Эффективный метод отыскания оптимальных форм в аэродинамике и теории фильтрации

Задача конструирования объекта, обладающего заданным свойством, всегда вызывает интерес, тем более, когда речь идет об оптимальном свойстве. Человек — прирожденный оптимизатор, и сама природа принуждает достигать цели с наименьшими затратами [37 — 40].

Задачи выбора объекта, оптимального по форме и расположению в потоке традиционны в гидромеханике [46−50]. Отметим пионерские работы Н. Н. Павловского и А. Прейсманна по минимизации фильтрационных потерь, а также современные работы казанской школы: Н. Б. Ильинского, A.M. Елизарова и др., использующих метод обратных задач [2, 10, 12, 33 36].

Хотя к настоящему времени и накоплен богатый опыт в задачах оптимизации формы области, зачастую решения опираются на численные методы и многие проблемы еще не получили решения. Даже когда задача хорошо поставлена, при исследовании сталкиваемся с трудностями математического характера — трудности формализация или решения не подается в квадратуре.

Точные математические результаты — это точки опоры в болоте физики". Цель настоящей работы — развитие точных аналитических методов решения оптимальных задач плоско-параллельных течений идеальной несжимаемой жидкости, решение конкретных оптимальных задач в теории фильтрации и обтекания профилей и получить оценок интегральных характеристик рассматриваемых течений.

Основываясь на виде точных решений двумерных задач о фильтрации из (каналов, дается их операторное представление и разрабатывается. математический аппарат для их решения. Благодаря этому расширяется класс рассматриваемых задач и появляется возможность найти решение в замкнутой форме. Порешению' задачи фильтрации из канала простой подстановкой находятся решения задач фильтрации под телом плотины и обтекания профилей. В работе широко используется метод Фурье, аппарат теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, а также арсенал теории краевых задач и геометрической теории функций.

Первоначально диссертация касалась только фильтрации из канала (глава 1−3) и основная часть была написана в 1993;1996 гг. Спустя десять лет работа над диссертацией была продолжена. Используя развитые методы, была исследована аэродинамика плоских профилей (глава 4−5).

В диссертации разработана методика решения плоских оптимальных задач для несжимаемой жидкости в теории фильтрации и аэродинамике, которая основана на применении теории операторов. С помощью этой методики аналитически получены решения ряда новых задач, в том числе следующие результаты которые выносятся на защиту:

— определены наилучшие формы земляных каналов с точки зрения минимума фильтрационных потерь при различных изопериметрических ограничениях;

— введено понятие о нормальных каналах, и для них дано необходимое и достаточное условие однолистности решения;

— введена числовая характеристика степени подпора;

— получены оценки фильтрационных потерь, улучшающие оценки, имеющиеся в литературе;

— показано, что циркуляция около профиля, вычисленная согласно гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру профиля (константа Чебышева);

— решена задача об аэродинамической брахистохроне;

— даны оценки для силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам:

— Введен параметр, характеризующий! качество профиля и показано, что, оптимальными профилями по этому параметру являются кривые, скорость движения частицы в любой точке которых пропорциональна радиусу кривизны, или, что тоже самое, время движения частицы на любом участке контура пропорционально углу смежности этого участка.

Разработанные в диссертации методы могут быть применены также при нахождении аналитических функций в областях с односвязной границей и в других приложениях. Полученные аналитические решения могут быть использованы в гидрогеологии и гидромелиорации, для исследования течений при обтекании профилей и проектирования крыльев.

Мы с удовольствием применяли математический пакет maple для расчетов и построения графиков и кое-где занимались чистой математикой для тестирования эффективность метода.

Основные результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре под руководством академика РАН А. Г. Куликовского, проф. А. А. Бармина, проф. В. П. Карликова, на семинаре под руководством В. М. Ентова, на семинаре под руководством Н. Б. Ильинского, на Чебышевских и Ломоносовских чтениях, на международных конференциях.

Большое влияние на автора в студенческие годы оказали спецкурсы А. Г. Костюченко и В. Г. Вильке, им автор выражает глубокую благодарность. Автор также благодарит В. Н. Чубарикова за моральную поддержку. Автор признателен своему научному руководителю проф. А. А. Бармину за многочисленные советы и помощь.

Заключение

.

В диссертации рассматриваются плоские стационарные задачи фильтрации жидкости из канала и аналогичные по постановке задачи обтекания профилей идеальной несжимаемой жидкостью. Основное внимание обращено на решение оптимальных задач и получение оценок.

Для решения поставленных задач предложен метод объединяющий подходы к решению таких задач Казанской (Н.Б. Ильинского, A.M. Елизарова) и Французской (Ж.Л. Лионса) школ. Метод основан на представление граничных условий для нахождения аналитических функцией в операторном виде, с оператором, позволяющим просто описать интегральные характеристики.

С помощью предложенного метода решен ряд оптимальных задач (ранее представлявшие затруднения).

— Найдены оптимальные по потерям формы каналов при различных изопериметрических условиях: фиксированы площадь, глубина, ширина, периметр и их комбинации (частный случай — задача Прейсманна).

— Найдены оптимальные формы каналов с точки зрения оптимизации области течения вытекающей жидкости, т. е. площади загрязнения.

— Получено в явном виде выражение для потерь из симметричного канала трапециевидной формы.

— Получены математические условия, обеспечивающие физически' допустимый вид контура канала и однолистность решения.

— Показано, что найденный ранее обратным методом П.Я.. Полубаринова-Кочиной флютбет с постоянной скоростью на нижней части является оптимальным с точки зрения минимума выталкивающей силы. -При изучении профилей большое значение имеет трансфинитный диаметр' профиля (С): показано, что циркуляция, определенная по гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру с коэффициентом, равным скорости в набегающем потоке, умноженному на синус угла атаки.

— Решена задача о наибыстрейшем прохождении жидкой частицы вдоль дуги профиля, обтекаемого идеальной несжимаемой жидкостью при заданной скорости набегающего потока (V^) и фиксированными геометрическими параметрами.

Введен параметр, характеризующий качество профиля CliV^T), где Твремя прохождения жидкой частицей дуги контура.

— Получены оценки для подъемной силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам.