Вещественная интерполяция и почти оптимальность адаптивных алгоритмов диадической кусочно-полиномиальной аппроксимации

Цель настоящей работы" состоит в том, чтобы продемонстрировать возможность использования вещественной интерполяции для установления оптимальных и почти оптимальных свойств дискретных алгоритмов и тем самым расширить область применения вещественной интерполяции. В работе это осуществляется на примере важных и самих по себе адаптивных алгоритмов диадической кусочно-полиномиальной аппроксимации в Lp (Qo), где Q0 = [0,1]" - единичный куб в R" .

Обычно в теории интерполяции задается пара банаховых пространств X = (Xq,^) и для этой пары требуется найти /(«—функционал и вычислить интерполяционные пространства Xo, q. При этом вычисление К—функционала, как правило, требует нахождения почти оптимальных разложений х — х0 (t) ¦+ х (t), причем почти оптимальность понимается как справедливость неравенства x0{t)\Xo + t\xj (t)\Xl < cK{t, x-X0,X{), t > 0, (1) где константа с не зависит от х и t.

В предлагаемом подходе задача ставится по-другому. Для всех х из некоторого пространства Хо и всех t > О задан алгоритм, А построения X{t) и нужно подобрать такое пространство чтобы разложение х — (х — х (£)) 4-аа (О было почти оптимальным в смысле Л" —функционала, то есть чтобы выполнялось (1).

Таким образом, главным становится не вычисление Л" —функционала, а нахождение по заданному алгоритму второго пространства пары. Эта задача в работе осуществляется на примере адаптивных диадических алгоритмов кусочно-полиномиальной аппроксимации.

К сожалению, понятие почти оптимальности в смысле К—функционала не совсем наглядно. Более естественным представляется понятие почти оптимальности в аппроксима-ционном смысле, или в смысле Е—функционала. Пусть некоторый алгоритм, А строит по элементу х € Х0 и t > 0 элемент x (t) из Хь Алгоритм, А мы будем называть почти оптимальным (в аппроксимационном смысле, или в смысле Е—функционала), если элемент х (?), находясь в шаре радиуса Ct пространства Х приближает «не хуже», чем элементы из шара радиуса C2t того же пространства. Другими словами, алгоритм является почти оптимальным, если существуют такие константы Ci, Сг и с, не зависящие от х и t, что 1Ы*)1к < ci* и.

II®-Si (*)IUo < с inf Hz — д\Хо = cE (c2t, xХъ Х0).

9- 9 X, <С2*.

Следует отметить, что из почти оптимальности алгоритма, А в аппроксимационном смысле следует почти оптимальность разложения х = (х — Xi (t)) + Х (£) в смысле К—функционала пары, А именно, выполняется неравенство (см. параграф 0 гл.

1): где s (t) = \хx^WxJt.

Пусть / принадлежит Lp (Qo). Мы рассмотрим семейство алгоритмов Аа аппроксимации /, зависящих от параметра a G R. Конструкции существенно различные для, а > 0 и, а < 0.

В случае, а > 0 алгоритм будем называть алгоритмом спуска, так как идет последовательный переход от больших диадических кубов к меньшим. В основе алгоритмов спуска лежат построения из глубоких работ анализа: конструкция Кальдерона — Зигмунда (возникающая при построении так называемого разложения Кальдерона — Зигмунда) и конструкция кусочно-полиномиальной аппроксимации, предложенная в работе Бирмана — Соломяка [3] для аппроксимации функций из пространства Соболева.

При, а < 0 алгоритмы представляют собой дискретные аналоги алгоритмов из [15]. В случае, а < 0 осуществляется последовательный переход от меньших диадических кубов (начиная с некоторого уровня) к большим. Поэтому это семейство алгоритмов мы будем называть алгоритмами подъема.

Особый интерес представляет собой случай, а = 0, в котором фактически речь идет о классической задаче аппроксимации функции /? Lp с точностью до е кусочно-полиномиальной функцией с минимальным количеством полиномиальных ступенек. Отличие рассматриваемой задачи от классической состоит в том, что мы под кусочно-полиномиальными функциями понимаем функции g вида g = Y, 9jXQj-, Sj? -Pfc> c возможно перез секающимися диадическими кубами Qj. Здесь и всюду далее Pk обозначает пространство алгебраических многочленов степени < к — 1, к > 1.

Всюду ниже fq^? Pk обозначает полином наилучшего приближения / в LP (Q) (1 < р < +оо), то есть.

II/-/q°IUpw) = Ж lf ~ Pk\Lp (Q).

Pk t гк.

Через D{Qo) обозначим множество диадических подкубов исходного куба QoМножество диадических кубов из D (Qq) можно изобразить в виде дерева (по включению меньших кубов в большие) — при этом один уровень этого дерева образуется одинаковыми по размеру диадическими кубами.

Опуская детали, изложим основные результаты работы.

Алгоритм спуска и результаты, связанные с ним.

Пусть / е Lp (Qo), 1 < р < +оо, и, а > 0 фиксированы. В этом случае алгоритм Аа (см. параграф 1 гл. 1) для произвольного числа •> II / f (fc)|| II/ /QQIUP (QO) C^IIJ iQ0l|Lp (Oo) — |Qo|°/p отбирает «максимальные» кубы Qi, для которых выполняется j^-p^ll / - IUp (Q-).

На основе этих кубов {Qi} строится аппроксимирующая функция ft как ft = ^fqu'XQi + f XQoyjQi-i.

Отбор кубов Qi осуществляется последовательным спуском от куба Qо по дереву диади-ческих разбиений вниз.

Для формулировки результата положим.

W) i.

Как мы увидим ниже, если в качестве пространства А" о взять Lp (Qo), то для алгоритма Аа: f —У ft в качестве второго пространства пары естественно взять пространство Вк (а, р), определяемое полунормой в*(а, р) := sup j^jj^llf ~/дк)11ьр (сз)-q.

Отметим, что если, а = = 1 и р = 1, пространство Вк (а, р) совпадает с хорошо известным пространством — диадическим В МО. Также хорошо известно (fl8]), что пространство Lip о может быть определено как пространство функций, для которых.

II/ - /q^IImq) sup—< оо,.

Q IQr «и верхняя грань берется по всем кубам Q С Q0. Отсюда следует, что пространство Вк (о., р) при 1 < а < 1 + к — 1 vi р — является диадическим аналогом пространства Lip а, где, а = п (а — 1).

Приведем теперь основной результат для алгоритма спуска в случае приближения многочленами.

Теорема 1 (о почти оптимальности алгоритма спуска). Имеет место оценка: ll/-/tlk (Qo) < С! Ы \f — g\LAQo). 3−9Bl'(a, p)^t/2.

При этом справедливы следующие неравенства:

1- |/г|в*о, р) < 2t,.

2. \.f ~ .ft\Lp (Qo) < c2t (N (t))^,.

3. \f-ft\Lpm>tm))1/p.

Константы c и c-i зависят от n и, а и не зависят от р, f и t.

Величина N (t) — важная характеристика набора кубов, конструируемого алгоритмом спуска. Оказывается, что с помощью этой величины можно оценить К—функционал K (t, fLp (Qq), Вк{а, р)), А именно, при t > || / - /q^IU^Qo) верна эквивалентность (см. теорему 3).

K ((N (t))^, f-, Lp (Q0), Bk (a, p))^t (N (t))^. (2).

Таким образом, из неравенств 1) и 2) теоремы 1 следует, что разложение f = (f—ft) + ft является почти оптимальным в смысле К—функционала пары (Lp (Q0), Bk{a, p)), но не для t, а для (N (t))1/p.

Теорема 1 представляет собой уточнение эквивалентности (2). Как видно из теоремы 1, конструируемая алгоритмом спуска функция ft оказывается почти оптимальной еще и в аппроксимационном смысле — она приближает функцию / в Lp (Q0) «не хуже», чем функции из шара радиуса t/2 пространства Вк (а, р) и при этом сама находится в шаре радиуса 21 того же пространства.

Иначе говоря, разложение ./ = ft + (/ - ft) является почти оптимальным в аппроксимационном смысле, или в смысле Е—функционала для пары (Вк (а, р), LP (Qо)).

Рассмотрим теперь алгоритм спуска в особом случае «приближения нулем». В этом случае, в отличие от остального, диапазон изменений, а ограничен интервалом (0,1].

Пусть / G Lp (Qo), 1 < Р < -Ьос, и, а > 0 фиксированы. В этом случае алгоритм для произвольного числа imi UJ Lp (Qo) > ii/iimqo) — |qq|alv строит функцию ft и, следовательно, разложение / = /" + (/ — ft).

Механизм построения ft очень похож на построение функции ft в случае приближения полиномами. Собственно, сама структура этих алгоритмов спуска одна и та жеразличие лишь в величине, на основе сравнения которой с фиксированным t конструируется набор кубов и строится функция ft. Мы последовательно, спускаясь вниз от куба <Зо по дереву диадических разбиений выбираем «максимальные» кубы Qi такие, что.

Яга, Р.

Lp (Qi) t.

Положим.

It — fXQouQi-Введем пространство Ц^ с помощью нормы.

В частном случае, если, а — 1 и р = 1, пространство совпадает с известным пространством Loo (Qo) — При 0 < q < 1 пространство L^ является диадическим аналогом пространства Морри МРА [4]. Напомним, что функция / принадлежит МР:(Т, если выполняется sup-^гг1 < оо.

Q Q пр

Здесь точная верхняя грань берется по всем (не обязательно диадическим) кубам Q С Q0 и —п < а < 0. Таким образом, при 0 < а. < 1 пространство Ь%р действительно является диадическим аналогом пространства MPi", где, а = —па.

Замечание. Отметим также, что если, а > 1, то пространство L^ вырождается (в этом случае оно содержит только функцию, равную почти всюду 0). Поэтому все результаты для случая «приближения нулем» имеют смысл только при 0 < а < 1.

Приведенные выше теорема 1 и эквивалентность (2) для случая приближения многочленами остаются верными и для случая «приближения нулем» — при этом вместо Вк (а, р) естественно возникает пространство .

В силу того, что величина N (t), фигурирующая в формуле для К—функционала (2), строится с помощью алгоритма, то встает вопрос об инвариантной, то есть не зависящей от алгоритма, формуле для К" -функционала.

В случае пространств L^ и В МО имеют место два классических результата для К—функционалов пар (Ly, L^) и (Llt В МО). А именно, если f* - невозрастающуая перестановка функции /, то верны эквивалентности Li, Loo) ~ t (Mf)*(t) (3).

K{t, f-, Lx, BMO) vtU*y{t), (4) где (M/) и — соответственно максимальная функция Харди — Литлвуда и шарп-максимальная функция.

Оказывается, что в случае 0 < а < 1 можно указать аналогичные формулы, в которых вместо перестановки. по мере Лебега приходится брать перестановку по некоторой специально конструируемой, «внешней» диадической мере. Для формулировки результата введем максимальные функции ff (x):= sup TT^rdl/ - Iq^Ilaq)-Определение. Пусть а. фиксировано, 0 < a, < 1. Пусть fi С Q0. Положим.

Здесь Qk G D{Q0).

Отметим, что указанная величина обладает следующими свойствами.

1. Пусть fij С 0,2- Тогда p (fii) < /и (f^)т.

2. < Г /i (fii). г=1.

3. О < fl (tt) < 1.

Можно привести пример, показывающий, что введенная «мера': не является аддитивной, что не позволяет ее рассматривать как полноценную меру.

Определение. Определим диадическую перестановку функции / формулой b (t):= sup mf|/(x)|.

Следует сказать, что обычная невозрастающая перестановка функции / может также определяться аналогичным способом (см., например, [15]).

Ниже приведены результаты, которые показывают, что if—функционалы пар (Lp (Q0), Вк (а, р)) и (Lp (Q0), L^p) могут быть оценены с помощью величин tl^p (f*)*D (t) и tx! v{M® f)*D (t). А именно, если 0.

К сожалению, эти соотношения имеют место для 0 < а < 1. Для, а > 1 в работах [15], [16] предложено использовать понятие^{-характеристики} и получен такой результат:

— /- Lp, В^) ~ t1^pFa (f)*(t), (5) где, а = 1 -f ^ и о Е (0,1). При этом величина Fa (f)*(t) определяется как адп*) = sup (mf н/" Дмд)), (6) где верхняя грань берется по всем наборам непересекающихся кубов тг (не обязательно диадических), для которых.

Ha = ?l Qia>t. (7).

Qe-ir.

Оказывается, что если ввести величину Ff{f)*(t) как.

II f — f (/c)ll F#(f)*Jt) := sup (inf lU .i?., piQ)) здесь верхняя грань берется по всем наборам 7 г непересекающихся диадических кубов, для которых выполняется (7)), то верна.

Теорема 4. Пусть, а > О и 0 < t, < I. Тогда справедлива эквивалентность.

Замечание В работе [15] в ситуации 0 < а < 1 методы не работали. Теорема 4 показывает, что в диадическом случае результат справедлив для всех положительных а.

