Данная диссертационная работа посвящена описанию геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами и получению интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами.
Понятие линейной выпуклости было введено в середине 30-х годов прошлого столетия в работе Генриха Венке (Henrich Belmkc) и Эрнста Пешля (Ernst Peschl) [22] для областей в С2- их цель была построить комплексный аналог выпуклости, в котором роль опорных гиперплоскостей играли бы комплексные гиперплоскости.
Область D С С" называется линейно выпуклой (локально линейной выпуклой), если для каждой точки z0? 0D существует комплексно (и — 1) — мерная аналитическая плоскость, проходящая через z0 и не пересекающая D (в некоторой окрестности точки.
Для областей D в С2 (или в проективном пространстве) с дважды гладкой границей Бенке и Пещль [22] указали дифференциальное необходимое и отдельно достаточное условие локальной линейной выпуклости в точке zQ G dD, а также доказали, что для таких областей из локальной линейной выпуклости следует и их линейная выпуклость. Линейная выпуклоегь-это понятие, лежащее между понятиями обычной выпуклости и псевдовыпуклости.
Напомним, что свойство выпуклости для областей.
D = {х = (xl}., хт): </(х) < 0} С IT с дважды гладкой границей выражается дифференциальным неравенством, а именно положительной определенностью d2g (x) та — сужения второго дифференциала d2g (x) на касательную гиперплоскость Та в точке, а 6 0D. В комплексном пространстве С" = Ргп второй дифференциал (вещественный гессиан) представляется в виде.
HR{z]s) = 2(RcH{z, t)+L{z, t)), z 6 С" * G R2t, = s2j. x + is2j, где H (z, t) — это комплексный гессиан a L (z, t,) — форма Леви.
Хорошо известно, что псевдовыпуклость области выражается свойством положительной определенности L (z, t) (^-сужения формы Леви на комплексную касательную плоскость в течке a 6 OD. В то же время, как недавно доказал К. Киеельман (C.Kiseliuan) [27], свойство неотрицательноети HK (z, x) [/><�¦ — сужения формы Hk (z,.s) на комплексные касательные плоскости Т^ в точках a? 3D характеризует линейную выпуклость области. Здесь также любопытно отметить, что форма Лови (отвечающая за псевдовыпуклость) будет играть существенную роль в интегральных представлениях для линейно выпуклых областей (см. главу 3).
В 60−70-х годах прошлого столетия было продолжено изучение линейно выпуклых областей в С" многими математиками, прежде всего в красноярской школе по комплексному анализу. С одной стороны, глубоко изучалась теория функций в линейно выпуклых областях в статьях Л. А. Айзенберга [1], А. Марти-но (A. Maitiuoau) [29], [30], Л. Я. Макаровой, В. М. Трутнева. С другой стороны, появилась потребность изучения геометрического аспекта понятия линейной выпуклости. В этом направлении ире? кде всего следует отметить результаты.
Д.П. Южакова, Ш. А. Даутова, В. А. Степаненко, 13.С. Зиновьева С. С. Знаменского [10], [11] и др. В последнее десятилетие возродился интерес к линейной выпуклости и близкому к нему понятию С-выпуклости в работах скандинавских математиков (М. Andcrsson, М. Passare, R. Sigurdsson [21]- L. Honnander [25], С. Kiselnum [27] и др.).
В упоминавшейся пионерской статье Бенке и Пешля отмечалось, что существует бесконечное множество топологически различных ограниченных линейно выпуклых областей в Сп (п ^ 2) с негладкой границей. Но, например, вопрос о топологическом типе ограниченных линейно выпуклых областей с гладкой границей оставался открытым многие годы.
Отметим, что для ограниченных линейно выпуклых областей с гладкими границами Л. А. Айзенбергом ([3], формула (8.6)) было нолучено интегральное представление для голоморфных функций с голоморфным ядром. Формула Коши-Фантаппье-Лере позволяет получать удачные интегральные представления в областях с кусочно-гладкой границей. Такие формулы были получены на основе техники, развитой I .M. Хенкиным [17], для строго псевдовыпуклых полиэдров, включающих в себя кусочно-строго псевдовыпуклые области и полиэдры Вейля, и для областей Зигеля, которые являются выпуклыми областями с негладкой границей. Указанная техника предполагает интегрирование по дополнительным параметрам над сингулярными точками границы области, а явно реализовать это интегрирование удается весьма редко. В частности, весьма любопытным является вопрос о возможной реализации интегрирования для линейно выпуклых областей с кусочно-гладкими границами.
Цель диссертации состоит в описании геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами, в частности их топологического типа, и получении интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами.
Данная работа состоит из трех глав.
