Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками

Диссертация: Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Основной целью исследования явились получение новых условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построение обобщенного решения и получение условий разрешимости в задачах с жестким управлением, а также применение предложенных методов к исследованию задач гидродинамики со свободными границами на основе реализации специального метода фиктивных… Читать ещё >

Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (состояние и анализ проблемы)
    • 1. 1. Основные сведения теории минимизации функционалов и исследования систем с распределенными параметрами
    • 1. 2. Вопросы разрешимости задач оптимального управления распределенными системами
    • 1. 3. Системы оптимальности для задач оптимального управления распределенными системами
  • Краткие
  • выводы и задачи исследования
  • Глава 2. Оптимальное управление в задачах, описываемых уравнениями Навье-Стокса, с неизвестными границами и вариационные задачи с подвижными источниками
    • 2. 1. Постановка и разрешимость вариационных задач, описываемых уравнениями Навье
  • Стокса, с неизвестными границами
    • 2. 2. Необходимые условия разрешимости задачи оптимального управления Стокса с неизвестной 1раницей
    • 2. 3. Разрешимость и система оптимальности в вариационных задачах с подвижными тепловыми источниками
    • 2. 4. Задача об оптимальном управлении скоростью подвижного теплового источника
  • Краткие
  • выводы
  • Глава 3. Численное исследование задач оптимального управления с неизвестными границами и подвижными источниками
    • 3. 1. Методы отыскания неизвестных границ в задачах, описывающих течение идеальных жидкостей
    • 3. 2. Численное исследование течений вязких жидкостей со свободной поверхностью, описываемых уравнениями Стокса
    • 3. 3. Решение задачи оптимального управления потоком тепла от подвижного источника
    • 3. 4. Решение задачи оптимального управления скоростью подвижного теплового источника
  • Краткие
  • выводы

Общая теория оптимального управления распределенными системами, т. е. системами, которые описываются с помощью краевых задач для уравнений с частными производными, изучается на протяжении многих лет, однако эта теория имеет достаточно абстрактный характер и ее применение к конкретным задачам далеко не всегда тривиально. Кроме этого, оно требует достаточной степени изученности управляемой системы, что сильно усложняет поставленную задачу оптимального управления. Эта тематика не теряет своей актуальности из-за разнообразия распределенных систем, описывающих процессы самых различных областей физики, механики, экономики. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими течение вязких жидкостей, а также процессы тепломассопереноса, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих эти физические явления. В этом смысле на первый план выступают вопросы разрешимости задач оптимального управления, а также получение систем оптимальности. Оптимальное управление в задачах с подвижными тепловыми источниками, а также в задачах, связанных с определением форм неизвестных границ, представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач непосредственно связано с процессами производства.

Теория оптимального управления распределенными системами интенсивно изучается на протяжении нескольких десятков лет. Термин «управление» был введен Л. С. Понтрягиным и его учениками [2] для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие задачи долгое время составляли большую часть исследований в теории оптимального управления. Периоду строгих математических исследований в теории оптимального управления распределенными системами предшествовало изучение прикладных задач оптимального управления [14,26]. Одной из первых книг по математической теории оптимального управления распределенными системами была книга Ж.-Л. Лионса [33].

В настоящее время все больше исследуются задачи оптимального управления, использующие функциональные уравнения [3−8,15,22−24,57,5960,62−67,74−75], в том числе дифференциальные уравнения с частными производными. Кроме того, теория оптимального управления системами, которые описываются функциональными уравнениями, сопровождается более систематическим использованием понятий и методов функционального анализа. В настоящее время при решении задач оптимального управления в основном пользуются общими методами абстрактного функционального анализа, теории выпуклого и вариационного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов.

