О нелокальных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений

Нелокальные краевые задачи впервые начали рассматриваться в начале нашего столетия. В работах М. РLeone. [51], BMiE? [52], C.B.Wiict^i53] встречаются постановки краевых задач с многоточечными и интегральными краевыми условиями. В простейших ситуациях были построены функции Грина, рассмотрена сопряженная задача,-обсуждались вопросы дискретности и непрерывности спектра. • • Многоточечные задачи позднее изучались Тамаркиным Я. Д. 437, [54], [55], который рассматривал в основном асимптотику спектра.

После известной статьи СИ. JJz 2а. ЛГа?? е.а. Poct^Ln. [43] появились шогие работы, посвященные задаче Валле-Пуссена (отметим некоторые [ I], [37], Г 47], [491). В таких задачах краевые условия задаются на некоторой сетке из данного отрезка, причем каждое условие локализуется в одной из точек0 Для таких задач получен ряд глубоких результатов, связанных с оценками функции Грина, ее знакорегулярностью (см. [ 38],[392, [403), доказана осцилляционность спектра задачи со знакопеременным весом [ 35].

Осцилляционная теория для задачи Валле-Пуссена является развитием результатов, полученных для двухточечных краевых задач. В работах Калафати П. Д., Крейна М. Г., Гантмахера Ш. Р., Левина А. Ю., Степанова Т. Д. (см., например,[10], [291) были получены основные осцилляционные спектральные свойства. В работе Барковского Ю. С. и Юдовича В. И. [41 исследованы спектральные свойства двухточечной краевой задачи с осцилляци-онной функцией Грина и знакопеременным весом.

Многоточечные задачи рассматривались и для. уравнений с частными производными, например, в известной работе Бицадзе A.B. и Самарского A.A. [3].

В работе Ильина В. А. и Моисеева Е. И. [12] рассматривалась многоточечная задача для уравнения 2-го порядка. Результаты этой статьи имеют глубокую алгебраическую природу, позволившею развить их и перенести их на уравнения л-го порядка с достаточно общими функционалами.

Данная работа посвящена изучению наборов функционалов, позволяющих выделять классы однозначно разрешимых краевых задач с неосциллирующими дифференциальными операторами л, -го порядка, изучению знак (c)регулярных свойств функции Грина, исследованию осцилляционных спектральных свойств некоторого класса нелокальных краевых задач и исследованию нелинейной задачи.

Перейдем к краткому описанию полученных результатов. Работа состоит из трех глав.

I. Первая глава посвящена изучению так называемых Т-регулярных наборов функционалов.

В § 1 вводится понятие Т-регулярного на промежутке У набора функционалов. Впервые это понятие введен©Покорным Ю.В. в [26] .

Пусть 7 -открытый, полуоткрытый или замкнутый промежуток с концами а. и В (-оо < а < В<�оа С-О?) пространство непрерывных на 3 функций с нормой 11 = р 100&I — С*С7) — пространство непрерывных линейных функционалов на С£7). ^.

Напомним, что непрерывные функции {^¿-С^)}^ («?'€•7) образуют систему Чебышева (Т-еиетему) порядка на, если любой нетривиальный полином по этой системе ос 60 ^^¿-С^) обращается в нуль не более, чем в п~1 точках из у.

Под Т^ -пространством на У понимается любое кмерное подпространство Вп.^ С-О?), у которого некоторый (а, следовательно, и любой) базис является Т-системой на.

— б н ^.

Определение 1.1, Набор функционалов {ч}^ из С (О) называется Т-регулярным на 7, если для каждого Тп «пространства Еп. на >7 и любой ос</) ^ ^/г из равенств ??(3() следует, что на .

Т-регулярные наборы функционалов позволяют выделять классы однозначно разрешимых краевых задач е неосциллирующимн операторами.

Напомним, что обыкновенный дифференциальный оператор п).

0+"¦ + ЯпС*) 02 (I) называется неосциллирующим на Г"-,^], если любое нетривиальное решение уравнения ¿-ое=<? имеет на Г<*, не более нулей с учетом кратностей.

Теорема 1,5. Если набор функционалов {-??3^ из Т-регулярен на У, то для любого не о сцилл ирующе го на 7 оператора (I) с суммируемыми коэффициентами а[С0 краевая задача.

Ь да =. ^ однозначно разрешима при любой ^ е ?^ и любых.

5.

В § 1 приводится критерий Т-ре гул яркости набора функционалов, Приводятся леммы о возможности расширения промежутка С Т-регулярности набора функционалов, о возможности объединения двух Т-регулярных на промежутках и ^ наборов функционалов в один набор, Т-регулярный на объединении промежутков — и ,.