Первая глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе этой главы приводятся предварительные сведения о линейно выпуклых областях.
Во втором параграфе изложена интегральная формула Коши-Фантаппье-Лере и ее некоторые детализации для областей с кусочно-гладкими границами.
Основными результатами второй главы являются следующие утверждения, полученные в совместной статье с А.II. Южаковым.
Теорема 2.1. Пусть D С Сп (п ^ 2) ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей, 7- комплексно одномерная плоскость. Если .DPI 7 ф 0, то D П 7 односаязная область 67 с гладкой границей.
Отметим, что в 1968 г. А. Мартино (A. Martiiieciu) [30] ввел понятие сильной линейной выпуклости (fortcmciit lineeleineiit eonvexe. e), для которого в настоящее распространен термин С-выпуклость.
С.В. Знаменским [10], [11] было дано описание класса С-выпуклых множеств: он состоит из таких линейно выпуклых областей или компактов, сечения которых комплексными прямыми ацикличны (в случае областей в С" ацикличность сечения комплексной прямой означает его связность и односвязность).
Со свойствами ацикличности сечений области или компакта комплексными прямыми был связан ряд гипотез, проблем и результатов многомерного комплексного анализа [10], [11], [15], [21], [29], раскрывающих это свойство как естественный комплексный аналог выпуклости. Все это дало основание шведским математикам [21], [25] называть такие множества С-выпуклыми.
В силу теоремы 2.1 ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей С-выпукла.
В упоминавшейся уже статье [30] А. Мартино ввел понятие линейчато выпуклого (liiieelement convexee) множества, у которого через каждую точку его дополнения проходит комплексная гиперплоскость, не задевающая эго множество. За такими множествами в отечественной литературе 70-х годов закрепился термин множеств линейно выпуклых по Мартино.
С.В. Знаменским в [10] было доказано, что С-выпуклые области в Сп являются линейно выпуклыми по Мартино. Из его результатов и теоремы 2.1 следует, что ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей в С" является и линейно выпуклой по Мартино.
Теорема 2.2. Пусть область D С Сп ограничена и имеет гладкую границу. Если D локально линейно выпукла, то она линейно выпукла.
Следующий пример показывает, что теорема становится неверной, если не требовать гладкости границы. Возьмем область D = D х D2 С С2, где Di = {zv: 0,9 < |г11 < 1}, D2 = {z2: Btz2 < l, Imz2 < 0,1}, и аналитическую плоскость 7 = {(гЬ22): z = z2}. Множество D П 7 = {(21,2−2): zi = z2, 0,9 < |2:i| < 1, Imz[ < 0,1} состоит из двух связных компонент. Обозначим их Bi (Rezi > 0) и В2. Области D и D 7 линейно выпуклы. Область D В 1, оставаясь локально линейно выпуклой, не является линейно выпуклой. Действительно, через произвольную точку (СьСз)? С d (DBi) проходи! единственная анали тическая плоскость 7, не пересекающая DB 1 в окрестности (Ci, С2) — при этом 7 П {D Bv) = В2 ф 0.
Теорема 2.3. В Сп (п ^ 2) всякая ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей гомеоморфна шару.
Заметим, что Ш. А. Даутов и В. А. Сгепаненко [С] привели простой пример ограниченной линейно выпуклой, но нсвыгтуклой области с гладкой границей.
Требование ограниченности в теореме существенно: например, D — {(21,22): 1 < |2i| < 2}, будучи линейно выпуклой областью с гладкой границей (но неограниченной !), не является односвязной и, следовательно, не гомеоморфна шару.
Перейдем к изложению результатов третьей главы.
Рассмотрим в пространстве С" ограниченную линейно выпуклую область G={z:gl (z, z)< 0, / = 1,., А'}, где функции gl{z, z) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности замыкания этой области. Граница dG области G состоит из граней.
Sl = {zeG:gt{z1z) = 0}, Z = 1,.
Будем предполагать, что G имеет кусочно-регулярную границу: на всяком непустом ребре.
Sil.: S31 п .п SJh = {(е 0G: дп (С, С) = 0,. = 0} выполняется неравенство дуп Л. Л дд1к ф 0, эквивалентное тому, что г a ny.
Чучс сЛ где.
V/yJ© = (.
0/ С) Ogj{CX).
3C, c>C,.
Ориентация граней 51,., 5'v индуцирована ориентацией границы <9G', и.
ОС = U 5 В свою очередь ориентация каждой грани Si = 1,., Лг индуциру.
1=1 ет ориентацию (2/г — 2) — мерного ребра 5' ', OS1 = (J и с учетом ориентации j мы имеем S', J = —SJ''. Индуктивным образом определяется ориентация ребра — которая фактически задается порядком следования граней Sn,., SJ':. Прежде чем сформулировать основную георему, введем для мулыииндекса J = (j1?. ., jk) обозначение d (A cl (dgj, A. A dgJk' где выражение и?./, суженное на ребро 5J, представляет собой корректно определенную дифференциальную форму со свойством дуп, А. A ду]к, А и) j = б/С, А б/£.
С подходящих координатах, где.
Л.-Л форма и) j записывается в виде.
Wj =.
— 1).
7-'Pi qlk у Pi iР1+.+Рк qlk.
70,.
— 1).
Др1, —, PA jli — Jk.
Здесь f/СЬь • • •, i>jt] - внешнее произведение дифференциалов d^,., d (n, среди которых отсутствуют дифференциалы. ,.
При получении интегральной формулы для любой ограниченной кусочно-регулярной линейно выпуклой области было востребовано понятие смешанных левианоо для системы функций (гиперповерхностей), предложенное А. К. Цихом. Это понятие навеяно известной конструкцией Минковского для смешанных объемов системы выпуклых тел в евклидовом пространстве [5]. Известен также алгебраический аспект понятия смешанного объема в виде смешанного дискриминанта (инварианта) системы квадратичных форм [4]. А именно, если Qh ., Q& система квадратичных форм переменных xi,., xtll то смешанным дискриминантом порядка I — (гь. , гк) называется коэффициент Dj = Dj (Qi,., Qk) в представлении det{lQl +. + kQk) = J2D'Xl = Л 0{11,., гк) У1 .Укг (ч.Ik).
С другой стороны, по аналогии с общей теорией инвариантов [12] определитель Леви.
Ця) =.
0 gj. ()п (j On ¦¦¦ ап.
Jn Qui.
Qnn мо? кно трактовать как инвариант системы двух форм, состоящей из квадрап тичной эрмитовой формы Q — fJjsVjVa и линейной формы l (t]) — (Vt-©, i* таким образом мы можем записать L (g) = L (QJ). Если система форм состоит п из эрмитовой квадратичной формы Q = ^ ^у/^т^ и набора линейных форм j>=i ls = as) tjj, s = 1,., к, то можно рассмотреть се инвариант з од,/,.Л) = 0.
0 а ii, а и.
0. 0 ак1.. акп ап • • • сп. с1п ftin. • • • ft кп Cnl. .. I na.
Теперь приведем следующее.
Определение. Смешанным левианом порядка I = семейства функций r/i,., gk называется коэффициент Li = L/(f/i,. ,.
L (iQi +. + ЛkQk~ /ь. Л) = Y, L.
Основным результатом третьей главы является.
Теорема 3.1. Пусть G = {z: gl (z, z) < 0, I— 1,., Лг} - ограниченная кусочно-регулярная линейно выпуклая область в Сп. Тогда всякая функция f (z), голоморфная в области G и непрерывная на G, представима в виде: м-Е^'Е' Е rSyJ* k=l t) J=k l=n-k V 7 J.1 n n /-/(C)^(^,.,.^) и j YK^^X-z)11 1 гдеГ ' означает суммирование по упорядоченным мулыпииндексам J длины DJ=fc k: 1 ^ ji <. < jk ^ N] -суммирование по мулътииндексам I =.
I[=n-k i,., ik) со свойством |/| = ii +. + ik — n — к', Ь]-смешанный левиан порядка I, наконец II := i^. •. • г a,!.
В заключительном параграфе третьей главы приводится интегральное представление в п— круговых линейно выпуклых полиэдрах.
Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории голоморфных функций многих комплексных переменных (Красноярск, 1969 г.), Всесоюзной конференции по теории функций комплексного переменного (целые и мероморфные функции и функции многих переменных) (Харьков, 1971 г.), Международной конференции «Многомерный комплексный анализ» (Красноярск, 2002 г.) — также полученные результаты неоднократно докладывались на семинаре в лаборатории теории функций Института физики СО АН СССР им Л. В. Киренского (1969;1973гг.) и на городском семинаре по многомерному комплексному анализу в Красноярском государственном университете (199−5 — 2003 гг.).
Автор выражает тлубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе.
Основные результаты, изложенные в диссертации являются новыми и состоят в следующем: результат Бенке и Пешля об эквивалентности понятий локальной и глобальной линейной выпуклости распространен на ограниченные области в Сп с гладкими границамидоказано, что линейно выпуклая область с гладкой границей гомеоморфна шаруполучено интегральное представление для голоморфной функции в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярными границами.
Результаты диссертации могут быть использованы в многомерном комплексном анализе и других областях математики, связанных с геометрией комплексного пространства и интегральными представлениями для голоморфных функций многих комплексных переменных.
Заключение
.
