О последовательностях Штерна-Броко и функции Минковского

Одним из важнейших инструментов анализа в теории диофантовых приближений является аппарат цепных дробей. Многие вопросы, связанные со свойствами разложений в цепные дроби вещественных чисел, являются классическими. Основы современной теории цепных дробей восходят к трудам таких математиков, как JI. Эйлер, Дж. J1. Лагранж, А. Лежандр, К. Ф. Гаусс. Систематическое изложение теории цепных дробей имеется, например, в книгах О. Перрона [1] и А. Я. Хинчина [2]. Другим классическим объектом теории чисел, естественным образом связанным с цепными дробями, являются ряды Фарея. Они появились в 1816 году в работах самого Дж. Фарея [3], а в начале XX века были обнаружены связи вопросов о распределении дробей Фарея со сложными задачами аналитической теории чисел (см., например, [4]). Несколько менее известным объектом являются так называемые последовательности Штерпа-Броко, появившиеся в работах М. Штерна [5] и А. Броко.

6] соответственно в 1858 и 1862 годах. Эти последовательности, естественным образом связанные с рядами Фарея, имеют также отношение к широко известной функции Г. Минковского ?(ж), рассмотренной им в 1904 году (см.

7]). Отметим, что функция Минковского ?(х) была переоткрыта А. Данжуа в 1932 году (см. 8]). Позднее функция Минковского была переоткрыта еще несколькими математиками.

Рассмотрим следующий способ построения всех неотрицательных несократимых дробей, носящий название дерева Штерна-Броко. Начнем с двух соседних дробей j и На каждом шаге между двумя соседними дробями 2 ' и ^ будем записывать их медианту.

1>Р' Р + Р' ^ «7, г q q' q + q'.

Например, первый шаг добавляет одну дробь между у и.

Рис. 1: Дерево Штерна-Броко. второй — ещё две дроби:

0 112 1.

1' 2' 1'1' 0' и так далее.

Всю совокупность добавлений можно представить в виде бинарного дерева (см. рис. 1). В этом дереве каждая несократимая дробь встречается ровно один раз. Поддерево дерева Штерна-Броко, содержащее только рациональные числа из отрезка [0,1], называется деревом Фарея. Последнее время дерево Фарея широко используется в теории динамических систем (см., например, [9] и библиографию оттуда).

Последовательность (ряд) Фаре я J~n порядка п — это возрастающий набор рациональных чисел со знаменателями, не превосходящими п, из отрезка [0,1]. Запишем ее в виде {0 = т = 1}.

Перечислим некоторые свойства последовательностей Фарея.

I. Количество элементов в последовательности Фарея Тп есть п.

Fn = 1 + ?>(*)> k=1 где ip (k) — функция Эйлера.

II. Для предельной функции распределения последовательностей Фарея очевидно равенство lim —— = х. п->+оо.

III. Известная теорема Дж. Франеля [10] гласит, что знаменитая гипотеза Б. Римана о нулях дзета-функции эквивалентна утверждению о том, что и 2.

ELi Ф).

½.

Ое (гГ½+?) (Ve>0).

Этот результат обобщался многими математиками. Здесь мы упомянем ставшую классической работу Э. Ландау [11], а также недавнюю работу С. Б. Стечкина [12].

IV. Упомянем теоремы Р. Холла [13] об асимптотиках для моментов разбиений отрезка [0,1] дробями Фарея. Пусть 0 = Хо-П < Х^п < • • • < х^(п), п = 1 — некоторые точки в [ОД], pi>n = Xi, n — xi-i, n, i = 1,. ¦, N (п) — длины интервалов [xi-itn, XitJl). Для фиксированного [3 положим.

N (n) хо, п, Xhn,. .. , XN{n)jTl) = pinг=1.

Очевидно, что.

Cl {х0,п, х1, п, • • ¦, XN{n), n) = СТО (х0,п, х1, п,. , xN (n), n) = N (п) для любого разбиения Xq-TI, Xi)7l,., х^(п), пВ 1970 году Р. Холл в своей работе [13] получил следующие асимптотические формулы для величины ар для последовательностей Фарея: Теорема А.. 12 1 (У2 К-Гп) = —2~2.

1,. С'(2) log п + - + 7 —.

2 ' С (2) о log п где 7 — константа Эйлера, ((s) — функция Римана. Теорема В.

Для любого целого (3 > 3 о" /? = Кр—з + О log п пР п¹ где в — 0 при (3 > 3 и в = 1 при j3 = 3, и к о^-1).

Теорема С.

Для любого целого (3 > О.

СТ-Р {Гп) = К-рп2² + О logn), где к 6/i т —.

7Г2 (Р+1)2 (2(3 + 2)! J '.

Отметим, что этот результат многократно обобщался и усиливался в работах самого Р. Холла [14], Р. Холла и Ж. Тененбаума [15], С. Канемицу [16], С. Канемицу, Р. Сита Рама Чандра Рао, А. Сива Рама Сарма [17] и других.

Теперь мы дадим определение последовательностей Штерна-Броко и перечислим их некоторые свойства, подобные свойствам последовательностей Фарея из пунктов I — IV выше.

Последовательностью Штерна-Броко порядка п называется возрастающий набор Fn рациональных дробей из [0,1], определяемый индуктивным образом. Пусть и.

Fn+i — Fn U Qn+ъ где Qn+i — возрастающая последовательность медиант соседних дробей в Fn.

Хорошо известно, что для последовательностей Штерна-Броко порядка п сумма неполных частных в представлении в виде цепной дроби не превосходит п.

I. Количество элементов в го-ой последовательности Штерна-Броко есть.

Fn = 2п~1 + 1.

II. Предельной функцией распределения последовательностей Штерна-Броко является известная функция Минковского ?(х).

Определение функции Минковского состоит в следующем:

0) = 0,?(1) = 1- зд.

Рис. 2: Функция Минковского. если значение функции определено для соседних дробей в какой-либо последовательности Штерна-Броко Fn порядка п, то далее на отрезке [0,1] функция Минковского определяется по непрерывности. Как уже отмечалось, эта функция была введена Г. Минковским в [7]. Обозначение ?(х) принадлежит Минковскому. Согласно результату А. Дан-жуа [8], если известно разложение иррационального ж € [0,1] в регулярную цепную дробь х — [0- а,., at,.], то.

1 1 f-l)n+1.

7(х) — ——h + Vu 2ai1 2ai+a2″ ~1 2ai±+a"1.

Функция Минковского является монотонной и непрерывной на отрезке [0,1]. Согласно теореме А. Лебега она почти всюду дифференцируема. Более того, известно [18], что ее производная почти всюду равна нулю и что она мо-же принимать (в несобственном смысле) только два значения — 0 или +оо. Функция Минковского удовлетворяет условию Липшица [19].

Особо отметим, что недавно Дж. Парадиз, П. Виадер и Л. Бибилони доказали следующую теорему [20]: Теорема D.

1. Если для вещественного иррационального х? (0,1) в разложении в цепную дробь х — [0- а,., at,.] с кi = 1.388+ выполнено неравенство ai +. + at iim sup-< к t—>oo t и производная ?'(ж) существует, то = +оо.

2. Пусть /сз = 5.319+ есть корень уравнения 2^g^ — х = 0. Если для вещественного иррационального х € (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0- ai,., at,.] выполнено неравенство а±- +. + at 11 m mi-г ^ «з, t—>оо t и производная существует, то V (x) = 0.

Следует отметить, что согласно теореме А. Я. Хинчина [2], для почти всех вещественных чисел выполнено, а +. + ап lim ———= +00,.

71—>0О П так что первая часть упомянутой теоремы трех авторов касается поведения производной функции Минковского на множестве меры нуль.

III. Если обозначить за т (х) функцию, обратную к функции Минковского ?(ж), и положить д (х) = (:т{х) — х)2, / g (x)dx, Jo то будет выполнено.

Е (йп-^У = 2 «-Л + 0П, |<9"|<4. з=1 ^ ' где? j>n (j = 0,1,., 2П) — последовательность Штерна-Броко. Этот результат непосредственно вытекает из неравенства Коксмы ([21], стр. 157) и того факта, что полная вариация функции д (х) не превосходит 4:

IV. Н. Г. Мощевитин и А. Жиглявский в 2004 году в работе [22] для моментов разбиений отрезка [0,1] последовательностями Штерна-Броко получили следующее асимптотическое равенство: Теорема Е.

Для любого j3 > 1 (F) — 2 С (2/?~1), п (bgn р { п) пР С Ш nU3+i)W-i)/W)) ' где С (s) ~ ('-функция Римана.

Отметим, что в работе [23] доказано, что для любого /3 < 1 при достаточно больших п имеет место неравенство.

Fn) > Cejn, где С и 7 — некоторые положительные константы. Многомерные обобщения имеются у Н. Г. Мощевитина и М. Виелхабера [24, 25].

