Интегральное исчисление

Задание. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.

а) Используемый прием интегрирования называется подведением под знак дифференциала. Проверим результат дифференцированием.

б) В этом интеграле также используется подведение под знак дифференциала Проверим результат дифференцированием.

в) Для решения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования «по частям». Приведем формулу интегрирования по частям:

В этом интеграле распишем составляющие следующим образом:

Продифференцируем u и проинтегрируем dv чтобы мы могли применить формулу интегрирования по частям:

Подинтегральное выражение есть неправильная рациональная дробь. Необходимо привести ее к сумме правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель.

Вернемся к исходному интегралу:

Проверим результат дифференцированием:

г) интеграл дифференцирование уравнение парабола Подинтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Необходимо преобразовать ее в сумму правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель:

Подинтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Чтобы проинтегрировать её необходимо её представить в виде суммы простейших дробей. Найдем корни знаменателя по теореме Виета Разложим правильную рациональную дробь в сумму простейших методом неопределенных коэффициентов:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов, А и В:

Решая СЛАУ находим значения коэффициентов:

Возвратимся к исходному интегралу:

Результат проверим дифференцированием:

Задание. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.

Перейдем к замене переменных в определенном интеграле:

Задание. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж.

Решение. Площадь области S, ограниченной снизу функцией g (x), сверхуфункцией f (x), слева — вертикальной прямой, справа — вертикальной прямой равна равна определенному интегралу:

Так как мы пока не знаем, какая же из функций является большей на отрезке, построим чертеж. Точки, являются абсциссами точек пересечения графиков этих двух функций.

Как видно из построения парабола лежит выше прямой на отрезке, поэтому:

Абсциссы точек пересечения суть соответственно -6 и -1. Эти значения мы также можем получить решив в системе уравнения двух кривых по теореме Виета имеем:,. Теперь осталось только применить формулу вычисления площади криволинейной области:

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при

Решение: имеем линейное уравнение первого порядка. будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций от х:

Запишем исходное выражение в виде:

Выберем функцию такой чтобы выражение в скобках равнялось нулю:

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим:

Так как выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставим найденное значение в уравнение для определения u.

Таким образом находим общее решение системы Подберем переменную С так чтобы выполнились начальные условия, что будет являться частным решением дифференциального уравнения:

Полученное частное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленным начальным условиям.

Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, при. (,)

Решение: Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка:

Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующего однородного уравнения:

Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, в котором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристического уравнения и по ним определить вид решения.

Характеристическое уравнение в нашем случае есть:

имеет действительные и различные корни:, .

Общий интеграл есть:

Правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:, где — многочлен 0-й степени, ?=2 (не является корнем характеристического многочлена).

поэтому частное решение следует искать в виде:

где — постоянный коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданное уравнение, будем иметь:

Имеем решение. Итак, частное решение нашли в виде:

Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:

Для определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия:

При х=0 функция равна 2

При х=0 первая производная функции равна -1:

Составим систему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде: