Оценки скорости сходимости обобщенных процессов кокса с ненулевым средним и некоторые их применения

Объект исследования.

Данная работа посвящена изучению некоторых асимптотических свойств специальных случайных сумм — сумм независимых случайных слагаемых, в которых число слагаемых само является случайной величиной и неограниченно увеличивается в соответствии с некоторым дважды стохастическим пуассоновским процессом, также называемым процессом Кокса. Такие суммы описывают поведение координаты частицы при неоднородном или нестационарном случайном блуждании. От однородного случайного блуждания оно отличается тем, что распределения случайных интервалов времени между последовательными скачками являются, вообще говоря, различными. Предположение неоднородности (различия распределений времен между последовательными скачками) случайного блуждания хорошо согласуется с представлением о том, что интенсивность изменений координаты частицы, испытывающей броуновское движение в изменяющейся (например, турбулентной) среде, существенно непостоянна. Это непостоянство может быть вызвано многими причинами, проявляющимися, например, как непериодические или периодические компоненты (тренды), связанные с изменениями локальных (во времени) тенденций, например, панического характера на биржах при моделировании динамики финансовых или экономических показателей или внешних параметров тороидальных магнитных ловушек (токамаков и стел-лараторов) при моделировании плазменной турбулентности (Королев, 2007). Кроме того, участки нестационарности могут быть вызваны некоторыми случайно возникающими (не поддающимися абсолютно надежному прогнозированию) причинами.

Пусть N (t) — число скачков случайно блуждающей частицы за период времени [0, f], t > 0. При решении многих практических задач естественно считать, что моменты скачков образуют хаотический точечный случайный процесс на оси времени. Однако этот хаотический случайный процесс мол-сет не быть однородным в силу указанных выше представлений. Как известно, наиболее разумными стохастическими моделями неоднородных хаотических точечных процессов являются дважды стохастические пуассоновские процессы, иначе называемые процессами Кокса (см., например, (Bening and Korolev, 2002)). Определение процессов Кокса следует предварить кратким экскурсом в описание некоторых свойств однородных и неоднородных пуассоновских процессов. В полном объеме свойства однородных и неоднородных пуассоновских процессов описаны, например, в книгах (Kingman, 1964) и (Кингман, 2007), где также можно найти многочисленные примеры математических и прикладных задач, в которых возникают такие процессы.

Как известно (см., например, (Bening and Korolev, 2002)), пуассоновский процесс, характеризуемый тем обстоятельством, что интервалы времени между событиями потока стохастически независимы и имеют одинаковое показательное распределение, является наилучшей моделью однородного стохастического хаотического потока событий. Напомним, что привлекательность пуассоновского процесса в качестве модели однородного дискретного хаоса обусловлена как минимум двумя обстоятельствами. Во-первых, показательное распределение обладает максимальной дифференциальной энтропией среди всех абсолютно непрерывных распределений вероятностей, сосредоточенных на всей положительной полуоси и имеющих конечное математическое ожидание, а энтропия, как известно, является очень удобной численной характеристикой неопределенности. Во-вторых, точки (события) пуассоновского потока равномерно распределены на оси времени в том смысле, что для любого конечного интервала времени [г1!, to], t < to, условное совместное распределение точек пуассоновского потока, попавших в интервал [ii,^2]э при условии, что в этот интервал попало фиксированное число, скажем, п точек, совпадает с совместным распределением вариационного ряда, построенного по независимой однородной выборке объема п из равномерного на [t, t2] распределения. Равномерное же распределение обладает максимальной дифференциальной энтропией среди всех абсолютно непрерывных распределений вероятностен, сосредоточенных на конечных интервалах, и очень хорошо соответствует общепринятому представлению об абсолютно непредсказуемой ограниченной случайной величине.

Напомним, что, если N (t) — однородный пуассоновский процесс с некоторой интенсивностью, А > 0, то параметр Л, называемый интенсивностью, имеет смысл среднего числа скачков процесса (количества событий наблюдаемого потока) в единицу времени. При этом.

Р (Nx (t) = к) = к = 0,1,. (0.0.1).

