Размерности коммутативных подалгебр и подгрупп в конечномерных алгебрах и нильпотентных группах

Исследование коммутативных подгрупп и подалгебр является одной из классических алгебраических задач, вызывавшей интерес ученых уже в начале прошлого века. И. Шуром [31] в 1905 году были найдены абелевы подгруппы максимальной размерности группы всех невырожденных матриц. Этот результат был перенесен А. И. Мальцевым на произвольные полупростые группы. В его работе [12] 1945 года найдены коммутативные подалгебры максимальной размерности всех простых комплексных алгебр Ли.

Целая серия работ посвящена исследованию абелевых подгрупп максимального порядка в простых конечных группах. В нескольких последовательных статьях [22], [23], [32] и [33] Барри и Уонг получили порядки и строение унипотентных абелевых подгрупп максимального порядка в классических конечных группах Шевал-ле. Далее, в работе Е. П. Вдовина [2] были найдены верхние оценки порядков абелевых подгрупп во всех конечных простых группах. В работах [3], [4] этого автора найдены порядки больших унипотентных абелевых подгрупп в максимальных унипотентных подгруппах конечных исключительных групп Шевалле, и завершено описание абелевых подгрупп максимального порядка в конечных группах Шевалле.

Функцию, ограничивающую минимальное число порождающих конечной р-группы в зависимости от числа порождающих ее абелевых подгрупп, или близкую к ней функцию F, такую что pFМ — максимально возможный порядок конечной р-группы, у которой порядок любой абелевой подгруппы не превосходит рп, рассматривали Бернсайд [25], Альперин [21], Томпсон (см. [27, стр. 343]) и Паттерсон [29]. Наконец, А. Ю. Ольшанским [14] было установлено, что порядок роста этих функций квадратичен.

В работах Брауна и Колла [24], Куртера [26] и Паза [30] изучались максимальные коммутативные подалгебры матричных алгебр.

Настоящая работа посвящена оценке максимальных размерностей коммутативных подгрупп и подалгебр в конечно порожденных нильпотентных группах, группах Ли, ассоциативных алгебрах и алгебрах Ли. Особое внимание уделяется нильпотентным ступени 2 группам и алгебрам.

Основные результаты, полученные в диссертации, следующие:

• Дана нижняя квадратичная оценка функции, ограничивающей ранг без кручения конечно порожденной нильпотентной группы, в терминах рангов ее абелевых подгрупп.

• Доказано, что функции, ограничивающие размерность нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над произвольным полем, у которых ограниченны размерности коммутативных подалгебр, имеют квадратичный порядок роста. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 групп Ли.

• Вычислено точное значение функций, ограничивающих размерность конечномерных нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над алгебраически замкнутым полем, у которых ограничены размерности коммутативных подалгебр. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 комплексных групп Ли.

• Установлено, что функции, ограничивающие размерность конечномерных ассоциативных алгебр (алгебр Ли) в зависимости от размерности их коммутативных подалгебр, имеют квадратичный рост. Как следствие, получены также аналогичные оценки для размерности группы Ли с ограниченными размерностями абелевых подгрупп Ли.

Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, списка литературы и списка основных обозначений. Для удобства основные определения и теоремы собраны в начале каждого параграфа в отдельный пункт. Полный объем диссертации — 74 страницы. Библиография включает 37 наименований.

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы 1. III, М., «Мир», 1976.

2. Вдовин Е. П. Порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах. Алгебра и Логика, 38(1999), № 2, 131−160.

3. Вдовин Е. П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле. Мат. Заметки, 69(2001), № 4, 524−549.

4. Вдовин Е. П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле. Алгебра и Логика, 40(2001), № 5, 523−544.

5. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М., «УРСС», 1995.

6. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М., «Мир», 1982, т.1.

7. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М., «Мир», 1964.

8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М., «Наука», 1972.

9. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 8-е изд., ред.: Мазуров В. Д., Мерзляков Ю. И., Чуркин В. А., Новосибирск, Институт математики, 1982.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 12-е изд., ред.: Мазуров В. Д., Хухро Е. И., Новосибирск, Институт математики, 1992.И. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., Наука, 1969.

11. Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр JIu. М., Известия АН СССР, сер. матем., 9(1945), № 4, 291−300.

12. Наймарк М. А. Теория представлений групп. М., «Наука», 1976.

13. Ольшанский А. Ю. К вопросу о числе порождающих и порядках абелевых подгрупп конечных р-групп. Мат. Заметки, 23(1978), № 3, 337−341.

14. Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. М., «Наука», 1983.

15. Спрингер Т. А. Линейные алгебраические группы. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 55. Алгебраическая геометрия -4. 6−136.

16. Фултон У. Теория пересечений. М., «Мир», 1989.

17. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М., «Мир», 1972.

18. Холл Ф. Нильпотентные группы. Математика. Сборник переводов, 12(1968), № 1, 3−36.

19. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. 2-е изд., М., «Наука», 1988, т. 1.

20. Alperin J.L. Large abelian subgroups of p-groups. Trans. Amer. Math. Soc., 117(1965), № 5, 10−20.

21. Barry M.J.J. Large Abelian subgroups of Chevalley groups. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 27(1979), № 1, 59−87.

22. Barry M.J.J., Wong W.J. Abelian 2-subgroups of finite symplectic groups in characteristic 2. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 33(1982), № 3, 345−350.

23. Brown W.C., Call F.W. Maximal commutative subalgebras of nxn matrices. Comm. Algebra, 21(1993), № 12, 4439−4460.

24. Burnside W. On some properties of groups whose orders are powers of primes. Proc. London Math. Soc., 11(1912), № 2, 225−245.

25. Courter R.C. The dimensions of maximal commutative subalgebras of Kn. Duke Math. J., 32(1965), 225−232.

26. Huppert B. Endliche Gruppen, I, Berlin — New York, Springer-Verlag, 1967.

27. Kleiman S., Laksov D. Amer. Math. Monthly, 79(1972), № 10, 1061−1082.

28. Patterson (Mac Williams) A.R. The minimal number of generators for p-subgroups of GL (n, p). J. Algebra, 32(1974), № 1, 132−140.

29. Paz A. An application of the Cayley-Hamilton theorem to matrix polynomials in several variables. Linear and Multilinear Algebra, 15(1984), 161−170.

30. Schur I. Zur Theorie der vertauschbaren Matrizen. Journ. Reine Angew. Math., 130(1905), 66−76.

31. Wong W.J. Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 32(1982), № 2, 223−245.

32. Wong W.J. Abelian unipotent subgroups of finite unitary and symplectic groups. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 33(1983), № 3, 331−344.Работы автора по теме диссертации.

33. Милентьева М. В. О размерностях коммутативных подалгебр и подгрупп в нильпотентных ступени 2 алгебрах и группах Ли. МГУ, М., 2006, 20 с. Деп. в ВИНИТИ 13.01.2006 № 28-В2006.

34. Милентьева М. В. О размерностях коммутативных подалгебр и подгрупп. Фундаментальная и Прикладная Математика, 12(2006), № 2, 90−102.

35. Milenteva М. V. On the torsion-free ranks of finitely generated nilpotent groups and of their abelian subgroups. J. Group Theory, 7(2004), № 3, 403−408.