Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ
Π Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°. ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π², ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ «Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΡ » ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
- 1. ΠΠ±Π·ΠΎΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ²
- 1. 1. ΠΠ±ΡΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
- 1. 2. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
- 1. 3. ΠΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ
- 1. 4. Π¨ΠΊΠ°Π»Ρ ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅
- 1. 5. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ
- 1. 6. ΠΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ
- 1. 7. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Q
- 2. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SLn
- 2. 1. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΠΈ
- 2. 2. Π‘Π²ΡΠ·Ρ 8Π¬ΠΏ-ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΠΉ Π½Π° Π«ΠΏ
- 2. 3. ΠΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΠΏ ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² Π½Π°Π΄ Q
- 2. 4. ΠΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΏΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
- 2. 5. ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ Π² SLn
- 2. 6. ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn
- 2. 7. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn
- 2. 8. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn
- 2. 9. Π Π°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn
- 2. 10. Π Π°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SL"
- 2. 11. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΡΠΌΠΈ
- 2. 12. Π‘ΡΡΡΠΊΡΡΡΠ° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΠ³Π»Π°ΠΆΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ
- 2. 13. ΠΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΠΊΠ»Π΅ΠΉΠΊΠ΅
- 2. 14. Π€ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn
- 3. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ
- 3. 1. Π ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ
- 3. 2. Π ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ
- 3. 3. Π ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ
- 4. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL. tn
- 4. 1. Π‘Π²ΡΠ·Ρ SL. tn-K0Hyc0B ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΠΉ Π½Π° Zn
- 4. 2. Π‘Π²ΡΠ·Ρ SL. t"-KonycoB ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏ Zn
- 4. 3. ΠΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏ Zn
- 4. 4. ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ Π² SL. t™
- 4. 5. Π€ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SL. tn
- 4. 6. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SL. t™
- Π. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ SL ΠΈ SL. t
- Π.1. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ² Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ SL ΠΈ SL. t
- Π.2. ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ SL ΠΈ SL.t.10Π±
- ΠΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½Ρ ΠΡΡΠΈΡΠΎΠΌ [19], [20]. Π Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΠ»Π°ΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΡΠ΄Π΅Π»Ρ [12], ΠΠ°ΠΊΠΊΠΈΠ½ΡΠΈ-Π’Π°ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ [22], ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ [16], [17], [18] ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ . ΠΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π² ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ [23], ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π»Π»Π΅ΠΊΡΠ° [5], ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π³Π²ΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅ [2] ΠΈ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ [3] ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ 1980;Ρ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ².
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΎΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ — ΡΡΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ (ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ) ΡΠ²ΡΠ·ΠΎΠΊ? (Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ) ΠΈ Π (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΠΊ. ΠΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½-ΡΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΌΠΈΡΠΎΠ², Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ «Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΡΠ°». Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΈΡΡ Π² ΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠΈΠΉΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΡΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΌΠΈΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ? ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ «ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΈΡΠ°Ρ , Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ».
Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Ρ. Π΅., ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΎΠΊ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ·ΡΠΊΠ°.
ΠΡΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° — ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΡ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ (Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠΈΡ , Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ, Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ. Π΄.), ΠΏΡΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ? ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ, Ρ. Π΅., ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°ΠΌ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ.
ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ — ΡΡΠΎ ΠΈΡ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ·ΡΠΊΠΎΠ² ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ (ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ-ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΌΡ), ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² [6], ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΡΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ ΠΏΠΎ ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅, ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»Π° Π‘ΠΏΠ°Π°Π½ [31], Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²ΡΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΠ½Π½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ «ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ» ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΊΠ°Π» ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ (ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π» ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»Π°, Π½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠΊΠ°Π», Π° Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π», ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°). ΠΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π±ΡΠ» Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ Π¨Π΅Ρ ΡΠΌΠ°Π½ΠΎΠΌ [40] ΠΈ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ Π² ΡΡΠ΄Π΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡ [7], [8], [9], [10], [30]. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π² ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π»Π»Π΅ΠΊΡΠ° ([25], [26], [27], [7], ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΡΠΊΡΠΈΠΏΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°Ρ [32]).