ЕNx (t) = DN (t) = At, t> 0, так что для любых s, t > 0.

ENx (t + s)-ENx{t).

-= Л = const. s.

Из соотношения (0.0.1) легко видеть, что для любого к — 0,1,.

P (Nx (t) = к) = P (Ni (t) = к), t> 0, (0.0.2) то есть процессы N (t) и N (Xt) стохастически эквивалентны.

Однако, как уже было отмечено, в реальной практике хаотические потоки не бывают однородными. Для наглядности, перед тем как определить дважды стохастический пуассо-новский процесс, рассмотрим неоднородный пуассоновский поток событий N*(t), определяемый следующим образом. Пусть А (/) — некоторая положительная функция. Предположим, что функция X (t.) интегрируема, и обозначим t.

A (t) = J Х (т)с1т, t > 0.0. о.

Неоднородный пуассоновский процесс N*(t), t > 0, определяется как случайный процесс с независимыми приращениями, траектории которого стартуют из нуля (iV*(0) — 0) и.

Р (N*(t) = k) = (Лffl, к = 0,1,. (0.0.3).

А-!

Тогда.

EN*(t) = A (t), t> 0, так что.

Цю ЕN-{t + .) — ЕЛГМ lim Aft + .) — AM = МЛ (>0 0.

40 s sio s dt.

Другими словами, при таком определении функция А (/) играет роль мгновенной интенсивности процесса в точке t. При этом по аналогии с (0.0.2) из (0.0.3) вытекает, что.

P (N*(t) = k) = P (Ni (A (t)) = k), к — 0,1,., t> 0, то есть процессы N*(t) и Ni (A (t)) стохастически эквивалентны.

Наконец, рассмотрим предложенное Д. Коксом (Сох, 1955) понятие дважды стохастического пуассо7ювского процесса, являющееся естественным обобщением неоднородного пуассоновского процесса.

Пусть N (t), t > 0, — однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью, а Л (/.), { > 0, — независимый or N (t) случайный процесс, обладающий следующими свойствами: Л (0) = О, Р (Л (?) < оо) = 1 для любого t > О, траектории Л (f) не убывают и непрерывны справа. Дважды стохастический пуассоновский процесс N (t), называемый теперь также процессом Кокса, определяется как суперпозиция N (t) и A (t):

В этом случае будем говорить, что процесс Кокса N (?) управляется процессом A (t). В частности, если процесс Л (£) допускает представление в котором Л (t) — положительный случайный процесс с интегрируемыми траекториями, то А (/.) можно интерпретировать как мгновенную стохастическую интенсивность процесса N (t). Поэтому иногда процесс Л (4), управляющий процессом Кокса N (t), будет называться накопленной интенсивностью процесса N (t).

Несложно убедиться, что для процесса Кокса N (t), управляемого процессом A (t), справедливы соотношения.

При каждом фиксированном t распределение случайной величины N (t) = N (A (i)) является смешанным пуассоновским. Класс смешанных пуассоновских распределений весьма широк и содержит, в частности,.

• само пуассоновское распределение (ему соответствует вырожденное смешивающее распределение),.

• отрицательное биномиальное распределение (ему соответств) ет смешивающее гамма-распределение) ,.

N (t) = Ni (A (t)), t > 0.

0.0.4) о.

Е N (t) = ЕЛ (t), D N (t) = ЕЛ (t) + D A (t).

• распределение Зихеля, котором}- соответствует обобщенное обратное нормальное смешивающее распределение,.

• бета-пуассоновское распределение при смешивающем бета-распределении,.

• распределение Делапорте со сдвинутым гамма-распределением в качестве смешивающего,.

• обобщенное распределение Варинга,.

• инфекционное распределение Неймана типа, А (иначе называемое пуассон-пуассоновским).

Эти и другие примеры смешанных пуассоновских распределений подробно рассмотрены в книгах (Grandell, 1997), (Королев, Бенинг и Шоргин, 2007). В этих книгах, а также в (Grandell, 1976) и (Bening and Korolev. 2002) также можно найти детальное описание аналитических и асимптотических свойств процессов Кокса.

Актуальность темы

исследования.

В основе конструкции базовых математических моделей неоднородных хаотических процессов, рассматриваемых в данной диссертации, лежит асимптотическая схема, основанная на принципе, который может быть наглядно проиллюстрирован на примере простейшей задачи из теории измерений (см., например, (Romanowski, 1979), (Новицкий и Зограф, 1991)). Погрешность измерения является результатом суммарного воздействия большого числа случайных факторов, ни один из которых не является доминирующим, и потому, согласно центральной предельной теореме, должна иметь нормальное распределение. Однако на разные измерения воздействует, вообще говоря, разное число случайных факторов, то есть число случайных факюров, определяющих погрешность, само является случайным фактором. Поэтому вместо классической центральной предельной теоремы здесь более уместно пользоваться предельными теоремами для сумм случайного числа независимых случайных величин.

Теория случайного суммирования довольно хорошо развита (см., например, монографии (Gut, 1988), (Круглов и Королев, 1990), (Gnedenko and Korolev, 1996), (Kalashnikov, 1997),.

Bening and Korolev, 2002), (Silvestrov, 2002) и (Klebanov, 2003)), в которых содержится изложение как основ асимптотической теории случайного суммирования, так и описание специальных ее разделов. Не преуменьшая вклад остальных математиков, посвятивших свои работы исследованию тех или иных свойств случайных сумм, упомянем здесь лишь основополагающие работы Г. Роббинса (Robbins, 1948), который в схеме «нарастающих сумм» нашел достаточные условия сходимости распределений нецентрироваиных случайных сумм к масштабным, а неслучайно центрированных случайных сумм — к сдвиговым смесям нормальных законовP. JI. Добрушина (Добрушин, 1955), обобщившего результаты Роббинса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих константБ. В. Гнеденко, который, во-первых, совместно со своим учеником X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий (Гнеденко, Фахим, 1969), и, во-вторых, поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости, первые шаги в решении которой были сделаны его учениками и прежде всего, А. В. Печинкиныы (Печинкин, 1973) (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом (Саас, 1972), (Szasz, 1972) для общего случаяВ. М. Круглова, в частности, нашедшего необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм (Круглов, 1998) — В. Ю. Королева, который, во-первых, совместно с В. М. Кругловым нашел окончательное решение задачи Гнеденко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных сумм (Korolev and Kruglov, 1998), и, во-вторых уточнил и обобщил упоминавшиеся выше результаты P. JI. Добрушина, указав необходимые и достаточные условиях слабой сходимости суперпозиции произвольных независимых случайных процессов (Korolev, 1996). Последние результаты, в частности, позволили установить необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска как с детерминированными, так и со случайными премиями (Bening, Korolev, 2002), (Королев, Бенипг и Шоргин, 2007).

В данной диссертации рассматривается частный вариант неоднородного случайного блуждания, в котором число слагаемых в суммах формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). Такие блуждания обычно называют обобщенными дважды стохастическими пуассоновскими процессами или обобщенными процессами Кокса. Этот случай имеет чрезвычайно важное практическое значение.

Пусть Xi, X'2,. — одинаково распределенные случайные величины. Предположим, что при каждом t > 0 случайные величины N (t), A’i. Х2,. независимы. Процесс.

N (t) sa) = J2 xj> (°-0−5).

3=1 назовем обобщенным процессом Кокса (при этом для определенности считаем, что =.

0). Процессы вида (0.0.5) играют очень важную роль во многих прикладных задачах. Достаточно сказать, что при Л (t) = Xt с Л > 0 процесс S (t) превращается в классический обобщенный пуассоновский процесс, широко используемый при моделировании многих явлений в физике, теории надежности, финансовой и актуарной деятельности, биологии и т. д. Большое число разнообразных прикладных задач, приводящих к обобщенным пуассо-повским процессам, описано в книгах (Gnedenko and Korolev, 1990) и (Bening and Ivorolev, 2002).

Приведем примеры некоторых задач, сводящихся к обобщенным процессам Кокса.

Пример 0.0.1. Как уже говорилось, пуассоновский точечный процесс в пространстве описывает абсолютно хаотическое распределение точек. Рассмотрим следующее вполне естественное обобщение этого свойства применительно к задаче о суммарной массе тел. Пусть р (х), х € Е3, — плотность (концентрация) каких-либо материальных частиц в пространстве. Предположим, что частицы — это материальные точки, распределенные в пространстве в соответствии с неоднородным трехмерным нуассоновским точечным процессом, так что если N (B) — число точек в некотором (измеримом) множестве В с R3, то.

Р (N (B) = k) = ехр{гг}{-А (Д)}(Л (^, fc = 0,1,2,., где Л (В) = jBp (x)dx. Положим A (t) — J^.

Пример 0.0.2. Рассмотрим следующую модель одномерного броуновского движениятеплового движения некоторой частицы, испытывающей соударения с молекулами вещества, заполняющего среду, в которой движется частица. Пусть N (t) — число соударений частицы с молекулами до момента t. Если бы среда и свойства частицы не изменялись во времени, то было бы естественно предполагать, что N (t) является однородным пуассонов-ским процессом. Однако если допустить, что среда или свойства частицы изменяются во времени, то интенсивность столкновений перестает быть постоянной. Поэтому, обозначив перемещение частицы в результате j-го столкновения через Х:1. можно придти к выводу, что процесс S (t), определяемый соотношением (0.0.5), описывает координату частицы в момент t, если она испытывает броуновское движение в неоднородной (случайной) среде.

Всюду в дальнейшем будем считать, что у случайных величин имеется, по крайней мере, два первых момента. Обозначим EXj = a, DXi = <т2, 0 < а2 < оо. Как показано, например, в (Bening and Korolev, 2002) пли (Королев, Бенинг и Шоргин, 2007), даже в таких предположениях предельные распределения обобщенных процессов Кокса могут иметь произвольно тяжелые хвосты. При этом асимптотическое поведение обобщенных процессов Кокса с нулевым средним принципиально отличается от асимптотического поведения обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним. Если в первом случае в качестве предельных законов в оговоренных выше моментных условиях выступают масштабные, то во втором — сдвиговые смеси нормальных законов.

Данная диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним. Такие процессы имеют особую важность при использовании, скажем в страховой математике при моделировании неоднородных потоков страховых выплат или в теории управления запасами при моделировании неоднородных потоков заявок на поставку некоторого продукта.

Несложно убедиться, что если ЕЛ (£) < оо, то.

Е S (t) = aEA (i) (0.0.6) и, если дополнительно Е (Л (?))2 < оо, то.

D S (t) = (а2 + <�т2)ЕЛ (?) + a2DA (?). (0.0.7).

К моменту начала работы над диссертацией были известны некоторые оценки точности приближения распределений обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним сдвиговыми смесями нормальных законов (см., например, (Korolev, 2000), (Bening, Korolev, 2002) и (Королев, Соколов, 2008)). Но данные оценки оказываются справедливыми для довольно узкого класса распределений случайной величины, предельной для стандартизованного процесса накопленной интенсивности, довольно громоздки, содержат трудно вычисляемые характеристики и неудобны для анализа и применения. В диссертации получена оценка скорости сходимости в традиционных терминах, справедливая при минимальных ограничениях на моменты слагаемых и без каких бы то ни было ограничений на распределение случайной величины, предельной для накопленной интенсивности. Более того, данные оценки справедливы как для случая, когда у управляющего процесса существует дисперсия, так и для случая, когда у него дисперсии нет. Рассмотрены примеры, в рамках которых найдены численное значение констант, входящих в оценку, и тем самым показано, что с практической точки зрения полученные оценки оказываются вполне приемлемыми. Метод. использованный для получения указанных оценок, оказался довольно универсальным. Так, в диссертации, он практически без каких-либо изменений был применен для получения оценок скорости сходимости распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска.