В настоящей диссертации исследуются свойства функции Минковского ?(ж) и последовательностей Штерна-Броко. Диссертация состоит из двух глав.

В первой главе мы уточняем процитированную выше теорему D и доказываем следующий неулучшаемый результат.

Для j € N обозначим.

Aj — —-, Lj = In Aj — j • j + Vf+4 r x. In2 2.

Здесь j < Xj < j + 1. Отметим, что.

L2> L3> LI> L4 > 0 > L5 > L6>. (1).

Нам понадобятся константы.

21nAi< «4L5 — ЬЬл м, , .

KI = -ьГ = ш ' К2 = = 4'401 (2).

Теорема 1.1.

1. Если для вещественного иррационального х G (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0- а,., at,.] с определенным выше, выполнено неравенство, а +. + at limsup-< t->0О t то ?'(ж) существует и ?'(х) = +оо.

2. Для любого положительного е найдется квадратичная иррациональность х такая, что для нее ai +. + at Jim-^ к + е.

0о t.

U ?{х) = 0. Теорема 1.2.

1. Если для вещественного иррационального х? (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0- а,., at,.] с определенным выше, выполнено неравенство liminf 1 ^-——- > К2, (3) t—>00 t то ?'(х) существует и ?'(ж) = 0.

2. Для любого положительного е найдется квадратичная иррациональность х такая, что для нее ах +. + at lim-^ к2 —? f—юо t и ?'(ж) = +00.

Кроме этого, мы доказываем следующий результат. Теорема 1.3.

Если в разложении иррационального числа х = [0- а,., at, ¦•¦] в непрерывную дробь все неполные частные dj не превосходят 4, то ?'(ж) = оо.

Отметим, что доказательство использует результат И. Д. Кана [26] о сравнении континуантов.

Во второй главе диссертации мы уточняем асимптотическое равенство Мощевитина-Жиглявского для моментов разбиения, порожденного последовательностями Броко, и доказываем следующий результат. Теорема 2.1.

Для любого /3 > 1 выполнено где Ck (/5), 1 ^ к ^ 2/? — 2 — С*к{Р), 0 ^ к ^ Р — 2 ~ некоторые положительные константы, зависящие от (5 .

Доказательство теоремы 2.1 опирается на вспомогательный результат, который может иметь самостоятельный интерес.

Пусть, А — множество всех целых векторов, а — (ai,., a^), t ^ 1, a* ^ 2 и.

Ai = {a = (ai,., at) е Aai ———-at = n}.

Каждому a = (a,., at)? А сопоставим цепную дробь [0- a,., at] (так как целая часть всегда равна нулю, для краткости будем ее обозначать [а,., at]).

7/3 Ш = n2/3+k + I п3Р~2.

1 f log^ п aj > 1, j = 1,., t — 1. Пусть и соответствующий континуант (а,., at), пустой континуант равен 1, -1-й континуант равен 0. Рассмотрим сумму с фиксированным /3 > 1. Теорема 2.2.

Для любого (3 > 1 с некоторыми эффективными константами С’к, зависящими от (3, выполнено неравенство.

1 (((20−1) 0/С (2/?-1)У, ^ 1 ^/log4″ ^.

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

1. XIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (МГУ, 2006),.

2. «Analytical and Combinatorial Methods in Number Theory and Geometry» (МГУ, 2006),.

3. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством А. А. Карацубы, Н. Г. Мощевитина, Ю. В. Нестеренко в 2006, 2007 гг.,.

4. Научно-исследовательский семинар «Тригонометрические суммы и их приложения» под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова в 2005, 2006, 2007 гг.,.

5. Научно-исследовательский семинар «Математические вопросы кибернетики» под руководством О.М. Касим-Заде в 2007 г.

Благодарности.

Автор хочет поблагодарить научного руководителя проф. Н. Г. Мощевитина за неоценимую помощь в подготовке диссертации, а также коллектив кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ во главе с член корр. РАН Ю. В. Нестеренко за создание творческой атмосферы.

1. О. Perron, «Die Lehre von den Kettenbruechen.» // Stuttgart (1957).

2. А. Я. Хинчин, «Цепные дроби.» // M.: Физматлит (I960).

3. J. Farey, «On a Curious Property of Vulgar Fractions.» // London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 47, p. 385 (1816).