Приведем краткое содержание диссертационной работы. В первой главе рассмотрены основные вопросы, касающиеся постановок и разрешимости задач оптимального управления распределенными системами в общем виде, приведена классификация, связанная с различными видами целевых функций и типов управлений, приведены соответствующие определения, утверждения и теоремы, касающиеся разрешимости и единственности. Во второй главе получены условия разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построено обобщенное решение и получены условия разрешимости в задачах с жестким управлением. Так, исследованы некоторые задачи гидродинамики со свободными границами, сводящиеся к задачам оптимального управления. Для нахождения неизвестной области и состояния системы в этой области поставленная задача сводится к задаче оптимального управления областью, которая, в свою очередь, сводится к задаче граничного или распределенного управления (управление является жестким) в уже известной области, но на абстрактном и малоизученном классе функций. Трудность поставленной задачи состоит и в том, что целевая функция полученной задачи граничного управления зависит от границы неизвестной области. В работе доказано существование оптимального управления в достаточно широком классе областей с ограниченным периметром, при котором на свободной поверхности выполняются некоторые условия. Получены необходимые условия задачи минимизации целевого функционала. Кроме того, доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником. Задача сведена к линейной относительно функции управления задаче с распределенным управлением и распределенным наблюдением с компромиссной целевой функцией.

В третьей главе построены алгоритмы отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация задач, исследуемых во второй главе.

В заключении сформулированы следующие основные результаты диссертационной работы.

На защиту выносятся:

1) Новые условия разрешимости краевых вариационных задач со свободными границами с жестким управлением и соответствующие необходимые условия;

2) условия разрешимости и система оптимальности в сильной форме для задачи ОУ с подвижным тепловым источником;

3) решение задач оптимального управления с неизвестными границами, описываемых уравнениями Навье-Стокса, сравнение полученных результатов с известными;

4) решение оптимизационной системы задачи с подвижным тепловым источником, реализация метода градиентного спуска минимизации функционала.

Заключение

.

В последнее время проблемы оптимизации систем, состояния которых описываются дифференциальными уравнениями, приобрели большое значение с теоретической и практической точек зрения. В настоящей работе рассматриваются системы, описываемые уравнениями в частных производных (системы с распределенными параметрами). Изучены постановки задач оптимального управления в областях, часть границ которых неизвестна. Предложен метод, согласно которому они могут быть найдены в ходе решения задачи оптимального управления. При этом вариационная задача ставится как задача с граничным (стартовым, финальным, распределенным) управлением и граничным наблюдением. К таким вариационным постановкам приводит ряд задач гидродинамики, таких, как задачи о течении жидкости со свободными границами.

Основной целью исследования явились получение новых условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построение обобщенного решения и получение условий разрешимости в задачах с жестким управлением, а также применение предложенных методов к исследованию задач гидродинамики со свободными границами на основе реализации специального метода фиктивных областей, а также задач теплопроводности с подвижными источниками. Построение алгоритмов отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация ряда исследуемых задач.

В работе получены новые условия разрешимости в вариационных задачах определения формы области, получены соответствующие необходимые условия. Разработана и реализована новая методика определения неизвестной границы для краевых задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса, в вариационных постановках. Доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником, приведено соответствующее решение.

Работа носит как теоретический, так и практический характер. Разработанная методика может быть применена для изучения вопросов разрешимости и решения некоторых классов краевых вариационных задач. При этом значимым моментом является постановка задачи моделирования некоторого физического процесса как задачи оптимального управления системой с распределенными параметрами, теоретическое обоснование разрешимости и получение практических результатов. Предложенные в работе подходы могут применяться при решении конкретных задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