Π Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°. ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² [8], ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ «Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΡ » ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ (ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ «ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠΌΠΈ»).
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² [8], ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Grz Π‘ L Π‘ Triv ΠΈ S4 Π‘ L2 Π‘ Triv Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π°ΠΊΡΡΠ°Π»Π΅Π½ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ — ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Π»ΠΈ ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Ρ. Π΅., ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ (ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ) ΠΎΡ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΡΡ Π² ΡΡΠ΄Π΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡ (ΡΠΌ. [7]), Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² [8]. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ, ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΡΡΡΡ, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΡΡΡ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ.
Π [11] ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΈΠ· Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π4, S4, Grz, GL, Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· [13], ΠΏΡΠΈ ΠΏ ^ 3 Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Kx. xKhS5x.x S5, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ v v / s V ^ ΠΏ ΠΏ Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ. ΠΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠ΄ΡΠ°Π΅ΡΡΡ.
ΠΠ»Ρ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ± ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ [7], Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π4 Ρ Π ΠΈ Π4 Ρ S5 coNEXPTIME-ΡΡΡΠ΄Π½Ρ, S5 Ρ S5 ΠΈ S5 Ρ Π — coNEXPTIME-ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ, Π4.3 Ρ S5 — EXPSPACE-ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΠ°ΡΠΊΡΠ° [21] ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π» ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ F Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ (Π² Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL, ΡΠ΅ΡΡ ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΉΠ΄ΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅) Π½Π° Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π» ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ /Π‘ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°.
Π‘.
ΠΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ «Π·Π°Π²ΡΡΠ°» (SL) ΠΈ «Π²ΡΠ΅ΡΠ°-Π·Π°Π²ΡΡΠ°» (SL.t) (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅ ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π» ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅) Π±ΡΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π² 1965 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΠ΅ΠΌΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ Π‘ΠΊΠΎΡΡΠΎΠΌ (ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΌ. [24]). ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΎΠ± ΡΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π‘Π΅Π³Π΅ΡΠ±Π΅ΡΠ³ΠΎΠΌ [29], Π° ΠΡΡΠ½ΠΈΠΊ [34], [35] Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ SL ΠΈ SL. t (Ρ.Π΅., ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΡΠ΅ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π» ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ Π½Π°ΡΠ°ΡΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Π‘Π΅Π³Π΅ΡΠ±Π΅Ρ-Π³Π° [28] ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΠ΅Π»ΠΈΡΡΠΈΠΌΠΎΠΉ [1] ΠΈ ΠΡΠ°Ρ ΡΠΎΠΌ [15].
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ «Π·Π°Π²ΡΡΠ°» (Π° Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° «Π²ΡΠ΅ΡΠ°Π·Π°Π²ΡΡΠ°» ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ). Π‘Π΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎ — ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΈΡ ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ½ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ [15, ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°Ρ 9.4]. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π° — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ SLn Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL — Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΠ°Π±Π±Π°Π΅ΠΌ ΠΈ Π¨Π΅Ρ ΡΠΌΠ°Π½ΠΎΠΌ [8]. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ SL ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡ) ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠΌΠΈ, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SLn Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π° Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΊΠ°Π» Ρ ΠΏ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ.
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ DPDL [15]. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π³Π²ΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅ [2], [14].
ΠΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ° SLn Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ:
1) ΠΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL" Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ [34], [35] Π΄Π»Ρ SL ?
2) ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΠ°ΡΠΊΡΠ° [21] ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π» ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ Π’ Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π» ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ Π Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π’ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π» ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ /Π‘ ?
3) Π§ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π½Π° Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ?
4) ΠΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΠ°Π±Π±Π°Ρ ΠΈ Π¨Π΅Ρ ΡΠΌΠ°Π½Π° [8] ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎ-ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ² ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ SL Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ?
5) ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ SLn ΠΈ SL. t" Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ «Π·Π°Π²ΡΡΠ°» SL ΠΈ «Π²ΡΠ΅ΡΠ°-Π·Π°Π²ΡΡΠ°» SL. t ?
Π¦Π΅Π»Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ.
Π¦Π΅Π»ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈΠ² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ «Π²ΡΠ΅ΡΠ°-Π·Π°Π²ΡΡΠ°».
ΠΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ·Π½Π°.
ΠΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ:
1) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΈΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ.
2) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SL", ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ SLn ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π±-Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn.
3) Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ SL™ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ.
4) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ SLn ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΡΡΡΡΠ΄Π°Π½Π° ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.
5) ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn ΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΠΎΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn.
6) ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SL. t™ Π΄Π°Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ (ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SL") Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΈΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ.
ΠΠΏΡΠΎΠ±Π°ΡΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ.
Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π°Π»ΠΈΡΡ Π² 2000;2005 Π³. Π½Π° Π½Π°ΡΡΠ½ΠΎ-ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΊΠ° Π ΠΠ Π‘. Π. ΠΠ΄ΡΠ½Π° ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΡΠ° Π. Π. Π£ΡΠΏΠ΅Π½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠΏΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΠΠ£, Π½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ½Π°ΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ «Computer science applications of modal logic» (ΠΠΎΡΠΊΠ²Π°, 2005), Π½Π° XXIV.
ΠΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΡΡΠ½ΡΡ (ΠΠΎΡΠΊΠ²Π°, 2002), Π½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ½Π°ΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ «2nd Moscow-Vienna Workshop on Logic and Computation» (ΠΠΎΡΠΊΠ²Π°, 2002) ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ½Π°ΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ «ASL Logic Colloquium» (ΠΠ΅Π½Π°, 2001). ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π°Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ [41]-[47].
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ.
ΠΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ², ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π³Π»Π°Π²Π° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π». ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π΄Π°ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ. ΠΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°Ρ 1.7 ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΡΠ½ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π±Π°Π·ΠΈΡΠΎΠ² ΠΡΡΠ±Π½Π΅ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ Π½Π°Π΄ Q.
ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn. Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ°Ρ 2.1 ΠΈ 2.2 ΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ 8Π¬ΠΏ-ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π° ΠΠΏ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 2.3 ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΡΠΈΠΈ Π½Π° Nn ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π» ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΎΡ ΠΏ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2.11). ΠΡΡΡΡ ~ - ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΡ Π½Π° Jfn. ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΠ΅ΠΌΠΌΠ° (2.15). ΠΡΠ»ΠΈ ~ - ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΡ uaNn, ΡΠΎ Ρ Π° — Ρ Ρ Π΅ V Π, Π° ~ Π¬.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 2.4 ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π° Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ SLn-ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΎΠ² Π²ΠΈΠ΄Π° V (~) ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΠΉ Π½Π° Jfn.
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ² SLn:
ΠΠ΅ΠΌΠΌΠ° (2.24). ΠΡΡΡΡ Π‘ — SLΠΏ-ΠΊΠΎΠ½ΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ aj, bj € Nn, 1 ^ Π³ ^ ΠΊ, ΠΊ ^ 0, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΊ.
Π‘© = SLn + Π (Da.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 2.5 Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Π² Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ SL". Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 2.6 Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ SLn ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° SLn-K0iiyc0B.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 2.7 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» SLn:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2.34). ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏ-ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, Π Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊ TTT-i.
Π = V Π = i=l 3=1 Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ k ^ 0, Π°^, b^ € Nn, Π³Π΄Π΅ l^i^k, rrii, mi ^ 0. ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (2.35). Kaotcdoe ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ SLn Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»Π°ΡΡ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (2.39). Kaotcdoe ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ SLn Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ Π²ΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅. ΠΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΠΏΠ° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π° Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ Π΄ΠΈΠ·ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ².
