О предельных множествах дискретных динамических систем на разветвленных континуумах

Актуальность темы

Общая теория динамических систем обязана своим зарождением классическим работам А. Пуанкаре [1] -[2], А. М. Ляпунова [3], Дж. Биркгофа [4]. При решении как локальных, так и глобальных задач качественной теории дифференциальных уравнений эффективно используется метод секущих поверхностей Пуанкаре-Биркгофа, в дальнейшем оформившийся в интенсивно развивающуюся теорию дискретных динамических систем. Значительный вклад в развитие теории дискретных динамических систем внесли Д. В. Аносов, С. X. Арансон, В. И. Арнольд, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, В. Ф. Лазуткин, Ю. И. Ней-марк, Р. В. Плыкин, Е. А. Сатаев, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, Л. П. Шильников, Р. Вильяме, Ш. Ньюхаус, С. Смейл и др. Метод секущих поверхностей был введен в теорию автоматического регулирования и теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым [5]. В частности, применение указанного метода к исследованию колебаний скрипичной струны, возбуждаемых смычком [б], гидротарана [7], двухпозиционного регулятора температуры печи [8], электромагнитного прерывателя [9], виброударника д ля забивки шпунта и свай [10] и др. приводит к изучению разрывного отображения прямой в прямую.

Особая роль дискретных динамических систем, заданных на прямой, отрезке, окружности, связана не только с тем, что они возникают в прикладных задачах, но и с тем, что такие системы иллюстрируют эффекты, наблюдающиеся в системах с непрерывным временем в более высоких размерностях. Как показали результаты работ Н. Н. Леонова [11], [12], А. Н. Шарковского [13] -[17], М. И. Малкина [18], [19], Л. С. Ефремовой [20], [21], Л. Алсе-ды и Дж. Либре [22], [23], Л. Блока и М. Мисюревича [24] - [26], Л. Джонкера и Д. Рэнда [27], [28], 3. Нитецки [29], [30], М. Якобсона [31] и др. динамика систем подобного рода оказывается чрезвычайно сложной.

Естественным шагом на пути обобщения теории, относящейся к динамическим системам на отрезке и окружности, является переход к изучению дискретных динамических систем, заданных на одномерных разветвленных континуумах. В 90-х годах появилось значительное количество работ, посвященных непрерывным отображениям конечных графов и, в частности, конечных деревьев (см., например, [32] - [42]). Потребности нелинейной физики [43], коллоидной химии [44], нейрофизиологии [45], а также достижения фрактальной геометрии и комплексной динамики [46] приводят к рассмотрению дискретных динамических систем на дендритах, т. е. локально связных континуумах, не содержащих подмножеств, гомеоморфных окружности. Примером дендрита со счетным множеством точек ветвления служит бифуркационная диаграмма бифуркаций удвоения периодов при увеличении параметра Л от 1 до Л* (Л* «3,569) для отображения у — Аж (1 — ж), где х е [0,1] [47]. Дендрит появляется и как множество Жюлиа для отображения г г2 + 1 иэ, комплексной плоскости (1 — мнимая единица) [46].

Так как дендрит не является линейно упорядоченным континуумом и допускает счетное множество точек ветвления, то исследования дискретных динамических систем на дендритах наталкиваются на серьезные технические трудности. Поэтому здесь имеются лишь отдельные результаты. Так, в [48] доказана теорема существования неподвижной точки непрерывного отображения дендрита в себя, в [49] приведены некоторые оценки топологической энтропии, в [50] указан пример разветвленного континуума и такого немонотонного отображения на нем, центр которого не совпадает с замыканием множества периодических точек, в [51] исследована глубина центра, в [52] введено понятие простейшего отображения дендрита в себя и доказаны теоремы о структуре множеств периодических, а>-предельных и неблуждающих точек.

Таким образом, является актуальной задача исследования дискретных динамических систем на дендритах со счетным множеством точек ветвления, которой и посвящена настоящая работа. В диссертации выделен класс дендритов, являющийся наиболее естественным обобщением класса конечных деревьев. Будем говорить, что дендрит X принадлежит классу I), если выполнены следующие условия:

1) множество В>{Х) точек ветвления дендрита X замкнуто;

2) порядок огёх каждой точки х € ЩХ) конечен.