Полученные оценки точности приближения распределений обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним сдвиговыми смесями нормальных законов применены к решению некоторых конкретных оптимизационных задач. В частности, рассмотрены задачи.

• оптимизации резерва в управлении запасами при случайной интенсивности потока заявок,.

• оптимизации параметров страховой деятельности при случайном характере интен-сивностей потоков страховых премий и страховых выплат,.

• оптимизации параметров спекулятивной деятельности,.

• прогнозирования надежности модифицируемых систем.

В задаче оптимизации параметров страховой деятельности используется неклассический стоимостной подход, в рамках которого оптимизируются (минимизируются) суммарные издержки страховой компании за некоторый фиксированный период времени. Стоимостной подход к задачам страхования тесно связан с задачами управления запасами и разрабатывался, в частности, в работах А. Кофмана (Кофман, 1966), Г. В. Ротарь (Ро-тарь, 1972а), Е. В. Булинской (Булинская, 2003), Т. Р. Катаева (Катаев, 2003). Решение рассматриваемой задачи сводится к отысканию корпя некоторого уравнения, связанного с распределением суммарного страхового требования. Поскольку точное решение этого уравнения возможно только при полностью известных распределениях страховых требований и их числа, чего на практике, вообще говоря, быть не может, с помощью оценок точности асимптотических аппроксимаций для распределений обобщенных процессов риска в диссертации приводятся двусторонние оценки для решения упомянутого уравнения. Рассмотрен рад альтернативных способов задания издержек.

Также в диссертации предложена модель образования спекулятивной прибыли, отличной от классической оптимизации стратегии игры на бирже, при котором одновременно выбираются стратегии игры как на повышение, так и на понижение. В рамках рассмотренной модели, во-первых, предложена интерпретация функциональной зависимости спроса и предложения через зависимость интенсивности потока клиентов от параметров спекулятивной деятельности (в частности, от маржи) и, во-вторых, решены задачи определения значений оптимальных параметров спекулятивной деятельности, максимизирующих как ожидаемую, так и гарантированную прибыль спекулирующей компании при известном виде зависимости интенсивности потока клиентов от этих параметров. Рассматриваются наиболее типичные виды такой зависимости.

Отдельная глава диссертации посвящена задаче прогнозирования надежности технических и информационных модифицируемых систем. Оценки точности приближения обобщенных процессов Кокса применяются для двустороннего оценивания надежности в рамках экспоненциальной, логистический и гиперболической моделей с непрерывным временем. Найдены ожидаемые, предельные ожидаемые значения надежности, а также ожидаемый срок жизни модифицируемых систем.

Цель работы.

Целью данной диссертации является.

• изучение точности асимптотических аппроксимаций распределений обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними сдвиг овыми смесями нормальных законов;

• изучение точности асимптотических аппроксимаций распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними сдвиговыми смесями нормальных законов;

• изучение точности асимптотических аппроксимаций распределений обобщенных процессов риска сдвиговыми смесями нормальных законов;

• отыскание двусторонних оценок оптимального значения количества продукта в задаче минимизации издержек при управлении запасами со случайной интенсивностью потока заявок;

• решение задачи оптимизации параметров страховой деятельности при случайном характере интенсивностей потоков страховых премий и страховых выплат;

• решение задачи оптимизации некоторых параметров спекулятивной деятельности при случайной интенсивности потока клиентов;

• построение гарантированных двусторонних оценок для значения надежности модифицируемых технических или информационных систем при случайной интенсивности потока модификаций.

Методы исследования.

