Разностные схемы для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром в ограниченных и неограниченных областях

Актуальность. При математическом моделировании ряда физических явлений, например, течений вязкой жидкости, процесса распространения примеси от источников, возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малыми параметрами при старших производных. Область, для которой ставится краевая задача, может быть неограниченной. В связи с этим возникает проблема редукции краевых условий к ограниченной области и разработки разностной схемы для задачи в ограниченной области.

Решения краевых задач для уравнений с малыми параметрами при старших производных могут содержать пограничные и внутренние переходные слои, где градиенты решения велики. Такие задачи называются сингулярно возмущенными. Особенность этих задач в том, что при их вырождении понижается порядок дифференциального уравнения и теряется часть краевых условий. В отличие от случая регулярно возмущенной задачи имеются области, где решения исходной и вырожденной задач существенно отличаются, даже если параметр при старшей производной мал.

Первоначально для решения таких задач развивались асимптотические методы. Основопологающими являются работы А. Н. Тихонова, А. Б. Васильевой, С. А. Ломова, В. Б. Бутузова, Л. И. Люстерника, М. И. Вишика, А. М. Ильина. Асимптотические методы предполагают разложения в регулярные и погранслойные ряды по степеням малого параметра. И в настоящее время данный подход успешно развивается. Ограниченность данного подхода в том, что параметр должен быть существенно меньше единицы.

При применении вычислительной техники для решения краевых задач обычно используются конечноразностные схемы, сводящие краевую задачу к системе алгебраических уравнений, решаемых с помощью циклических процедур. Оказывается, традиционные разностные схемы в общем случае теряют свойство сходимости при решении сингулярно возмущенных краевых задач. Поэтому возникла необходимость в разработке разностных схем, обладающих свойством сходимости, равномерной относительно малого параметра.

В 1969 году появились работы Н. С. Бахвалова и A.M. Ильина, обозначившие основные подходы к построению разностных схем для задач с пограничными слоями.

Можно выделить следующие подходы, применяемые при разработке численных методов для сингулярно возмущенных уравнений:

1)сгущение сеток в пограничных слоях;

2)подгонка схем к погранслойной составляющей решения;

3)использование интегральных соотношений и усеченных схем;

4)применение метода Галеркина с выделением особенностей;

5)использование сплайнов и метода коллокации.

К первому подходу относятся работы Н. С. Бахвалова, В.Д. Лисей-кина, Г. И. Шишкина, Р. Вулановича и других авторов. В этих работах строится функция, распределяющая узлы сетки. Эта функция учитывает градиенты решения и сетка сгущается в пограничных слоях.

Н.С. Бахвалов эту функцию строит таким образом, чтобы погрешность аппроксимации по узлам сетки была равномерной, при этом по-гранслойная составляющая решения на каждом шаге сетки нарастает равномерно, а вне пограничного слоя сетка принимается равномерной. Причем осуществляется склейка логарифмической и линейной функций с точностью до непрерывной первой производной. На такой сетке достигается второй порядок точности по количеству узлов сетки.

Лисейкин В.Д. предлагает осуществить замену переменной таким образом, чтобы производные до некоторого порядка стали равномерно ограничены. В исходных переменных это дает сгущающуюся сетку. Предварительно оцениваются производные.

Г. И. Шишкиным определен новый подход к построению разностных сеток, которые равномерны внутри пограничного слоя и вне пограничного слоя, то есть исходный интервал делится на два, на каждом из которых сетка равномерна. В работах Г. И. Шишкина, В. Б. Андреева, И. А. Савина, Н. В. Коптевой показано, что на такой сетке целый ряд разностных схем (включая немонотонную схему центральных разностей) обладает свойством равномерной сходимости, причем чаще с порядком точности 0(N~2lnN). Данный подход позволяет использовать метод Шварца, когда одновременно решаются задачи в пограничном слое и вне его и итерационно согласуются краевые условия.

Для уравнений в частных производных значимость данного подхода усиливается в связи с тем, что в случае параболического пограничного слоя, как показал Г. И. Шишкин, не существует равномерно сходящейся схемы подгонки на равномерной сетке.

Ко второму подходу относятся работы A.M. Ильина, Г. И. Шишкина, К. В. Емельянова, Д. Миллера, Р. Келлога и других авторов. Основная идея данного подхода — выделить погранслойную составляющую решения и строить разностную схему исходя из того, чтобы коэффициенты схемы учитывали погранслойный рост решения. Если малого параметра нет, то схема становится близкой к традиционным, если решение уравнения является погранслойная функция, то разностная схема на решении такого уравнения становится точной. Преимущество данного подхода в том, что не требуется ограничений на шаги сетки. Недостаток — в том, что функция пограничного слоя должна иметь явный вид и схема к этой функции должна быть подогнана, что не во всех случаях возможно.