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 2.8 Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»Π΅ΠΌΠΌΡ ΠΡΠ½ΠΈΠ³Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 2.9 Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 2.39:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (2.48). ΠΠ»Ρ ΠΏ-ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ A mooicho Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏ-ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π Π²ΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠΎ.
SLn + Π = SLn + Π. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ: Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (2.50). ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SLn ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠ°. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (2.51). ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ SLn ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎ.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 2.10 Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ (ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 2.57), ΡΡΠΎ ΠΏΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SLn ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ. ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 2.82:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (2.82). ΠΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SLn ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ.
Π ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ. Π ΡΡΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ L — ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SLn, Π — Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅ Ρ-ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°. ΠΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π², Π ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 3.1 ΠΌΡ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Π° (ΠΏ+Ρ)-ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π² Ρ-ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (3.1). Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ{Π) ΠΈ (Π {Π), 1 < i ^ ΠΏ, (Π°, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ d (Π) ΠΈ D (Π)) Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π² ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ L Ρ , Π Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»: Ρ {Π©Π) Π©Ρ (A), dl {Π©Π) ±=- dl (Π).
ΠΡΡΡΡ Π{Ρ,., pk) — ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π² ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ L Ρ Π, ~ - ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈΡ Π½Π° Afn. ΠΠΎΠ»ΠΎΠΎΡΠΈΠΌ.
Π~^Ρ (Π) (?]*%).Π°. ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Π°.
ΠΠ΅ΠΌΠΌΠ° (3.2). ΠΡΡΡΡ Π‘ — SLΠΏ-ΠΊΠΎΠ½ΡΡ, F — Ρ-ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»Π° ΠΡΠΈΠΏΠΊΠ΅, ΠΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π² ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ L Ρ Π. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°.
Π‘ Ρ F= Π&-F=.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (3.3). ΠΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°, Π ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° L Ρ , Π ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 3.2 ΠΌΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ L Ρ , Π Ρ-ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ») ΠΊ Π:
ΠΠ΅ΠΌΠΌΠ° (3.4). ΠΡΡΡΡ L = Π‘{Π‘,., Π‘Π³Π΄Π΅ Π‘, ., Π‘^ - SLΠΏ-ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡ. ΠΡΡΡΡ, Π — ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π² ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ L Ρ Π. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°.
Π¬Ρ ΠΠΠ<^Π1-Π .
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΡΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΌΠΌΡ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (3.5). ΠΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° Π ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠ° ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° L Ρ Π ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠ°.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (3.7).
1) ΠΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ L ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, Π ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ L Ρ Π.
2) ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Π ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ, Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ I Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ fi (l), Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ L Ρ Π ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ°ΠΌΠΈ k{fi (l) + gi (l), Π³Π΄Π΅ ki — ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ, a gi — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ.
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 3.3 ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ. ΠΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (3.8). ΠΡΠ»ΠΈ L — Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°, ΡΠΎ.
L, Π] = L Ρ Π. ΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π = ΠΡ:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (3.10). ΠΡΠΈ Ρ ^ 1 ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅.
L, ΠΡ] = L Ρ ΠΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ L ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°.
Π ΡΠ΅ΡΠ²ΡΡΡΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL.tn. ΠΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠΊΠ° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL. tn ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΠ°ΠΌΠΈ Zn ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΡΡΠΊΠ° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SLn ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ ΠΊΠΎΠ½Π³ΡΡΡΠ½ΡΠΈ-ΡΠΌΠΈ Π½Π° ΠΠ ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ, ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SL. t" .
Π ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ 4.3 Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ:
ΠΠ΅ΠΌΠΌΠ° (4.14). ΠΡΡΡΡ Π — ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° Zn, Π°- 6 Z", U Π³ Π, — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊ.