Цель работы состоит в изучении структуры основных предельных множеств (множеств периодических,^{-предельных} точек, неблуждающего множества, центра) динамических систем, заданных на дендритах класса I).

Методы исследования. В работе применяются методы теории динамических систем и, в частности, одномерной динамики, методы функционального анализа и топологии.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться к исследованию динамических систем на разветвленных континуумах более сложной структуры, а также могут быть использованы при изучении задач нелинейной физики, коллоидной химии и др.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. А. Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями// Классики естествознания, ГИТТЛ, 1947.

2. А. Пуанкаре. Избранные труды, т. 1,11. М: Наука, 1972.

3. А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., ГИТТЛ, 1950, с. 1 359. Первое издание сочинения: Харьков, 1892.

4. Дж. Биркгоф. Динамические системы. М. — Л.: Гостехиздат, 1941.

5. А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

6. А. А. Витт. К теории скрип и иной струны// Журн. тех. физ., 1936, т. 6, 9, с. 1459 1479.

7. А. А. Андронов, Г. В. Аронович. К теории гидравлического тирана// Инженерный сб. Института механики АН СССР, 1954, т. 20, с. 3 13.

8. А. С. Алексеев. Двухпозиционный регулятор температуры с зоной опережения// Труды ГИФТИ и радиофака, 1957, т. 35.

9. Н. А. Фуфаев. Теория электоромагнитного прерывателя// Сб. памяти А. А. Андронова, Изд. АН СССР, М, 1995, с. 334.

10. J1. В. Беспалова. К теории виброударного механизма// Изв. АН СССР, сер. техн., 1957. 5, с. 3 14.

11. Н. Н. Леонов. О точечном преобразовании прямой в прямую// Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1959, т. 2, 6, с. 942 956.

12. Н. Н. Леонов. О разрывном кусочно-линейном точечном преобразовании прямой в прямую// Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1960, т. 3, 3, с. 496 507.

13. А. Н. Шарковский. Сосуществование циклов непрерывного преоразования прямой в себя// Укр. мат. журн., 1964, 1, с. 61 71.

14. В. В. Федоренко, А. Н. Шарковский. Непрерывные отображения интервала с замкнутым множеством периодических точек// Исследования дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1980, с. 137 145.

15. А. Н. Шарковский. О притягивающих и притягивающихся множествах// ДАН СССР, 1965, т. 160, 5, с. 1036 1038.

16. А. Н. Шарковский. О проблеме изоморфизма динамических систем// Труды V Международной конференции по нелинейным колебаниям (25 августа 4 сентября 1969), Киев: Науч. думка, 1970, т. 2, с. 541 — 545.

17. О. М. Шарковский. Неблуждаюч1 точки та центр неперервно-го вщображення прямо1 в себя// Доп. АН УРСР, 1964, 7.

18. М. И. Малкин, Периодические орбиты, энтропия и множества вращения непрерывных отображений интервала// Укр. ма-тем. журн., 1983, т. 35, 3, с. 327 332.

19. M. И. Малкин. О непрерывности энтропии разрывных отображений интервала// Межвуз. сб.: Методы качеств, теории диф. уравнений, Горький, 1982, с. 35 48.

20. Л. С. Ефремова. Периодические орбиты и степень непрерывного отображения окружности// Дифференциальные и интегральные уравнения, Горький: ГГУ, 1978, 2, с. 109 115.

21. Л. С. Ефремова. Отношение периодов, отличное от степени двойки, приводит к хаосу на окружности// УМН, 1985, т. 40, выпуск 1 (241), с. 197 198.

22. L. Alseda, J. Llibre. A note on the set of periods for continuous maps of the circle which have degree one// Proc. Amer. Math. Soc., 1985, т. 93, 1, p. 133 138.

23. L. Alseda, J. Llibre, R. Serra. Minimal periodic orbits for continuous maps of the interval// Trans. Amer. Math. Soc., 1984, 286, p. 595 627.

24. L. Block. Homoclinic points of mapping of the interval// Proc. Amer. Math. Soc., 1978, V. 72, p. 576 580.

25. L. Block, J. Gukenheimer, M. Misiurewicz, L. Young. Periodic points and topological entropy of one-dimensional maps// Lecture Notes in Math, 1980, V. 819, p. 18 34.