4. E. Landau, «Primzahlen» // Zwei Bd., Ilnd ed., with an Appendix by Dr. Paul T. Bateman, Chelsea, New York (1953).

5. M.A. Stern, «Uber eine zahlentheoretische Funktion.» // J. reine angew. Math. 55, pp. 193 220 (1858).

6. A. Brocot, «Calcul des Rouages par Approximations» // Nouvelles Methodes., Paris (1892).

7. H. Minkowski, «Zur Geometrie der Zahlen.» // Gesammelte Abhandlungen vol.2 (1911), pp. 50 51.

8. A. Denjoy, «Sur quelques points de la theorie des fonctions.» // CR Acad. Sci. Paris, 194 (1932), pp. 44 46.

9. J.C. Lagarias, C.P. Tresser, «A walk along the branches of the extended Farey tree.» // IBM Journal of Research and Development, Vol. 39, No.3, pp. 283 -294 (1995).

10. J. Franel, «Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers» // Gottinger Nachrichten (1924).

11. E. Landau, «Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel.» // Gottinger Nachrichten, pp. 202 206 (1924).

12. С. Б. Стечкин, «Ряды Фарея» // Матем. заметки, том 61, вып.1 (1997) стр. 91−113.

13. R.R. Hall, «A note on Farey series.» // J. London Math Soc.(2) 2 (1970), pp. 139 148.

14. R.R. Hall, «On consecutive Farey arcs II» // Acta Arith. 66 (1994), pp. 1 9.

15. R.R. Hall and G. Tenenbaum, «On consecutive Farey arcs» // Acta Arith. 44 (1984), pp. 397 405.

16. S. Kanemitsu, «On some sums involving Farey Fractions.» // Math. J. Okayama Univ. 20, pp. 101 113. (1978).

17. S. Kanemitsu, R. Sita Rama Chandra Rao and A. Siva Rama Sarma, «On some sums involving Farey Fractions I.» // J. Math. Soc. Japan 34 (1982), pp. 125 142.

18. A. Denjoy, «Sur une fonction r elle de Minkowski» // J. Math. Pures Appl. vol. 17 (1938) pp. 105 155.

19. J.R. Kinney, «Note on a singular function of Minkowski.» // Proc. Amer. Math. Soc. 11 (1960), pp. 788 789.

20. J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni, «The derivative of Minkowski’s ?(x) function.» // J. Math. Anal, and Appl. 253 (2001), pp. 107 125.

21. JI. Кейперс, Г. Нидеррейтер., «Равномерное распределение последовательностей.» // М.: Наука (1985).

22. N. Moshevitin, A. Zhigljavsky, «Entropies of the partitions of the unit interval generated by the Farey tree.» // Acta Arithmetica 115.1 (2004), pp. 47−58.

23. M. Kessebohmer, В. O. Stratmann, «Stern-Brocot pressure and multifractional spectra in ergodic theory of numbers.» // Stochastics and Dynamics, Vol.4, No. 1, (2004), pp. 77−84.

24. M. Виелхабер, H. Г. Мощевитин, «Асимптотики для двумерных сетей Фарея-Броко.» //Доклады Академии Наук, том 416, N1, (2007) стр. 11−14.

25. N. Moshchevitin, M. Vielhaber, «Moments for generalized Farey-Brocot partitions.» // Functiones Et Approximatio, XXXVIII, Vol. 2, (2008) pp. 7−33.

26. И. Д. Кап, «Уточнение правила сравнения континуантов.» // Дискретная математика, 2000, Т. 12, Вып. 3. стр. 72 75.

27. R. Salem, «On some singular monotone functions which are strictly increasing.» // Trans. Amer. Math. Soc., 53 (1943), pp. 427 439.

28. J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni, «A new light on Minkowski’s ?(rc) function.» // J. Number Theory., 73 (1998), pp. 212 -227.

29. O. Jenkinson, «On the density of Hausdorff dimension of bounded type continued fraction sets: the Texan conjecture.» // Stochastics and Dynamics (2004), 4, pp. 63 76.

30. T.S. Motzkin, E.G. Straus, «Some combinatorial extremum problems.» // Proc. Amer. Math. Soc. (1956), 7, pp. 1014 1021.

31. E. Lucas, «Theorie des Nombres.» // Gauthiers-Villars, Paris, vol. 1 (1892), pp. 467 475, pp. 508 — 510.

32. P. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, «Конкретная математика. Основание информатики.» // М.: Мир, (1998).Работы по теме диссертации:

33. Душистова А. А. О разбиении отрезка 0,1], порожденном последовательностями Броко. // Математический сборник, 2007, № 5, Том 198, стр. 65−94.

34. Душистова А. А., Мощевитин Н. Г. О производной функции Минковского? (ж). // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 02.11.07 № 1018-В2007, 14 с.