Таким образом, имеет место аналог формулы (5) и в диадическом случае. Одной из неприятностей формулы (6) является то, что в определении верхняя грань берется по всевозможным наборам непересекающихся кубов тг, удовлетворяющим (7). Оказывается, в диадическом случае этой неприятности можно избежать.

Всюду далее под укладкой тт будем понимать набор {Qi} Е D (Q0) такой, что если г ф j, то внутренности кубов Qi иQj не пересекаются.

Таким образом, укладка представляет собой набор непересекающихся диадических кубов из D (Q0).

Следуя работе [15], а—емкостью набора кубов {Qi} будем называть величину.

Qi.

Всюду далее через |7г|а будем обозначать а—емкость укладкик. Пусть Т — некоторое семейство диадических кубов.

Мы называем поверхностными кубами семейства диадических кубов Т такие кубы из Т, что Qpkv не содержится ни в каком другом кубе из Т. Набор различных поверхностных кубов семейства кубов Т всегда образует укладку. Говоря об укладке из поверхностных кубов, мы всегда имеем в виду укладку, состоящую из всех поверхностных кубов.

Определение. Пусть Т — {Qi} - некоторое семейство диадических кубов, и пусть {QkV} - соответствующая семейству Т укладка поверхностных кубов. Определим «меру» семейства Т как к.

Покажем, как строится диадическая перестановка (F (Q))*(t) в случае приближения полиномами.

Для любого с > О определим семейство диадических кубов Тс как.

Рассмотрим функцию распределения dF{c) := /i (rc).

Можно показать, что введенная таким образом функция распределения будет невозраста-ющей функцией (см. параграф 1 гл.1).

По аналогии с обычной невозрастающей перестановкой функции / обозначим через (F (Q))*{t) функцию из R+ в R+ такую, что d (F (Q)y (t)ic) — ^f©, (F (Q))*(t) непрерывна справа и не возрастает. Функция (F (Q))*(t) может быть выражена следующей формулой:

F (Q)y (t) = sup {с: ц{Тс) > t}. Оказывается (теорема 6), имеет место эквивалентность.

F (Q)T (t)^F*(f)-(t) и справедлива теорема.

Теорема 7. Пусть 00. Тогда справедливо неравенство t^{F{Q)Y (t)< K (t1″, f]Lp (Q0), Bk (a, p)) < cxt^{F{Q)y{t), где ci — постоянная, зависящая только от п и а.

В случае же приближения нулем множество Тс строится как и диадическая перестановка (F (Q))*(t) определяется как.

F (Q)Y (t) = sMc— KTc)>t}.

При этом выполняется эквивалентность t^(F (Q)Y (t) «Kit1'*, /- LP (Q0), L^).

Следует отметить, что величины (F (Q))*{t) основываются не на всех, а на поверхностных укладках, которые могут быть найдены алгоритмически с помощью описанных алгоритмов спуска.

В работе Беннетта — Шарпли [1] показано, что из формул.

K (t, f: Li, Loo) ~ t (Mf)*(t).

К&КЬиВМО)*^*)'®, а также из соотношения между величинами (Mf)*(t) и (/#)*(t) следует важное равенство.

L1,L00)e, q = (Ll, BMO)^.

Установленные в настоящей работе формулы для /^-функционала позволяют применить аналогичную технику для доказательства следующего утверждения.

Теорема 18. Пусть О<0<1, 0<а<1 ul < q < оо. Тогда.

Lp (Q0), L^p)ffig = {Lp{QQBa, p))9,q.

Полученные в работе формулы для функционала E (t,/- Вк (а, р), LP (Q0)) позволяют вычислить интерполяционные пространства, получающиеся при диагональной интерполяции пространств Li (Qo) и Вк (а, 1). В частности, можно доказать следующую формулу (см. главу 2):

Li (Qo), Bk (a, l))e, qe — Bkaqe, где Bkaq определяется полунормой.

If-f (Qh Q.

Q&D (qa) № l/k, = (E (Q)Ж)г/ а Яв =.

Из результатов работы Ю. А. Брудного [4] следует, что пространство В* является диадическим аналогом некоторого пространства Бесова.

Алгоритм подъема и результаты, связанные с ним.

Пусть / е Lp (Qo), 1 < р < +оо и q < 0. Всюду далее G Р^ обозначает полином наилучшего приближения функции / на множестве О, в LP (Q).