Третий подход основан на точной схеме Самарского и интегральном тождестве Марчука. Для дифференциального уравнения выписывается точная схема Самарского, коэффициенты которой являются интегралами решений некоторых задач Коши, поставленных в окрестности узлов сетки. Усечение такой схемы приводит к схеме повышенного порядка точности. На основании этого подхода М. В. Алексеевским, К. В. Емельяновым, Г. И. Шишкиным строились схемы повышенного порядка точности. Данный подход получил распространение и на случай параболического уравнения. Тождество Марчука использовалось в работах В. П. Гаевого и А. Ю. Сечина. В работах И. П. Боглаева равномерно сходящиеся схемы строятся на основе интегральных соотношений. Для этого выделяется главная часть дифференциального оператора, которая обратима в явном виде.

К четвертому подходу относятся работы В. В. Шайдурова, Б.М. Ба-гаева, H.A. Блатова, JI. Тобиска, Ч. Руз, М. Стайнис и других авторов. В работах Б. М. Багаева предлагается функцию пограничного слоя включить в базис для решения задачи методом Галеркина или Ритца. Это приводит к равномерной сходимости метода в энергетической и равномерной нормах. Если функцию погранслоя не удается выписать в явном виде, то предлагается выделить краевую задачу для такой функции и решить ее переходом к «медленным переменным». В новых переменных используется классический метод типа Галеркина. Метод.

Галеркина используется и на специальных сетках, сгущающихся в пограничном слое.

Пятый подход используется в работах И. А. Блатова и В.В. Стры-гина, К. Серла и других авторов. В методе коллокации используется экспоненциальный сплайн, что приводит к равномерной сходимости численного метода. К равномерной точности метода приводит и использование метода коллокации на сгущающихся в погранслоях сетках.

Теперь остановимся на подходах к переносу краевых условий из бесконечности на границу ограниченной области. В ряде работ разностные схемы строятся в неограниченной области, например, в полосе. Такие схемы не эффективны в том смысле, что их невозможно использовать для компьютерных вычислений. Чтобы разностная схема содержала конечное число узлов, можно либо для дифференциальной задачи поставить граничное условие на некоторой искусственной границе, либо редуцировать разностную схему на сетке с бесконечным числом узлов к схеме с конечным числом узлов.

Идея построения решений краевых задач для дифференциальных уравнений путем переноса граничных условий восходит к работам B.C. Владимирова [39] и И. М. Гельфанда ([45], приложение), где для решения краевой задачи для уравнения второго порядка на конечном интервале используется классический вариант метода дифференциальной прогонки. При таком подходе вместо решения исходной задачи необходимо решать три задачи Коши для уравнений первого порядка, которые проще исходной. В ряде работ такой подход используется для решения одномерных задач дифракции, в теории рассеяния и переноса излучения. В этих работах для решения краевых задач используются вспомогательные задачи Коши для переноса краевых условий. Использование указанного подхода заведомо оправдано, когда численное или аналитическое решение задачи Коши проще, чем решение краевой задачи. Операторный метод сноса краевых условий из бесконечности для уравнения Гельмгольца использован М. В. Федорюком. В. П. Маслов с соавторами в [110] обобщают метод дифференциальной прогонки применительно к уравнениям с частными производными. Метод ортогональной прогонки развивался в работах A.A. Абрамова и С. К. Годунова.

Идея переноса граничного условия из особой точки в близкую точку с помощью выделения всего многообразия решений, удовлетворяющих заданному условию, была предложена Абрамовым A.A. для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с регулярной особенностью [1]. Эта идея была развита в работе Е. С. Биргер и Н. Б. Ляликовой [19] применительно к краевым задачам для систем ОДУ с заданным условием на бесконечности. В работах Конюховой Н. Б. [114], [111], [113] и других рассматриваются нелинейные ОДУ с иррегулярной особенностью, выделяются и исследуются устойчивые многообразия решений. В работе Конюховой Н. Б. и Пак Т. В. [115] исследуются сингулярные задачи Коши с большим параметром для систем нелинейных ОДУ. Строятся разложения решения по параметру, нелинейность задана в виде векторного многочлена по зависимым переменным. Точность асимптотических разложений оценивается при достаточно больших значениях независимой переменной, что связано с вопросом существования и единственности решения вспомогательной задачи Коши. В [116] вводится понятие допустимых граничных условий на бесконечности. Рассматриваются линейные системы ОДУ первого и второго порядка на полубесконечном интарвале, зависящие от параметра. Для системы ОДУ первого порядка показано, как определить сингулярную задачу Коши для выделения устойчивого многообразия, соответствующего допустимому условию. Исследуется зависимость решения сингулярной задачи Коши от параметра. Для переноса допустимого краевого условия из бесконечности система ОДУ второго порядка сводится к системе первого порядка.

В работах К. Балла рассматриваются разностные уравнения с полубесконечным числом узлов. Исследуется асимптотическое поведение решения скалярных и матричных разностных уравнений Риккати. Доказывается, что предельное условие на решение разностного уравнения второго порядка при стремлении индекса к бесконечности эквивалентно некоторому разностному уравнению первого порядка при достаточно больших значениях индекса.

Цель работы. Целью работы является разработка численных методов решения краевых задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Основные задачи работы:

— разработка и исследование разностных схем для краевых задач с учетом пограничных слоев в решениисхемы могут строиться либо в ограниченной области, либо в исходной неограниченной области, для этого случая необходимо разработать метод редукции разностных схем к схемам на сетках с конечным числом узлов;

— разработка метода редукции краевых задач для уравнений с малым параметром при старших производных с неограниченной области (прямой или полосы) к ограниченной с использованием известных подходов.

— исследование влияния погрешностей переноса краевого условия из бесконечности на решение редуцированных задач и на решение применяемых разностных схем;

— применение разрабатываемого метода к численному моделированию распространения примесей в атмосфере.

Научная новизна.

1. Предложен метод построения разностных схем для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка на конечном интервале. Метод основан на приближении коэффициентов дифференциальной задачи и получении точных разностных соотношений для возмущенной задачи.

— построена разностная схема для системы нелинейных дифференциальных уравнений и обоснована ее равномерная сходимость при различных ограничениях на якобиан;

— построена разностная схема для уравнения с сильной нелинейностью и доказана ее равномерная сходимость с первым порядком;

— построена схема второго порядка точности для нелинейного уравнения типа реакция-диффузия;

— построена разностная схема для стационарного уравнения Бюр-герса;

— построена разностная схема для нелинейного уравнения со степенным пограничным слоем;

— для монотонной схемы Самарского в случае смешанного краевого условия и отсутствия выраженного пограничного слоя предложен способ аппроксимации производной в краевом условии с сохранением точности схемы;

2. Построены разностные схемы для двумерных линейных и нелинейных эллиптических уравнений в полосе и в прямоугольной области:

— Для уравнения с регулярным экспоненциальным пограничным слоем в случае прямоугольной области и краевых условий третьего рода на равномерной сетке построена и обоснована разностная схема.

— Рассмотрено уравнение с экспоненциальными параболическими погранслоями в полу бесконечной полосе. Предложен способ редукции задачи к прямоугольной области. Для редуцированной задачи на сгущающейся в погранслоях сетке построена схема второго порядка точности по координатному направлению вдоль слоя. В продольном направлении исследована схема Самарского в случае краевых условий третьего рода.

— Построена разностная схема первого порядка точности для уравнения со степенным пограничным слоем в полосепредложен способ редукции схемы к конечному числу узлов.

3. Исследован численный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном интервале сведением к краевой задаче для конечного интервала или к начальной задаче для уравнения первого порядка. Рассмотрены линейные уравнения, нелинейное автономное уравнение, автономная система нелинейных уравнений. При переносе краевых условий из бесконечности используется известный подход, основанный на выделении устойчивых многообразий. Вспомогательные задачи Коши решаются на основе асимптотических разложений по малому параметру. Проведен анализ влияния погрешностей, обусловленных переносом краевого условия, на решение редуцированных к конечному интервалу задач и на решение применяемых разностных схемразностные схемы исследованы на равномерную сходимость по параметру. Предложен метод решения краевых задач для уравнений с точечным источником на бесконечном интервале.

4. Разработан метод редукции разностных схем с бесконечным числом узлов к схемам на сетке с конечным числом узлов. Для этого введено и исследовано устойчивое многообразие решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности для разностного уравнения. В случае, когда исходная разностная схема вырождается, для выделения устойчивого многообразия предлагается использовать асимптотические разложения. Рассмотрены:

— трехточечные линейные и нелинейные разностные схемы;

— разностная схема для параболического уравнения;

— трехточечная векторная разностная схема, соответствующая сеточной аппроксимации краевой задачи для эллиптического уравнения в полу бесконечной полосе.

Практическая значимость. При математическом моделировании различных физических явлений (например, течения вязкой жидкости, перенос примеси в атмосфере) появляются краевые задачи для уравнений с малым параметром при старших производных. Краевые условия в таких задачах могут ставиться для неограниченной области. Важно корректно редуцировать краевые условия к ограниченной области, определить разностную схему для редуцированной задачи с учетом погранслойного поведения решения. Решению этих вопросов посвящено диссертационное исследование.

Результаты исследований применяются при проведении совместной хоздоговорной работы между Институтом информационных технологий и прикладной математики СО РАН (новое название ОФИМ СО.

РАН) и Омским областным комитетом природы. В соответствии с этим договором в ИИТПМ СО РАН коллективом авторов, включая автора диссертации, с 1991 года создается пакет программ по моделированию переноса примесей в атмосфере Омского региона и поиску источников загрязнений. Пакет программ передан для использования в Омский областной комитет природы.

Результаты исследований применяются и в интеграционной программе СО РАН «Исследование и моделирование процессов переноса и трансформации примесей в атмосфере Сибири.» .