C (Ct (M)) = SL. tn + /(p = D? p) i=1 ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ aj.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ Ct (Π) — SL. tn-Konyc, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΠ΅ Π.
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ² SLn:
ΠΠ΅ΠΌΠΌΠ° (4.15). ΠΡΡΡΡ Π‘ — SL. tΠΏ-ΠΊΠΎΠ½ΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π³Ρ Π΅ Zn- 1 < % ^ ΠΊ, ΠΊ ^ 0, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΊ.
Π‘© = SL. t" + Π (Ρ = ΠΎΠ΄. Π³=1.
ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ²ΡΡΡΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ.
Π ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Π ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° [35]:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (Π.7). Π‘ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ SL ΠΈ SL. t ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½Ρ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (Π.8).
1) ΠΡΡΡΡ L — ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ SL, ΡΠΎΠ³Π΄Π°.
L — SL + A (mi, ?ii) U. U, Π Ρ), Π³Π΄Π΅ k ^ 0. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° L Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ Π, ΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π³ rrii + rii < d1 (Π).
2) ΠΡΡΡΡ L — ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ SL. t, ΡΠΎΠ³Π΄Π°.
L = SL. t + At (ni) U. U At {nk), Π³Π΄Π΅ k ^ 0. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° L Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ Π, ΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°Ρ/ΡΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π³.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ, Π (Π³Π°, ΠΏ) ΠΈ Π* (ΠΏ) — ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Π.2). ΠΠ»Ρ Ρ, ΠΏ (Π N, ΠΏ > 0, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π (Π³Π°, ΠΏ) ΠΊΠ°ΠΊ.
Π (Π³Π°, ΠΏ) ±-=Π³? ΡΡ =? Ρ+ΠΏΡ. ΠΠ»Ρ ΠΏ? NΠΏ > 0- ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π±ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ At (ΠΏ) ΠΊΠ°ΠΊ.
At {ΠΏ)^Ρ = UnlP.
ΠΠ²ΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΈΡΠΊΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌΡ Π½Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΡΡ Π. Π. Π¨Π΅Ρ ΡΠΌΠ°Π½Ρ Π·Π° ΠΏΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π½Π° Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π½Π°Π΄ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ.
1. Bellissima F. On the lattice of extensions of the modal logics K. Altn. Arch. Math. Logic, 1988, Vol. 27, No. 2, P. 107−114.
2. Blackburn P., Bos J. Representation and Inference for Natural Language: A First Course in Computational Semantics. CSLI Press, Stanford, 2005.
3. Boolos G. The Logic of Provability. Cambridge University Press, 1993.
4. Chagrov A. V., Zakharyaschev M. V. Modal Logic. In: Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997, Vol. 35.
5. Fagin R., Halpern J., Moses Y., Vardi M. Reasoning about Knowledge. MIT Press, 1995.
6. Fine K., Schurz G. Transfer theorems for stratied modal logics. J. Copeland, editor, Logic and Reality, Essays in Pure and Applied Logic. In memory of Arthur Prior, Oxford University Press, 1996, P. 169−213.
7. Gabbay D., Kurucz A., Wolter F., Zakharyaschev M. Many-Dimensional Modal Logics: Theory and Applications. In: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Elsevier, North-Holland, 2003, Vol. 148.
8. Gabbay D., Shehtman V. Products of modal logics, part 1. Logic Journal of the IGPL, 1998, Vol. 6, No. 1, P. 73−146.
9. Gabbay D., Shehtman V. Products of modal logics. Part 2: Relativised quantifiers in classical logic. Logic Journal of the IGPL, 2000, Vol. 8, No. 2, P. 165−210.
10. Gabbay D., Shehtman V. Products of modal logics. Part 3: Products of modal and temporal logics. Studia Logica, 2002, Vol. 72, No. 2, P. 157−183.
11. Gabelaia D., Kurucz A., Wolter F., Zakharyaschev M. Products of 'transitive' modal logics. Journal of Symbolic Logic, 2005, Vol. 70, No. 3, P. 9 931 021.
12. Godel K. Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkiils. Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, 1933, Vol. 4, P. 39−40.
13. Hirsch R., Hodkinson I., Kurucz A. On modal logics between Π x Π x Π and S5 x S5 x S5. Journal of Symbolic Logic, 2002, Vol. 67, P. 221−234.
14. Kracht M. Highway to the danger zone. Journal of Logic and Computation, 1995, Vol. 5, P. 93−109.
15. Kracht M. Tools and techniques in modal logic. In: Studies in Logic and Foundations of Mathematics, Elsevier, North-Holland, 1999, Vol. 142.
16. Kripke S. A. A completeness theorem in modal logic. Journal of Symbolic Logic, 1959, Vol. 24, P. 1−14.
17. Kripke S.A. Semantical analysis of modal logic, Part I. Zeitschrift fur Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 1963, Vol. 9, P. 6796.
18. Kripke S. A. Semantical considerations on modal logic. Acta Philosophica Fennica, 1963, Vol. 16, P. 83−94.
19. Lewis C. A Survey of Symbolic Logic. University of California Press, Berkeley, 1918.
20. Lewis C., Langford C. Symbolic Logic. Appleton-Century-Crofts, New York, 1932.
21. Marx M. Complexity of products of modal logics. Journal of Logic and Computation, 1999, Vol. 9, P. 197−214.
22. McKinsey J. Π‘. C., Tarski A. The algebra of topology. Annals of Mathematics, 1944, Vol. 45, P. 141−191.
23. ΠΡΠ°ΡΠΎΠ»ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ. ΠΠΎΡΠΊΠ²Π°: ΠΠ·Π΄Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΠ¦ΠΠΠ, 2001.
24. Π‘ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΊΠΎΠ² JI. Π. ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ. ΠΠΎΡΠΊΠ²Π°: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1983.
25. Π¨Π΅Ρ ΡΠΌΠ°Π½ Π. Π. ΠΠ²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ. Mam. Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΠΊ Π‘Π‘Π‘Π , 1978, Ρ. 5, Ρ. 759−772.
26. ΠΡΠ°Π²ΡΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ°ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ SLn. ΠΠΎΠΊΠ»Π°Π΄Ρ ΠΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΈ Π½Π°ΡΠΊ Π Π€, 2003, Ρ. 391, Π²ΡΠΏ. 1, Ρ. 14−16.
27. ΠΡΠ°Π²ΡΠΎΠ² Π. Π. Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ. ΠΠΎΡΠΊΠ²Π°: ΠΠΠ£, 2005. 46 Ρ. Π ΡΠΊΠΎΠΏΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° Π² ΠΠΠΠΠ’Π 03/03/2005, Π0- 303-Π2005.
28. ΠΡΠ°Π²ΡΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π΅ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ. Π£ΡΠΏΠ΅Ρ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π½Π°ΡΠΊ, 2002, Ρ. 57, Π²ΡΠΏ. 4, Ρ. 179−180.
29. ΠΡΠ°Π²ΡΠΎΠ² Π. Π. Π Π°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ SLn. Π’ΡΡΠ΄Ρ XXIV ΠΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΡΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΠΠ£ ΠΈΠΌ. Π. Π. ΠΠΎΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ²Π°, 2002, Ρ. 93−95.
30. Kravtsov A. G. Extensions of multidimensional successor logics. Computer science applications of modal logic, 2005, P. 22−23.
31. Kravtsov A. G. Extensions of multidimensional temporal logics. Bulletin of Symbolic Logic, 2002, Vol. 8, No. 1, P. 124.
32. Kravtsov A. G. Polymodal logics of commuting functions. Logic Journal of the IGPL, 2002, Vol. 10, No. 5, P. 517−533.