Показать весь текст

Список литературы

  1. A. (Acker A.) A free boundary optimization problem // SIAM Journ. of Math. Anal. 1978. #9. P. 1179−1191.
  2. B.M., Тихомиров B.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2002.-320 с.
  3. Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории тепломассопереноса//Журн. вычислительной математики и мат. физики. 2002. Т. 42, № 3, С. 380−394.
  4. Г. В. Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости // Сиб. мат. журнал. 2004. Т.45. № 2. С. 243−262.
  5. Г. В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журнал. 1998. Т.39. № 5. С. 982−998.
  6. Г. В., Смышляев А. Б., Терешко Д. А. Разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса при смешанных краевых условиях // Журн. вычислительной математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 1, С. 84−98.
  7. В. (Allard W.) On the first variation of a varifold // Ann. Math, 1972.V.95. P.417−491
  8. М.Ю. Методы глобальной минимизации для некоторых классов обобщенно-выпуклых функций. М.: Наука, 2001. — 270 с.
  9. С.Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. — 324 с.
  10. В. (Barbu V.) The time optimal control of Navier-Stokes equation // Sistem Control Lett., 30,1997, P. 93−100
  11. A. (Bensoussan A.) Perturbation methods in optimal control, Gauthier-Villars, Paris, 1988.-335 p.
  12. В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления // Дифференциальные уравнения и процессы управления (электронный журнал http://www.neva.ru/journal) № 1,2004, С. 28−123.
  13. А.Г., Бабачев А. В., Похьолайнен С. К единой геометрической теории управления. М.: Наука, 2001. — 352 с.
  14. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. — 474 с.
  15. Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. — 622 с.
  16. Л.Г. Задача о плоском фонтане тяжелой жидкости // Известия сибирского отделения АН СССР. № 3, вып.1,1976.
  17. . Слабая непрерывность и слабая полунепрерывиость снизу нелинейных функционалов // Успехи мат. наук, 1989, Т.44, вып.4, С. 35−97.
  18. Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир, 1989.-239 с.
  19. А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.-463 с.
  20. Дж. (Zabczyk J.) Mathematical control theory: an introduction. Boston: Birkhauser, 1992.-376 p.
  21. В.И., Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. Киев: Наукова Думка, 1988. — 284 с.
  22. А.А. Асимптотика решений задачи оптимального управления для уравнений Навье-Стокса // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 6. С. 1061−1071.
  23. А.А. Оптимальное граничное управление стационарным течением вязкой неоднородной несжимаемой жидкости // Матем. заметки. 2001. Т. 69. Вып. 5. С. 666−678.
  24. А.А., Чеботарев АЛО О разрешимости смешанной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса // Диф. уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 689−695
  25. А.Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. — 479 с.
  26. Т. (Calerman Т.) Ube rein Minimal-problem der mathematischen physic // Math. Zeitschrift.1918. S. 208−212.
  27. B.T. Энтропийный метод расчета параметров отрывных течений // Механика жидкости и газа, 1997, № 1, с. 122−131.
  28. Корон Ж.-М. (Coron J.-M.) On the controllability of the 2-D incompressible Navier-Stokes equation with the Navier slip boundary conditions // ESIAM Control Optim. Calc/ Var., 1, 1996, P.35−75.
  29. С.Г., Лаптев Г. И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде // Функциональный анализ и его приложения, 1968, т.2., вып.1, с. 40−50.
  30. Г. В. Численные расчеты задач гидродинамики со свободными границами на основе аналитического представления решений // Динамика сплошной среды, вып. VI, Новосибирск, 1970, С. 208−212.
  31. О.А. Математическая теория вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.-235 с.
  32. О.А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. — 132 с.
  33. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. — 387 с.
  34. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М: Наука, 1987. -368 с.
  35. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.-395 с.
  36. Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997. — 280 с.
  37. Е. (Mitsoulis Е.) Extrudate swell in double-layer flows // Journal of reology, 1986, #30, P. 23−44.
  38. С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. — 486 с.
  39. В.А. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. — 420 с.
  40. Л.А. Задача управления границей для эллиптических уравнений // Вестник МГУ, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1998, № 3, с. 7−13.
  41. Л.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами //ДАН СССР, 1984. 278, № 3, с. 541−544
  42. С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.-345 с.
  43. Ю.А., Суэтов А. П. Существование оптимальных форм эллиптических систем // Препринт Уральского отд. АН СССР. Свердловск, 1990, с. 1−9.
  44. П.И. Об одном классе кривых, возникающем в задаче со свободной границей для течений Стокса // Сиб. мат. журнал, 1995, 36, № 3, с. 619−627
  45. П.И. Обобщенные решения задачи о движении неныотоновской жидкости со свободной границей // Сиб. мат. журнал, 1993, 34, № 4, с.127−141.
  46. А.Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики М.: Физматлит, 2005. — 386 с.
  47. В.В. Взаимодействие распределенного источника с плоской свободной поверхностью вязкой жидкости //Механика жидкости и газа, 1996, № 2, с. 53−65.
  48. Е.В. О разрешимости общих краевых задач со свободной границей // Успехи математических наук, 1986, т. 41, вып.5б с. 13−31.
  49. Р., Выпуклый анализ. М., Мир, 1973. — 326 с.
  50. А. С. Теоремы вложения для одного класса функций соболевского типа на метрических пространствах // Сиб. мат. журнал Т. 45, № 2, 2004. С. 452−465.
  51. А.А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы.
  52. Примеры. 2-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с.
  53. С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -М: Наука, 1988. 388 с.
  54. В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1977, Т.41. № 6, с. 1388−1424.
  55. С. (Sritharan S.) An optimal control problem in exterior hydrodynamics // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 121,1992, #1−2, P. 5−32 .
  56. B.H. Разрешимость задачи о движении жидкости с межфазной границей // Математические проблемы динамики неоднородных жидкостей со свободными границами. Дин. сплошн. ср., вып. 95. Сиб. отд. АН СССР, Новосибирск, 1990, с. 114−130.
  57. Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.
  58. В.М. (Tikhomirov V. М.) Fundamental principles of the theory of external problems. Wiley: Chichester, 1986. — 458 p.
  59. A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.-432 с.
  60. К., Пуэль Ж.-П., Зуазуа Э. (С. Farbe, J.-P. Puel, and Е. Zuazua) Approximate controllability of the semilinear heat equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 125,1995, #1, P. 31−61.
  61. Г. О. (H.O. Fattorini) Boundary control systems // SIAM J. Control #6,1968. P. 349−385.
  62. Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. — 324 с.
  63. А.В. (Fursikov A.V.) Real Process Corresponding to the 3D Navier-Stokes System, and its Feedback Stabilization from the boundary, Americn Math. Soc. Transl., 2, v. 206,2002, P. 95−123.
  64. А.В. Некоторые вопросы теории управления нелинейными системами с распределенными параметрами //Труды сем. им. Петровского, № 9,1983, с.167−189.
  65. А.В., (Fursikov A.V.) Certain problems of optimal control of the Navier-Stokes system with distributed control // Optimal control of viscous flow. VI, SIAM, Philadelphia, 1998, P. 109−150.
  66. А.В., Эмануилов O.IO. (Fursikov A.V. and Emanuilov O.Yu.) On approximate controllability of the Stokes system // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2,1993, #2, P. 205−232.
  67. А.В., Эмануилов O.IO. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // УМН, т. 54, № 3, 1999, С. 93−146.
  68. Че Д., Эммануилов О. Ю., Ким С. М. (Chae D., Emanuilov O.Yu. and Kim S.M.) Exact controllability for semilinear parabolic equation with Newmann boundary conditions // J. Dynam. Control Syst., 2, #4,1996. P.449−483.
  69. Чеботарев АЛО. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журнал, 1993,34, № 5 с. 202−213.
  70. А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса// Сиб. мат. журнал, 1995, 36, № 4, с.934−942.
  71. А.Г. Приложения теории меры и задач управления, Свердловск, Средне-Уральское кн. изд., 1985. 336 с.
  72. Д. (Chenaise D.) On the existence of a solution in a domain identification problem // Journ. of Math. Anal, and Appl. 1975. 52. P. 189−219.
  73. И., Темам P. Выпуклый анализ и вариационные проблемы, М., Мир, 1979. 224 с.
  74. Эмануилов 0.10. Граничная управляемость параболических уравнений // Мат. сб., 186, 1995, № 6,109−132.
  75. Эмануилов 0.10. О некоторых задачах оптимального управления, связанных с системой Навье-Стокса//Труды сем. им. Петровского, 15,1991, 108−127.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!