Апробация результатов. Отдельные результаты работы докладывались: на семинарах ИИТПМ СО РАН и кафедры математического моделирования Омского государственного университетана 4 Международной конференции по пограничным и внутренним слоям: вычислительные и асимптотические методы, Новосибирск, 1986 г.- на Всесоюзной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики », Новосибирск, 1987; на Всесоюзном научном совещании «Методы малого параметра «под руководством академика А. Н. Тихонова, п. Эльбрус, 1987; на Всесоюзной школе «Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики», Кемерово, ИПМ АН СССР, КемГУ, 1988 г.- на Всесоюзной конференции «Вычислительные методы и математическое моделирование, Абакан, КрГУ, 1989 г.- на Всесоюзной школе по вычислительным методам, г. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1991 г.- на 1 всесоюзной конференции «Математическое моделирование физикохимических процессов в энергетических установках», г. Казань, КАИ, ИТПМ СО АН СССР, 1991 г. — на Всесоюзной конференции «Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач «, Бишкек, 1991 г.- на 3 Всесоюзной школе «Численные методы механики сплошной среды «, АбрауДюрсо, 1991, ВЦ СО АН СССР, г. Красноярск, Ростовский университет 1991 г.- на 2 Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии, Новосибирск, ИМ СО РАН, 1994 г.- на международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред», Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1996 г.- на международной конференции «Математические модели и методы их исследования «, ИВТ СО РАН, ВЦ СО РАН, г. Красноярск, 1997 г.- на международной конференции «Аналитические и вычислительные методы для задач с преобладающей конвекцией и для сингулярно возмущенных задач», Болгария, Лозенец, университет в Руссе, 1998 г. Диссертация в полном объеме обсуждалась: на семинаре ИИТПМ СО РАН, Омск, 1999, на семинаре ИВМ СО РАН, Красноярск, 1999, на семинаре «Методы вычислительной математики «ИВМ и МГ СО РАН, Новосибирск, 1999, на семинаре ИММ Уральского отделения РАН, Екатеринбург, 1999, на объединенном семинаре по вычислительной математике.

ИВМ и МГ СО РАН, Новосибирск, 1999. Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано 53 работы, в списке литературы этим публикациям соответствуют номера [29],[30], [53]-[89], [92]- [103], [158], [201].

Основные обозначения. Под С и Сгпонимаются положительные постоянные, не зависящие от параметра? и шагов разностной сетки. Определим используемые нормы :

• для функции непрерывного аргумента д (х) интервала I ||д|| =тах|д (ж)|, ж е /".

• для вектор-функции q (a?) из N компонент: = тах шах |дг-(ж)|,.

• для вектора q: ||д|| = тах|дг-|, г.

• для сеточной вектор-функции q, г: = шах тах^(х).

Предполагаем, что норма матрицы согласована с векторной нормой. Пусть фт[0,1] - множество функций интервала [0,1], имеющих кусочно-непрерывные производные вплоть до порядка т, причем разрывы могут быть только первого рода в заданном конечном множестве внутренних точек (при т = 0 сама функция кусочно-непрерывна с разрывами первого рода).

Под неравенством векторов подразумевается покомпонентное неравенство. Для интервала [0, Ь] определим сетку О :

1 = {хп: хп = + кп, хо = 0, хм = Ь, Ап = (жпь жп]}, Л = тах/гп.

Определим разностные аналоги производных на сетке О :

А — ~ Пп-1 д Л^х, пЛ-иН — Ах, пик. и «??+1 ~ Цгс-1 х’п ~ К ' - (к + К+1)/2 ' - 2Л •.

Пусть — проекция функции непрерывного аргумента на сетку.

Содержание диссертации. В первой главе рассматриваются краевые задачи для нелинейных обыкновенных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка и систем уравнений на конечном интервале. Предложен метод построения равномерно сходящихся разностных схем для таких задач. Метод основан на приближении коэффициентов дифференциального уравнения на каждом сеточном интервале таким образом, чтобы для дифференциального уравнения с возмущенными коэффициентами точное решение имело явный вид. Тогда согласование производных соседних интервалов приводит к конечно-разностной схеме. Если коэффициенты заменены на кусочно — постоянные, то это приводит к разностной схеме первого порядка точности, равномерной по малому параметру. Замена коэффициентов на кусочнолинейные увеличивает трудности в представлении точного решения, но приводит к схеме второго порядка точности. Преимущество данного подхода состоит в том, что при построении схемы не требуется явный вид функции пограничного слоя, который затруднительно получить для нелинейных уравнений. В случае линейной задачи такой подход применялся, например, в работах А. Ю. Сечина и В. П. Гаевого.

В § 1 рассматривается краевая задача:

Т?и = -ей" + а (х)и' + /О, и) = 0, (1) м (0) = А, Яеи = щ (1) + е6и'(1) = В. (2).

Предполагается, что, а? Сх[0,1], / 6 С71([0,1] х Е), а (х) > а > 0, 6 > 0, т/ > 0, е > 0, > -Д /3 > 0, а2 — 4/Зе > 0. (3) ои.

На произвольной неравномерной сетке 1] строится разностная схема для задачи (1)-(2). Пусть ин — решение построенной схемы.

Теорема 1. Для некоторой постоянной С w]nuh\< Cexp (2/fa1)/i.

В § 2 рассматривается краевая задача для системы нелинейных уравнений:

— eu" + a (z)u' + F (s, u) = 0, u (0) = A, Reи = <5и (1)+ е/?и'(1) = В, (4) где а (ж), <5,? — диагональные квадратные матрицы порядка N с диагональными элементами, соответственно, ai (x), 6i,?i, г = 1,2,., iV, А. В — векторы из N компонент, гчисловой параметр, е > О, F — заданная вектор-функция. Предполагается, что при всех i а* € С1 [0,1], Fi Е С1([0,1] х R), сц (х) > щ > 0, 6i > 0, ?i > 0, 8{ + ?i >0, о-о = min щ. г.

Рассматривается два вида ограничений на якобиан G = F^ :

Gii > J] > 0,? Gij < (1 — <1. (5).

Зфг.

Е Gij >-V, V> 0,<4 — > 7 > о, Gij < 0, j ф L (6).

3=1.

Ограничения (5) соответствуют условиям строгого диагонального преобладания, особенность ограничений (6) в неположительности недиагональных элементов, что соответствует, например, моделированию химических реакций. Вводится вспомогательная линейная краевая задача:

Lu = -ей" + aO) u' + G (x)u = F (z), u (0) = A, Reu = В, (7) где матрица а (х) определена выше, G (x) — матрица порядка N х N.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (5). Тогда тах ||иг|| < — г, а тах ||А|| + тах.

В;

8 г + Щ (3г.

Г] г.

В случае выполнения условий (6) неочевидно, что для оператора Ь справедлив принцип максимума. Получено достаточное условие для выполнения принципа максимума.

Лемма 2. Пусть в (7) < 0 при г фу. Пусть найдется векторфункция ф (х) с компонентами из С2 [0,1], такая, что ф (х) > 0, Ь0(х) > 0,16/, Д? ф > 0.

Тогда, если для некоторой вектор-функции Ф (ж) с компонентами из С2[0,1].

Ф (0) > 0, Я? Ф > 0, ЬФ (ж) > 0, х Е I, (8) то Ф (аг) >0, х е I.

Доказано, что при выполнении условий (6) выполнятся посылки леммы 2 и принцип максимума для оператора Ь имеет место.

Для задачи (4) на произвольной неравномерной сетке строится разностная схема, пусть и'1 — решение этой схемы.

Теорема 2. Пусть для С (аг, в) = з) выполнено условие (5) или (6). Тогда.

Ма — пк\т < СН.

Отдельно рассмотрен случай краевого условия и'(1) = 0, когда первая производная решения ограничена, а остальные производные неограниченно растут с уменьшением е. Целесообразно исследовать схему направленных разностей на равномерную сходимость, так как эта схема проще специальных схем, учитывающих погранслойное поведение решения. Предварительно доказывается, что к линейной задаче относительно погрешности схемы, при выполнении условий (б), можно применять принцип максимума.

Теорема 3. Пусть для С справедливы ограничения (5) или (6), иЛрешение схемы направленных разностей, шаги сетки О удовлетворяют ограничению хп + Нп < 1. Тогда и]п — ик\ш < СтахИг. г.

Доказана сходимость модифицированного метода Пикара для исследуемых нелинейных разностных схем.

В § 3 рассмотрена краевая задача для уравнения типа реакциядиффузия:

Ьи = ей" - /(х.и) = 0, «(0) = А, и (1) = В. (9).

Предполагается достаточная гладкость функции /(х.и), > 0, Д > (3 > 0. Для нелинейной задачи (9) с учетом кусочно-линейного приближения коэффициентов строится разностная схема на неравномерной сетке, сгущающейся в пограничных слоях. Пусть инрешение построенной схемы.

Теорема 4. Справедлива оценка точности: ик — ш < С[Я~2 + м-% где ф — число узлов в пограничном слое, М — вне слоев. В § 4 рассмотрена краевая задача:

Ьи = ей" + а (х, и) и' - Ь (х, и) = 0, и (0) = А, и (1) = В. (10).

Предполагается, что коэффициенты непрерывно дифференцируемы, а (х, и) > а > 0, Ьи + ах > 7, 7 < 0, а2 + 4⁷ >0, £о >? > 0.

Для построения разностной схемы вводится сетка, сгущающаяся в пограничном слое. Вне пограничного слоя сетка предполагается равномерной. Схема строится на основе замены коэффициентов кусочно-постоянными. Пусть uh — решение построенной схемы. Теорема 5. Для некоторой постоянной С uk-[u}n\.

В § 5 рассмотрена краевая задача:

Lu{x) = eu" (x)+u (x)u'(x)-b (x)u (x) = f (x), м (0) = А, и (1) = В. (11).

Предполагается, что коэффициенты достаточно гладкие, Ь (х) > (5 > 0,^о (О) > 0, где «о (ж) — решение вырожденной задачи. На равномерной сетке строится разностная схема, подогнанная: к погран-слойной функции.

Теорема 6. Для построенной разностной схемы справедлива оценка точности:

Н"л-Мп1к <сн.

В § 6 рассмотрена краевая задача, решение которой имеет степенной пограничный слой: е + х) и" + а (х)и' - f (x, и) = 0, «(0) = А, «(1) = В.

Предполагается, что функции а, / непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, df е > 0, а (0) >0, тг- > 0. ои.