Пусть << (fW11 — II/ ~ /Qq I IlP (Qq).

Ь II./ ~ JQo IU?(Qo) — Q0°/P '.

Алгоритм подъема (подробно см. параграф 1 главы 1) конструирует набор диадических кубов Qi, на основе которых строится элемент приближения ft. При этом каждый куб Qi является «минимальным» из всех кубов Q, для которых выполняется неравенство.

Qa/v.

Отметим, что в отличие от алгоритма спуска в случае подъема конструкция является более сложной, так как кубы Qi могут пересекаться. Положим, как и в случае алгоритмов спуска, i.

Пусть Qf, к — I,., 2п — «дети» кубов Qt, то есть кубы, получающиеся при разбиении куба Qi на 2″ равных диадических подкубов. Определим множества.

UJ.

Положим ft = fak + /п&bdquoХПо ¦ i k=i *.

Можно показать (см. параграф 1 гл.2), что ft является суммой диадических полиномов. Для формулировки дальнейших результатов рассмотрим следующее пространство Ак (а, р). Оно состоит из функций д, которые можно представить в виде конечной суммы диадических полиномов, то есть в виде.

9 = Jl9jXQv 9j € Рк. При этом кубы Qj могут пересекаться и должно выполняться.

Qo = U Qj..

Приведенное выше представление для функции д может быть неединственным. Определим норму в пространстве Ак (а, р) как.

1Ы1 д*(а, р) :=mf (Zma)lfvj.

Здесь нижняя грань берется по всем наборам кубов {Qj} таким, что функция д может быть представлена в виде.

9 = 9j е Ркj причем UQj = Qo.

Ниже приведена теорема, являющаяся основным результатом для алгоритма подъема. Теорема 2 (о почти оптимальности алгоритма подъема). Имеет место оценка.

II/-/.iu^o) < и/" .

При этом выполняются неравенства:.

II/ - fi\LP (Q0) < c4t (N (t)yiP..

В основе доказательства почти оптимальности лежит геометрическая лемма (см. параграф 3 гл. 1)..

Проиллюстрируем теорему 2 для случая, а = 0 и р = 1..

В качестве пространства Ак (а, р) = Ак{0,1) берется пространство функций вида д =.

S^j'XQj! 9j ^ Pki где кубы UQj = Q0. Квазинорма в этом пространстве есть ни что иное, з 3 как минимальное количество кубов, необходимых для дого, чтобы представить функцию д в виде суммы диадических полиномов. Другими словами, N bU*(o, i) = inf{^v: 9 = IZsiXQj], 9j е Рк.

Алгоритм подъема при, а = 0, р = 1 строит функцию ft, состоящую (см. параграф 1 гл. 1) из не более чем (2'1+ 1) N (t) полиномиальных ступенек, дающую почти оптимальное разложение для if—функционала пары (Li (Qo), ЛЛ (0,1))..

Кроме теоремы 2, справедлива эквивалентность (см. теорему 3).

K (t, f-Lp (Q0), Ak (a, p))Kt (N (t))^, (8) где, а < 0 я t < \f — /q^||l?(q0) — Из этой формулы и теоремы 2 следует неравенство f-ft\Lpm+t\ft\A4a, p) < 0, является if-оптимальным..

Замечание. Сравнение результатов для алгоритмов подъема и спуска показывает, что, несмотря на большое сходство результатов, имеется и определенное различие..

1. В случае, а > 0 осуществляется последовательный спуск по дереву диадических разбиений от больших по объему кубов к меньшим, а в случае, а < 0 последовательный подъем от меньших по объему диадических кубов к большим..

2. Алгоритм спуска является почти оптимальным в аппроксимационном смысле (в смысле.

Е—функционала) для пары (Вк (а, р), Lp (Qo)), а алгоритм подъема — почти оптимальным в смысле if—функционала для пары (Lp (Q0), Ак (а, р))..

3. В теоремах 1, 2 и в формулах для if—функционалов при переходе от, а > 0 (спуск) к а. < 0 (подъем) величины t и (N (t))^p меняются местами..

4. Алгоритмы спуска и подъема работают при различных значениях t. Так, ограничение t > II/ - Iqo\lp (q0) Для алгоритма спуска заменяется на t < ||/ - ,/q^ILP (<3o) Для алгоритма подъема..

