеся к спектральным представлениям самосопряженных операторов в рамках проективных пределов изложены в монографии К. Морена [26].

Целью настоящей работы является построение спектральных разложений (имеются в виду обобщенные спектральные разложения, порождаемые самосопряженными расширениями с выходом в более широкое пространство) плотно и неплотно заданных операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций с использованием методов масштабных подпространств и проективных пределов. Как это обычно бывает при использовании предельного перехода (см., например, [1], [6], [24]), самостоятельный интерес представляет сходимость последовательностей различных возникающих при этом вспомогательных функций. Такими функциями будут являться голоморфные линейные сжатия, параметризующие совокупности 91-резольвент испектральных функций (по-иному — обобщенных спектральных мер) рассматриваемых операторов.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на пара.

1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М.: Мир, 1968.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966.

3. Березанский Ю. М. О разложении по собственным функциям общих самосопряженных дифференциальных операторов // ДАН СССР. 1956. Т. 108. N 3. С. 379−382.

4. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов // Матем. сб. 1957. Т. 43. N 1. С. 75−126.

5. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. — Киев: Наук, думка, 1965.

6. Weyl Н. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die zugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen // Math. Ann. 1910. Bd. 68. S. 220−269.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

8. Горбачук В. И., Горбачук М. Л., Кочубей А. Н. Теория расширений симметрических операторов и граничные задачи для дифференциальных уравнений // Укр. матем. журн. 1989. Т. 41. N 10. С. 1299 1313.

9. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1966. 1063 с.

10. Dijksma A., Snoo H. S. V. de. Eigenfunction Expansions for nondensely defined differential operators // J. Different. Equat. 1975. 17. N 1. P. 198 219.

11. Dijksma A., Snoo П. S. V. de, Sabbagh A. Selfadjoint extensions of regular canonical systems with Stieltjes boundary conditions // Journ. of Math. Analysis and Applications. 152. 1990. P. 546−583.

12. Като. Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

13. Catchpole Е. A. An integro-differential operator // J. London Math. Soc. 1973. 6. P. 513−523.

14. Kim T. Investigation of a differential boundary operator of the second order with an integral boundary conditions on a semiaxes // J. Math. Anal. Appl. 1973. 44. P. 434−441.

15. Coddington E. A. Spectral theory of ordinary differential operators // Lect. Notes Math. 1975. 448. P. 1−23.

16. Красносельский M. А. О расширениях эрмитовых операторов с неплотной областью определения // ДАН СССР. 1948. Т. LIX. N 1. С. 13−16.

17. Красносельский М. А. О самосопряженных расширениях эрмитовых операторов // Укр. матем. журнал. 1949. N 1. С. 21−38.

18. Крейн М. Г. Об эрмитовых операторах с дефект-индексами, равными единице // ДАН СССР. 1944. Т. 43. N 8. С. 339−342.

19. Крейн М. Г. Об эрмитовых операторах с дефект-индексами, равными единице II // ДАН СССР. 1944. Т. 44. N 4. С. 143 146.

20. Крейн М. Г. О резольвентах эрмитова оператора с индексом дефекта (т, т) // ДАН СССР. 1946. Т. 52. N 8. С. 657⁶⁶⁰.

21. Крейн М. Г. Основные положения теории представления эрмитовых операторов с индексом дефекта (га, га) // Укр. матем. ж. 1949. Т. 1. N 2. С. 3−66.

22. Крейн М. Г., Саакян Ш. Н. О некоторых новых результатах в теории резольвент эрмитовых операторов // ДАН СССР. 1966. Т. 169. N 6. С. 1269−1272.

23. Кругликова О. П. Обобщенные резольвенты и спектральные функции интегро-дифференциального оператора первого порядка в пространстве векторнозначных функций // Функц. анализ. Ульяновск. 1997. Вып. 36. С. 24−30.

24. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Диг рака. — М.: Наука, 1988.

25. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972.

26. Морен К. Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965.

27. Наймарк М. А. О самосопряженных расширениях второго рода симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4. N 1. С. 53−104.

28. Наймарк М. А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4. N 3. С. 277−318.

29. Наймарк М. А. О спектральных функциях симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1943. Т. 7. N 6. С. 285−296.

30. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. 528 С.

31. Neumann J. von. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren // Math. Annalen. 1929. Bd. 102. S. 49−131.

32. Орлов С. А. Гнездящиеся матричные круги, аналитически зависящие от параметра и теоремы об инвариантности рангов радиусов предельных кругов // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1976. Т. 40, N 3. С. 593−644.

33. Stone М. Н. Linear transformations on Hilbert space and their applications to analysis. — New York, 1932.

34. Треногин В. А. Функциональный анализ. — M.: Наука, 1980. 496 С.

35. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ — М.: Мир, 1989.

36. Цыганов А. В. О спектральных разложениях операторов дифференцирования // Функц. анализ. 1999. Вып. 37. С. 53−63.

37. Tsyganov A. V. On Spectral Decompositions of a Restriction of a Differential Operator // Proceedings of the International Conference on Operator Theory and its Applications to Scientific and Industrial Problems. 1999. (To appear).

38. Шефер. X. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.

39. Штраус А. В. К теории обобщенных резольвент симметрического оператора // Докл. АН СССР. 1951. Т. 78. N 2. С. 217−220.

40. Штраус А. В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1954. Т. 18. N 1. С. 51−86.

41. Штраус А. В. О спектральных функциях дифференциальных операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. Т. 19. С. 201−220.

42. Штраус А. В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов и разложение по собственным функциям одного класса краевых задач // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12. Вып. 1, С. 251−253.

43. Штраус А. В. Об обобщенных резольвентах и спектральных функциях дифференциальных операторов четного порядка // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т. 21. N 6. С. 785−803.

44. Штраус А. В. О спектральных функциях оператора дифференцирования // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13. Вып. 6, С. 185−191.

45. Штраус А. В. Характеристические функции линейных операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т. 24. N 1. С. 43−74.

46. Штраус А. В. О расширениях и характеристической функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 32. N 1. С. 186−207.

47. Штраус А. В. Докторская диссертация.

48. Штраус А. В. Расширения и обобщенные резольвенты неплотно заданного симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т. 34. N 1. С. 175−202.

49. Штраус А. В. О спектральных разложениях регулярного симметрического оператора // ДАН СССР. 1972. Т. 204. N 1. С. 52−55.

50. Штраус А. В. О резольвентах расширений симметрического оператора // Функц. анализ. Ульяновск. 1977. Вып. 8. С. 162−173.

51. Штраус А. В. К спектральной теории регулярных симметрических операторов // Функц. анализ. Ульяновск. 1978. Вып. 10, С. 145−153.

52. Штраус А. В. О спектральном представлении симметрического оператора // Функц. анализ. Ульяновск. 1979. Вып. 12, С. 159−166.

53. Штраус А. В. Спектральные представления линейных операторов // Функц. анализ. Ульяновск. 1993. Вып. 34. С. 80−93.

54. Strauss А. V. Spectral representations and spectral functions of symmetric operators // Operator Theory. Advances and Applications. 1996. V. 87. P. 399−412.

55. Штраус А. В. Функциональные модели и обобщенные спектральные функции симметрических операторов // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. N 5, С. 1−76.

56. Эткин А. Е. О краевой задаче первого порядка со спектральным параметром в краевом условии // Функц. анализ. Ульяновск, 1982. Вып. 19. С. 177−190.