В § 2 вводится понятиечебышевекой системы функций.

Доказываются теоремы о Т-регулярности интегрального набора функционалов, а также набора многоточечных функционалов. Пусть по-прежнему У обозначает открытый, полуоткрытый или замкнутый промежуток с концами а. та?. Пусть на 3 задана неубывающая функция «Она стандартным образом порождает меру Лебега-Стилтьеса, которую обозначим также через <о» -. • Обозначим через симплекс в п. вида, у хх- = 1У*Ы Ъ* и*- * и, Ь**, 1−4*5.

Через уМ обозначим меру на, порожденную пой степенью линейной меры (c)~ .

Определение 2.1. Систему функций.

СО, с^О,-, оСп (-) «суммируемых на ч7 по мере в~, назовем (о~+) -чебышевской на $, если на почти всюду (относительно меры уи) и, кроме того, з).

Классы + -чебышевских ичебышевских систем мы объединим под общим названиемчебышевских систем.

Следующие две теоремы представляют Т-регулярные на промежутке 7 наборы функционалов.

Теорема 2.2. Если функции } && ¿-О, Ы. п образуютчебышевскую систему на промежутке 7, то набор функционалов.

2 /се) = а⁶⁰ С^^А) (4) У.

Т-регулярен на у ' .

Определение 2.2. Прямоугольную матрицу, А (/гхлг) (К&т) следуя ?4] будем называть знакосогласованной, если она имеет ранг н и все ее ненулевые шноры порядка п. имеют одинаковый знак*.

Теорема 2.4. Пусть матрица Ыц II (?=4, п. 9 > тп7, п) является знакосогласованной. Пусть ^ < - произвольные точки из 7 • Тогда функционалы.

5) образуют Т-регулярный набор на 7 .

В § 3 показывается, что многоточечные и интегральные наборы функционалов, если они Т-р@гулярны, могут быть невырожденным линейным преобразованием переведены в так называемые М-регудярные и Д-регулярные наборы, в которых укороченные под-наборы сами являются Т-регулярными. Такая канонизация краевых условий открывает дорогу качественным методам анализа краевых задач, основанным на факторизации Пойа и теореме Ролл я.

Определение 3.1. Набор функционалов из назовем М-регулярным на 7, если ?-??3^ образуют Т-регулярный набор при каждом 1 ~ п. .

3.1. Пусть матрица ¡-¡-сС^ II (, ^ т.

1717/^) является знакосогласованной. Пусть ьъ — произвольные точки из 7 Рассмотрим набор функционалов я существует невырожденное линейное преобразование переводящее набор функционалов (6) в М-регулярный набор Л.

Теорема 3.2. Пусть система функций {¿-Л^ образует Т-сиетему на $ ]. Пусть функция строго возрастает и непрерывна. Тогда набор функционалов в — N.

2:0*0 я С1=±-^ а можно линейно преобразовать в набор ^? С'^)}^, который будет М-регулярным по крайней мере на открытом интервале а, В).

Определение 3.2. Набор ^ функционалов из С, (я) назовем Д-регулярным на 7, если любой его поднабор ?/??1? является Т-регулярным набором.

Теорема 3.3. Пусть матрица //о^-// (1−1,!1, т^ п) знакосоглаеована. Пусть вее ее миноры порядка П-отличны от нуля. Тогда Т-регулярный на У набор функционалов у можно линейно преобразовать в Д-регулярный на 3 набор.

2. В главе 2 исследуются осцилляционные свойства нелекальной краевой задачи с Т-регулярныни краевыми условиями.

В § 4 изучается осцилляционные свойства функций, удовлетворяющих Т-регулярным краевым условиям, приводятся оценки на количество и кратность нулей.

Теорема 4.1. Пусть б’С’О ~ возрастающая на и непрерывная функция. Пусть пространство.

— хи определяется набором функционалов ~? вида.

2ХМбО ог^-, (8) 7 где — <о — чебшевская еистема функций на 7 .

Тогда любая функция ос О ё имеет на (а, В) не «менее <4. различных нулевых точек.

Аналогичная теорема справедлива и для функционалов вида т., , —-л.

С1-'.*-«1*'1)' {9) 7 где ^.

Назовем /г. — индексом нулевого места со функции^О ^ С- (?) число П ,'если сонеизолированный нульсо) — 1 * ' еслиизолированный концевой ' или узловой нуль;

2, если соизолированная нуль-пучность.

Сумму индексов всех нулевых мест функции ос. 6) на промежутке 3 будем обозначать Ю «либо.

Теорема 4.3. Пусть пространство (7) определяется набором функционалов вида (9), где матрица II знакосогласована. Тогда для любой функции о¿-6) справедлива оценка (ъ? /^. Более того,.

В § 5 исследуются осцнлляционные свойства функции Грина краевой задачи с Т-регулярными условиями.

Здесь краевые условия задаются функционалами вида у или т.

1, (П) локализованными в непересекающихся окрестностях точек СС и.

Рассмотрим задачу.

С^Ы" '*2) (12).

ЬС^о (^¿-Л) > (13) где краевые условия определяются функционалами вида Т.

ЧЭ.

Здесь, = (¿-у) — /- - чебышевские системы функций на ^ и ^ соответственно. Функция строго возрастает и непрерывна на и.

Теорема 5.1. Пусть Ьнеосциллирующий на Г&гб] дифференциальный оператор /гго порядка с суммируемыми коэффициентами. Тогда функция Грина задачи (12),.

13), (14), (15) при каждом фиксированном (а, ?) имеет по ± ровно п. простых узловых нулей на из них к. рулей на (?) и ъ-к нулей на (с/, ?).

На множестве со а^тЬ^ 01 — 4 6}' функция Грина О-С*,^) удовлетворяет неравенству.

Пусть теперь краевые условия задаются функционалами вида (II), локализованными в окрестности точек, а ж В. Рассмотрим задачу и=1 (1б) .

I?) где краевые условия определяются функционалами вида /Г?1 (18) ЬСа^'^иХСЪ)} «Ь*» .

1 .

Здесь — ;

Матрицы II и IIуЗу //' знакосогласованы.

Теорема 5.2. Пусть Анеосциллирующий на дифференциальный оператор /гго порядка с суммируемыми коэффициентами. Тогда функция Грина? задачи (16),.

17), (18), (19) при каждом фиксированном имеет по? изолированные нули (узловые, нуль-пучности.

— IO или концевые) суммарной кратности /г на [а.(в], из них кратность нулей на/~^ ^ ] равна К, кратность нулей на равна /г-/5 и кратность каждого нуля не выше двух. На множестве с-*** - функция Грина &(t,&) задачи (16), (17), (18), (19) удовлетворяет неравенству (~1 *.

В § 6 приводятся некоторые теоремы об однозначной разрешимости краевой задачи с неосциллирующим оператором и краевыми условиями, локализованными в окрестности концов отрезка.

Пусть Lдифференциальный оператор h, -го порядка с суммируемыми коэффициентами, не осциллирующий на [cLt В} «Как известно, его можно представить в форме Пойа (см., например, Г28]).

ЪС^^ыО-ЪСО^ЪСО* (20) где ^iC) -достаточно гладкие и положительные функции. Обозначим.

Пусть С ! о! & Са/ и (L^cL. Пусть функционалы &П-Х имеют вид где ~ ^ -чебышевская система на ¿-а-, с] ,.

СГ^Острого возрастает и непрерывна, либо кусочно-постоянна и не убывает.

Для определения функционала 2^ «локализуемого на введем в рассмотрение функционал где у° 60 — неубывающая функция, а — суммируемая по мере функция.

Рассмотрим задачу.

Теорема 6.1. Задача (23), (24) однозначно разрешима, если оСп ^ О й если <~п.

Использование квазипроизводных ¿-©-¿—К, определяемых согласно (21), приводит к следующим результатам.

Теорема 6.2. Пусть.

Тогда краевая задача (23), (24) однозначно разрешима. однозначной разрешимости задачи (23), (24) достаточно, чтобы 1п № $ С®-**1) при некотором #.

Пусть функционал 2п. допускает представление К? ?4) ~ $ при некотором 1−01.

Теорема 6.3. Если сна, то для.

3. Глава 3 посвящена исследованию спектральных свойств нелокальной краевой задачи с Т-регулярными краевыми условиями, а также содержит приложение к нелинейным задачам.

В § 7 спектральные свойства исследованы путем сведения краевых условий к условиям теоремы Калафати — ГантмахераКрейна [29] и применения этой теоремы.

Рассмотрим спектральную задачу h-ггг I.

— 1) (25).

C^-W (26) с неосциллирующим на [a, el дифференциальным оператором.

П- -го порядка L и краевыми условиями, определяемыми функционалами. , ot.

0= /, СО °/о-60 + (38) где — неубывающая на и ос ^ а < с/ < ?) функция — и «^ -чебышевские системы функций на Г^/ и соответственно.

В § 7 доказана следующая теорема. Теорема 7.1. Пусть коэффициенты дифференциального оператора, А и функция ^6) суммируемы на ?] f.

Пусть на и [dtil и почти всюду на (С. td). Тогда оператор, порожденный задачей (25), (26), с функционалами вида (27.) и (28), обладает осцилляционным комплексом спектральных свойств: спектр оператора состоит из неограниченной последовательности вещественных простых положительных собственных значений — и соответствующие собственные функции {fol побладают следующими свойствами на (с fo?) % а) ^ имеет точно К нулевых точек и все они являются узлами (К—0,4.,'.) — б) при каждом К между любыми соседними нулями $ из (С, o?) находится точно один нуль tfн перемежаемость нулей) — в) последовательность }о образует интерполяционный ряд (цепь Маркова) на (С, i), то есть при каящом К система {^ilfo есть система Чебышева порядка К (Тк — система) на (С, ot).

В § 8 и § 9 рассматривается приложение к нелинейной краевой задаче.

С-1)" т'1к{29).

ЬО*)-о ¦ - (30).

Здесь и — неосциллирующий на [а., дифференциальный оператор, а краевые условия задаются интегралами Лебега-Стилтьеса вида (27) и (28).

X — множеств©функций С, имеющих непрерывные производные до (П.-2.)-го порядка, абсолютно непрерывную производную («—1)-го порядка и удовлетворяющих краевым условиям (30).

В § 8 исследуются свойства интегрального оператора, порожденного нелинейной задачей, его вполне непрерывность, и0 — ограниченность, — вогнутость.

В § 9 доказывается теорема о существовании ненулевого решения нелинейной задачи и возможности найти это решение методом последовательных приближений".

Основные результаты диссертации опубликованы в работах О 7, 8, 31, 32, 34].

Результаты диссертации докладывались на 4-ой школе по теории операторов в функциональных пространствах, Новгород, 1989 г ;

Третьей Северо-кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям, Махачкала, 1991 г ;

Воронежской зимней математической школе ;

Научных конференциях Воронежского госуниверситета ;

Семинарах Покорного Ю. В. в НИИ математики ВГУ.

Об организации текста диссертации.

Диссертация содержит три главы, девять параграфов. Нумерация параграфов сплошная. Формулы ш утверждения (теоремы, леммы, следствия, замечания) имеют двойную нумерацию.

В начале диссертации приведено оглавление. В конце диссертации имеется список литературы.

Автор сердечно благодарен за постоянное внимание к работе и обсуждение результатов своим научным руководителям профессору Покорному Ю. В. и доценту Лазареву К.П.

Автор благодарен также участникам семинара п©качественной теории краевых задач под руководством Покорного Ю. В. за благотворные замечания и обсуждение результатов.

1. Азбелев Я. В, 0 границах применимости метода Чаплыгина в дифференциальных неравенствах// Матем.сб.1.56.fra9.C.I6I-I78.

2. Айне ЭЛ. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Киев, 1938.

3. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. АН СССР.1969. Т Л 85, Ш. С. 739 -740.

4. Барковский Ю. С., Юдович В.й. Спектральные свойства одного класса краевых задач//Матем. сборник.1981.ТЛ14(156), РЗ, С.438−450.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Наука, 1967.

6. Гареева Т. М. О Т-регулярных наборах краевых условий до задач с неосциллирующими операторами// Третья Северо-кавказская региональная конференция по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям: Тезисы докладовМахачкала, 199I.С.47.

7. Гареева Т. М. О функционалах, задающих класс однозначно разрешимых краевых задач с неосциллирующим оператором// Сборник трудов молодых ученых НЙЙМ ВГУ, 1991.

8. Гареева Т. М. О нелинейной задаче с неосциллирующим дифференциальным оператором и интегральными краевыми условиями //Воронеж, 1997.Деп. в ВИНИТИ 19.II.97,NQ38I-B97.

9. Гантмахер §-.Р. О несимметрических ядрах Келлога// ДАН. 1936. Т Л, PI0. С.3−5.

10. Интегральные уравнения // Забрейко П. П. и др.-М.: Наука, 1968.448с.

11. Калафати П. Д. а) 0 функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений, ДАН, 26,6 (1940), 435−539.в) 0 функциях Грина обыкновенных квазидифференциальных операторов, ДАН, 109,3(1948), 427−430.

12. Карлин С., Стадден В. Чебышевекие сиетемы и их применение в анализе и статистике, М.1976.

13. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Современные проблемы математики. Новейшие достижения.-МЛ987.С"3−103.-(Итоги науки и техники / ВИНИТИТ.30).

14. Крейн М. Г, 0 несимметрических оецилляционных функциях Грина обыкновенных дифференциальных операторов// Докл. АН СССР. 1939. Т. 25, № 8. С.643−646.

15. Крейн М. Г., Нудельман A.A. Проблемы моментов Маркова и экстремальные задачи.М., 1973.

16. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений, М., Физматгиз, 1962.

17. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М.: Наука, 1966.

18. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. -М.: Наука, 1985.-25бс.

19. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений.-М.: Наука, 1969.-455с.

20. Коддингтон Э. А, Левинсон Н, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М,, ЙЛ, 1953.

21. Камке Э, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. «Наука», 1965.

22. Колмогоров А. Н., Фомин С. В, Элементы теории функций и функционального анализа.M., 1989.

23. Лазарев К. П., Гареева Т. М, Осцилляционность спектра некоторых нелокальных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// 4-я школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тез.докл.Новгород. -1989.4.2.С.50.

24. Левин А. Ю. О многоточечной краевой задаче. Кандидатская диссертация. Воронеж.196I.

25. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравненияР* (f). f Рп&-) ое (9Успехи мат. наук, 1969.Т.24,вып.2.С.43−96.

26. Левин А. Ю., Степанов Г. Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака // Сибирский математический журнал, 1976, Т, 17, РЗ, С.606−625- Т.17,Р4,С, 813−830.

27. Немыцкий В, В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.М.Гостехиздат, 1949.

28. Покорный Ю, В. Лазарев К. П, Гареева Т, М. О нелокальных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений// Диф. уравнения, 1989, Т. 25, N6. С. I32I-I332.

29. Покорный Ю.В."Лазарев К. П, Гареева Т. М. Об условиях типа В. А. Ильина разрешимости нелокальных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// ДАН, 1989. Т.304, Ш. С, 1298−1302.

30. Покорный Ю. В., Лазарев К. П., Гареева Т. М. ПрименениеSрегулярности в исследовании спектральных свойств некоторых нелокальных краевых задач// Воронеж. 1996. Деп. в ВИНИТИ 19.12.96, Ш719-В96.

31. Покорный Ю. В., Лазарев К. П., Гареева Т. М, 0 спектральных свойствах некоторых нелокальных краевых задач// Диф. уравнения, 1998.-Т.34,Р1.С.45−49.

32. Покорный Ю. В. «Лазарев К. П. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач// Диф.уравнения.-1987.-T.23,f4.C.658−670.

33. Покорный Ю.В.//Всесоюзная конф. по теории и приложениям функц. -диф. уравнений: Тез, докл, -Душанбе, 1987. Ч. 2, С.62−63.

34. Покорный Ю. В. О спектре интерполяционной краевой задачи //УМН .1977. Т. 32, «56. С, 263−264.

35. Покорный Ю. В, 0 неклассической задаче Валле-Пуссена //Диф, уравнения, 1978, Т.14,Р6.С. 1018−1027.

36. Покорный Ю. В. Биномиальные формы и оценки функции Грина //Функц.-дифференц.уравнения и краевые задачи мат.физ. Пермь, 1978,0,81−86.

37. Покорный Ю. В. Некоторые оценки функции Грина задачи Валле-Пуссена. Тр. НЙИМ Воронеж.у-та, 1975, вып.19.С.95-ЮЗ.

38. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа, Т.2.М.-Л., 1938.

39. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференц.уравнения.М., 1970.

40. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных диф. уравнений и разложение произвольных функций в ряды. Петроград, 1917;

41. Фихтенгольц Г. М, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.2.М.: Наука, 1966.800с.

42. Функциональный анализ// Под ред. Крейна С. Г. -М.: Наука, 1972. 544с.

43. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М, 1970.

44. Чичкин Е, С. Теорема о дифференциальном неравенстве для многоточечных краевых задач// Изв.вузов.Мат.1962., Ш. С. 170−179.

45. СА de «V» 'о€Рег<2. Рсч^&сп,)? dzjj.j.z.rviniiс (ц ?<�г.<�юпс1 оъс (ьп., Уоиъп. с/е mwth. р, Ш-М.49. р. и/. an Ы в. В. G-u^-La^on} *)77 as* ! тга iionо^ jj-unaiiLon ov&x. o^ tnof itipolntВочъЫ. аы va&.