На равномерной сетке О строится разностная схема и доказывается, что для этой схемы справедлива оценка точности:

А-["]П||<�СЛ|ЦЛ)|. 22.

В случае а (0) > 1 обосновывается первый порядок точности.

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном и бесконечном интервалах. Рассматривается вопрос переноса краевого условия из бесконечности с учетом наличия малого параметра при старшей производной, анализируются разностные схемы для редуцированных к конечному интервалу задач на равномерную по параметру сходимость и на устойчивость к погрешностям переноса краевых условий. На полубесконечном интервале рассмотрены линейные уравнения, нелинейное автономное уравнение, система нелинейных автономных уравнений с малым параметром при старших производных. Предложен метод решения краевых задач для уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной и точечным источником на бесконечном интервале. При переносе предельного краевого условия из бесконечности используется метод, основанный на выделении устойчивых многообразий, разрабатываемый в работах Абрамова A.A., Конюховой Н. Б. и их учеников.

В § 7 рассмотрена краевая задача:

Leu = —ей" + а (х)и' + с (х)и = /(ж), (12).

0) = Д Бт"(аг) = 0. (13).

Предполагается достаточная гладкость, а, с, / ,.

D > а (х) > а > 0,? G (0,1], В > с (х) >Ъ> О, f (x) —> 0, а (х) —> ао? с (х) -> со? х —> оо.

Для переноса краевого условия из бесконечности выделяется многообразие решений уравнения (12), для которых выполняется предельное условие на бесконечности [19]: и'(х) = 7(ж)и (ж) + /3(х), (14) где 7(ж) и /3(х) являются решениями сингулярных задач Коши:

Д£7 = - а (ж)7 ¦+• ?72 — ФО = 0, Нт7(2-) = г, (15) г — отрицательный корень уравнения ег2 — а^г — со = О, е/7 — [ф) — <�у (х)е]Р = /(*), ИтД®-) = 0. (16).

Показано, что решения задач (15),(16) существуют и единственны при всех х > 0.

Лемма 3. При всех х > 0.

2 В,. 2 Ъ 7(х) < ——=== < 0. а + у^Т^ЖВ + у/Ж+Ш.

Решение задач (15)-(16) находится на основе асимптотических разложений, поэтому предварительно исследуется устойчивость решения этих задач к возмущению коэффициентов. Лемма 4. Пусть а (#) — а (ж)| < А, |с (ж) — с (:г)| < А для х > Ь, УЬ > 0.

Тогда найдется С: у (х) — ^(х)] < С, А для х > Ь. Приближенное решение задачи (15) ищется в виде: N.

1н{х) =? 1п (х)е (17) п-0 где коэффициенты связаны рекуррентным соотношением:

7п (х) = а (х) 1 где 0 < i, j < п — 1, п > 1, 7о (ж) = —с (х)/а (х).

Лемма 5. Пусть функции а (х) и с (х) N раз непрерывно дифференцируемы. Тогда для достаточно малых значений е для некоторой постоянной С при всех х > О.

Аналогичным образом из (16) на основе асимптотических разложений находится (3(х).

С учетом соотношения (14) задача (12)-(13) редуцируется к конечному интервалу [0,1/]:

— ей" + а (х)и! + с (х)и = ¡-(х), м (0) = А, и'(1)-у (1)и (?) = /3(1). (18).

Доказано, что решения задач (12)-(13) и (18) совпадают на интервале [0,1/]. Значения у (Ь) и (3(Ь) из задач (15),(16) могут быть найдены приближенно, поэтому исследуется устойчивость решения задачи (18) к возмущению коэффициентов в краевом условии.

Теорема 7. Пусть й (х)~ решение задачи (18) в случае возмущенных значений у (Ь), (3(Ь). Пусть.

7(Ь)<0, |7(ЬО)-7№>)|< ДЬ (3(Ь) — < А2.

Тогда при всех х Е [0, Ь] г/(я) — м (ж)| < еа~1{А2 + ДхЩ-Щ} ехр^гГ1^ - ?)].

Таким образом, если коэффициенты 7 и ?3 найдены с некоторой погрешностью, то эта погрешность при наличии малого параметра существенно уменьшается.

Далее исходная краевая задача (12)-(13) сводится к задаче Коши: и,(х)—у (х)и (х) = 'Р (х), и (0) = А. (19).

Решения задач (12)-(13) и (19) совпадают. Доказано, что решение задачи (19) устойчиво к возмущению коэффициентов у (х) и (3(х).

В § 8 аналогичным образом рассмотрена краевая задача для уравнения без первой производной.

В § 9 рассмотрен вопрос редукции к конечному интервалу краевой задачи для нелинейного автономного уравнения: ей" + ти' + д (и) = 0, м (0) = A, Jim и (х) = В. (20).

В § 10 рассмотрена краевая задача на конечном интервале: ей" + а (х)и' + f (x, u) = 0, и (0) = A, R? u = u'(L0) + в (и (?0)) = 0. (21).