26. M. Misiurewicz. Structure of mapping of the interval with zero entropy// Preprint IHES/M/78/279. Bures-sur-Yuette (France), In-t des Hautes Etudes Scientifiques, 1978, 13 p.

27. L. Jonker, D. Rand. Bifurcations in one Dimention I, II// Invent. Math., 1981, V. 62, p. 347 365- V. 63, p. 1 — 16.

28. L. Jcmker, D. Rand. Periodic orbits and kneading invariants// Proc. Lond. Math. Soc., 1979, V. 39, 3, p. 428 450.

29. Z. Nitecki. Topological Dynamics of the Interval// Progr. Math., 1982, V. 21, p. 1 73.

30. Z. Nitecki. Maps of the interval with closed periodic set// Preprint, Tufts University Medford, Mass. 2 155, 1980.

31. M. В. Якобсон. О гладких отображениях окружности в себя// Матем. сб., 1971, т. 85, 2, с. 163 188.

32. L. Alseada, J. Llibre, М. Misiurewicz. Periodic orbits of maps of Y/f Trans. Amer. Math. Soc., 1989, Y. 313, 2, p. 475 538.

33. L. Alseada, X. Ye. No division and the set of periods for tree maps// Ergod. Th. к Dynam. Sys., 1995, V.15, p. 221 234.

34. J. Llibre, M. Misiurewicz. Horseshoes, entropy and periods for graph Maps// Topology, 1993, V. 32, p. 649 664.

35. A. M. Blokh. Periods implying almost all periods for tree maps// Nonlineaxity, 1992, 5, p. 1375 1382.

36. St. Baldwin. An extension of Sarkovskii’s theorem to the п-od// Ergod. Th. к Dynam. Sys., 1991, V. 11, p. 249 271.

37. L. Alseda, J. Llibre, M. Misiurewicz. Low-dimensional combinatorial dynamics// International J. Bifurcation к Chaos, 1999, V. 9, 9, p. 1687 1704.

38. St. Baldwin, J. Llibre. Periods of maps on trees with all branching points fixed// Ergod. Th. к Dynam. Sys., 1995, V. 15, p. 239 -246.

39. M. Barge, В. Diamond. The dynamics of continuous mappings of finite graphs through inverse limits// Trans. Amer. Math. Soc., 1994, V. 344, 2, p. 773 790.

40. X. Ye. The center and the depth of the center for a tree map// Bull. Austral. Math.Soc., 1993, V. 48, p. 347 350.

41. X. Ye. No division and the entropy of tree maps// Int. Jon. Bifurcation & Chaos, 1999, V. 9, 9, p. 1859 1865.

42. L. Alseada, N. Fagella. Dynamics on Hubbard trees// Fundam. Math., 2000, У. 164, 2, p. 115 141.

43. Фракталы в физике. Пер. с англ./ Под редакцией Синая, Ха-латникова. М.: Мир, 1988.

44. А. М. Затевалов, В. И. Ролдугин, И. А. Туторский. Диффузионно-контролируемая агрегация частиц вблизи фрактальных поверхностей// Коллоидный журнал, 2000, т. 62, 4, с. 729 732.

45. А. М. Гутман. Биофизика внеклеточных токов мозга// М.: Мир, 1980, 184 с.

46. Х.-О. Пайтген, П. X. Рихтер. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем// Пер. с англ. М.: Мир, 1993, — 176 с.

47. Ю. С. Барковский, Г. М. Левин. О предельном канторовом множестве// УМН, 1980, т. 35, с. 201 202.

48. W. Ayres. Some generalizations of the scherrer fixed point theorem// Fund. Math., 1930, V. 16, p. 332 336.

49. Sh. Li, X. Ye. Topological entropy for finite invariant subsets of Y// Trans. Amer. Math. Soc., 1995, V. 347, 12, p. 4651 4661.

50. H. Kato. A Note on periodic points and reccurent points of maps of dendrites// Bull. Austral. Math. Soc., 1995, V. 51, 3, p. 459 -461.

51. H. Kato. The depth of centres of map on dendrites// J. Austral Math. Soc. (Series A), 1998, V. 64, p. 44 53.

52. M. И. Войнова, JI. С. Ефремова. О динамике простейших отображений дендритов// Мат. Заметки, 1998, т. 63, 2, с. 183 -195.