Отметим, что неравенство 3) теоремы 1 в случае алгоритма подъема, вообще говоря, является неверным. Кроме того, в отличие от случая алгоритма подъема, где конструируемые алгоритмом кубы Qi не пересекались, кубы, отбираемые алгоритмом подъема, могут пересекаться. Поэтому в этом случае функция ft имеет более сложное строение, нежели в случае, а > 0..

Как и в случае алгоритмов спуска, возникает вопрос об инвариантной, то есть, не зависящей от алгоритма, формуле для К—функционала..

Пусть t > 0 фиксировано и {??-} - конечный набор кубов, упорядоченный по возрастанию объемов. Как и раньше, обозначим.

Пусть Т — семейство наборов кубов {Qi}, упорядоченных по возрастанию объемов и таких, что для любого куба Qi выполняется.

II/ - й-Иыъ) Qia/v — '.

Положим.

Ff (f)-(t).= sup.

Q,}er j.

Тогда выполняется.

Теорема 5. Пусть, а < 0 и t < ||/ — Iq^Wl^Qo) — Имеет место эквивалентность.

K (tJ-, Lp (Q0), Ak (a, p))*t (F*(f)-(t))1'>> с константамизависящими от п и, а и не зависящими от р, / и t..

В заключение остановимся кратко на прикладных аспектах работы. В настоящее время дискретные алгоритмы аппроксимации, в частности, дискретное преобразование Фурье или дискретное преобразование по системам вейвлетов нашли важное применение в задачах, связанных с обработкой сигналов и изображений [9]..

В серии работ [25 — 28] фактически было показано, что константы в популярных алгоритмах стремятся к бесконечности при р —> оо..

Константы в приведенных теоремах абсолютные и не зависят от р, что делает алгоритмы привлекательными для определенного рода задач обработки изображений..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19], [20], [17], [21], [22], [23], [24]..

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Натану Яковлевичу Кругляку..

1. Кругляк Н. Я. Кусочно-полиномиальная аппроксимация со свободными узлами и Fa,—характеристики для, а € 1 — 1/п, 1) // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, JYe 2. С. 58 72..

2. Кругляк Н. Я. Гладкие аналоги разложения Кальдерона Зигмунда, количественные теоремы о покрытиях и К—функционал для пары (Lq, Wk) f / Алгебра и анализ. 1996. Т. 8, № 4. С. 110 — 160..

3. Кругляк Н. Я. Исследования по теории вещественного метода интерполяции операторов: Дис.. д-ра физ.- мат. наук / ПОМИ им. В. А. Стеклова. СПб., 1996. 267 с..

4. Кругляк Н. Я., Невский Д. М. Почти-оптимальность алгоритмов диадической аппроксимации в Lp (0,1]") и вещественная интерполяция // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, № 4..

5. Meyers G. Mean oscillation over cubes and Holder continuity // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. V. 15. P. 717 721..

6. Невский Д. М. Об одном адаптивном алгоритме кусочно-постоянной аппроксимации в Lp (0,1]"), р > 1 // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 2. Ярославль, 1999. С. 30 35..

7. Невский Д. М. К постановке задачи о диадической кусочно-постоянной аппроксимации в jLi (0, 1]п) // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 3. Ярославль, 2000. С. 46 51..

8. Невский Д. М. О двух диадических ^ —перестановках и их эквивалентности при 0 < а < 1 + // Современные проблемы математики и информатики. Вып.4. Ярославль, 2001. С. 40 — 47..

9. Невский Д. М. Адаптивная аппроксимация на п—мерном кубе и одна оценка для Е—функционала // Вторая обл. научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых вузов. Материалы конференции. Ярославль, 2001. С. 11..

10. Невский Д. М. О диадических а—перестановках суммируемой функции // Труды ма-тем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2001. Т. 12. Материалу международной молодежной научной школы-конференции. Казань, 2001. С. 47..

11. Temlyakov V.N. Greedy algorithmuand m—term trigonometric approximation // Constr. Approx. 1998. V. 14. P. 569 587..

12. Temlyakov V.N. Non-linear m—term approximation with regard to the multivariate Haar System // East journal on approximations. 1998. V. 4, № 1. P. 87 106..

13. Temlyakov V.N. Greedy-algorithms and rn—term approximation with regard to redundant dictionaries // Journal of approx. 1999. V. 98. P. 117- 145..

14. Temlyakov V.N., Greedy algorithms with regard to multivariate systems with special structure // Constr. Approx. 2000. V. 16. P. 399 425..