Равномерная непрерывность неаддитивных функций множества и их применение к векторному интегрированию

Теория меры и интеграла превратилась к настоящему времени в весьма обширную область функционального анализа, имеющую многочисленные применения в различных разделах математики.

Существует два подхода к определению меры и возможности образования интеграла. Один из них обычно называется «слабой» теорией, в которой векторная мера на локально компактном пространстве Т определяется как непрерывное линейное отображение пространства непрерывных на Т числовых функций в отделимое локально выпуклое пространство X. Интегралом относительно меры называют элемент из X, определяемый формулой/17/.

В «слабой» теории широко применяется теория топологических векторных пространств и, в частности, теория двойственности.

В так называемой «сильной» теории понятие интеграла основывается на понятии меры /21/, /37/, как счетно аддитивной функции множества, определенной на некотором классе подмножеств множества Т. В этш случае одним из основных методов изучения мер является метод мажорирования на меру свойств неотрицательной функции множества, к которой не предъявляется требование аддитивности /см., например, /7/, /13/, /19/" [Ж]/. С функциями множества, не обязательно аддитивными, тесно связаны также теория вероятности /31/ и теория игр [М].

Поэтому в последние годы одним, из главных направлений развития теории меры и интеграла является изучение различных классов неаддитивных функций множества /см, /б/, [ч] % /12/, /13/, /36/, /48/, /52//.

Изучение таких классов функций множества позволяет, с одной стороны, проникнуть в сущность и взаимосвязь изучаемых свойств, с другой — получить ноше результаты в классической теории меры /см., например, /з/, /б/, /8/, /19/, /48//. В связи с этим, в диссертации основное внимание уделено изучению свойств неаддитивных функций множества, а также развиты приложения полученных результатов в теории векторного интегрирования.

Интегрирование векторных функций по отношению к векторной мере было рассмотрено Гавурином. /18/, Бохнером и Тей-лорш /44/. Эти интегралы — типа интеграла Римана — построены по методу так называемого билинейного интеграла, в основе которого лежит векторнозначная билинейная функция, связывающая пространство значений векторной меры с пространством значений интегрирушой векторной функции. Билинейные интегралы типа Лебега были построены Прайс см /58/, риккартом /59/, Дэйем /47/. Аналогичным образом Бартл /41/ построил теорию интеграла лебеговского типа для случая, ковда интегрируемая функция и мера принимают значения из разных линейных нормированных пространств. Основные положения этой теории мы приводим в параграфе 8.

В настоящей работе рассмотрены вопросы предельного перехода под знакш интеграла Бартла.

Необходимо отметить, что теоремы о предельном переходе под знаком интеграла относятся к центральным теоремам каждой теории интегрирования. Они постоянно усовершенствовались и об об пелись по мере развития других отделов математики /см., например, /2/, /9/, /II/, /25/, /3 $/,.

Переходим к более подробному изложению содержания данной диссертации.

Первая глава посвящена изучению равномерной непрерывности функций множества.

В § I приведены основные определения и рассмотрены некоторые свойства функций множества.

В § 2 рассмотрены вопросы о продолжении свойства {РО^/^ с кольца множеств М, М с Я на кольцо Я .

В связи с исследованиями сходимости и компактности функций множества /10/ возникла, необходимость изучения вопроса о сохранении свойства /РА/ /равномерная аддитивность /21//. Впервые импликация => /для РаБН0~ мерно ограниченных мер, заданных С (А.), эде кольцо — счетное, получена в работе Г. Я. Арешкина /1о/. Позднее В. Н. Алексюк /4/ снимает требование счетности кольца множеств Я .

На векторные меры эта импликация обобщена в работах /1^/,.

МЛ.

Однако понятие /РА/ теряет смысл в случае функций множества, которые не обладают свойством счетной аддитивности. Поэтому вместо /РА/ рассматривают, ставшее уже классическим, понятие равномерного отсутствия ускользающей нагрузки /РОУН/, которое впервые было предложено А. Д. Александровым []. Оказалось, что свойства /РА/ и /РОУН/ эквивалентны для мер, заданных на кольце множеств /У. Вопрос о продолжимости свойства (РОЩ для неаддативных функций множества изучался В. М .Климкинш [гч] /для треугольных функций множества/, Г. Я. Арешкинда.и Н.С.1усельниковш /14/ /для /fтреугольных функций множества/. Pix результаты мы распространяем впервые на новые классы функций множества в работе /29/. Дальнейшие обобщения были получены В. Н. Алексюксм /7/ и Д. Д .Рашкиныл /36/.

В настоящей работе рассмотрены вопросы сохранения свойства (РОУН) для широкого класса скальных функций множества, Креме того представлены весьма общие результаты о сконденсированност функций множества и связи этого понятия с /РОУН/.

Основным результатом является следующее утверждение:

Пусть <р — { V} - семейство монотонных равностепенно абсолютно полуаддитивных функций множества, заданных на кольце R,. Если функции множества семейства ф сконденсированы на кольце М С Я, то справедлива импликация.

Исследования этого параграфа применяются далее на протяжении. всей диссертации.

В § 3 изучается равностепенная абсолютная непрерывность последовательности функций множества.

Одним из важнейших результатов в теории функций множества является следующая теорема Витали — Хана — Сакса /21. Ш. 7. 2/:

Пусть (Т^ f ju.) — пространство с мерой, а { A^J последовательность определенных на абсолютно непрерывных относительноуи. векторных или скальных аддитивных функций множества. Если предел (?) существует для каждого? € 'Е, то п Ап (£/=0 равномерно относительно Л — 2,.

Известно, что эта теорема не справедлива для мер, заданных на кольце множеств /51/. В связи с этим мы устанавливаем новые критерии равностепенной абсолютной непрерывности, ^ % ^^, на кольце множеств^, при условии абсолютной непрерывности, на кольце М С Я .

Эти 1фитери&позволила получить следующее обобщение теоремы Витали — Хана — Сакса:

Пусть на 6 — кольце &, порождением кольцом, заданы непрерывные евдзху в нуле скалярные или векторные, то есть со значениями в линейном нормированном пространстве, аддитивные функции множества,^, п и пусть для любого множества? €? Ссуществует предел ¿-¿-¡-п (?). Если.

1. % на кольце Я, п= ?, 2,.

2. функции множества последовательности Чп./ 0б" ладают свойством {С) на /?, то? < !{&) < <

В случае, когда Я = *Р С&-), ^ = 2/ /г — 2 г получаем теорему Витала — 1ана — Сакса в обычной формулировке.

Отадетим, что понятие равностепенной абсолютной непрерывности, имеющее важное значение в теории интегрирования, в случае, коэда М ~? } ^ = I/- п= хорошо изучено в работах /19/, /23/, /45/,.

48/, [Ы]. В общем случае первые достаточные условия получены В. М .Климкинда. для векторных мер /2б/ и полумер /28/, В .А .Алякиныы для полугрупповых мер /8/.

Полученные результаты позволили доказать /см. § 9/ качественно новые теоремы типа Лебега и Витали о предельном переходе под знаксм интеграла Бартла. вторая глава посвящена изучению вопроса ограниченности вариации и полувариации векторных функций множества.

В § 4 известная теорема Сакса /60/ обобщается на класс функций множества, без какой-либо «формы полуаддитивности». Полученное утверждение успешно применяется во всех последующих параграфах данной главы.

В § 5 рассматривается вопрос ограниченности вариации /^р — вариации, см. определение 5.2/ неаддитивной функции множества, заданной на кольце множеств со значениями в ЛВП.

Исследования параграфа 4 позволили установить условия, при выполнении которых ^ - вариация векторной функции множества является ограниченной. Сформулируем этот результат.

Пусть ?: & у атомически стационарная по преднорме? функция множества, А — вариация /У>/ /V — полуаддитивная. Если ^ - вариация /Щ^ функции обладает свойством Сакса на множестве /" <=•, то она конечная на множестве ?

Отсвда легко устанавливаются необходимые и достаточные условия ограниченности ^ - вариации конечно-аддитивной функции множества и векторнозначной меры.

В § 6 получены необходимые и достаточные условия ограниченности полувариации векторной функции множества.

В теории интегрирования функции по векторной мере важную роль играют полувариации /см. определение 6.1/ векторной меры //21/, /35/, /41/, /42//63/.

Известно, что полувариации векторной меры ^ ' У на б" - алгебре^Е относительно пространств X и У не обязательно конечны и не всегда обладают свойством, указанным в известной теореме Бартла — Данфорда — Шварца /21. 1У. Однако наличие таких свойств у полувариаций векторной меры Р 2Е I/ относительно пространств X и.

У существенно улучшает теорию интегрирования векторной функции по векторной мере //&-б/, /41//.

Интенсивное развитие теории функций множества привело к естественной необходимости обобщения теоремы Бартла — Дан-форда — Шварца на классы множеств, которые не являются балгебрами и для векторных функций множества, которые не обладают свойством счетной аддитивности /см., например, /27/, /32//.

В данном параграфе теорема Бартла — Данфорда — Шварца обобщается на случай конечно-аддитивных функций множества, заданных на кольце со значениями в ЛБП. Приведем это обобщение.

Пусть конечно-аддитивная функция множества?: Я У, заданная на кольце Я, имеет конечную (А) — полувариацию. Для того, чтобы существовала конечная положительная аддитивная функция множества Л, А у, такая, что з ' п.

1. Л, А обладает свойством /о. у. н./ на кольце Я.

2. ± //У//Аг/С?).

3. {¿-т. //?>// необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:

1. (А,/) — полувариация М^обладает свойством /о. у. н./ на кольце Я ;

2. Ра — вариации функций множества, семейства.

О /> ф — { х’е обладают свойством .

Также здесь найдены достаточные условия равномерной ограниченности последовательности полувариаций конечно-аддитивных функций множества со значениями в ЛБП.

Полученные результаты находят применения в параграфе 9.

Б § 7 рассматривается свойство Дарбу о множестве значений непрерывной внешней меры. Для неатомических функций множества этот вопрос достаточно подробно исследован //15/, /36/, /50/, /56//. Впервые в работе /б5/ доказана теорема Дарбу для меры, имеющей конечное число атсмов. Однако общеизвестно, какую роль в теории меры и интеграла играет понятие непрерывной внешней меры. В связи с этим установлено, что теорема Дарбу справедлива для непрерывной внешней меры, имеющей конечное число атомов и определенной на классе множеств, замкнутей, относительно конечного объединения и счетного пересечения.

Третья глава посвящена вопросам интегрирования векторной функции по векторной мере.

В § 8 приводятся основные теоремы теории, интегрирования, построенной Бартлсм.

В § 8 изучается проблема предельного перехода под знаком билинейного векторного интеграла Бартла.

Впервые при исследовании: аналитическими методами проблем теории вероятности В. М .Дубровский [22] показал, что если последовательность конечных обобщенных мер сходится на 6 — алгебре ^ к мере Р, а последовательность скалярных измеримых и равномерно ограниченных функций { [п сходится в каждой точке множества Т к функции / №), то / будет интегрируема по мере У и для любого измеримого множества ?

В 1949 году Г. Я. Арешкин [%] ставит следующую проблему: пусть даны функции точки, /п {?) и меры^, причем каждая функция инте1рируема, соответственно, по мере^. Пусть последовательность мер / Ул.} некоторая образш сходится к мере Ф, а последовательность функций к функции. Требуется найти условия, при выполнении которых функция? будет интегрируема по мере? и для любого множества? будет справедливо равенство /I/. Он ввел и изучил сходимость последовательности скалярных функций по мерам / к функции / /см. определение 9.1/, являющуюся аналогом сходимости, по мере.

Г. Я.Арешкин обобщил теорему В. М. Дубровского на случай, когда последовательность скалярных функций {№)} сходится по мерам.

У к пункции //¿-У, а также доказал теорему Витали о предельней переходе под знаком интеграла. Приводим его результат.

Цусть последовательность конечных мер / У*} сходится на 6 — алгебре ^ к мере У, а последовательность /^г конечных измеримых и, соответственно, ^ - суммируемых функций сходится почти всюду относительно меры т к конечной функции Если интегралы последовательности {^ } равностепенно абсолютно непрерывны относительно мер {^п } «то функция У является У — суммируемой и для любого измеримого множества ^ справедливо равенство /I/.

Фактически Г. Я. Арешкин рассматривает сходимость кемплекса / ,) к комплексу / /).

В дальнейшем проблема, поставленная Г. Я. Арешкинда, интенсивно исследуется. Так, например, Кафиеро /46/ формулирует признак предельного перехода под знаком интеграла в терминах равномерной аддитивности. В. Н. Алексюк [2] для случая скалярных функций точки и скалярных мер показывает, что равностепенная абсолютная непрерывность интегралов последовательности { ^ У*} относительно мер {^п! необходима и достаточна для выполнения равенства /I/.

Аналогичный вопрос рассматривался Г. Я. Арешкинда и В. М. Клшдкинш /II/ для случая, когда ^ - обобщенные меры, В. М. Климкиным /25/ для векторных мер, Л. В. Шкериной /40/ для билинейного векторного интеграла Бартла. И. Добраков /64/ обобщил результаты Кафиеро на векторные функции: и операторнозначные меры.

Однако во всех указанных работах предполагалось, что последовательность мер / сходится к мере У на каждом множестве? , а последовательность функций / сходится всвду к функции / / .

Л.В.Шкерина /39/ изучает проблему предельного перехода под знаком, интеграла Данфорда, рассматривая сходимость последовательности векторных мер к мере? , а последовательности функций / к функции /, как сходимость комплекса ((/>П) / к комплексу / ^ > ^). Ей удалось найти такую сходимость последовательности векторных мер / ^а} к мере У, что теорема Витали о предельном переходе под знаком интеграла верна в случае сходимости последовательности. { / скалярных функций по мере У к функции. Сформулируем этот результат.

Пусть (Т, 9 </>) измеримое пространство с векторной мерой / и на б — алгебре ^ задана последовательность векторных мер / }, сходящаяся к, причем на в — алгебре 3 л Ж, где 3 — произвольное ф — нуль-множество из^, равномерно. Пусть, далее, последовательность / скальных, измеримых и, соответственно, ^ - интегрируемых функций сходится по мере ^ к конечной функции /^У. Если интегралы последовательности равностепенно абсолютно непрерывны относительно мер { Уп), то функция / является ^ - интегрируемой и для любого измеримого множества?. т / п. г/с = / /¿-р

Проблему Г. Я. Арешкина мы изучаем в смысле сходимости комплекса (-) к комплексу.

Для билинейного векторного интеграла Бартла, имеющего прикладное значение решаются следующие задачи. Пусть последовательность векторных мер %} сходится на б — алгебре ^ к векторной мере У. I. Существует ли сходимость последовательности векторных функций к функции / ^^, существенно более общее сходимости всщу, для которой из равностепенной абсолютной непрерывности интегралов последовательности {Jffnd (/?лJ относительно мер /^п } следует.

V — интегрируемость функции / У^У и выполнение равенства /I/.

2. Если такая сходимость существует, то установить и необходимые условия * - интегрируемости функции и выполнения равенства /I/.

Ключсм к решению поставленных вше задач послужила введенная нами сходимость последовательности функций {У^У/ почти всюду по мерам / Уп} к функции.

У, являющаяся аналогом сходимости почти всюду относительно меры У, и условие.

Одним из основных результатов этого параграфа является следующее предложение.