В работе используются классические методы теории вероятностей. Базовым теоретическим результатом является теорема 1.1.2. При ее доказательстве используется метод, основанный на представлении конечномерных распределений обобщенных процессов Кокса в виде смесей обобщенных иуассоновских распределений, в которых смешивание производится по соответствующему конечномерному распределению управляющего процесса. Такой подход позволяет использовать известные результаты о точности нормальной аппроксимации для иуассоновских случайных сумм. Используемый метод оказывается достаточно универсальным и может быть успешно применен к построению оценок скорости сходимости распределений некоторых других процессов с ненулевым средним к сдвиговым смесям нормальных законов. В частности, в диссертации с помощью этого же метода указанные оценки построены для распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска. Затем теорема 1.1.2 сама становится базой методов решения оптимизационных задач, рассматриваемых в главах 2−4. Для решения этих задач также используются аналитические и асимптотические свойства пуассоновских случайных сумм.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации имеют теоретический характер. Особенностью представленных в диссер тации результатов, отличающей их от предыдущих, является получение универсальной оценки скорости сходимости обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними к сдвиговым смесям нормальных законов. Найденная оценка оказывается применимой и к таким обобщенным процессам Кокса, в которых у управляющего процесса отсутствует дисперсия. Аналогичные универсальные оценки, существенно улучшающие известные ранее, получены для экстремумов обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска. Кроме того, впервые получены двусторонние оценки оптимального количества товара в задаче управления запасами при случайном характере интенсивности потока заявок и аналогичные двусторонние оценки начального капитала страховой компании в задаче минимизации издержек при случайном характере интенсивности потоков страховых премий и страховых выплат.

Краткое содержание диссертации.

1. Артюхов С. В., Базюкина О. А., Королев В. Ю., Кудрявцев А. А. Модель оптимального ценообразования, основанная на процессах риска со случайными требованиями // Системы и средства информатики, 2005. Специальный выпуск. М.: ИПИРАН. С. 207−224.

2. Артюхов С. В. Применение асимптотических свойств иуассоновских случайных сумм в одной задаче оптимизации резерва // Системы и средства информатики, 2006. Специальный выпуск. М.: ИПИРАН. С. 238−248.

3. Артюхов С. В., Базюкина О. А., Королев В. Ю., Кудрявцев А. А. Шевцова И. Г. Об оптимизации спекулятивной прибыли на примере пункта обмена нам ют // Актуарий, 2008. т. С. 50−56.

4. Артюхов С. В., Жалыбина И. Я., Пузановский А. А. О методе оптимизации прибыли маркет-мейкера // Управление финансовыми рисками, 2008. Вып. 2. С. 35−48.

5. Артюхов С. В. Королев В. Ю. Неоднородные рекуррентные модели изменения надежности модифицируемых систем. Непрерывное время. // Информатика и ее применение, 2008. Т. 2. Вып. 4. С. 57−65.

6. Артюхов С. В. Оценки скорости сходимости распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним к сдвиговым смесям нормальных законов //Информатика и ее применение, 2009. Т. 3. Вып. 1. С. 69−74.

7. Артюхов С. В., Базюкина О. А., Кудрявцев А. А. О методе расчета курсов покупки и продажи валюты обменным пунктом. // Материалы международной конференции студентов, аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005», 2005. Секция ВМиК. С. 6−8.

8. Артюхов С. В. Об определении оптимального количества рублевых и валютных средств в обменном пункте. // Материалы международной конференции студентов, аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2006», 2006. Секция ВМиК. С. 6−8.

9. Бенине В. E., Королев В. Ю. Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска // Обозрение промышленной и прикладной математики, 1998. Сер. «Финансовая и страховая математика». Т. 5, Вып. 1. С. 116−133.

10. Бенин г В. Е., Королев В. Ю.

Введение

в математическую теорию риска. — М.: MAKC-Пресс, 2000.

11. Бенин? В. Е., Королев В. Ю. Обобщенные процессы риска. — М.: МАКС-Пресс, 2000.

12. Бойков А. В. Стохастические модели капитала страховой компании и оценивание вероятности неразорения. // Дис. канд. физ.-матем. наук. — М.: Матем. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, 2003.

13. Булинекая Е. В. Теория риска и перестрахование. Часть I. Упорядочивание рисков. — М.: изд-во мех.-матем. ф-та МГУ, 2001.

14. Булинекая Е. В. О стоимостном и надежностном подходе в теории запасов // Кибернетика и системный анализ, 2005. Т. 1. С. 61−81.

15. Буш Р., Мостеллер Ф. Стохастические модели обучаемости. — М.: ГИФМЛ, 1962.

16. Волков Л. И., Шишкевич А. М. Надежность летательных аппаратов. — М.:ВШ, 1975.

17. Волков Л. И. Управление эксплуатацией летательных комплексов. — М.: В1П, 1981.

18. Гнеденко Б. В., Фахим X. Об одной теореме переноса. // ДАН СССР, 1969. Т. 187. No 1. С. 15−17.

19. ГОСТ '27.002−89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения.- М., 1989.

20. Добрушин Р. Л. Лемма о пределе сложной случайной функции. // Успехи математических наук, 1955. Т. 10. No 2. С. 157−159.

21. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. — М.: Наука, 1986.

22. КацДж., МакКормик Д. Л. Энциклопедия торговых стратегий. — М.: Альпина, 2006.

23. Катаев Т. Р. Асимптотические аппроксимации для распределений случайных сумм и некоторые их применения. // Дис. канд. физ.-матем. наук. — М.:.МГУ им. М. В. Ломоносова, 2003.

24. Кащеев Д. Е. (2001) Моделирование динамики финансовых временных рядов и оценивание производных финансовых инструментов, j j Дис. канд. физ.-ма1ем. наук. — Тверь: Тверской гос. университет, 2001.

25. Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007.

26. Королев В. Ю. Вероятностные модели.

Введение

в асимптотическую теорию случайного суммирования. — М.: МАКС Пресс, Москва, 1997.

27. Королев В. Ю. Прикладные задачи теории вероятностей: модели роста надежности модифицируемых систем. — М.: Диалог-МГУ, 1997.

28. Королев В. Ю. Смешанные гауссовские вероятностные модели реальных процессов.- М.: МАКС-Пресс, 2004.

29. Королев В. Ю. Вероятностно-статистический анализ хаотических процессов с помощью смешанных гауссовских моделей. — М.: ИПИРАН, 2007.

30. Королев В. Ю. Бенинг В. Е., Шоргин С. Я Математические основы теории риска. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

31. Королев В. Ю., Соколов И. А. Основы математической теории надежности модифицируемых систем. — М.: ИПИРАН, 2006.

32. Королев В. К)., Соколов И. А. Математические модели неоднородных потоков экстремальных событий. — М.: ТОРУС Пресс, 2008.

33. Кофман А. Методы и модели исследования операций. — М.: Мир, 1966.

34. Круглое В. М., Королев В. Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. — М.: МГУ, 1990.

35. Круглое В. М. Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величин. // Теория вероятностей и ее применения, 1998. Т. 43. No. 2. С. 248−271.

36. Лукач Е. Характеристические функции. — М.: Наука, 1979.

37. Молодцов Д. А. Теория мягких множеств. — М.: Альпина, 2002.

38. Мэрфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. — М.: Диаграмма, 1998.

39. Мэрфи Дж. Визуальный инвестор. Как определять тренды. — М.: Диаграмма, 2004.

40. Новинский П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. — Л.: Энергоатомиздат, 1991.

41. Петраков Н. Я., Ротарь В. И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. — М.: Наука, 1985.

42. Печинкин А. В. О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных слагаемых. // Теория вероятностей и ее применения, 1973. Т. 19. No. 2. С. 380−382.

43. Пиндайк Р. С., Рабинфелъд Д. Л. Микроэкономика. 5-е международное издание — М.: Питер, 2002.

44. Ротаръ Г. В. Одна задача управления резервом. // Теория вероятностей и ее применения, 1972. Т. 17. Вып. 3. С. 597−599.

45. Ротаръ Г. В. Некоторые задачи планирования резерва. // Дис. канд. физ.-матем. наук. М.: ЦЭМИ, Москва, 1972.

46. Ротаръ Г. В. Об одной задаче управления резервами. // Эконом, мате.м. методы, 1976. Т. 12. Вып. 4. С. 733−739.

47. Саас Д. О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величин. // Теория вероятностей и ее применения, 1972. Т. 17. No. 3. С. 424−439.

48. Темное Г. О. Математические модели риска и случайного притока взносов в страховании. // Дис. канд. физ.-матем. наук. — С.-Петербург: С.-Петербургский гос. архитектурно-строительный ун-т, 2004.

49. Шевцова И. Г. Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм случайных величин. // Дис. канд. физ.-матем. наук. — М.: МГУ, 2006.

50. Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассонов-ских случайных сумм. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007. Т. 14. Вып. 1. С. 3−28.

51. Шевцова И. Г. Об абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена. // Сб. статей молодых ученых факультета ВМиК МГУ. — М. Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2008. Вып. 5. С. 101−110.

52. Шевцова И. Г. Уточнение абсолютной константы в классическом неравенстве Берри-Эссеена. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 2008. Вып. 21. С. 159−168.

53. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980.

54. Эмбрехтс П., Клюппелъберг. К. Некоторые аспекты страховой математики. // Теория вероятностей и ее применения, 1993. Т.38. Вып. 2. С.375−416.

55. Bachelier L. ТЬёопе de la speculation. // Ann. Ecole Norm. Sup., 1900. Vol. 17. P. 21−86. (reprinted in: P. H. Coothner (Ed.). The Random Character of Stock Market Prices. — Cambridge, Ma: MIT Press, 1967. P. 517−531).

56. H. Biilmann. Tendencies of development in risk theory. // Centennial Celebration of the Actuarial Profession in North America, 1989. Vol. 2. P. 499−521.

57. Bening V. E., Korolev V. Yu. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance. —- Utrecht: VSP, 2002.

58. Bowers N. L. et. al. Actuarial Mathematics. — Itasca, IL: Society of Actuaries, 1986.

59. Cox D. R. Some statistical methods connected with series of events. // J. Roy. Statist. Soc., Ser. B. 1955. Vol. 17. P. 129−164.

60. Essen C.-G. A moment inequality with an application to the central limit theorem. // Shand. Artuarietidiskr, 1956. Vol. 39. P. 160−170.

61. Gnedenko В. V., Korolev V. Yu. Random Summation: Limit Theorems and Applications. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

62. Grandell J. Doubly Stochastic Poisson Process. // Lecture Notes in Mathematics, 1976. Vol. 529. P. 229−234.

63. Grandell J. Aspects of Risk Theory. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1990.

64. Grandell J. Mixed Poisson Processes. — London: Chapman and Hall, 1997.

65. Gtit A. Stopped random walk. — New York: Springer, 1988.

66. Kalashnikov V. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. — Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1997.

67. Kingman J. F. C. On doubly stochastic Poisson processes // Cambridge Philos. Soc., 1964. Vol. 60. No. 4. P. 923−930.

68. Klebanov L. B. Heavy-taileB Distributions. — Prague: MATFYZ Press, 2003.

69. Korolev V. Yu. A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes, j j Journal of Mathematical Sciences, 1996. Vol. 81. No. 5. P. 2951−2956.

70. Korolev V. Yu. The asymptotic behavior of extrema of compound Cox process with non zero mean. // Journal of Mathematical Sciences, 2000. Vol. 99. P. 1273−12 850.

71. Koroleu V. Yu., Kruglov V. M., A criterion of convergence of nonrandomly centered random suns of independent identically distributed random variables. // Journal of Mathematical Sciences, 1998. Vol. 89. No. 5. P. 1495−1506.

72. Neyman J. On a new class of «contagious» distribution, applicable in entomology and bacteriology. // Annals of Mathematical Statistics, 1939. Vol. 10. P. 35−57.

73. Robbins H. The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables. // Bull. Amer. Math. Soc., 1948. Vol. 54. No. 12. P. 1151−1161.

74. Romanowski M. Random errors in observations and the influence of modulation of their distribution. — Stuttgart: Verlag Konrad Wittwer, 1979.

75. Szasz D. Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables. // Annals of Mathematical Statistics, 1972. Vol. 43. No. 6. P. 1903;1913.

76. Silvestrov D. S. Limit Theorems for Randomly Stopped Stochastic Processes. Research Report 2002 1−4, Department of Mathematics and Physics, Vast, eras: Malardalen University, 2002.