53. Л. С. Ефремова, Е. Н. Махрова. О динамике монотонного отображения п-ода// Математика. Известия ВУЗов, 1997, 10, с. 31 36.

54. Л. С. Ефремова, Е. Н. Махрова. О динамике монотонных отображений дендритов// Матем. Сб., 2001, т. 192, 6, с. 15 30.

55. Е. Н. Махрова. Об одном примере кусочно монотонного отображения дендрита// Аналитические и численные методы в математике и механике. Труды XXII Конференции механико-математического факультета МГУ (17 22 апреля, 2000 г.), Москва, 2001, с. 112 — 114.

56. Л. С. Ефремова, Е. Н. Махрова. О динамике монотонного отображения п-ода/ / III Международная конференция женщин-математиков, 28 мая 2 июня, 1995, Воронеж, с. 21.

57. L. S. Efremova, Е. N. Makhrova. Strange mappings of dendrites with countable ramification points set// Dynamics Days, Seventeenth Annual Informal Workshop, July, 10 July, 13,1996, France, Abstracts, p. 63.

58. L. S. Efremova, E. N. Makhrova. On dynamics of monotone mappings of dendrites// International Conference Dedicated to the 90-th Anniversary of Pontryagin, August, 31 September, 6, 1998, Moscow, Abstracts. Differentional Equations, p. 31 — 32.

59. L. S. Efremova, E. N. Makhrova. On the structure and dynamics of the finite trees monotonic mappings// Труды III Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», 5 12 сентября, 1998, Саранск, с. 135 — 136.

60. Е. N. Makhrova. On some continuous mappings of dendrites with closed set of periodic points// Труды IV Крымской Международной школы «Метод функций Ляпунова и его приложения», 5−12 сентября, 1998, Крым, с. 78.

61. Л. С. Ефремова, Е. Н. Махрова. О кусочно монотонных отображений дендритов с замкнутым множеством периодических точек// Труды IV Крымской Международной школы «Метод функций Ляпунова и его приложения», 5−12 сентября, 2000, Крым, с. 69.

62. L. S. Efremova, Е. N. Makhrova. On homoclinic points of piecewise monotone mappings of dendrites// International Conference Dedicated to the 100-th Anniversary of A. A. Andronov, July, 2 6, 2001, N. Novgorod, Abstracts, p. 61 -62.

63. К. Куратовский. Топология// М.:" Мир", 1969, т. 2.

64. Дж. Биркгоф. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом «Удмурский университет», 1999, 408 с.

65. М. Levin. Hyperspaces and open monotone maps of hereditarily indecomposable continua// Proc. Amer. Math. Soc., 1997, V. 125, 2, p. 603 609.

66. Smith Hal L. Monotone dynamical systems: An introduction to the theory of competitive and cooperative systems// Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 1995, vol. 10.

67. L. Block, D. Hart. Stratification of the space of unimodal interval maps// Ergod. Th. к Dynam. Sys, 1983, 3, p. 533 539.

68. L. Jonker, D. Rand. Bifurcations of unimodal maps of the unit interval// C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canad, 1979, V. 1, 4, p. 179 181.

69. L. Jonker, D. Rand. Bifurcations in one dimension. I: The nonwandering set, II. A versa! model for bifurcations// Inventiones Math., 1981, V. 63, 4, p. 1 15.

70. Z. Nitecki. Periodic and limit orbits and the depth of the center for piecewise monotone interval maps// Proc. Amer. Math. Soc., 1980, V. 80, 3, p. 511 514.

71. Th. Rogers, D. Whitley. Chaos in the cubic mapping// Mathematical Modelling, 1983, V. 4, 1, p. 9 25.

72. L. Jonker. Periodic orbits and kneading invariants// Proc. London Math. Soc., 1979, V. 39, 3, p. 428 450.

73. M. И. Малкин. О топологической классификации кусочно-монотонных отображений интервала// Межвуз. сб.: Методыкачественной теории дифференциальных уравнений, Горький, 1980, с. 186 202.

74. M.-Ch. Li, М. Malkin. Symmetric and Lorenz models for unimodal maps// NCTS Preprints in Mathematics, 2000 3.

75. F. Hofbauer. Local dimention for piecewise monotone maps on the interval// Ergod Th. к Dynam. Sys, 1995, V. 15, 6, p. 1119 1142.