Пусть последовательность векторных мер / ^} сходится на 6* - алгебре^Е к векторной мере У. Если:

1. последовательность полувариаций /// об лада ет свойством (РСН).

2. последовательность / (измеримых и, соответственно, ^ - интегрируемых функций сходится почти всвду по мерам / %} к измеримой функции /У^У, удовлетворяющей условию [Р), то для того, чтобы функция /У^У была У — интегрируемой и для любого множества? ? достаточное если последовательность полувариаций /// ^ обладает свойством ©, то и необходимо, чтобы интегралы последовательности й/ У*} были равностепенно абсолютно непрерывны относительно векторных мер {.

Проведенные исследования позволяют получить аналоги предельных теорем Лебега и Витали для:

1. интеграла Лебега, коэда X, У, % - поле скал^ов;

2. второго интеграла Данфорда /53/, коэда Ъ/ - скальное, а X =? — банаховы просоранства;

3. интеграла Бартла — Данфорда — Шварца когда / -скалярное, а У = % - банаховы пространства.

В случае скалярных мер сходимость последовательности функций {почти всюду относительно меры У к функции / влечет сходимость почти всюду по мерам ^п/. Таким образом мы не только получаем результаты Г. Я. Арешкина /9/, но и устанавливаем необходимые условия для У — интегрируадости функции и возможности предельного перехода под знакш интеграла.

Отметим, что леша 9.2, являющаяся аналогом теоремы Рисса, позволила установить, что если комплекс сходится к комплексу по Л. В. Шкериной, то существует подпоследовательность /Лг /^^ последовательности /, для которой комплекс / У*) сходится к комплексу / ^ У/ и в нашем смысле. Следовательно, результаты Л. В. Шкериной /39/, установленные для интеграла Данфорда, непосредственно следуют из наших.

Вопрос предельного перехода под знакш билинейного векторного интеграла Бартла исследован также в терминах равномерной аддитивности и {РО^/А/].

Основные результаты диссертации изложены в работах /29/, /30/" /67−7^/. Озметим, что нами изучены также вопросы сходимости слабо регулярных функций множества /71/, обладающих свойством (РО (//-/] .

На защиту выносятся следующие основные положения, которые являются новьми для рассматриваемого круга вопросов.

I/ Рассмотрена возможность продолжения свойства с некоторого кольца множеств на более широкое кольцо.

Установлены новые достаточные условия равностепенной абсолютной непрерывности на кольце множеств, при условии абсолютной непрерывности на кольце М &. Обобщена теорема Витали — Хана — Сакса.

Развиты приложения полученных результатов в теории интегрирования.

2/ Известная теорема Сакса обобщена на класс функций множества, без какой-либо формы «полуаддитивности». Получены необходимые и достаточные условия ограниченности вариации неадцитишой векторной функции множества и векторно-значной меры.

3/ Установлены критерии ограниченности, полувариации векторной функции множества. Обобщена теорема БартлаДанфорда — Шварца на случай конечно-аддитивных векторных функций множества, заданных на кольце множеств.

Доказана теорема о равномерной ограниченности последовательности полувариаций конечно-аддитивных функций множества со значениями в ДВП.

4/ Обобщена теорема Дарбу о множестве значений меры на классы «неатсмических» функций множества без какой-либо формы «полуаддитишости», а также рассмотрен случай, когда функции множества имеют конечное число атсмов.

— 16.

5/ Исследована проблема предельного перехода под знаком билинейного векторного инте1рала Бартла. Доказаны теоремы Лебега и Витали о переходе к пределу под знаком интеграла на случай, когда последовательность функций [ (-?)} сходится по мере г к шункции //¿-у. Обобщена теорема Рисса.

Выражаю искреннюю благодарность и глубокую признательность научному руководителю доценту В. М. Климкину за научное руководство.

1. Александров А. Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах. — Матем,. сб., 1940, т. 8, с.307−348.

2. Алякин В. А. Некоторые вопросы теории многозначных и полугрупповых мер. Автореф. Дис. .канд. физ.-мат. наук.-Саратов, 1982. — 16 с.