На коэффициенты задачи (21) наложены ограничения таким образом, что (21) обобщает задачи, полученные в § 7—§ 9 после редукции к конечному интервалу. Особенность задачи (21) в нелинейности и наличии малого параметра при старшей производной. Доказывается, что решение задачи (21) существует и единственно, первая производная решения равномерно ограничена. По этой причине исследуется сходимость схемы направленных разностей, которая проще специальных разностных схем, учитывающих пограничный слой.

Теорема 9. Пусть h < Тогда найдется С: uk-[uM.

При переносе краевого условия из бесконечности функция Q (v) вычисляется приближенно. Доказано, что схема направленных разностей устойчива к погрешностям в О.

Лемма 6. Пусть функция непрерывно дифференцируема, причем 0'(г>) > — /?оПусть йк — решение схемы с возмущенной функцией 0. Тогда если | — ®-(и%)| < А, то при всех хп Е П инпйнп< + 2<*Л) ехр[а (2е + - ?)]. (23).

В § 11 рассмотрена третья краевая задача для нелинейного уравнения на конечном интервале. Такая задача появляется при редукции краевой задачи с бесконечного интервала к конечному. Во внутренних узлах равномерной сетки применяется монотонная схема Самарского. Предлагается односторонняя аппроксимация производной в краевом условии на трехточечном шаблоне. При этом сохраняется второй порядок аппроксимации разностной схемы, но нарушается свойство диагонального преобладания разностного оператора. Доказывается, что принцип максимума для разностного оператора при такой аппроксимации краевого условия остается справедливым. На основе принципа максимума доказывается равномерная сходимость монотонной схемы Самарского в случае равномерной сетки и краевых условий третьего рода.

Предварительно рассмотрена трехточечая разностная схема: у = Апикп+1 — Впинп + Спикпг = п = 1,2,., N — 1,.

4 = А, Д*"* = ци% + 6[34 — + <2]/(2А) = В. (24).

Предполагается, что при всех п Ап > 0, Сп > 0.

Лемма 7. Пусть существует сеточная функция фн: фк> 0, ьнпфк< 0, п = 1,2,.,^-1,^Фм ~ 4+ Ф%-2 < 0, 3ф% - Цнмг + ф%2 > 0. (25).

Сдг-1.

Тогда из условий.

ФА<0, п = 1,2,., ./V — 1, Ф5>0, ЯкЪк>0 (26) следует > О, 0 < п < N. Рассмотрена краевая задача: ей" - а (х)и' - /(ж, и) = 0, и (0) = А, В? и = щ (1) + 6и'(1) = В. (27).

Предполагается, что, а? С1 [0,1], / € ^([0,1] х Д), а (х) >а>0,ее (0,1], д//ди > -(3,(3 > 0, а2 — 4/Зе > у > 0, г] > 0, <5 > 0. (28) На равномерной сетке О исследуется разностная схема: епАХХуПик — а (хп)А^пин — /(жп,) = 0, еп = е[1 + а"Л/(2е)]-1,.

4 = А, щнн + 6[3инм — + <2]/(2А) = В. (29) Теорема 10. Для схемы (29) справедлива оценка точности:

Л-Мп||<�С^, Л<�Л0. (30).

Для нелинейной разностной схемы обоснована сходимость модифицированного метода Пикара.

В § 12 рассмотрена краевая задача для уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале. Такая задача является модельной при анализе распространения примеси от точечного источника. Точечный источник задается дельтафункцией Дирака. Из-за этого в постановке краевой задачи возникает условие на скачок производной. Итак, рассмотрена краевая задача: ей" - а (х)и' — с (х)и = /(ж), х ф О, 28 еи'(+0) — ?•"'(—0) — -ф, «О) о, ж ±-оо, (31) где а (х) > а > 0, с (х) > ?3 > 0,? > О, > О, а (х) —> Йг, с (ж) —сг-, /(ж) —> О, ж —* ±-оо, г = 2,1.

Доказано, что в окрестности точечного источника имеет место экспоненциальный пограничный слой. Задача (31) редуцирована к конечному интервалу: ей" — а (х)и' — с (х)и = /(ж), х ф 0, £м'(+0) — еи'(—0) = еи'&г) — 71(Ь1)"(Ь1) = № 0, «'№>) — ъ (и)и{и) = /32(?2), (32) где функции 7 г и ?3{ являются решениями сингулярных задач Коши. Доказано, что решения задач (31) и (32) совпадают при х? [Ь^Ь^. Функции 7 г и ?3{ могут быть найдены на основе асимптотических разложений с некоторой погрешностью, поэтому по аналогии с § 7 исследуется влияние погрешности при задании этих функций на решение задачи (32). Для задачи (32) на равномерной сетке построена разностная схема, подогнанная к функции, задающей экспоненциальный рост решения в окрестности нуля. Пусть ин — решение построенной схемы. Теорема 11. Для некоторой постоянной С ин-Ш<�Ск.

Доказана устойчивость разностной схемы к возмущению коэффициентов 7″ и (Зг. Аналогичным образом рассмотрен случай уравнения с точечным источником типа реакция-диффузия.

В § 13 рассмотрена краевая задача для системы автономных нелинейных уравнений на полубесконечном интервале. Такая задача является модельной при моделировании химических реакций с учетом диффузии. Задача имеет вид: где, а — постоянная диагональная квадратная матрица порядка N с диагональными элементами а*, А, В — векторы из N компонент, ечисловой параметр, g (u) — известная вектор-функция. Пусть С (у) -матрица Якоби вектор — функции g (v). Предполагается, что т0>сы>т> 0, г = 1,2,., ЛГ, g (B) = 0, < 0, 6 В.1*, СгЛу) >~Р, Р> О, Ш2 — > а > О,? > (У{ > 0. (34).

Доказано, что при выполнении условий (34) решение задачи (33) единственно, причем неотрицательно, если, А > О, В > О, g (0) < 0. Свойство неотрицательности решения существенно, например, при моделировании химических реакций. Исследовано поведение решения при больших значениях х.

Лемма 8. Найдется Ь такое, что при всех г и х > Ь г/,-(ж) — ВгI < щ (Ь) — ВгI ехр{гг (ж — ?)}, п = -и?{аг- + у/а? + 2<7,-е}1.

В соответствии с подходом [3] выделено многообразие решений системы (33), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности:

-¿-и" + аи' + в (и) = 0, и (0) = А, 1шп (г) = В, (33) и'(ж) = 7(«(х) — В) + ?(и (х)).

35) где матрица 7 является решением квадратного уравнения.

-?72 + а7 + в (В) = О,.

36) причем спектр этой матрицы расположен в левой полуплоскости. Вектор-функция F (u) является решением задачи Ляпунова:

F'(u)[Y (u — В) + F (u)] - (а — e7) F (u) = g (u) — G (B)(u — В), F (B) = О.

В соответствии с [113], [128] для достаточно малых значений ||и — В|| решение этой задачи существует и единственно. Решение задачи Ляпунова предлагается находить на основе асимптотических разложений. Пусть.

ТП.

Fm (u) =? F*(u)sk. к=О.

Для коэффициентов асимптотического ряда получена рекуррентная формула. Предварительно доказана лемма.

Лемма 9 Пусть S z = ет! — Mz, матрица М имеет строгое диагональное преобладание:

Мй (1-Л)>ЕЩ1 0 < т- < 1, Мц>а>0, г = 1,2,., IV.

Зфг.

Тогда для произвольной дифференцируемой вектор — функции z (x), имеющей предел на бесконечности, справедлива оценка:

INU < ^{^ll^ziU + maxjim.

Лемма 10 Пусть и (х) — решение задачи (33). Тогда при достаточно малых значениях е для некоторой постоянной С:

F (u (a?)) — Fm (u (x))| ?iv < Cem+l.

Предложен асимптотический подход к решению матричного уравнения (36). С учетом соотношения (35) задача (33) редуцирована к краевой задаче для конечного интервала. Исследовано влияние погрешности, обусловленной редукцией задачи, на решение редуцированной задачи.

В третьей главе рассматриваются скалярные и векторные разностные схемы с бесконечным числом узлов. Подход предыдущей главы к переносу краевых условий из бесконечности распространен на случай разностных уравнений. В случае трехточечной разностной схемы многообразие решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, задается в виде разностного уравнения первого порядка. Коэффициенты этого уравнения находятся из вспомогательных двухточечных задач с предельным условием на бесконечности. При переходе к конечному числу узлов это разностное уравнение первого порядка при некотором п = N принимается в качестве правого краевого условия. Отдельно рассматривается случай, когда разностная схема вырождается при стремлении некоторого параметра к нулю.

В § 14 рассмотрена линейная трехточечная разностная схема:

Апинп! — Св"2 + Впикп+1 = п> 0, (37) о = и1 О ПРИ п^оо. (38).

Предполагается, что при всех п.

Ап > 0, Вп > 0, Сп > Ап + Вп + А, А > О,.

Ап А0, Вп Б°, Сп -«• С0, ^ 0 при п-> оо. (39).

Многообразие решений разностного уравнения (37), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, зададим в виде разностного уравнения: «««?! + /?», п> 1, (40) где коэффициенты ап и (Зп являются решением двухточечных разностных схем с предельным условием на бесконечности:

Ап о о ап = ——-, ап —> а, п —> оо. сг =.

41).

А, —0, п-оо. (42).

Доказывается, что решения задач (41),(42) существуют и единственны при всех п > 0. На основе соотношения (40) схема (37)-(38) редуцируется к конечному числу узлов:

ЬУ = Апинп! — Спинп + Впикп+1 = п = 1,2,., ЛГ — 1,.

5 = <2, инмами% 1 = (Зм. (43).

Доказано, что решения задач (37)-(38) и (43) совпадают при всех п < N. В отличие от (37)-(38) задача (43) содержит конечное число узлов и ее решение может быть найдено методом прогонки. Доказано, что решение схемы (43) устойчиво к возмущению коэффициентов а^ и (3^. Лемма 11. Пусть коэффициенты а^ и (3^ возмущены, а^-&лг|< Дь 0.