3. Арешкин Г. Я. О переходе к пределу под знаком интеграла Лебега Радона. — Сообщ. АН Груз. ССР, 1949, т. 10,2, с. 69−76.хо.——-0 компактности семейства вполне аддитивныхфункщй множества. Учен. зап. ЛГПЙ им. А. И. Герцена, Л., 1962, т. 238, с. 102−118.

4. Арешкин Г. Я., Климкин В. М. Об однсм обобщении теоремы Витали о переходе к пределу под знаком интеграла. Учен, зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена. Л., IS67, т. 987, с. 79−91.

5. Арешкин Г. Я., Алексюк В. Н., Климкин В. М. 0 некоторых свойствах векторнозначных мер. Учен. зап. ЛГШ им. А. И. Герцена. Л., 1971, т. 404, с. 298−321.

6. Арешкин Г. Я., Алексюк В. Н., Гусельников Н. С. Продолжение квазилипшицевых функций множества с алгебры на б" -алгебру. В шб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1973, выл. I, с. 214−225.

7. Арешкин Г. Я., Гусельников Н. С. 0 слабой равностепенной плотности и компактности семейств квазилипшицевых функций множества. В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1975, вып. 5, с. 3−13.

8. Арешкин Г. Я., Агафонова Л. В. Свойство Дарбу для Nтреугольных функций множества. В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1978, вып. II, с. 15−23.

9. Безносиков Ф. Д. Об одном обобщении субмеры на булевой алгебре. В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1976, вып. 6, с. 15−24.

10. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления. М.: Наука, 1970. -320 с.

11. Гавурин М. К. (¿-бег oUe ^??е^^исАе J/it?gTzaii&n tcutte* .-Mat/?.-, 1936, У. 27, р. 255 268.

12. Данфорд М., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962 — 896 с.

13. Меи ер П. А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973 с. 322.

14. Попов В. А. Теорема Бартла Данфорда — Шварца и аддитивные миноранты полумер. — В сб.: Математический анализ и теория функций. М., 1973, вып. 2, с. 173−179.

15. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967; 257 с.

16. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир, 1974 с. 165.

17. Рыбаков В. И. Теорша Радона Никодима и представление векторных мер интегралом. — ДАН СССР, 1968, т. 180,8 2, с. 282−285.

18. Рашкин Л. Д. Композиционно-треугольные функции множества. Автореф. Дис. .канд. физ.-мат. наук. — Свердловск, 1984. — 16 с.

19. Халмош П. Теория меры. -М.: ИЛ, 1953 291 с.

20. ХафизовМ.Х. Об абсолютной непрерывности векторно-значной меры. -Мат. заметки, 1975, т. 17, А? I, с. 71−78.

21. S~t?yoie3 У. X. ?g, c?? c&ne?naOrtj j-etj о/ /nernd-u QJbd ujup?? CQ??OK4 tu 2J? t?}??>0 ?#e?g>z??S cctezr-obgertcaiAeotem. and c?*n?tc? тггшгг&.-^У.**•^^1973, У. 10, № 2, p. I65-I7I.

22. Caf? e to 7. jO^uitipocu a? ??rrete so?? o ?S d^f/to d'?/7t?gm& d? /?egat'iezatic} COK /НД4М. tfov?? i??? con? n??gZ ???/?>?r? Tf 001. oo, У. 22, JE 2, p. 223−245.

23. Pttci Tfe> tA??>vy ?^ ?Vitiep'Uiua'uT?., Jhntr.AtaM. «1940, У. 47, p. 1−50.1942, У. 52, p. 498−521. 60. -k2^ ¿-¿-/¿-/¿-¿-¿-Оя- ¿-О && пс^г on ??>??zep. 967−974.61 .iurtwixC ТАг УсА^Оу/гг — НаАя duJd Meove/Tzj /?pzЛ/тг-е*.1975, У. 82, № 8, p. 833−834.

24. SUtdeee X алtoi UA.